UNIVERSIDAD DE LA SALLE VICTORA, ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS I, 2DO PARCIAL, 6TO SEMESTRE, INGENIERIA BIOMEDICA

1. ANALISIS DE SEÑALES Y
SISTEMAS I
Universidad de La Salle Victoria
Ingeniería Biomédica
Discentes 6to Semestre
2do Parcial

2. 2.9 funciones de señales en
tiempo discreto

3. Las exponenciales y las senoides son tan importantes en el análisis de señales y
sistemas en TD como en el análisis de señales y sistemas en TC. Las exponenciales y las
senoides en TD pueden definirse de manera análoga a su contraparte en TC como:

4. Diferencias de TC y TDSi se muestrea una senoide de TC para crear una senoide de TD puede que su periodo no sea
igual.

7. Funciones singulares en
tiempo discreto

8. Impulso unitario
Muestreo:

9. Secuencia unitaria (TC= escalon unitario)

10. La rampa unitaria

11. Función rectángulo

12. Función comb

13. 2.10 Transformaciones de
escalamiento y
desplazamiento en el TD

14. Desplazamiento en el tiempo

15. Escalamiento en el tiempo

16. Capitulo 2: Descripción Matemática de
Señales
2.11.- DIFERENCIA Y
ACUMULACIÓN

17. • 1°.- Diferencia en adelanto de g[n] esta definida por:
La DIFERENCIA y ACUMULACIÓN
son para las funciones en TD, lo
que para las funciones TC la
DIFERENCIA Y LA INTEGRACION
EN TIEMPO DISCRETO
1°.- Diferencia en atraso g [n]-g[n-1] esta definida
por:

19. • La contraparte de la INTEGRACION de TD es la acumulación Ó
sumatoria
La diferencia o atraso de una función en TD es ambigua,
puede diferir entre si por una CONSTANTE ADITIVA
siendo h[n] la primera diferencia en adelanto de g[n]

20. • En este caso es posible determinar g[n] a partir de
h[n] mediante acumulación en ambos lados
M=no
DEMOSTRANDOLO AL SUSTITUIR

21. • De manera analógica a la relación integral-derivada
entre el escalón unitario en TC y el impulso unitario
en TC, la secuencia unitaria es la acumulación del
impulso unitario

22. • El impulso unitario es la 1° diferencia en
atraso de la secuencia unitaria

23. • La rampa unitaria en TD se define como la
acumulación de una función de secuencia unitaria
retrasada por un tiempo discreto

24. • La secuencia unitaria es la primera diferencia en
adelanto de la rampa unitaria
Es posible definir una familia de funciones singulares en TD con
características analógicas al doblete en TC

26. FUNCIONES PARES E IMPARES EN
TIEMPO DISCRETO
Las funciones en TD también se clasifican en las
propiedades de PARIDAD E IMPARIEDAD
Propiedades:
• La única función que es par e impar es la función constante que es
idénticamente cero (o sea f(x) = 0 para todo x).
• La suma de par e impar no es ni par ni impar, a menos que una de las
funciones sea el cero.
• La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una
función par es una función par.
• La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo
constante de una función impar es una función impar.
• El producto de dos funciones pares es una función par.

27. • El producto de dos funciones impares es una función par.
• El producto de una función par y una función impar es una
función impar.
• El cociente de dos funciones pares es una función par.
• El cociente de dos funciones impares es una función par.
• El cociente de una función par y una función impar es una
función impar.
• La derivada de una función par es una función impar.
• La derivada de una función impar es una función par.

28. Las relaciones de definición son
análogas a las de las funciones en
TD
SÍ:
g[n] = g[-n]
Sí:
g[n] = -g[n]
Entonces g[n] es par Entonces g[n] es
impar

29. DE IGUAL FORMA ES PARA LAS
FUNCIONES EN TD

30. SUMAS, PRODUCTOS,
DIFERENCIASY COCIENTES
Todas la propiedades aplicadas a funciones en TC
también se aplican a funciones en TD
2 funciones pares se:
SUMAN
DIFERENCIA
PRODUCTO
COCIENTE
SON PAR

31. 2 FUNCIONES IMPARES SE:
SUMA
DIFERENCIA
SON IMPARES
PERO SU:
PRODUCTO
COCIENTE
SON PAR

32. 1 FUNCIÓN PAR Y 1 FUNCIÓN
IMPAR:
PRODUCTO
COCIENTE SON IMPAR

33. • EJEMPLO

34. ACUMULACIÓN
La acumulación de funciones en TD son similares a
aquellas correspondientes a integrales de funciones
en TC.
Sí g[n] es una función Par y N es un entero positivo.

