El documento presenta varios ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En el primer ejercicio, se pide determinar el orden y grado de diferentes ecuaciones diferenciales. En el segundo, se verifica si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas. En el tercero, se pide hallar ecuaciones diferenciales para curvas dadas en el plano. Los ejercicios siguientes implican determinar valores para los que una ecuación diferencial tiene soluciones de cierta forma o resolver ecuaciones diferenciales

1.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
I. Indicar el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) ( ) [ ( ) ]
Solución:
2do Orden; 2do Grado.
b) *( ) +
Solución:
⁄
{* + }
⁄
{ [( ) ]}
⁄
{ ( ) * ( )+}
⁄
{ ( ) ( )}
⁄
{( ) ( )}
⁄
{ ( ) ( )}
⁄
{ ( ) ( ) }
⁄
( ) ( ) ( )
4to Orden; 1er Grado.
( ⁄ )
c) ∫ √
Solución:
1er Orden; Grado no definido.
( )
d)
Solución:
( )
, * +-
Análisis Matemático IV – “A”
1

2.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( )
* ( ) +
* +
( )
( ) * ( ) ( )+
* +
4to Orden; 1er Grado.
II. Compruébese si la función dada es solución de la ecuaciones diferenciales correspondiente:
a)
[ ( ) ( )]
Solución:
Derivando con respecto a "x": la ecuación
( )
( )
( )
[ ( ) ( )]
* ( )+
( )
Reemplazando:
( ) ( )
Igualando:
( ) ( )
Análisis Matemático IV – “A”
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3.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
Si es solución de la ecuación diferencial
b) ( ) ( )
Solución:
Derivando con respecto a "x": la ecuación
( )
( )
( )
[ ( ) ]
( )
Reemplazandoenlaecuación: ( )
[ ][ ( ) ]
( )
[ ( ) ]
[ ( ) ]
Si es solución de la ecuación diferencial
c) ( )
Solución:
Despejando
√
Derivando:
Reemplazando: ( )
( ) ( )
( ) ( )
Análisis Matemático IV – “A”
3

4.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( )
( )
No es solución de la ecuación diferencial
d)
Solución:
Derivamos la ecuación:
Pero:
Reemplazando en:
Reemplazando en la EDO:
( )
Si es solución de la ecuación diferencial
Análisis Matemático IV – “A”
4

5.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
e) ∫ ( ) ( )
Solución:
Primer Teorema Del Cálculo:
( )
∫ ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]
( )
Derivando
*∫ ( ) + ∫ ( )
{ ( ) ( ) ( )} ∫ ( )
( ) ∫ ( )
( )
∫ ( )
Despejan la integral en:
∫ ( )
∫ ( )
Reemplazando en la primera derivada:
( )
[ ( )]
Ahora reemplazamos en la solución de la EDO: ( )
[ ( )]
, - ( )
[ ( )] ( )
( ) ( )
Si es solución de la ecuación diferencial
f) ( ) ( )
Solución:
Hallamos:
Análisis Matemático IV – “A”
5

6.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( ( ) ( ))
( ( )) ( ( ))
( )
( ( ) ( ))
( ( )) ( ( ))
( )
III. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes de las curvas en el plano
XY:
a) Circunferencias con radio fijo r y tangente al eje X:
Solución:
Nuestras condiciones:
( ) ( )
Acomodando:
( )
( ) ……………. (a)
Derivando implícitamente (a) y despejando k:
Análisis Matemático IV – “A”
6

