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Matemáticas 2
MATRIZ INVERSA
MATRIZ INVERSA
El cálculo de la matriz inversa es una herramienta
necesaria para resolver sistemas de ecuaciones
lineales y ecuaciones matriciales.
De alguna forma la matriz inversa rellena el hueco
con el que nos encontramos al no poder realizar la
división de matrices.
Para su obtención se realizan una serie de pasos que
vamos a analizar a continuación.
Como ejemplo vamos a obtener la matriz inversa de
una matriz de orden 3.
MATRIZ INVERSA
Vamos a calcular la matriz inversa A-1
de la matriz A.
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 0: Condiciones
Para que una matriz tenga matriz inversa debe
reunir dos condiciones:
Debe ser una MATRIZ CUADRADA.
Su determinante debe ser diferente de cero.
A = 0
Paso nº 0: Condiciones
Después de comprobar que la matriz es cuadrada
calculamos su determinante. Necesitamos conocer su valor
concreto para uno de los próximos pasos. En el caso de que
el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
Matriz regular
o invertible
Matriz irregular,
singular o
no invertible
A = 0Si se dice que la matriz
tiene inversa o que la matriz es una ...
A = 0Si se dice que la matriz
no tiene inversa o que la matriz es una ...
Nuestra matriz es cuadrada y su determinante no es nulo.
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 0: Condiciones
Orden 3
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A = = 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7
A = 0
Este paso es el más largo de todos. Tenemos que
encontrar la matriz formada con los menores
complementarios de cada elemento, αij.
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a11, α11:
2 3
–1 1
= 2 + 3 = 5α11 =
5
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a12, α12:
0 3
1 1
= 0 – 3 = – 3α12 =
– 35
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a13, α13:
0 2
1 –1
= 0 – 2 = – 2α13 =
– 35 – 2
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a21, α21:
0 –1
–1 1
= 0 – 1 = – 1α21=
– 35 – 2
– 1
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a22, α22:
1 –1
1 1
= 1 + 1 = 2α22=
– 35 – 2
– 1 2
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a23, α23:
1 0
1 –1
= –1 + 0 = –1α23=
– 35 – 2
– 1 2 –1
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a31, α31:
0 –1
2 3
= 0 + 2 = 2α31=
– 35 – 2
– 1 2 –1
2
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a32, α32:
1 –1
0 3
= 3 + 0 = 3α32=
– 35 – 2
– 1 2 –1
2 3
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
Paso nº 1: Matriz de los
menores complementarios
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
(αij) =
Cálculo del menor complementario de a33, α33:
1 0
0 2
= 2 + 0 = 2α33=
– 35 – 2
– 1 2 –1
2 3 2
Paso nº 2:
Matriz de los adjuntos
(αij) =
– 35 – 2
– 1 2 –1
2 3 2
La obtención de la matriz de los adjuntos es muy sencilla. Dado
que Aij = αij  (–1)i+j
tan sólo habrá que cambiar los signos de los
elementos que se encuentran en las posiciones negativas.
(Aij) =
3
1 1
–3
5 – 2
2
2 2
Posiciones positivas: (–1)i+j
= + 1
Posiciones negativas: (–1)i+j
= – 1
Paso nº 3:
Matriz de los adjuntos traspuesta
El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los
adjuntos obtenida en el paso previo.
(Aij) =
3
1 1
–3
5 – 2
2
2 2
35 – 2
3
5
– 2
(Aij)t
=
Paso nº 3:
Matriz de los adjuntos traspuesta
(Aij) =
3
1 1
–3
5 – 2
2
2 2
(Aij)t
=21 1 3
5
– 2
2
1
1
El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los
adjuntos obtenida en el paso previo.
Paso nº 3:
Matriz de los adjuntos traspuesta
(Aij) =
3
1 1
–3
5 – 2
2
2 2
(Aij)t
=
–32 2
3
5
– 2
2
1
1
–3
2
2
El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los
adjuntos obtenida en el paso previo.
Paso nº 3:
Matriz de los adjuntos traspuesta
(Aij) =
3
1 1
–3
5 – 2
2
2 2
(Aij)t
= 3
5
– 2
2
1
1
–3
2
2
El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los
adjuntos obtenida en el paso previo.
Paso nº 4:
Producto por inverso de det(A)
(Aij)t
= 3
5
– 2
2
1
1
–3
2
2
A–1
=
1
7
3
5
– 2
2
1
1
–3
2
2
= - 3
/7
- 2
/7
3
/7
5
/7
2
/7
2
/7
1
/7
1
/7
2
/7
1
/7
A–1
=
1
A
(Aij)t
El último paso es multiplicar la matriz obtenida en el paso
anterior por el inverso del determinante de A.
Puedes comprobar como
se cumple la propiedad
fundamental de la matriz
inversa.
