Fundamentos Probabilidad Teoría

FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE
PROBABILIDAD
Ing. Carlos Sarmiento Chugcho MGP
ESTADISTICA INFERENCIAL

FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN
A la estadística descriptiva le concierne el resumen de datos recogidos de eventos
pasados, y la estadística inferencial o inferencia estadística permite calcular la
probabilidad de que algo ocurra en el futuro.
La inferencia estadística se relaciona con las conclusiones relacionadas con una
población sobre la base de una muestra que se toma de ella.

Probabilidad
• Es un mecanismo por medio del cual se puede estudiar
sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyo resultado
no puede ser predicho de antemano con seguridad. Por
ejemplo: El lanzamiento de una moneda.
• Es una valor entre cero y uno, que describe la
posibilidad relativa(oportunidad o casualidad) de que
ocurra un evento

Experimento.- Conjunto de acciones con las que, utilizando procedimientos claramente
establecidos, se efectúa algún tipo de observación o medida.
¿Cuál es el propósito de la experimentación?
1. Generar nuevo conocimiento; 2.Verificar el cumplimiento de algún principio; y 3.Mejorar la
eficacia de un mecanismo ya construido(Innovar).
Un experimento se dice que es un experimento estadístico si reúne las siguientes características:
I. Se conoce cuales son todos los resultados posibles del experimento antes de su ejecución
II. No se puede predecir el resultado de cada ensayo realizado(propiedad de aleatoriedad)
III. Debe poder producirse o repetirse el experimento en condiciones similares

Resultado.- Resultado particular de un experimento.
Ejemplo
Experimento: Se pregunta a 500 estudiantes universitarios si comprarían un nuevo sistema de
cómputo Dell a cierto precio.
Resultado: Un posible resultado es que 273 estudiantes indiquen que les gustaría comprar la
computadora. Otro resultado es que 317 estudiantes la compren y por último otro resultado es que
423 estudiantes indican que comprarían.
“Cuando se observan uno o mas resultados en los experimentos, constituyen un evento”
Evento: Conjunto de uno o más resultados de un experimento.

EXPERIMENTO TODOS LOS POSIBLES
RESULTADOS
ALGUNOS POSIBLES EVENTOS
Lanzamiento de un dado Caras 1; 2; 3; 4; 5; 6
Se observa un número par
Se observa un número impar
Se observa un número mayor a 4
Listado de un número de
miembros de la junta directiva de
las compañías Fortune 500,
mayores de 60 años
Ninguno tiene más de 60 años
Uno tiene más de 60 años
48 tiene más de 60 años
Más de 13 tiene más de 60 años
Menos de 20 tiene más de 60 años

ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO
Espacio muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se
representa con la letra S y cada elemento de S se denomina punto muestral.
Los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo.
• S es discreto si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números
naturales. En este caso S puede ser finito o infinito.
• S es continuo si los resultados corresponde algún intervalo de los números reales. En este
caso S es infinito por definición.

ESPACIO MUESTRAL
Ejemplos
a. Lanzamiento de un dado
Espacio Muestral: S={1,2,3,4,5,6}
Propiedad de S: discreto y finito
b. Lanzar un dado y contar la cantidad de intentos hasta obtener como resultado el 6
Espacio Muestral: S={1,2,3,……...}
Propiedad de S: discreto e infinito
c. Medir el peso en gramos de un artículo elegido al azar.
Espacio Muestral: S={x⃓ x>0, x ϵ R}
Propiedad de S: continuo(Infinito por definición)

EVENTO O SUCESO
Evento.- Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Todo subconjunto es un evento, en
particular S es un evento, llamado suceso seguro y el conjunto vacío, Ф, también es un evento
llamado suceso imposible.
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado y observar el resultado
Espacio muestral: S= 1,2,3,4,5,6
Describa el evento de interés: A: El resultado es un número par(colectivamente exhaustivo)
Respuesta: 𝐴 = 2,4,6

EVENTO O SUCESO
Definiciones:
• Evento nulo: No contiene resultados(puntos muestrales)
• Evento simple: Contiene un solo resultado(punto muestral)
• Eventos excluyentes: Eventos que no contiene resultados comunes 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅
• Eventos colectivamente exhaustivo: Contiene todos los resultados posibles de un evento
Operaciones de conjuntos en términos de eventos
• Unión de eventos: Consta de todos los resultados que están contenidos en cualquiera de los n eventos. La
unión se denota por 𝑬 𝟏 ∪ 𝑬 𝟐 ∪ 𝑬 𝟑 … … . 𝑬 𝒏
• Intersección de eventos: Consta de todos los resultados que están contenidos en los n eventos. La
intersección se denota por 𝑬 𝟏 ∩ 𝑬 𝟐 ∩ 𝑬 𝟑 … … . . 𝑬 𝒏
• Complemento de eventos: Consta de todos los resultados en el espacio muestral que no están en el evento.
El complemento se denota por 𝐸 𝑐