7.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( ) …………….(b)
( )
Reemplazando:
( )
( ( ))
( )
( )
b) Todas las circunferencias.
Solución:
Se tiene la ecuación de todas las circunferencias( ) ( ) derivando
respecto a “x”
( ) ( )
Se tiene:
( )
( )
Se tiene:
( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) Ecuacion diferencias de todas las circunferencias
c) Las cónicas centrales con focales con a y b fijos.
Solución:
( )
d) Las estrofoides
Solución:
Ordenando:
( ) ( )
( ) ( ) ………………………….(a)
Derivada implícita
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ……………………………(b)
Despejando a de (a):
( )
Análisis Matemático IV – “A”
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8.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
Reemplazando en (b)
( ) ( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
Despejando a de (b):
( )
( )
e) Las trisectrices de Maclaurin ( ( ) ( )) .
Solución:
( ( ) ( ))
Despejando a y derivando:
( ) ( ) ( )
( )
( ( ) ( ))
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ( ) ( ))
Por lo tanto:
( )
Análisis Matemático IV – “A”
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9.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
IV. Determinar para que valores de “m”, cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
tiene soluciones de la forma:
a)
Solución:
Derivando y respecto a x
Reemplazando en la EDO
( )
( )
Restricción:
( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
b)
Solución:
Derivando y respecto a x
Reemplazando en la EDO:
( )
Restricción:
( )
( )( ) ( )
( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
c)
Solución:
Derivando y respecto a x
Análisis Matemático IV – “A”
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10.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
Reemplazando en la EDO:
( )
( )( )
Restricción:
( )( )
( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
d)
Solución:
Reemplazamos en la Ec. Diferencial:
Factorizando
( )
( )( )
( )
( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
e)
Solución:
Reemplazamos en la Ec. Diferencial:
( )
( )( )( )
( )
( )
Análisis Matemático IV – “A”
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11.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
V. Determinar para que valores de “m” , cada una de las siguientes ecuaciones de la forma:
a)
Solución:
( )
Reemplazando:
[ ( ) ] [ ]
( )
[ ]
[ ]
( )( )
b)
Solución:
( )
Reemplazando:
[ ( ) ] [ ]
( )
[ ]
[ ]
( )( )
VI. Resolver:
a) Demuéstrese que si ( ) e ( ) son dos soluciones diferentes de la
ecuación , entonces ( ) ( ) también es una solución
siendo A y B constantes.
Solución:
Análisis Matemático IV – “A”
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12.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
b) Verifique que e son soluciones de la ecuación diferencial de (a) y, por
consiguiente, que también es una solución.
Solución:
c) Utilizando el resuelto de (b), determínese una solución de la ecuación diferencial que
satisfaga las condiciones ( ) , ( )
Solución:
d) Aplicar este ejercicio en (IV) y (V) para hallar una solución que tenga tantas constantes
como es el orden de la ecuación diferencial.
Solución:
e) Determínese una solución de las ecuaciones diferenciales dada en (IV - e) anterior, que
satisfaga las condiciones ( ) ( ) ( ) .
Solución:
VII. Obténgase la ecuación en derivadas parciales de primer orden que tenga como primitiva a:
a)
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
b)
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
( ) ( )
( )
c)
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
Análisis Matemático IV – “A”
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13.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
√
Reemplazando:
√
d) ( )
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
( )
( )
e) ( )
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
VIII. Aplicando el método de las isóclinas, trazar las curvas integrales de las ecuaciones
diferenciales ordinarias siguientes:
a)
Solución:
1)
( )
Familia de rectas
Se: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
Si:
Si:
Análisis Matemático IV – “A”
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14.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
(Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión).
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
( )
7) Grafico:
Análisis Matemático IV – “A”
14

15.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
b)
Solución:
1)
( )
Familia de rectas
Se: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y
mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
Si:
Si:
Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( ) (Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión).
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
( )
7) Grafico:
Análisis Matemático IV – “A”
15

16.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
c) ( )
Solución:
1)
( )
√
Puntos
Se: (punto)
2) Determinar isóclinas particulares:
√ [ 〉
Si:
Si:
Si: √
Si: √
Si:
3) Los valores extremos:
( )
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
Análisis Matemático IV – “A”
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17.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( )
( )( )
( )
(Punto).
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( ) ( )
( )
7) Grafico:
d)
Solución:
1)
( )
√
Las graficas son:
Si c es positivo es una familia de hipérbolas que se abren hacia “x”
Análisis Matemático IV – “A”
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18.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
Si c es negativo es una familia de hipérbolas que se abren hacia “y”
Si: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y
mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
√
Si: √
Si: √
Si:
Si: √
Si: √
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( )
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
( )
7) Grafica:
Análisis Matemático IV – “A”
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19.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
e)
Solución:
1)
( )
Familia de parábolas que se abre hacia “y”
Si: (una parábola vértice de (-1; -1) por el origen sobre la cual
están los máx. y mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
Si:
Si:
Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
( )
( )
Análisis Matemático IV – “A”
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20.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( )
Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión.
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
( )
7) Grafica:
f)
Solución:
1)
( )
( )
Análisis Matemático IV – “A”
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21.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
Familia de rectas que p0asa por el origen
Si: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
( )
Si:
Si:
Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[( ) ( )]
( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión.
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
Análisis Matemático IV – “A”
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22.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( )
7) Grafica:
g) ( )
Solución:
1)
( )
Familia de rectas
Si: (recta sobre la cual están los máx. y mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
Si:
Si:
Análisis Matemático IV – “A”
22