A–1
=
1
7
3
5
– 2
2
1
1
–3
2
2
= - 3
/7
- 2
/7
3
/7
5
/7
2
/7
2
/7
1
/7
1
/7
2
/7
1
/7
1 0 –1
0 2 3
1 –1 1
A =
A–1
A = A A –1
= I
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Matriz inversa adaptado

  • 1.
  • 4. MATRIZ INVERSA El cálculo de la matriz inversa es una herramienta necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones matriciales. De alguna forma la matriz inversa rellena el hueco con el que nos encontramos al no poder realizar la división de matrices. Para su obtención se realizan una serie de pasos que vamos a analizar a continuación. Como ejemplo vamos a obtener la matriz inversa de una matriz de orden 3.
  • 5. MATRIZ INVERSA Vamos a calcular la matriz inversa A-1 de la matriz A. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A =
  • 6. Paso nº 0: Condiciones Para que una matriz tenga matriz inversa debe reunir dos condiciones: Debe ser una MATRIZ CUADRADA. Su determinante debe ser diferente de cero. A = 0
  • 7. Paso nº 0: Condiciones Después de comprobar que la matriz es cuadrada calculamos su determinante. Necesitamos conocer su valor concreto para uno de los próximos pasos. En el caso de que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa. Matriz regular o invertible Matriz irregular, singular o no invertible A = 0Si se dice que la matriz tiene inversa o que la matriz es una ... A = 0Si se dice que la matriz no tiene inversa o que la matriz es una ...
  • 8. Nuestra matriz es cuadrada y su determinante no es nulo. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 0: Condiciones Orden 3 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = = 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7 A = 0
  • 9. Este paso es el más largo de todos. Tenemos que encontrar la matriz formada con los menores complementarios de cada elemento, αij. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) =
  • 10. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a11, α11: 2 3 –1 1 = 2 + 3 = 5α11 = 5
  • 11. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a12, α12: 0 3 1 1 = 0 – 3 = – 3α12 = – 35
  • 12. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a13, α13: 0 2 1 –1 = 0 – 2 = – 2α13 = – 35 – 2
  • 13. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a21, α21: 0 –1 –1 1 = 0 – 1 = – 1α21= – 35 – 2 – 1
  • 14. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a22, α22: 1 –1 1 1 = 1 + 1 = 2α22= – 35 – 2 – 1 2
  • 15. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a23, α23: 1 0 1 –1 = –1 + 0 = –1α23= – 35 – 2 – 1 2 –1
  • 16. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a31, α31: 0 –1 2 3 = 0 + 2 = 2α31= – 35 – 2 – 1 2 –1 2
  • 17. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a32, α32: 1 –1 0 3 = 3 + 0 = 3α32= – 35 – 2 – 1 2 –1 2 3
  • 18. 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = Paso nº 1: Matriz de los menores complementarios α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33 (αij) = Cálculo del menor complementario de a33, α33: 1 0 0 2 = 2 + 0 = 2α33= – 35 – 2 – 1 2 –1 2 3 2
  • 19. Paso nº 2: Matriz de los adjuntos (αij) = – 35 – 2 – 1 2 –1 2 3 2 La obtención de la matriz de los adjuntos es muy sencilla. Dado que Aij = αij  (–1)i+j tan sólo habrá que cambiar los signos de los elementos que se encuentran en las posiciones negativas. (Aij) = 3 1 1 –3 5 – 2 2 2 2 Posiciones positivas: (–1)i+j = + 1 Posiciones negativas: (–1)i+j = – 1
  • 20. Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuesta El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo. (Aij) = 3 1 1 –3 5 – 2 2 2 2 35 – 2 3 5 – 2 (Aij)t =
  • 21. Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuesta (Aij) = 3 1 1 –3 5 – 2 2 2 2 (Aij)t =21 1 3 5 – 2 2 1 1 El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.
  • 22. Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuesta (Aij) = 3 1 1 –3 5 – 2 2 2 2 (Aij)t = –32 2 3 5 – 2 2 1 1 –3 2 2 El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.
  • 23. Paso nº 3: Matriz de los adjuntos traspuesta (Aij) = 3 1 1 –3 5 – 2 2 2 2 (Aij)t = 3 5 – 2 2 1 1 –3 2 2 El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.
  • 24. Paso nº 4: Producto por inverso de det(A) (Aij)t = 3 5 – 2 2 1 1 –3 2 2 A–1 = 1 7 3 5 – 2 2 1 1 –3 2 2 = - 3 /7 - 2 /7 3 /7 5 /7 2 /7 2 /7 1 /7 1 /7 2 /7 1 /7 A–1 = 1 A (Aij)t El último paso es multiplicar la matriz obtenida en el paso anterior por el inverso del determinante de A.
  • 25. Puedes comprobar como se cumple la propiedad fundamental de la matriz inversa. A–1 = 1 7 3 5 – 2 2 1 1 –3 2 2 = - 3 /7 - 2 /7 3 /7 5 /7 2 /7 2 /7 1 /7 1 /7 2 /7 1 /7 1 0 –1 0 2 3 1 –1 1 A = A–1 A = A A –1 = I