Métodos Numericos

1. 1
MÉTODOS
NUMERICOS
Elaborado por Juan Carlos Pastelin Ortiz

2. 2
CONTENIDO
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Newton……………………………………………………………………………………. 3
Newton Modificado…………………………………………………………………. 5
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
Lagrange………………………………………………………………………………….. 8
Diferencias Divididas……………………………………………………………….. 10
Newton Progresivo y Regresivo………………………………………………. 12
Hermite………………………………………………………………………………..… 15
AJUSTE DE CURVAS
Spline cúbico………………………………………………………………….……..… 17
Mínimos Cuadrados………………………………………………………..………. 19
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Formulas progresivas y centradas…………………………………………….13
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Formulas Recursivas (trapecio, Simpson 1/3 y 3/8)…………………...26

3. 3
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
NEWTON
Newton para una variable se basa en la expansión de la serie de
Taylor de primer orden
f(xi+1) = f(xi) + (xi+1-xi) f’(xi)
donde xi es el valor inicial de la raíz y xi+1 es el punto en el cuál la
derivada intersecta al eje.
La forma para varias ecuaciones se deriva en forma idéntica, pero a
partir de la serie de Taylor para varias variables:
𝑓𝑖 𝑘+1
= 𝑓𝑖 𝑘
+ ∑ (𝑥𝑗 𝑘+1
− 𝑥𝑗 𝑘
)
𝑑𝑓𝑖 𝑘
𝑑𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
Donde el subíndice i, identifica la ecuación y el superíndice k el
término de la sucesión generada para la obtención de la raíz. La raíz
estimada corresponde a los valores (x1 ,x2,…, xn) y 𝑓𝑖 𝑘+1
son iguales
a cero, se obtienen:
∑
𝑑𝑓𝑖 𝑘
𝑑𝑥𝑗
𝑥𝑗 𝑘+1
= −𝑓𝑖 𝑘
𝑛
𝑗=1
La extensión del método de Newton para sistemas no lineales es:
𝑥(𝑘+1)
= 𝑥 𝑘
− ([ 𝑓′( 𝑥 𝑘)]−1
𝑓( 𝑥 𝑛)
Donde 𝑓′(𝑥 𝑘
) es la matriz jacobiana.

4. 4
EJEMPLO.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de
Newton
𝑓1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
− 𝑥 + 2𝑦2
+ 𝑦𝑧 − 10 =0
𝑓2( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥 − 6𝑦 + 𝑧 = 0
𝑓3 = ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 − 𝑥2
− 𝑦2
= 0
1- Se obtienen las derivadas parciales para así obtener la matriz
jacobiana
2- Utilizamos un vector inicial que debe ser una aproximación de
la raíz y la sustituimos en la jacobiana
3- Utilizamos la fórmula 𝑥(𝑘+1)
= 𝑥 𝑘
− ([ 𝑓′( 𝑥 𝑘)]−1
𝑓( 𝑥 𝑛) que
es el vector inicial menos la multiplicación de la inversa de la
jacobiana por el vector de los valores iniciales evaluados en las
funciones, todo esto para sacar el siguente vector con el que
sustituiremos en la jacobiana
4- Repetimos el proceso hasta alcanzar una tolerancia
DERIVADAS VECTOR INICIAL
(2x-1) (4y+z) (y) 1
-5 -6 1 1
(-2x) (-2y) 1 1

5. 5
Newton Modificado
Consiste en aplicar n (número de ecuaciones) veces el método de
Newton univariable, una para cada variable.
Cada vez que se hace, se consideran las otras variables fijas, requiere
la parcial de cada función con respecto a su variable
correspondiente.
Con el método de Newton para una ecuación se calcula un nuevo
valor
𝑥𝑖 𝑘+1
= 𝑥𝑖 𝑘
−
𝑓𝑖(𝑥1 𝑘
, 𝑥2 𝑘
, … , 𝑥𝑛 𝑘
)
𝑑𝑓𝑖
𝑑𝑥𝑖
Se emplean las derivadas parciales evaluando en los valores iniciales,
después se obtienen (x1’,x2’,…,xn’) y se procede de forma sucesiva
hasta alcanzar una tolerancia previamente establecida.
JACOBIANA INVERSAS JACOBIANA
1 5 1 x(1)= 1 0.06557377 0.114754098 -0.180327869 -7 1.27868852
5 -6 1 1 - 0.1147541 -0.049180328 -0.06557377 * 0 = 1.73770492
-2 -2 1 1 0.36065574 0.131147541 0.508196721 -1 4.03278689
1.5574 10.9836 1.7377 x(2)= 1.27868852 0.01755638 0.118379445 -0.148887261 3.40338619 1.12634798
5 -6 1 1.73770492 - 0.05255515 -0.041734258 -0.049591086 * 0 = 1.52799994
-2.557 -3.4754 1 4.03278689 0.22754898 0.157697224 0.446889788 -0.62187584 3.53625978
1.2527 9.64826 1.528 x(3)= 1.12634798 0.02502032 0.121683612 -0.159914654 0.2152842 1.11021782
5 -6 1 1.52799994 - 0.06163884 -0.039900054 -0.054284088 * 0 = 1.51108306
-2.253 -3.056 1 3.53625978 0.24473145 0.15218162 0.47386874 -0.06718382 3.51540928
1.2204 9.55974 1.5111 x(4)= 1.11021782 0.02575423 0.122174958 -0.161091736 0.00118527 1.11009928
5 -6 1 1.51108306 - 0.06244698 -0.03957359 -0.05478899 * 0 = 1.51097911
-2.22 -3.0222 1 3.51540928 0.24591077 0.151683668 0.476724739 -0.00054636 3.51537827
0.00011854 SOLUCIÓN
0.00010395
3.1006E-05

