Dinámica rotacional

2
UNIDAD
OBJETIVOS.
 Aplicar los resultados para la aceleración angular uniforme.
 Elaborar resúmenes, cuadros sinópticos, estructuras conceptuales y esquemas sobre los
temas tratados en dinámica rotacional.
 Definir desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular y aplicar estos
conceptos a la solución de problemas físicos.
 Definir el momento de inercia de un cuerpo y describir cómo esta cantidad y la velocidad
angular se puede utilizar para calcular la energía cinética rotacional.
 Establecer cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación y rotación a la
solución de problemas.
 Calcular el momento de inercia de un cuerpo rígido simétrico.
 Aplicar los principios de la dinámica a la rotación de un cuerpo rígido respecto a un eje
dado.
DINAMICA ROTACIONAL
TEMA 1. DINAMICA
ROTACIONAL.
1. Momento de Inercia.
2. Radio de Giro.
3. Segunda ley de Newton para
la Rotación.
4. Momento angular.
5. Actividad 08.
6. Ejercicios.
CONTENIDOS
Una patinadora cierra sus brazos y
sus piernas para aumentar la
velocidad angular.
La rapidez de una partícula de un
cuerpo depende de su distancia
perpendicular r , a su eje de
rotación y de w.

Dinámica Rotacional
Gustavo Salinas E. 70
Cuando usted quiere ir más rápido en una bicicleta, ejerce una gran fuerza sobre los pedales. La
rapidez de una bicicleta depende de la rapidez rotacional de las ruedas y los pedales. También
existe otra situación que deben haber observado a los patinadores, cierran sus brazos y piernas
para disminuir su radio, mientras que esto da lugar para aumentar la velocidad angular, y para
disminuir su velocidad angular abren sus brazos y de ésta manera aumentan su radio.
La velocidad angular de los pedales o del patinador en rotación crece no simplemente en
proporción a la fuerza aplicada, sino más bien en proporción a la torca neta. La torca es el
producto de la fuerza por el brazo de palanca (= distancia perpendicular del eje de rotación a la
línea de acción de la fuerza). Es decir: La aceleración angular de un cuerpo en rotación es
proporcional a la torca neta aplicada. Cuando un objeto está girando, tiene energía cinética
rotacional y momentum angular. El momentum angular y su conservación juegan un papel
importante y a menudo inesperado en el mundo real, como se verá después.
En este capítulo, estudiaremos los principios de la dinámica rotacional de cuerpos rígidos, como en
un cuerpo rígido las distancias entre las partículas son fijas, no tenemos que describir por
separado el movimiento de cada partícula. El movimiento del cuerpo se describe con la velocidad
de su centro de masa y su rotación respecto a un eje que pasa por el centro de masa.
3.0. DINÁMICA ROTACIONAL
En el capítulo anterior se expuso que los efectos que puede causar la aplicación de una fuerza sobre
un cuerpo son : deformación y/o traslación y/o rotación.
La dinámica de la traslación se estudió en base a la aplicación de
las Leyes de Newton, sin embargo con lo tratado anteriormente no
se puede todavía analizar dinámicamente que sucede con la
rotación.
Para el movimiento de rotación de los cuerpos rígidos, podríamos
establecer una ley semejante a la Segunda Ley de Newton del
Movimiento, la que originalmente se formuló para el movimiento
de traslación. En éste movimiento están aquellos en los que intervienen cuerpos rígidos que pueden
experimentar tanto movimientos de traslación como de rotación. El cuerpo rígido, de forma
perfectamente definida inalterable, es un modelo idealizado, pues los materiales reales siempre
experimental alguna deformación cuando actúan fuerzas sobre ellos, pero es un modelo útil en los
casos en que tales deformaciones son despreciables.
Igualmente que en el capítulo anterior, el movimiento de un cuerpo rígido puede siempre
representarse como una combinación del movimiento de traslación de algún punto del cuerpo y del
de rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto.
En efecto, si en el movimiento de traslación decimos que la fuerza es el producto de la inercia
(masa) por la aceleración traslacional, en el movimiento de rotación diremos que el torque será
igual al producto de su inercia por su aceleración rotacional o angular.