23.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
( )
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( )
( )
( )
Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión.
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( ) ( )
( )
7) Grafica:
Análisis Matemático IV – “A”
23

24.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
h)
Solución:
1)
( )
( )
Familia de rectas
Si: (punto)
2) Determinar isóclinas particulares:
( )
Si: ( )
Si: ( )
Si:
Si: ( )
Si: ( )
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
Análisis Matemático IV – “A”
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25.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Ecuación no tiene puntos de inflexión.
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
( )
7) Grafica:
Análisis Matemático IV – “A”
25

26.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
IX. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
a) ( ) ( )
Solución:
( )
( )
( )
∫ ∫
( )
( )
∫ ∫ ∫
( )
Solución General:
( )
Con:
( )
( )
Análisis Matemático IV – “A”
26

27.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
Solución Particular:
( ) ( )
b) ( ) ( )
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
No es de variable separable
c) ( ( ) ( ) )
Solución:
( ) ( )
[ ( )] ( )
( )
[ ( )]
( )
∫ ∫ ∫
[ ( )]
( )
∫ ∫
* ( ) +
[ ( ) ⁄ ]
∫ ∫
[ ( ) ⁄ ]
Solución General:
[ ( ) ]
d) ( ) ( ) ( )
Solución:
( )
( )
∫ ( ) ∫ ∫
( )
Análisis Matemático IV – “A”
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28.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
[ ( )]
[ ( ) ] { | ( )| ∑ } ∫
Solución General:
[ ( )]
[ ( ) ] { | ( )| ∑ }
Con:
[ ( )]
[ ( ) ] { | ( )| ∑ }
{∑ }
∑
Solución Particular:
[ ( )]
[ ( ) ] { | ( )| ∑ } ∑
e) ( )
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫ ∫
( ) ( )
∫ ∫ ∫
( ) ( )
Solución General:
( )
f)
Solución:
Análisis Matemático IV – “A”
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29.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Solución General:
g) ̇ ( )
Solución:
̇
̇
∫ ∫ ∫
( ) ( )
Solución General:
( )
Con:
( )
( )
( )
( )
Solución Particular:
h) ( ) ( )
Solución:
( ) ( )
Análisis Matemático IV – “A”
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30.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( ) ( )
( ) ( )
( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
∫ ∫ ( ⁄ ) ∫
( ⁄ )
| ( ⁄ ) ( ⁄ )| ( ⁄ )
Solución General:
| ( ⁄ ) ( ⁄ )| ( ⁄ )
i) ( ) ( )
Solución:
( ) ( )
( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
Solución General:
[( )( ) ]
j) ( )( ) ( )
Solución:
( )
( ) ( )
( ) [( ) ( )]
[( ) ( )]
( )
[( ) ( )]
∫ ∫ ∫
( )
Análisis Matemático IV – “A”
30

31.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
∫ ∫( ) ∫
( ) ( )
Solución General:
( ) ( )
k) ( ) ( )
Solución:
[( ) ( )] [ ]
( )( ) [ ( ) ( ) ( )]
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫ ∫
( )
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
Solución General:
[( )( )] ( )
l) ( ) ( )
Solución:
( ( ) ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
Análisis Matemático IV – “A”
31

32.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
∫ ∫ ∫
( ) ∫
( )
( ) ∫
( ) ( )
Solución General:
( )
Con: ⁄
( )
[ ]
( )
Solución Particular:
√
√( )
m)
Solución:
( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )( )
( ) ( )( )
( ) [ ]
( )
Análisis Matemático IV – “A”
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33.  Facultad de Ciencias de Ingeniería
( ) ( ) ( )
( ( )) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
∫ ∫ ∫
( )
( ) ∫
Solución General:
Análisis Matemático IV – “A”
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