6. 6
EJEMPLO:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Newton
modificado.
𝑓1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 9
𝑓2( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 = 1
𝑓3( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧2
= 0
Emplear desplazamientos simultáneos y sucesivos, alcanzar una
tolerancia de 0.0005.
1- Se sacan las derivadas parciales por cada una de las funciones
(la primera con respecto a “x”, la segunda con respecto a” y” y
así sucesivamente).
2- Utilizamos un vector inicial el cual tiene que ser una
aproximación a la raíz y con el sustituimos en las funciones
originales (f(x, y, z)) y después en las derivadas(df(x, y, z)).
3- Para encontrar el siguiente vector en la segunda iteración cada
uno de los valores del vector se tiene que restar al valor
anterior(inicial) el cociente del valor respectivo f(n)/df(n).
4- Se repite el proceso hasta alcanzar cierta tolerancia puesta.

7. 7
SIMULTANEOS
k (x,y,z) f(x,y,z) df(x,y,z) error
0 -3 28.25 -6
4 -43 -10.5
3.5 -11.25 -7
1 1.70833333 -2.48961876 3.41666667
-0.0952381 -1.30796485 3.23363095 2.48961876
1.89285714 -1.96981293 -3.78571429
2 2.43700224 -1.08154819 4.87400448
0.30924988 0.03439656 3.34485674 1.08154819
1.3725292 0.86241572 -2.7450584
3 2.65890359 1.00410434 5.31780718
0.29896647 0.34079622 4.48477126 1.00410434
1.68669946 0.11291498 -3.37339893
4 2.47008435 0.11002578 4.94016869
0.22297681 -0.05257843 4.24896902 0.26592929
1.72017163 -0.26592929 -3.44034326
5 2.44781268 -0.25378685 4.89562536
0.23535121 -0.05354721 4.0214486 0.25378685
1.64287432 -0.01587214 -3.28574864
6 2.4996522 -0.00671658 4.9993044
0.24866661 0.01817529 4.09453958 0.06513158
1.63804372 0.06513158 -3.27608744
7 2.5009957 0.06334073 5.0019914
0.2442277 0.01268098 4.14646236 0.06334073
1.65792462 -0.00349066 -3.31584925
8 2.4883326 -0.00481367 4.9766652
0.24116944 -0.00569497 4.12284838 0.01572248
1.65687191 -0.01572248 -3.31374381
9 2.48929985 -0.01503086 4.97859969
0.24255076 -0.002476 4.11264018 0.01503086
1.65212728 0.00232606 -3.30425456
10 2.49231894 0.00262808 4.98463788
0.24315281 0.00163944 4.1193826 0.00362064
1.65283124 0.00362064 -3.30566248
11 2.4917917 0.00342874 4.98358341
0.24275482 0.00045099 4.12124039 0.00342874
1.65392652 -0.00092642 -3.30785305
12 2.4911037 -0.00097898 4.98220739
0.24264539 -0.0004454 4.1194048 0.00097898
1.65364646 -0.00079752 -3.30729291
13 2.49130019 -0.00074494 4.98260038
0.24275352 -6.6955E-05 4.11912899 0.00074494
1.65340532 0.00030456 -3.30681064
RAIZ
SUCESIVOS
k (x,y,z) f(x,y,z) df(x,y,z) error
0 -3 28.25 -6
4 22.9166667 5.97916667
3.5 -10.3744193 -7
1 1.70833333 -1.98154328 3.41666667
0.16724739 -0.22771065 4.61764672 1.98154328
2.0179401 -1.56722451 -4.03588021
2 2.28829722 -1.061145 4.57659444
0.21656053 -0.11060816 4.10689731 1.061145
1.62961725 0.10800111 -3.2592345
3 2.52016067 0.17525012 5.04032135
0.24349282 0.00625706 4.13259441 0.17525012
1.66275421 -0.03738177 -3.32550841
4 2.48539104 -0.03678152 4.97078208
0.24197874 -0.00380333 4.11687678 0.03678152
1.65151329 0.00819703 -3.30302658
5 2.49279058 0.00870589 4.98558117
0.24290258 0.00080111 4.12017483 0.00870589
1.65399496 -0.00194681 -3.30798992
6 2.49104437 -0.00203783 4.98208874
0.24270815 -0.00019167 4.11938511 0.00203783
1.65340644 0.00045521 -3.30681289
2.4914534 RAIZ
0.24275468

8. 8
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
LAGRANGE
La interpolación es el cálculo de valores para una función tabulada
en puntos que no se encuentran en la tabla de valores y sirve como
introducción a algunas técnicas para suavizamiento de curvas
Para 2 puntos
𝑝( 𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥0− 𝑥1)
𝑦0 +
(𝑥 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
𝑦1
Cociente de Lagrange 𝐿 𝑘(𝑥)
=
( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1) … ( 𝑥 − 𝑥 𝑘−1)( 𝑥 − 𝑥 𝑘+1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛)
(𝑥 𝑘 − 𝑥0)(𝑥 𝑘 − 𝑥1) … (𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1)(𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘+1) … (𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑛)
= ∏
(𝑥 − 𝑥𝑖)
(𝑥 𝑘 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0,𝑖≠𝑘
Si 𝑥0,𝑥1,…,𝑥 𝑛 son (n+1) números diferentes y f es una función cuyos
valores están dados estos puntos entonces existe un único polinomio
P de grado lo más n con la propiedad de que 𝑓( 𝑥 𝑘) = 𝑃(𝑥 𝑘) para
cada k= 0, 1, …, n. Este polinomio está dado por:
𝑝 𝑛( 𝑥) = 𝑓( 𝑥0) 𝐿0( 𝑥) + 𝑓( 𝑥1) 𝐿1( 𝑥) + ⋯ + 𝑓(𝑥 𝑛) 𝐿 𝑛(𝑥)
∑ 𝑓(𝑥 𝑘)𝐿 𝑘(𝑥)
𝑛
𝑘=0
EJEMPLO:
La siguiente tabla relaciona los datos observados de voltaje y
temperatura(°f) para termopares formados por platino y platino-10%
Radio con juntas refrigeradas a 32°.