Pero en tanto que la inercia traslacional de un cuerpo es su masa, su inercia rotacional es una
expresión mucho más complicada, puesto que, para calcularla, tendremos que tomar en cuenta, no
solamente las masas de las diferentes partes que lo componen sino también sus distancias al eje de
rotación del cuerpo.
3.1. MOMENTO DE INERCIA.- Para determinar la relación entre estas magnitudes, imaginemos
una partícula de masa m debido a que se encuentra a una distancia r del eje
fijo. Por definición decimos que momento de inercia o inercia rotacional ( I
) de una partícula de masa (m) y que tiene como radio( r ), es igual al
producto de su masa por el radio al cuadrado.
I = mr2
El momento de inercia no depende únicamente de
valor de la masa de la partícula, sino que también
es función de la geometría (r), es decir de la
distribución (distancia) de la masa alrededor del
eje. Es decir que para una partícula hay tantos momentos de inercia, como
ejes respecto a los cuales se los calcula.
Si se tuviese un sistema de n partículas como la figura, el momento de
inercia respecto a un eje (O) es:
Io = m1r1
2
+ m2r2
2
+.............. + mnrn
2
=  miri
2
Donde ri es la distancia perpendicular de la partícula de masa mi hasta el eje
O.
Unidades : El momento de inercia es una magnitud escalar, cuyas unidades son las de una masa
multiplicadas por una de longitud elevada al cuadrado:
En el SI: m.r2
= I
l[kg].l[m2
] = 1 [kg.m2
]
En el CGS : m.r2
= I
l[g].l[cm2
] = 1 [g.cm2
]
Dimensiones :
I = m.r2
[I]=[M].[L2
]
[I] = [ML2
]
TABLA DE ALGUNOS MOMENTOS DE INERCIA DE CUERPOS SÓLIDOS
Cuerpo pequeño de
masa m y radio r, I =
mr2
.
Si el cuerpo no es
pequeño y tiene varias
masas, I = m1 r1
2
+
m2r2
2
+m3r3
3
+ ....

3.2. RADIO DE GIRO.- Dado un sistema de partículas, el radio de giro es la distancia L a un eje a
la cual una partícula de masa igual a la masa total del sistema tendría el mismo momento de inercia
que el sistema original, es decir:
I = m1r1
2
+ m2r2
2
+ ………….. + mnrn
2
= MRG
2
, de donde:
RG =
M
I
, y
M = m1 + m2 +.......... + mn = (masa total del sistema)
RG = Radio de giro.
3.3. SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA ROTACIÓN
Consideremos ahora de una forma más general la dinámica de rotación de un cuerpo rígido
alrededor de un eje fijo, es decir, la relación entre las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo que gira y su
movimiento. Esto se expresa mejor en función del momento de fuerza o torque o aplicado al
cuerpo y de su aceleración angular  . Esta formulación es muy similar a la relación F = ma para
una masa puntual.
F = m.a
Si multiplicamos a los dos miembros de la ecuación por el radio de rotación r, con lo que no se
altera la igualdad y se tiene:
Momentos de Inercia para
algunos objetos uniformes
con formas comunes.

F.r = m.a.r
El producto de la fuerza aplicada por el radio de rotación, es el momento de fuerza o torque o , de
la fuerza aplicada; además, de acuerdo con lo estudiado en el movimiento circular, la aceleración
tangencial es igual al producto de la aceleración angular por el radio, a = .r , sustituyendo estas
ecuaciones en la ecuación anterior se tiene:
 = m.r.r. = m.r2

De donde el producto de m.r2
es el momento de inercia I, entonces se tiene:
 = I. , ecuación conocida como Segunda Ley de Newton para la
rotación.
De lo anterior se concluye que el análogo rotacional de la fuerza es el torque, y el análogo
rotacional de la masa es el momento de inercia. Es decir el agente que causa exclusivamente la
traslación de un cuerpo es la fuerza y el agente que causa exclusivamente la rotación es el torque.
La oposición al cambio de estado en la traslación es la masa y quien cuantifica la oposición de un
cuerpo a la rotación es el momento de inercia.
La correlación entre la traslación y la rotación se representa en el siguiente cuadro:
TRASLACIÓN ROTACIÓN
Fuerza (F) Torque ( τ )
Masa (m) Momento de Inercia (I)
Aceleración (a) Aceleración angular ( α )
F = m.a  = I. ,
Para resolver situaciones donde interese la rotación de un cuerpo en un plano fijo se deben seguir
los mismos pasos mencionados en la dinámica de la traslación, y al aplicar la ecuación de la
segunda Ley de Newton, también hacerla con relación a la rotación.
El momento de inercia, dependiendo del caso se lo puede calcular u obtener de tablas.
3.4. MOMENTO ANGULAR
Se define momento angular o momento cinético de una partícula de masa m y velocidad v con
respecto a un punto O, a la cantidad:
L = m.r.v , pero v es igual al producto de la velocidad angular por el radio,
entonces se tiene:
L = m.r.w,r. = m.r2
.w = I.w.
Unidades : El momento angular es una magnitud vectorial, cuyas unidades son las de una masa
multiplicadas por una de longitud elevada al cuadrado dividido por segundo.