35. Sí g[n] es una
función impar

36. Descripción y Análisis de
Sistemas
Capitulo 3
Carlos Eduardo Meza Soria

37. Introducción
• El análisis de sistemas es una disciplina que ha sido desarrollada por
los ingenieros, que se forman aprendiendo matemáticas (cálculo
diferencial, variables complejas, vectores, ecuaciones diferenciales,
etc.) y ciencia (física, química, biología, etc.).
• Un sistema puede ser casi todo. Algo que efectúa una función.
• En ingeniería suele referirse a un sistema artificial que se excita
mediante ciertas señales y responde con otras señales.

38. OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
• 1. Introducir la nomenclatura que describe las características
importantes del sistema.
• 2 . Formular técnicas para clasificar sistemas de acuerdo con sus
características.
• 3. Formular métodos para determinar las respuestas a excitaciones
arbitrarias de un tipo de sistema muy importante.

39. 3.1 DIAGRAMAS DE BLOQUES Y
TERMINOLOGÍA DE SISTEMAS
• Un sistema opera con base en señales en una o más entradas para
producir señales en una o más salidas.
• En el análisis de sistemas es muy útil representar a éstos mediante
diagramas de bloque.

40. • En este caso el operador H actúa sobre la señal de
entrada x(t) para producir la señal en la salida y(t). El
operador H podría efectuar cualquier operación
general imaginable.
• Señal de excitación = Señal de entrada
• Señal de respuesta = Señal de salida

41. EJEMPLO
• Un ejemplo de un sistema sería un
bote guiado por un timón (E). El
empuje desarrollado por el propulsor
(E), la posición del timón y la
corriente del agua son excitaciones
de este sistema, y la dirección y
velocidad del bote son respuestas (S).
• Señales Significativas (dirección y
Velocidad)
• Señales Insignificativas (vibración,
sonido, estela, inclinación)

42. • Otros ejemplos, Instrumentos de medicion
(Anemómetros), Puente colgante (Tacoma Narrows),
una célula, el cuerpo humano, instrumentos
musicales,

43. • Un sistema se describe y analiza a menudo como un ensamble de
componentes. Un componente es el sistema más pequeño y más
simple, por lo general, el que es estándar en cierto sentido y cuyas
características ya se conocen.
• Para un diseñador de circuitos, los componentes son resistores,
capacitores, inductores, amplificadores operacionales, etc., y los
sistemas son amplificadores de potencia, CAD, moduladores, filtros,
etc.

44. • Al saber cómo describir y caracterizar
matemáticamente todos los componentes en un
sistema y cómo interactúan entre sí, un ingeniero
puede predecir, mediante las matemáticas, cómo
funcionará el sistema, sin construirlo y probarlo en
realidad. Un sistema conformado por componentes se
representa con diagramas

45. • El proceso de describir un sistema y analizarlo sin
construirlo a menudo recibe el nombre de modelado.
• De modo que el estudio de sistemas analiza cómo los
componentes interconectados funcionan en la forma de un
todo coordinado.
• En señales y sistemas hay referencias comunes a dos tipos
generales de sistemas, lazo abierto y lazo cerrado.
• Un sistema de lazo abierto responde a una señal de
entrada.
• Un sistema de lazo cerrado responde a una señal de
entrada pero también registra la de salida, y altera la señal
de entrada para modificar la señal de salida a fin de
satisfacer cierto requerimiento del sistema.

46. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO CONTRA
LOS SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO
• Un sistema de TC opera sobre una excitación en TC
para producir una respuesta en TC. Un sistema de TD
opera sobre una excitación en TD para producir una
respuesta en TD.