9. 9
Estimar la temperatura para microvoltios de 300, 1700, 3300, 5300,
5900.
1- Utilizando el número a interpolar nos centramos en el valor más
cercano en la tabla (pero que no sea menor)
2- Dependiendo del grado del polinomio elegimos una formula
(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)…(𝑥−𝑥 𝑘−1)(𝑥−𝑥 𝑘+1)…(𝑥−𝑥 𝑛)
(𝑥 𝑘−𝑥0)(𝑥 𝑘−𝑥1)…(𝑥 𝑘−𝑥 𝑘−1)(𝑥 𝑘−𝑥 𝑘+1)…(𝑥 𝑘−𝑥 𝑛)
3- Poniendo un ejemplo haciendo un polinomio de grado 1
hacemos una multiplicación del cociente entre la resta del
número a interpolar menos el valor siguiente entre el valor
cercano menos el valor siguiente por el valor evaluado en la
función y se le suma el cociente de restar el número a interpolar
menos el valor cercano entre el valor siguiente menos el valor
cercano por el valor evaluado del siguiente valor en la función.
i xi f(xi)
0 0 32
1 500 176
2 1000 296.4
3 1500 405.7
4 2000 509
5 2500 608.4
6 3000 704.7
7 3500 799
8 4000 891.9
9 4500 983
10 5000 1072.6
11 5500 1160.8
12 6000 1247.5

10. 10
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Los métodos para determinar la representación explicita de un
polinomio de interpolación, a partir de datos tabulados, se conocen
como métodos de diferencias divididas.
El tratamiento de las tablas de diferencias divididas supone que la
función f(x) es conocida para varios valores de x. Dichos valores no
necesariamente están igualmente espaciados u obedecen algún
orden.
Las diferencias divididas de f con respecto a 𝑥𝑖 con i= 0,1, …, n se
pueden derivar demostrando que 𝑃𝑛(𝑥) tiene la representación:
𝑃𝑛( 𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑎2( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1) + ⋯
+ 𝑎 𝑛( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛−1)
Con constantes apropiadas 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 sustituyendo para cada xi
p2(p=300) 295.68 + -284.544 + 113.596 = 124.732
p3(p=300) 335.104 -483.7248 386.2264 -114.016 = 123.5896
p2(p=1700) 49.28 + -284.544 + 681.576 = 446.312
p3(p=1700) 9.856 -85.3632 408.9456 114.016 = 447.4544
p2(p=3300) 1457.28 + -5975.424 + 5225.416 = 707.272
p3(p=3300) -1262.976 7768.0512 -13586.0816 7867.104 = 786.0976
p2(p=5300) 5751.68 + -21625.344 + 16747.296 = 873.632
p3(p=5300) -12653.696 71363.6352 -110532.154 53229.184 = 1406.9696
p2(p=5900) 7589.12 + -28169.856 + 21469.644 = 888.908
p3(p=5900) -19731.712 109862.438 -167463.223 79013.088 = 1680.5912

11. 11
EJEMPLO:
Se utilizará el mismo de Lagrange
1- Hacemos una tabla de valores que incluirán f[1], f[2], … ,f[n]
que se resuelven bajo la fórmula de 𝑓[ 𝑥𝑖; 𝑥𝑖+1] =
𝑓[𝑥 𝑖+1]−𝑓[𝑥 𝑖]
𝑥 𝑖+1−𝑥 𝑖
2- Teniendo cada uno de estos valores en la tabla nos enfocamos
en el valor más cercano a interpolar (que sea menor).
3- Utilizamos la fórmula para polinomio según el grado a elegir
𝑃𝑛( 𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑎2( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1) + ⋯
+ 𝑎 𝑛( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛−1)
i xi f(xi) f[1] f[2] f[3] f[4]
0 0 32 0.288 -0.0000472 1.6667E-08 -4.9333E-12
1 500 176 0.2408 -2.22E-05 6.8E-09 -2E-12
2 1000 296.4 0.2186 -0.000012 2.8E-09 -8.6667E-13
3 1500 405.7 0.2066 -7.8E-06 1.0667E-09 2E-13
4 2000 509 0.1988 -6.2E-06 1.4667E-09 -3.3333E-13
5 2500 608.4 0.1926 -4E-06 8E-10 -6.6667E-13
6 3000 704.7 0.1886 -2.8E-06 -5.3333E-10 4.6667E-13
7 3500 799 0.1858 -3.6E-06 4E-10 -1.3333E-13
8 4000 891.9 0.1822 -3E-06 1.3333E-10 -1.3333E-13
9 4500 983 0.1792 -2.8E-06 -1.3333E-10
10 5000 1072.6 0.1764 -0.000003
11 5500 1160.8 0.1734
12 6000 1247.5
dif divs ERROR P1
p2(x=300) 118.4 + 2.832 = 121.232
ERROR P2
p3(x=300) 121.232 + 0.7 = 121.932
dif divs ERROR P1
p2(x=1700) 447.02 + 0.468 = 447.488
ERROR P2
p3(x=1700) 447.488 + 0.0512 = 447.5392