En el SI: I.w2
= L
l[kg].l[m2
] /1[s] = 1 [kg.m2
]/1[s]
En el CGS : I.w2
= L
l[g].l[cm2
/1[s] = 1 [g.cm2
]/1[s]
Dimensiones :
L= I.w2
[L]=[M].[L2
]/[T]
[L] = [ML2
T-1
].
ACTIVIDAD N°- 08
CONTESTE:
1.- ¿A qué se llama momento de Inercia de un cuerpo, de qué depende su valor y en qué unidades
se mide?.
2.- Escriba el enunciado de la Segunda Ley de Newton del movimiento aplicada a la rotación.
3.- ¿En qué consiste el momento angular, cuál es su ecuación y en qué unidades se mide?.
4.- ¿Cuáles son las características del vector que representa el momento angular?.
COMPLETE:
5.- De acuerdo a la Segunda Ley de Newton del Movimiento aplicada a la rotación, el torque o
momento de fuerza es a la aceleración angular del cuerpo que se trata, por su ...................................
6.- El momento de Inercia depende de la distribución de la masa del cuerpo de que se trate y la
distancia a que se encuentre ésta del ..................................................................
7.- La oposición de un sólido al movimiento de rotación se cuantifica a través del
.......................................................
8.- El momento de inercia de cualquier cuerpo puede expresarse como I = M.k2
donde M es la masa
de éste y k es ............................................................
9.- La aceleración angular que recibe un cuerpo al que se le aplica un torque, es igual a dicho torque
dividido entre su .................................................................
 Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado
los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá
realizarlas sin un adecuado conocimiento.
 En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más
ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán
establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.

10.- Al estudiar la rotación, el papel que representa en la traslación la fuerza, lo representa
...................................................................................
11.- La masa de un cuerpo en traslación representa lo mismo que ....................................... en
rotación.
ANALICE:
12.- Si Usted Señor estudiante se para a determinada distancia, conocida, de la Estatua de la
Libertad. Describa cómo podría determinar su altura, sin moverse de su lugar, empleando sólo una
cinta métrica.
13.- Una esfera maciza, un cilindro macizo y un aro delgado, todos con el mismo diámetro, ruedan
por un plano inclinado. ¿Cuál llega primero al final del plano inclinado?¿Cuál llega al último?.
14.- Dos planos inclinados tienen la misma altura, pero forman distintos ángulos con la horizontal.
La misma bola de acero se rueda por cada uno de ellos. ¿En cuál de los planos será mayor la
velocidad de la bola al llegar al final?. Explique la respuesta.
15.- Un tipo nuevo de montaña rusa, en donde los pasajeros
efectúan un rizo, tiene una vía en forma de gota invertida, como
se ve en la figura, en vez de ser circular. Explique por qué el
radio corto de curvatura está arriba del rizo y el radio largo cerca
de la parte inferior, para con ello aumentar la seguridad de los
pasajeros cuando se encuentran de cabeza, en la parte superior.
1.- Tres masa de 2, 3 y 4 kg respectivamente se fijan en los vértices de un triángulo equilátero ABC
de 2 m de lado. Determinar el momento de inercia del sistema respecto a:
a) Un eje que pase por un lado de un triángulo.
b) Un eje que pase por la altura del triángulo.
c) Un eje perpendicular al plano del triángulo que pase por su centro.
d) Un eje que pase por un vértice del triángulo y vertical al mismo.
e) El radio de giro de todo el sistema.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
2.- Hállese el momento de inercia de una barra de 4 cm de diámetro, 2 m de longitud y 8 kg de
masa,
a) respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa por su centro.
b) respecto aun eje perpendicular a la barra y que pasa por un extremo.
EJERCICIOS DE APLICACION