EVENTO O SUCESO
Ejercicio
Considere el lanzamiento de dos dados
a) Determine el espacio muestral
b) Obtenga los siguientes eventos:
A= 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠
B= 𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
C= 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠
D= 𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑒𝑠
c) Encuentre, si es posible, 𝐴𝑈𝐵; 𝐶 ∪ 𝐷; 𝐵 𝑐

DESCRIPCIONES GRÁFICAS DE ESPACIOS MUESTRALES
Diagrama de ven
S: Espacio muestral
A: Evento de S
B: Evento de S
C: Evento de S

PROBABILIDAD PARA ESPACIOS MUESTRALES
Enfoques para analizar probabilidades
Probabilidad Objetiva: Se subdivide en a) probabilidad clásica y b) probabilidad empírica.
Probabilidad clásica.- Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
posibles(se base en los resultados igualmente probable).
𝑃 𝐸 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
Ejemplo
Considere el experimento de lanzar un dado. ¿ Cuál es la probabilidad del evento “cae un número par de
puntos”?

Probabilidad empírica(frecuencia relativa) .- Se basa en el número de veces que ocurre el evento como
proporción del número de intentos conocidos.
𝑃 𝐸 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛
El enfoque empírico de la probabilidad se basa en la llamada ley de los grandes números.
Ley de los grandes números.- En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de un evento se
aproximará a su probabilidad real.
Ejemplo
• El semestre anterior, 35 estudiantes se registraron para Matemáticas II en la carrera de Economía.
Veintiún estudiantes obtuvieron una calificación mayor o igual a 70 puntos. Con dicha información y de
acuerdo con la regla empírica de probabilidad, la probabilidad de que un estudiante logre un nota mayor
o igual a 70 puntos es de 0.60

Probabilidad subjetiva .- Posibilidad(probabilidad) de un evento en particular que asigna un individuo a
partir de cualquier información que encuentre disponible.
Hay un amplio grado de incertidumbre en este tipo de probabilidad, la cual se basa, principalmente, en el
conocimiento que posee el individuo del proceso que estudia.
Ejemplos
• Calcular la posibilidad de que usted contraiga matrimonio antes de los 30 años.
• Calcular la posibilidad de que BSC gana el campeonato nacional.

REGLAS PARA CALCULO DE PROBABILIDADES
Regla de la adición.- Existen dos reglas de la adición: la regla especial de la adición y la regla general de la
adición.
Regla especial de la adición: Se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes.
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑩)
Ejemplo
Una maquina automática llena bolsas de plástico
con una combinación de frijoles, brócoli y otras
verduras. La mayoría de las bolsas contiene el peso
correcto, aunque, como consecuencia de la
variación del tamaño del frijol y de otras verduras,
un paquete podría pesar menos o más. Una revisión
de 4000 paquetes que se llenaron el mes pasado
arrojó los siguientes datos:
Peso Evento # paquetes P(E)
Menos peso A 100 0.025
Peso satisfactorio B 3600 0.900
Más peso C 300 0.075
4000 1.000
¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese más?

Regla del complemento.- Se emplea para determinar la probabilidad de que un evento no ocurra restando
de 1 la probabilidad de un evento que si ha ocurrido
𝑃 𝐴 𝑐
= 1 − 𝑃(𝐴)
Ejemplo
La probabilidad de que una bolsa de verduras mixtas pese menos es de 0.025 y la probabilidad de que
pese más es de 0.075. Aplique le regla del complemento para demostrar la probabilidad de una bolsa con
un peso satisfactorio es de 0.900. Muestre la solución en un diagrama de Venn.
𝑃 𝐴 = 0.025; 𝑃 𝐶 = 0.075 y 𝑃 𝐵 =?
𝑃 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐶
𝑃 𝐵 = 1 − 0.10 = 0.90

Regla general de adición.- Los resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes
𝑷 𝑨𝑼𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Cuando dos eventos ocurren al mismo tiempo 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) , la probabilidad se denomina probabilidad conjunto.
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar de una baraja convencional sea rey o corazón?
Desarrollo
Definir los eventos: A= Carta es un Rey; B= Carta es un Corazón; C= Rey de corazones
La probabilidad de que una carta escogida al azar se rey o corazón: 𝑃(𝐴𝑈𝐵)
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴𝑈𝐵 =
4
52
+
13
52
−
1
52
=
16
52
𝑃 𝐴𝑈𝐵 =
16
52
= 0.3077
Carta P(E) Explicación
Rey P(A)=4/52 4 reyes en una baraja
Corazón P(B)=13/52 13 corazones “
Rey de corazones P(C)=1/52 1 rey de corazones “