12. 12
NEWTON PROGRESIVO Y REGRESIVO
Cuando 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 están ordenados e igualmente espaciados, la
fórmula de diferencias divididas puede simplificarse.
Introduciendo la notación de ℎ = 𝑥𝑖+1−𝑥𝑖 para cada i= 0, 1, …, n-1
haciendo 𝑥 = 𝑥0 + 𝑠ℎ , la diferencia (𝑥 − 𝑥𝑖) puede escribirse como
𝑥 − 𝑥𝑖 = ( 𝑠 − 𝑖)ℎ
Formula de diferencias divididas PROGRESIVA de Newton
𝑃𝑛( 𝑥) = 𝑃𝑛( 𝑥0 + 𝑠ℎ)
= 𝑓[ 𝑥0] + 𝑠ℎ𝑓[ 𝑥0, 𝑥1] + 𝑠( 𝑠 − 1)ℎ2
𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] + ⋯
+ 𝑠( 𝑠 − 1)( 𝑠 − 2) … (𝑠 − 𝑛 + 1)ℎ 𝑛
𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥 𝑛]
EJEMPLO.
A partir de la siguiente tabla de datos obtener una estimación para
la presión en el soplete con un espesor de 12mm y para la velocidad
de corte con un espesor de 28mm
dif divs ERROR P1
p2(x=3300) 761.28 + 0.168 = 761.448
ERROR P2
p3(x=3300) 761.448 + -0.0224 = 761.4256
dif divs ERROR P1
p2(x=5300) 1125.52 + 0.18 = 1125.7
dif divs
p2(x=5500) 1160.8

13. 13
1- Para este método los valores tienen que estar igualmente
espaciados y los valores a interpolar deben de estar al principio
o al final de la tabla correspondientemente (en este caso,
aunque los valores no parecen igualmente espaciados, si lo
están para los valores que se quieren interpolar [10, 30] (de 5
en 5).
2- Para ambos casos se va requerir un valor “s” que es el valor que
se quiere interpolar menos el valor anterior entre h (el espacio
entre cada uno de los valores).
3- Se tiene que hacer una tabla de diferencias divididas, pero en
este caso nada más por cada valor de la tabla solo es la
diferencia de los valores evaluados en las funciones 𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖
4- Una vez obtenida la tabla se utilizan los valores obtenidos por
cada de las deltas correspondientes.
5- Si se va a utilizar el método de regresivos la formula cambia por
(s+1), (s+2), …, (s+n) correspondientemente.
Espesor(mm) Presiones Velocidad
en el soplete de corte(m/h)
5 1.5 20
8 1.5 17
10 1.5 15
15 2 12
20 2.5 11.5
25 2.5 10
30 2.5 9.5
40 3 8.5
50 3.5 7
75 4 5.5
100 4 4.5

14. 14
Para la presión del soplete:
Para la velocidad de corte:
espesor presiones Δf(xi) Δ^2f(xi) Δ^3f(xi) Δ^4f(xi)
5 1.5 0 0 0.5 -1 s= 0.4
8 1.5 0 0.5 -0.5 0 p(12)= 1.6264
10 1.5 0.5 0 -0.5 1
15 2 0.5 -0.5 0.5 0
20 2.5 0 0 0.5 -1
25 2.5 0 0.5 -0.5 0.5
30 2.5 0.5 0 0 -0.5
40 3 0.5 0 -0.5
50 3.5 0.5 -0.5
75 4 0
100 4
espesor velocidades Δf(xi) Δ^2f(xi) Δ^3f(xi) Δ^4f(xi)
5 20 -3 1 -2 5.5 s= -0.4
8 17 -2 -1 3.5 -7 p(28)= 9.2232
10 15 -3 2.5 -3.5 5.5
15 12 -0.5 -1 2 -3.5
20 11.5 -1.5 1 -1.5 1.5
25 10 -0.5 -0.5 0 0.5
30 9.5 -1 -0.5 0.5 0
40 8.5 -1.5 0 0.5
50 7 -1.5 0.5
75 5.5 -1
100 4.5

15. 15
HERMITE
Los polinomios ajustados a los valores de la función y de su derivada
se llaman polinomios de interpolación de Hermite o polinomios
osculantes y también son una generalización de los polinomios de
Taylor y Lagrange.
El polinomio osculante que aproxima a f es el polinomio P de menor
grado tal que
𝑑 𝑘
𝑃(𝑥𝑖)
𝑑𝑥 𝑘
=
𝑑 𝑘
𝑓(𝑥𝑖)
𝑑𝑥 𝑘
También hay otro método para generar aproximaciones de Hermite
y está basado en el método de diferencias divididas y la relación que
existe entre la n-ésima diferencia dividida y la n-ésima derivada de f.
EJEMPLO:
Un automóvil realiza un recorrido por una carretera recta y se
cronometra su recorrido en varios puntos, los cuales se muestran en
la siguiente tabla. Estimar d(t=10s)
1- Nuevamente utilizamos una tabla en la cual las primeras 3
columnas las vamos a rellenar con los valores dados.
2- Los primeros valores a obtener son los de Lj(xj) y L’j(xj) que
los primeros son un cociente ejemplo : 𝐿0 =
(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)
y el otro solo seria las derivadas correspondientes.