47. 3.2 CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS
• Un circuito muy común es el filtro pasabajas RC, un sistema de una
entrada y una salida.

48. • Suponga que el circuito está en reposo antes del tiempo t = 0 y que la
señal del voltaje de entrada Ven(t) cambia repentinamente de O a A
volts en el tiempo t = 0
• En la terminología de sistemas, este sistema está inicialmente en
reposo y la respuesta se conoce como de estado cero, porque en el
estado inicial la energía almacenada es igual a cero.
• En este caso la condición de estado cero es 0 V a través del capacitor
debido a que es el único elemento de almacenamiento de energía en
el circuito.

55. HOMOGENEIDAD

58. INVARIANZA EN EL TIEMPO

60. ADITIVIDAD

64. Linealidad y Superposición
• Cualquier sistema que es tanto homogéneo como aditivo recibe el
nombre de sistema lineal.

65. • Si un sistema es tanto lineal como invariante en el tiempo se
denomina sistema LIT".
• La característica sobresaliente de las ecuaciones que describen a los
sistemas lineales es que la variable independiente y sus integrales y
derivadas, o sumas y diferencias, sólo aparecen elevadas a la primera
potencia.

70. Estabilidad
• Cualquier sistema para el cual la respuesta está
acotada cuando la excitación también lo está se
denomina sistema estable de entrada acotada-salida
acotada (EASA)
• Si se presenta un cambio pequeño en las entradas o
condiciones iniciales, un sistema estable presentara
modificaciones pequeñas en su respuesta perturbada

72. Linealidad Incremental
• Un sistema incrementalmente lineal es aquel cuya respuesta es la
suma de una respuesta de entrada cero y la respuesta de un sistema
LIT a la excitación. Si no existiera la adición de la respuesta de entrada
cero, el sistema sería LIT. La designación incrementalmente lineal
proviene de que los cambios en la excitación ocasionan cambios
proporcionales en la respuesta. Es decir, el incremento en la
respuesta es proporcional al incremento en la excitación.

76. Causalidad
• Cualquier sistema para el cual la respuesta ocurre sólo durante o
después del tiempo en el que se aplica la excitación recibe el nombre
de sistema causal.
• Sistemas de procesamientos de datos en los que las señales se
registran y luego se procesan fuera de línea en un tiempo posterior
para producir una respuesta computada, no son causales.

77. • La respuesta computada en algún tiempo designado
en la cadena de datos puede basarse en valores
futuros de la excitación ya registrada.

78. Memoria
• Los sistemas recuerdan sus excitaciones pasadas y
usan esa memoria, junto con sus excitaciones
presentes, para determinar sus respuestas presentes.

79. • El término dinámico se utiliza para un sistema con
memoria. La figura 3.25 es un ejemplo de un sistema
en TD sin memoria. La respuesta en cualquier tiempo
discreto n depende sólo de las excitaciones en el
tiempo discreto n.

80. No Linealidad Estatica
• El sistema incrementalmente lineal.
• La no linealidad no es un resultado intrínseco de la no linealidad de
los mismos componentes, sino de que la respuesta de entrada cero
del sistema no es cero.

82. Invertibilidad

83. • La función seno inverso es de valores múltiples. Por lo
tanto, el conocimiento de la respuesta no determina
de manera única la excitación.

84. 3.3 Funciones propias
del sistema LIT
3.4 Analogías

85. El tipo de sistema más común analizado en el diseño y análisis de
sistemas prácticos es el sistema lineal e invariante en el tiempo.
Lineal e invariante en el tiempo se denomina sistema LIT.
 Cualquier sistema que es tanto homogéneo como aditivo recibe el nombre de
sistema lineal.

86.  Sistemas de tiempo continuo
Inicialmente en su estado cero (no hay energía almacenada en el inductor o capacitor) y que
la señal del voltaje de entrada es en ese caso la suma de voltajes
alrededor produce
3.80

87. Y la solución para la señal del voltaje de salida es:
• K1 forma K2 son constantes arbitrarias.
• dos términos exponenciales y cada uno de ellos tiene un exponente
• el exponente incluye una raíz cuadrada de una cantidad que podría ser negativa. # comp.
La función propia recibe el nombre de exponencial compleja.
Las soluciones para las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
son siempre combinaciones lineales de exponenciales complejas.