AXIOMAS DE PROBABILIDAD
Si S es el espacio muestral y E es cualquier evento en un experimento aleatorio.
1. 𝑃 𝑆 = 1
2. 0 ≤ 𝑃 𝐸 ≤ 1
3. Para dos eventos 𝐸1 y 𝐸2 con 𝐸1 ⋂ 𝐸2 = ⌀ , P( 𝐸1 U 𝐸2)= P(𝐸1) + P(𝐸2)
Deducciones
• 𝑃 ⌀ = 0
• 𝑃 𝐸´ = 1 − 𝑃(𝐸)
• 𝑃(𝐸1) ≤ 𝑃(𝐸2)

PROPIEDADES DE PROBABILIDAD DE EVENTOS
• P(AUB)= P(A)+P(B)-P(A⋂B)
• P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A⋂B)-P(A⋂C)-P(B⋂C)+P(A⋂B⋂C)
• Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝑃 𝐴𝑈𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
• Si A⊂ B, entonces P(A)≤ P(B)
• P(A-B)=P(A)-P(A∩B)=P(A⋂Bᶜ)

PROBABILIDAD DE EVENTOS
Ejercicio
Observe el esquema gráfico en el que con la notación habitual, se presentan tres eventos
y las correspondientes probabilidades; Calcular P(E1UE2UE3) Y P (E1UE2UE3) 𝑐
.
E3
E2E1
S
0.12 0.20
0.15
0.10
0.05
0.100.08

Ejercicio
Si la probabilidad que un estudiante apruebe Álgebra Lineal es 0.7, la probabilidad que
apruebe Ingles es 0.8 y la probabilidad que apruebe ambas materias es 0.6, ¿Cual es la
probabilidad que el estudiante apruebe al menos una de estas dos materias?. ¿Cuál es
la probabilidad de que el estudiante no apruebe ninguna materia?
Desarrollo
• P(AUI)
• P((AUI)ᶜ)

Ejercicio
Sean A,B eventos de S, tales que P(A)=0.35, P(Bᶜ)=0.27, P(Aᶜ⋂B)=0.59
Calcule:
a)P(A⋂B)
b)P(AUB)
c)P(AUBᶜ)
d)P(AᶜUBᶜ)

Reglas de la multiplicación
Estima la probabilidad de que la ocurrencia de dos eventos sea simultánea. Hay dos reglas de
la multiplicación, la regla especial y regla general.
Regla especial de multiplicación.- Esta regla requieren que dos eventos sean independientes, y
lo son si el hecho de que uno ocurra no altera la probabilidad de que el otro suceda.
En el caso de dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que A y B ocurran se
determina multiplicando las dos probabilidades.
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 . 𝑷(𝑩)

Ejemplo
Una encuesta que llevó a cabo la American Automobile Association(AAA) reveló que el año pasado
60% de sus miembros hicieron reservaciones en líneas aéreas. Dos de ellos fueron seleccionados al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieran reservaciones el año pasado?
Desarrollo
La probabilidad de que el primero haya hecho una reservación el año pasado es de 0.60 : 𝑃(𝑅1)
La probabilidad de que el segundo haya hecho una reservación el año pasado es de 0.60 : 𝑃(𝑅1)
Como el número de miembros es muy grande, se supone que 𝑅1 y 𝑅2 son independientes.
𝑷 𝑹 𝟏 ∩ 𝑹 𝟐 = 𝑷 𝑹 𝟏 𝑷(𝑹 𝟐)=(0.60)(0.60)=0.36
Posibles resultados
𝑅1 ∩ 𝑅2 ; 𝑅1 ∩ 𝑅2
𝐶
; 𝑅1
𝐶
∩ 𝑅2 ; 𝑅1
𝑐
∩ 𝑅2
𝐶

Regla general de multiplicación.- La regla general de multiplicación sirve para
determinar la probabilidad conjunta de dos eventos cuando estos no son
independientes. Por ejemplo:
“Cuando un evento B ocurre después del evento A, y A influye en la probabilidad de
que el evento B suceda, entonces A y B no son independientes”
𝐏 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐏 𝐀 𝐏 𝐁 𝐀
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑷 𝑨 𝑷 𝑩 𝑨 𝑷 𝑪 𝑨 ∩ 𝑩
Probabilidad condicional
Probabilidad de que un evento ocurra , dado que otro evento haya acontecido.