16. 16
3- Y para H : [1 − 2(𝑥 − 𝑥𝑗)𝐿′
(𝑥𝑗)]𝐿2
(𝑥) y para H’ : (𝑥 −
𝑥𝑗)𝐿2
.
4- Finalmente se hacen las sumas correspondientes y se
obtienen los valores.
Por Diferencias Divididas:
k Xk f(xj) f'(xj) Lj(x) L'j(xj) Hn,j(x) Ĥn,j(x)
0 3 225 77 0.3 -0.8 1.098 0.63
1 5 385 80 -0.875 0.04166667 0.44661458 3.828125
2 8 625 74 1.4 0.33333333 -0.65333333 3.92
3 13 993 72 0.175 0.425 0.10871875 -0.091875
L0=(X-5)(X-8)(X-13)/(3-5)(3-8)(3-13) L0'(x)=3x^2-52x+209/-100 ∑f(xj)Hn,j(x) ∑f'(xj)Ĥn,j(x)
L1=(X-3)(X-8)(X-13)/(5-3)(5-8)(5-13) L1'(x)=3x^2-48x+167/48 118.6210000 638.225
L2=(X-3)(X-5)(X-13)/(8-3)(8-5)(8-13) L2(x)=3x^2-42x+119/-75
L3=(X-3)(X-5)(X-8)/(13-3)(13-5)(13-8) L3(x)=3x^2-32x+79/400 = 756.8460000
t(seg) 3 5 8 13
d(pies) 225 385 625 993
v(pies/seg) 77 80 74 72
zi f(zi) f[1] f[2] f[3] f[4] f[5] f[6] f[7]
3 225 77 1.5 -0.75 0.15 -0.05666667 0.008133333 -0.00124667
3 225 80 0 0 -0.13333333 0.02466667 -0.00433333
5 385 80 0 -0.66666667 0.11333333 -0.01866667
5 385 80 -2 0.24 -0.036
8 625 74 -0.08 -0.048
8 625 73.6 -0.32
13 993 72
13 993
P2(10)= 837.5
P3(10)= 653.75
P4(10)= 837.5
P5(10)= 698.666667
P6(10)= 738.52
P7(10)= 756.846

17. 17
AJUSTE DE CURVAS
SPLINE CÚBICO
Spline cúbico lo que hace es ajustar un polinomio a un conjunto de
datos mediante una curva suave sin picos ni oscilaciones. Se parte de
un conjunto de n+1 puntos y que no necesariamente están
igualmente espaciados. Los trazadores pueden ser de cualquier
grado, aunque los cúbicos son los más comunes por sus ventajas y
características.
Este método consiste en buscar n curvas que conectan los puntos
por pares: 0-1, 1-2, …, n-1 -n, las dos curvas que conectan los puntos
k-1 y k y los puntos k y k+1, deben de tener la misma pendiente en
el punto k, lo cual produce una curvatura suave y continua.
Los coeficientes para este polinomio están dados por:
𝑎𝑖 =
𝑠𝑖+1 − 𝑠𝑖
6ℎ𝑖
𝑏𝑖 =
𝑠𝑖
2
𝑐𝑖 =
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖
ℎ𝑖
− (
𝑠𝑖+1 + 2𝑠𝑖
6
)ℎ𝑖
EJEMPLO:
Sea la gráfica:

18. 18
1- También se va a utilizar una tabla en la cual el xi y yi son los
puntos que tenemos el hi son las diferencias de xi+1 – xi
2- F[1] van a ser el cociente de las diferencias de yi+1 –yi entre
los hi correspondientes.
3- Después hacemos la matriz con los valores de hi bajo la
fórmula hi, 2(hi +(hi+1)), hi+1 por cada renglón
correspondiente.
4- Se va a multiplicar la matriz chica por el vector 6[f[x1,x2]-
f[x0,x1]] en cada uno de sus valores.
5- Multiplicamos el vector obtenido por la matriz pequeña para
obtener los valores de si recordando que el primer valor
siempre será cero.
6- Utilizamos las fórmulas para sacar ai, bi, ci y estos serán los
coeficientes de nuestros polinomios que queramos obtener.
i xi yi hi F[1] si ai bi ci
0 0.62 2.14 0.12 6.83333333 0 -1.28247133 0 8.11580466
1 0.74 2.96 0.26 -0.61538462 -64.1235665 3.45228836 -32.0617833 4.26839067
2 1 2.8 0.78 1.02564103 15.5446265 -2.98989176 7.77231323 -2.04687154
3 1.78 3.6 0.64 -0.25 -7.45454089 1.02719125 -3.72727045 1.10826183
4 2.42 3.44 0.74 -0.37837838 2.17537709 -0.60219732 1.08768854 -0.58107058
5 3.16 3.16 1.54 -1.37662338 -2.70730387 1.48588409 -1.35365193 -0.77788349
6 4.7 1.04 2.3 0.4173913 3.08185494 -2.6372627 1.54092747 -0.48947917
7 7 2 2.08 -0.70192308 -3.79796081 4.56095709 -1.89898041 -1.31300093
8 9.08 0.54 1.28 1.09375 9.35864619 -9.36589542 4.67932309 4.47011186
9 10.36 1.94 -0.84 -1.97619048 -34.5439886 -4.83615841 -17.2719943 -11.6485073
10 9.52 3.6
0.12 0.76 0.26 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.26 2.08 0.78 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.78 2.84 0.64 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.64 2.76 0.74 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.74 4.56 1.54 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1.54 7.68 2.3 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2.3 8.76 2.08 0 0
0 0 0 0 0 0 0 2.08 6.72 1.28 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1.28 0.88 -0.84