88. En el circuito RLC si los exponentes son reales, la respuesta es la suma de dos
exponenciales reales. El caso más interesante es el de exponentes complejos. Los
exponentes son complejos si
Donde
3.82
Cuando se satisface la condición (3.82), se dice que el sistema está subamortiguado y la
respuesta puede escribirse como

89. Cada uno de los exponentes es el conjugado complejo del otro. [Deben serlo
para que sea una función de valores reales.]
Al aplicar las condiciones iniciales, la señal del voltaje de salida es
La solución completa es real debido a que la señal del voltaje de salida puede reducirse a

90. Esta solución esta en la forma de una senoide amortiguada, una senoide multiplicada por
una exponencial descendente. La frecuencia resonante subamortiguada es la
frecuencia a la cual el voltaje de la respuesta oscilaría si el factor de amortiguamiento fuera
cero.
La tasa a la cual se amortigua la senoide se determina mediante el factor de
amortiguamiento

91. Esta excitación se describe de manera exacta todo el tiempo. No es sólo la excitación la que
se vuelve una senoide compleja a partir de ahora; siempre lo ha sido. Puesto que la
excitación empieza en un tiempo infinito en el pasado, cualquier transitorio que haya
ocurrido, ha desaparecido desde hace mucho (si el sistema es estable, como es el caso de
este circuito RLC).
La respuesta de estado estable es la solución particular de la ecuación diferencial que se
describe. Puesto que todas las derivadas de la senoide compleja son también senoides
complejas, la solución particular de (3.88) es simplemente
Si el sistema LIT se excita mediante una senoide compleja, la respuesta es también una
senoide compleja, a la misma frecuencia, pero con una constante de multiplicación diferente
(en general).
3.89

92. Para cualquier sistema LIT, si su excitación es una exponencial compleja, su respuesta es
esa misma exponencial compleja multiplicada por una constante compleja.
La solución de estado estable puede encontrarse mediante el método de coeficientes
indeterminados. Al sustituir la forma de la solución en la ecuación diferencial
Utilizando el principio de superposición para sistemas LIT, si la excitación es una función arbitraria, que es
una combinación lineal de senoides complejas de varias frecuencias, entonces la respuesta es también una
combinación lineal de senoides complejas a esas mismas frecuencias.

93.  SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Los sistemas LIT de tiempo discreto se describen por medio de ecuaciones en
diferencias lineales con coeficientes constantes. Las funciones propias de estas
ecuaciones son de la forma donde es una constante compleja . Suponga
que un sistema LIT de tiempo discreto se describe mediante la ecuación en diferencias

94. Del mismo modo que en el caso de sistemas en TC, se encuentra que las funciones propias
de sistemas en TD son exponenciales complejas en TD, y si el sistema es excitado por una
exponencial compleja en TD, su respuesta es también una exponencial compleja en TD.

95. Analogías
Compare las ecuaciones
3.100

97. • El sistema mecánico y el eléctrico son análogos.
Las ecuaciones que los describen son de la misma forma, y si se puede resolver una, es
posible resolver la otra. El análisis de sistemas incluye a ambos porque los dos son
sistemas LIT.
• Una técnica de solución de problemas que alguna vez fue muy populares la
computadora analógica. Ésta resuelve problemas de sistemas por analogía al
simular las propiedades del sistema con voltaje, corriente, capacitancia,
inductancia, resistencia, etc.

98. • La ventaja de esta técnica es que la dinámica de un sistema grande y
costoso puede modelarse en hardware electrónico por una pequeña
fracción del costo que implicaría construir el sistema en realidad.
• La computación analógica ha ido desaparecido ante la presencia del
cómputo digital que se ha vuelto más poderoso y económico. En la
actualidad casi toda la elaboración de modelos de sistemas se efectúa
con computación digital en lugar de simulación analógica. Pero eso no
significa que las analogías ya no sean importantes. En el estudio
generalizado de sistemas, la observación y entendimiento de analogías
entre sistemas de tipos ampliamente variables enriquece y profundiza la
comprensión de todos los sistemas.

99. Bibliografía