Ejemplo
Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y las demás azules. Como
se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y
no las lava. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos camisetas elegidas sean blancas?
Desarrollo
Identificamos los eventos
𝐸1: Primera camisa seleccionada es blanca → 𝑃 𝐸1 =
9
12
𝐸2 𝐸1 : Segunda camisa seleccionada es blanca → P 𝐸2 𝐸1 =
8
11
La probabilidad que se elijan dos camisas de color blanco es:
𝑷 𝑬 𝟏 ∩ 𝑬 𝟐 = 𝑷 𝑬 𝟏 𝑷 𝑬 𝟐 𝑬 𝟏 =
𝟗
𝟏𝟐
.
𝟖
𝟏𝟏
= 𝟎. 𝟓𝟓

PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definición
La probabilidad condicional de un evento B dado un evento A, denotada como P(B I A), es
P(B|A)= P(A⋂B)/P(A) para P(A)> 𝟎
Regla de multiplicación
P(A⋂B)=P(A|B).P(B)=P(B|A).P(A)
Eventos independientes
Dos eventos son independiente si es verdadero cualquiera de los siguientes enunciados
equivalentes.
1.P(A|B)=P(A)
2.P(B|A)=P(B)
3.P(A⋂B)=P(A)P(B)

Ejercicio
Se sabe que dos E1 Y E2 de un mismo S son tales que P(E1)=0.35, P(E2)=0.45 y
P(E1⋂E2)=0.18. ¿Son Independientes este par de eventos?
Desarrollo
Se deben que:
P(A|B)=P(A)
P(B|A)=P(B)
P(A⋂B)=P(A)P(B)

Ejercicio
Se tienen dos eventos E1 y E2 Tales que P(E1)=0.2, P(E2)=0.50 y P(E1⋂E2)=0.10.
Determinar P(E1|E2), P(E2|E1),P(E1|E2ᶜ).
Desarrollo
Nótese que: P(E1)P(E2)=P(E1⋂E2). Por lo tanto son Independientes.

TABLAS DE CONTIGENCIAS
Tabla de contingencias.- Tabla que se utiliza para clasificar observaciones de una muestra, de acuerdo
con dos o más características identificadas.
Un tabla de contingencias consiste en una tabulación cruzada que resume simultáneamente dos variables
de interés, así como la relación entre estas.
Ejemplo
Una encuesta de 150 adultos clasificados según su género y la cantidad de películas que vieron en el cine
el mes pasado. Cada entrevistado se clasifica de acuerdo con dos criterios: la cantidad de película que ha
visto y el género.
Películas vistas(A)
Género(B)
Total
Hombres Mujeres
0 20 40 60
1 40 30 70
2 o más 10 10 20
Total 70 80 150

TABLAS DE CONTIGENCIAS
Ejemplo
Se entrevisto a una muestra de ejecutivos respecto de su lealtad a la compañía. Una de las preguntas fue:
Si otra compañía le hace una oferta igual o le ofrece un puesto un poco mejor del que tiene ahora,
¿permanecería con la compañía o aceptaría el otro puesto? A partir de las respuestas de los 200
ejecutivos que participaron en la encuesta se hizo una clasificación cruzada según el tiempo de servicio
en la compañía.
Tiempo de servicio
Lealtad
Menos de 1 año
B1
1 a 5 años
B2
6 a 10 años
B3
Más de 10
años B4 Total
Permanecería, A1 10 30 5 75 120
No Permanecería, A2 25 15 10 30 80
35 45 15 105 200
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar a un ejecutivo leal a la compañía – que permanecería en
ella – y cuál de ellos tiene más de 10 años de servicio?

Diagrama de árbol
Es una gráfica útil para organizar cálculos que implican varias etapas. Cada segmento del
árbol constituyen una etapa del problema. Las ramas del árbol se ponderan por medio de
probabilidades.
Procedimiento
1. Para construir un diagrama de árbol, comenzamos dibujando un punto grueso a la
izquierda para representar la raíz del árbol.
2. Las ramas principales representan los eventos.
3. De cada una de las ramas principales salen ramas que indican eventos .
4. Se determina las probabilidades conjuntas(posibles resultados)

Diagrama de árbol

REGLA DE PROBABILIDAD TOTAL
Regla de Probabilidad Total
Suponga que E1,E2,….Ek, son conjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos.
Además A es un evento cualquiera de S. Entonces La probabilidad de esta unión de eventos es
igual a la suma de sus correspondientes probabilidades, por lo que,
P(A)=P(A⋂E1)+P(A⋂E2)+……+P(A⋂Ek)
P(A)= 𝑖=1
𝑘
𝑃(𝐴⋂ 𝐸𝑖); P(A⋂𝐸𝑖)= P(A|𝐸𝑖)𝑃(𝐸𝑖)
P(A)= 𝑖=1
𝑘
𝑃(𝐴| 𝐸𝑖)𝑃(𝐸𝑖)