19. 19
MINIMOS CUADRADOS
El método de mínimos cuadrados concede mayor valor relativo al
punto que está alejado del resto de los datos, pero no permite que
ese punto domine la aproximación.
El problema de ajustar la mejor recta con mínimos cuadrados a una
colección de datos implica minimizar el error total:
𝐸 = 𝐸2( 𝑎0, 𝑎1) = ∑[𝑦𝑖 − ( 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0)]2
𝑚
𝑖=1
Para encontrar los mínimos se obtienen las parciales y se igualan a
cero
𝑑
𝑑𝑎0
= ∑[𝑦𝑖 − ( 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎0)]2
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎0)(−1)=0
-44.6923077
9.84615385
-7.65384615
-0.77027027
-5.98946999
10.7640881
-6.71588629
10.7740385
-18.4196429
g0(x)= -1.2825(x-0.62)^3+8.1158(x-0.62)+2.14
g1(x)= 3.4523(x-0.74)^3-32.0618(x-0.74)^2+4.2684(x-0.74)+2.96
g2(x)= -2.9899(x-1)^3+7.7723(x-1)^2-2.0469(x-1)+2.8
g3(x)= 1.0272(x-1.78)^3-3.7273(x-1.78)^2-2.0469(x-1.78)+3.6
g4(x)= -0.6022(x-2.42)^3+1.0877(x-2.42)^2-0.5811(x-2.42)+3.44
g5(x)= 1.4859(x-3.16)^3-1.3537(x-3.16)^2-0.7779(x-3.16)+3.16
g6(x)= -2.6373(x-4.7)^3+1.5409(x-4.7)^2-0.4895(x-4.7)+1.04
g7(x)=4.5610(x-7)^3-1.8990(x-7)^2-1.3130(x-7)+2
g8(x)= -9.3659(x-9.08)^3+4.6793(x-9.08)^2+4.4701(x-9.08)+0.54
g9(x)= -4.8362(x-10.36)^3-17.2720(x-10.36)^2-11.6485(x-10.36)+1.94

20. 20
𝑑
𝑑𝑎1
= ∑[𝑦𝑖 − ( 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎0)]2
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎0)(−𝑥𝑖)=0
𝑎0 𝑚 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑦𝑖 𝑎0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖2
= ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑚
𝑖=1
EJEMPLO:
Construye un polinomio por mínimos cuadrados que ajuste los
puntos de la siguiente tabla (decide qué grado se justa mejor)
1- Vamos a utilizar una tabla la cual los primeros valores van a
ser los valores de las coordenadas de los puntos.
2- Para los siguientes términos se van a elevar a la potencia
correspondiente.
3- Para los siguientes se van a ser las multiplicaciones
correspondientes.
4- Se van a sumar cada una de las columnas obtenidas para así
poder sacar la matriz la cual se rellenará con cada valor de las
sumas correspondientes por diagonal y el primer término
siendo al número total de valores en la tabla.
5- El vector por el cuál se va a multiplicar la matriz para obtener
cada uno de los valores para polinomios lineales, cuadráticos
van a ser el de los valores de las sumas de las multiplicaciones
de los xi y el primer valor siendo la suma de los valores
evaluados en la función.

21. 21
i x f(x) x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8
1 0.1 1.9 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001
2 1.1 7.9 1.21 1.331 1.4641 1.61051 1.771561 1.9487171 2.14358881
3 1.6 24.9 2.56 4.096 6.5536 10.48576 16.777216 26.8435456 42.949673
4 2.4 25.2 5.76 13.824 33.1776 79.62624 191.102976 458.647142 1100.75314
5 2.5 34.9 6.25 15.625 39.0625 97.65625 244.140625 610.351563 1525.87891
6 4.1 42.7 16.81 68.921 282.5761 1158.56201 4750.10424 19475.4274 79849.2523
7 5.2 29.7 27.04 140.608 731.1616 3802.04032 19770.6097 102807.17 534597.285
8 6.1 42.6 37.21 226.981 1384.5841 8445.96301 51520.3744 314274.284 1917073.13
9 6.6 36.1 43.56 287.496 1897.4736 12523.3258 82653.95 545516.07 3600406.06
10 7.1 23.7 50.41 357.911 2541.1681 18042.2935 128100.284 909512.016 6457535.31
11 8.2 13 67.24 551.368 4521.2176 37073.9843 304006.671 2492854.71 20441408.6
12 9.1 12.7 82.81 753.571 6857.4961 62403.2145 567869.252 5167610.19 47025252.8
13 9.4 -3.1 88.36 830.584 7807.4896 73390.4022 689869.781 6484775.94 60956893.9
14 11.1 -13 123.21 1367.631 15180.7041 168505.816 1870414.55 20761601.5 230453777
15 11.4 -28.7 129.96 1481.544 16889.6016 192541.458 2194972.62 25022687.9 285258642
16 12.2 -39.5 148.84 1815.848 22153.3456 270270.816 3297303.96 40227108.3 490770721
17 13.2 -48.6 174.24 2299.968 30359.5776 400746.424 5289852.8 69826057 921703952
18 14.1 -40.2 198.81 2803.221 39525.4161 557308.367 7858047.97 110798476 1562258518
19 15.6 -51.6 243.36 3796.416 59224.0896 923895.798 14412774.4 224839281 3507492789
20 16.1 -30.5 259.21 4173.281 67189.8241 1081756.17 17416274.3 280402016 4514472463
21 17.6 -34.6 309.76 5451.776 95951.2576 1688742.13 29721861.6 523104763 9206643835
22 17.9 -16.4 320.41 5735.339 102662.568 1837659.97 32894113.4 588804631 1.054E+10
23 19.1 -13.4 364.81 6967.871 133086.336 2541949.02 48551226.3 927328422 1.7712E+10
24 20 -1.1 400 8000 160000 3200000 64000000 1280000000 2.56E+10
∑ 231.8 -25.4 3101.84 47145.212 768326.145 13080405.1 229355837 4107152968 7.4712E+10
x f(x)
0.1 1.9
1.1 7.9
1.6 24.9
2.4 25.2
2.5 34.9
4.1 42.7
5.2 29.7
6.1 42.6
6.6 36.1
7.1 23.7
8.2 13
9.1 12.7
9.4 -3.1
11.1 -13
11.4 -28.7
12.2 -39.5
13.2 -48.6
14.1 -40.2
15.6 -51.6
16.1 -30.5
17.6 -34.6
17.9 -16.4
19.1 -13.4
20 -1.1