Ejercicio
Una granja camaronera adquiere alimento para sus langostinos, de tres proveedores distintos a los que llamaremos
E1, E2 y E3; E1 provee el 45% del producto consumido; E2 provee el 25%; y, E3 el restante 30%. Es importante por
los biólogos de la granja que los proveedores entreguen el producto con la cantidad requerida de proteínas que la
dieta administrada requiere. Por los registros administrativos de la compañía propietaria de la granja, se sabe que
no siempre los proveedores entregan el alimento con la cantidad de proteínas que se requiere; E1 incurre en esta
inconformidad, en el 2% de sus entregas; E2 el 3% y E3 el 1.5% de las veces que entrega.
Se nos pregunta ¿ Cuál es la probabilidad que ocurra una entrega que no cumpla con el requerimiento proteico
establecido?
Desarrollo
Sean E𝑖 el evento “ i-ésimo proveedor entrega su pedido”, y sea A el evento “ el alimento entregado no
contiene la cantidad requerida de proteínas”,
Lo que se pregunta entonces, es el valor de P(A).

Tenemos como datos que :
P(E1) = 0.45 ; P(E2) = 0.25 y P(E3)=0.30
P(A|E1)=0.020 ; P(A|E2)=0.030 y P(A|E3)=0.015.
Por lo tanto según la regla de Probabilidad Total es:
P(A)= 𝑖=1
3
P A Ei P(Ei) = P A E1 P(E1)+P A E2 P(E2)+P A E3 P(E3)
= (0.020)(0.45)+(0.030)(0.25)+(0.015)(0.30)
= 0.0090+0.0075+0.0045=0.021
Hemos encontrado entonces que la probabilidad de que, bajos las condiciones dadas, el evento A ocurra
es 0.021.

TEOREMA DE BAYES
Sea S el espacio muestral de un experimento estadístico; sean además
𝐸1, 𝐸2, … … 𝐸 𝐾, son K eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos en dicho
espacio muestral. Sea A un evento cualquiera que resulta en el experimento.
Bajo estas condiciones,
P(𝐸𝑟 𝐴 =
𝑃 𝐴 𝐸𝑟 𝑃(𝐸 𝑟)
𝑖=1
𝑘
𝑃 𝐴 𝐸𝑖 𝑃(𝐸 𝑖)
;
Para r entero positivo constante, no mayor que k

TEOREMA DE BAYES
Ejercicio
En una fabrica ensambladora de vehículos, los ingenieros y tecnólogos que trabajan en los procesos de
ingeniería son entregados de tres diferentes maneras para cumplir con sus tareas especificas; la una forma es
capacitarlos en una planta que funciona fuera del país, la otra forma es capacitarlos en la misma fabrica en la
que van a trabajar, y, la tercera forma es capacitarlos en el país pero en una fabrica que no es en la que van a
trabajar. El 10% de los empleados son capacitados de la primera forma, el 55% en la segunda forma y el
restante 35% de la tercera. Se sabe por el uso de registro administrativos que el primer tipo de personas
cumplen con sus labores especificas el 98% de las veces, el segundo tipo el 97% de las veces y los de tercer tipo
solo el 95% de las veces. Se encuentra un día cualquiera que alguien no cumplió sus tareas especificas, ¿Cuál es
la probabilidad de que quien no cumplió fue entrenado en el exterior?

TEOREMA DE BAYES
Desarrollo
Llamaremos A al evento “alguien no cumple sus labores especificas”, mientras 𝐄𝐢 es el evento “ alguien
tuvo entrenamiento tipo i”, i=1,2,3
La Probabilidades a priori de Ei son:
P(E1) = 0.10 ; P(E2) = 0.55; P(E3) = 0.35
Mientas que, P(A|E1)=1 - 0.98=0.02 ; P(A|E2)=1 - 0.97=0.03; y P(A|E3)=1 - 0.95=0.05
Debemos calcular la Probabilidad a posteriori P(E1|A)
P(E1|A)=
𝑃 𝐴 𝐸1 .𝑃(𝐸1)
𝑖=1
3 𝑃(𝐴|𝐸 𝑖)𝑃(𝐸 𝑖)
=
(0.02)(0.1)
0.02 0.1 + 0.03 0.55 +(0.05)(0.35)
=
0.002
0.036
= 0.0555

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