22. 22
xi*yi xi^2yi xi^3yi xi^4yi (yi-p1)^2 (yi-p2)^2 (yi-p3)^3 (yi-p4)^4
0.19 0.019 0.0019 0.00019 4.79690888 50.9354435 186.381109 66.5175592
8.69 9.559 10.5149 11.56639 85.3343645 217.166246 2180.47269 2481.32813
39.84 63.744 101.9904 163.18464 716.172415 1056.58268 28439.1635 237977.251
60.48 145.152 348.3648 836.07552 778.375304 1155.41834 31639.4529 114363.906
87.25 218.125 545.3125 1363.28125 1421.6011 1921.59345 71071.8034 575879.089
175.07 717.787 2942.9267 12065.9995 2225.96056 2898.2275 129204.114 517885.657
154.44 803.088 4176.0576 21715.4995 1248.37209 1782.80777 56315.3913 8367.59612
259.86 1585.146 9669.3906 58983.2827 2418.1843 3156.64102 139109.579 187266.677
238.26 1572.516 10378.6056 68498.797 1866.13417 2524.4671 94998.87 41161.5792
168.27 1194.717 8482.4907 60225.684 981.09981 1473.27853 37732.4688 36.3663633
106.6 874.12 7167.784 58775.8288 474.139121 829.223761 13040.6162 391.581911
115.57 1051.687 9570.3517 87090.2005 502.542681 860.353222 13555.1358 0.46362313
-29.14 -273.916 -2574.8104 -24203.2178 48.0485533 190.309728 562.878151 25648.9825
-144.3 -1601.73 -17779.203 -197349.153 1.41035897 27.5277411 -0.02072924 1171.4565
-327.18 -3729.852 -42520.3128 -484731.566 274.675689 104.85441 -3868.14207 108132.602
-481.9 -5879.18 -71725.996 -875057.151 704.125455 420.548932 -16961.9219 144671.296
-641.52 -8468.064 -111778.445 -1475475.47 1196.32192 841.965807 -38052.5662 81108.7532
-566.82 -7992.162 -112689.484 -1588921.73 637.318053 406.279114 -13863.1624 0.97860535
-804.96 -12557.376 -195895.066 -3055963.02 1230.18168 957.242352 -35867.6872 0.0008588
-491.05 -7905.905 -127285.071 -2049289.64 180.908098 93.612405 -1306.2307 230139.091
-608.96 -10717.696 -188631.45 -3319913.51 255.328278 179.787481 -1616.04626 8751.69299
-293.56 -5254.724 -94059.5596 -1683666.12 6.42748101 23.4485711 375.197175 318897.199
-255.94 -4888.454 -93369.4714 -1783356.9 46.134229 63.5329105 2474.40293 0.00723873
-22 -440 -8800 -176000 401.399068 411.612528 23574.4064 217533.977
-3252.81 -61473.399 -1013715.08 -16344198.1
24 20 3101.84 47145.212 768326.145 -25.4
20 3101.84 47145.212 768326.145 13080405.1 -3252.81
3101.84 47145.212 768326.145 13080405.1 229355837 -61473.399
47145.212 768326.145 13080405.1 229355837 4107152968 -1013715.08
768326.145 13080405.1 229355837 4107152968 7.4712E+10 -16344198.1
cuarta cubica cuadratica lineal
a0= -0.92659218 -3.67529226 -5.07235528 -0.18543712
a1= -0.51682018 -1.37961795 -1.64968804 -1.04747545
a2= 2.27563244 0.10958393 0.0416947
a3= -0.32454396 -0.00529242
a4= 0.01073661

23. 23
Tiene mejor
ajuste el de cuarto grado
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
FÓRMULAS PROGRESIVAS Y CENTRADAS
Los métodos para aproximar la derivada dependen de las
características del problema que se planteé, por ejemplo, intervalos
diferentes y sin orden se deberá utilizar la fórmula de diferencias
divididas, con datos igualmente espaciados se utilizará diferencias de
newton, pero Progresivas y finalmente una función conocida o x en
p1= -1.04748x-0.18544
p2= 0.041695x^2-1.64969x-5.07236
p3= -0.00529x^3+0.109584x^2-1.37962x-3.67529
p4= 0.010737x^4-0.32454x^3+2.275632x^2-0.51682x-0.92659

24. 24
la tabla de valores se emplean las fórmulas de diferencias centradas
o progresivas.
Formula de diferencias centradas:
Se basa en un parámetro, el tamaño de paso h y tiene la función de
encontrar una forma sencilla de combinar las aproximaciones.
𝑁𝑗(ℎ) = 𝑁𝑗−1 (
ℎ
2
) +
𝑁𝑗−1 (
ℎ
2
) − 𝑁𝑗−1(ℎ)
2 𝑗−1 − 1
EJEMPLO:
El voltaje E(t) en un circuito eléctrico obedece a la ecuación E(t)=
L(dI/dt)+RI(t) donde R es la resistencia I es la intensidad de la
corriente. Sean L=0.05 henrios, R=2 ohmios y los valores de la
intensidad I(t), en amperios, se muestra en la siguiente tabla
-Determinar I’(1.2) y emplear este valor para determinar E(1.2)
-Comparar la respuesta con el resultado exacto a partir de
𝑙( 𝑡) = 10𝑒−
𝑡
10 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
1. A partir de los datos que se dan se tienen que sacar alfa y alfa
cuadrado que se obtienen al sacar la diferencia entre lo i(t) y
luego las diferencias de los alfas
2. Después utilizamos la formula de progresivas
1
ℎ
(𝛥𝑓𝑖 −
1
2
𝑓𝑖) y
centradas
1
2ℎ
(𝑓𝑖+2 − 𝑓𝑖)
T 1 1.1 1.2 1.3 1.4
I(t) 8.2277 7.2428 5.9908 4.526 2.9122

25. 25
Sea la función 𝑓( 𝑥) = 4𝑥𝑙𝑛( 𝑥) +
cos(𝑥−3)
√1+𝑥2
-Estimar la derivada para x=1.5 con h=0.1, 0.005 y 0.025 empleando
las fórmulas de segundo grado progresivas y centrada.
-Tabular la función en el intervalo [0.5,2.3] con intervalos de h=0.1 y
estimar la derivada en cada punto; para [0.6,2.2] con diferencias
centradas.
-Para x=2.3, deducir la fórmula de derivación a partir de la formula
regresiva de Newton.
PROGRESIVAS:
T I(t) Δfi Δ^2Fi
1 8.2277 -0.9849 -0.2671
1.1 7.2428 -1.252 -0.2128
1.2 5.9908 -1.4648 -0.149
1.3 4.526 -1.6138
1.4 2.9122
Progresivas dif.Centradas
-13.903 -13.584
x f df d2f
1.5 0.03924 0.28669 -0.37152 = 0.47245
2.5 0.32593 -0.08484
3.5 0.24109
x f df d2f
1.5 0.03924 0.20239 -0.11810 = 0.52288
2 0.24163 0.08430
2.5 0.32593
x f df d2f
1.5 0.03924 0.11721 -0.03202 = 0.53286
1.75 0.15644 0.08519
2 0.24163

26. 26
DIFERENCIAS CENTRADAS:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
FÓRMULAS DEL TRAPECIO, SIMPSON 1/3 Y 3/8
El objetivo es aproximar la integral definida de f(x) en un intervalo
[a,b] evaluando f(x), en número finito de números, ya sea para una
función desconocida. Para deducir las fórmulas de integración se
construye un polinomio que pasa a través de puntos definidos por
una función la cual se integra para aproximar a la integral, lo principal
del método de la integración es que se desarrolla partir de valores
tabulados igualmente espaciados.
EJEMPLO:
El cuerpo de revolución que se muestra en la figura, se obtiene de
girar la curva dada por
x f(x) f'(x)
0.5 -0.71656
1.5 0.03924 0.52125
2.5 0.32593
x f(x) f'(x)
1 -0.29426
1.5 0.03924 0.53589
2 0.24163
x f(x) f'(x)
1.25 -0.11135
1.5 0.03924 0.53559
1.75 0.15644
x f(x) f'(x)
0.5 -0.71656
0.6 -0.63231 0.85365
0.7 -0.54583 0.86384
0.8 -0.45954 0.85293
0.9 -0.37525 0.82641
1 -0.29426 0.78891
1.1 -0.21747 0.74405
1.2 -0.14545 0.69455
1.3 -0.07856 0.64240
1.4 -0.01697 0.58898
1.5 0.03924 0.53527
1.6 0.09008 0.48195
1.7 0.13563 0.42947
1.8 0.17598 0.37817
1.9 0.21126 0.32827
2 0.24163 0.27995
2.1 0.26725 0.23334
2.2 0.28830 0.18856
2.3 0.30496

27. 27
𝑦 = 1 + (
𝑥
2
)2
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
Entorno al eje x. Calcular el volumen
𝑓( 𝑥) = 𝜋 ⌊1 + (
𝑥
2
)2
⌋
2
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
1. Entorno a la formula recursiva los primeros términos se hacen
bajo la fórmula del trapecio, despues con la de 1/3 y 3/8
∫ 𝜋 ⌊1 + (
𝑥
2
)
2
⌋
2
0
2
=
i x f(x)
1 0 3.141593
2 0.125 3.166184
3 0.25 3.240534
4 0.375 3.366369
5 0.5 3.546564
6 0.625 3.785146
7 0.75 4.087292
8 0.875 4.45933
9 1 4.908739
10 1.125 5.444146
11 1.25 6.075331
12 1.375 6.813224
13 1.5 7.669904
14 1.625 8.658602
15 1.75 9.7937
16 1.875 11.09073
17 2 12.56637
h=1 I(0)= 12.7627202
h= .5 I(1)= 11.9895938
h= .25 I(2)= 11.7940113
h=.125 I(3)= 11.7449718
Valor exacto 11.7286126
error de 0.00139482