3.-Una piedra de esmeril de masa 1 kg y radio 15cm. está rotando con una velocidad angular de 360
rev/min, cuando el motor se apaga. Qué fuerza tangente a la rueda debe aplicarse, para que se
detenga luego de 20 rev. (el momento de inercia de la piedra es ½.m.r2
).
4. ¿Cuál es la aceleración tangencial de un punto A de una rueda de radio
0,5 m y de momento de inercia I = 5 kg.m2
, cuando se aplica una fuerza
tangencial de20 N?.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION
ANALISIS
5.- Sobre un cilindro macizo radio de 2 m y de masa M = 8 kg, está enrollada
una cuerda que se desenrolla por medio de un cuerpo de m = 5 kg como muestra
la figura. Partiendo del reposo desciende 3 m, determinar:
a) La aceleración tangencial de un punto de la cuerda.
b) La tensión de la cuerda.
c) La aceleración angular de la rueda.
d) La velocidad final de un punto de la cuerda.
e) La velocidad angular final de la rueda.
f) La aceleración centrípeta final de un punto del borde de la rueda.
g) El momento de inercia del cilindro con respecto a su eje de rotación.
h) La distancia que desciende el cuerpo de masa m.
O
r
F
m

O

6.- En el sistema de la figura, el cuerpo A de masa 20 Kg, cuyo
coeficiente de rozamiento es de 0,2 está unido a otro cuerpo B de
masa 30 kg, que pasa por una polea de masa M = 5 kg y de radio
0,8 m. Si el cuerpo B desciende una altura de 2 m, partiendo del
reposo, determinar:
a) La aceleración del bloque B, si el sistema se abandona
partiendo del reposo.
b) El tiempo en el que el bloque B desciende 2 m, después de ser
abandonado del reposo.
c) Las tensiones de las cuerdas en las secciones horizontal y
vertical.
d) La velocidad de la partícula, después de descender los 2 m de altura.
7.- La figura representa una máquina de Atwood. Sean 4 kg y 2 kg las masas
de los bloques A y B, respectivamente, 0,2 kg . m2
el momento de inercia de la
polea respecto a su eje, y 0,1 m el radio de la polea. Hállense:
a) Las aceleraciones lineales de los bloques A y B.
b) La aceleración angular de la polea C.
c) La tensión en cada lado de la cuerda,
d) La velocidad del bloque B cuando asciende durante 2 s, si parte del reposo.
e) La altura que asciende el bloque B.

8.- Un bloque de masa m = 5 kg desliza por una superficie inclinada
37° con la horizontal, como indica la figura 9.28. El coeficiente
cinético de rozamiento es de 0,25. Se enrolla una cuerda unida al
bloque alrededor de un volante cuyo eje fijo pasa por O. El volante
tiene una masa M = 20 kg, un radio exterior de r = 0,2 m y un
momento de inercia respecto al eje de 0,2 kg.m2
.
a) ¿Con qué aceleración desliza el bloque por el plano?.
b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO
SOLUCION ANALISIS
1.- En el sistema de la figura, las varillas rígidas que forman el
cuadrado tienen masas despreciables y las masas ubicadas en los
vértices se consideran puntuales, calcular:
a) El momento de inercia del sistema y su radio de giro respecto a
los ejes AB, BC, y BD.
b) El momento de inercia respecto a un eje perpendicular al plano
del cuadrado que pase por el centro O.
R. a) 20 Kg.m2
; 16 Kg.m2
; 6 kg.m2
. b) 2 kg.m2
.
2.- Tres partículas, cada una de masa m están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de
lado a. ¿Cuál es el momento de inercia de las tres masas con respecto al eje de simetría? Si las
masas son de 1, 2 y 3 kg respectivamente y si a = 1 m, ¿cuál sería el momento de inercia con
respecto al mismo eje?.
R. I = ma2
; I = 2 kg . m2
.
3.- La varilla de la figura tiene una masa de 2 kg y una longitud de 1 m;
está articulada en A y es sostenida en posición horizontal. Si se suelta la
varilla, cuál es la aceleración angular inicial de ésta.
R. 9,8 rad/s2
.
4.- Un bloque de masa m1 que se encuentra sobre un plano horizontal sin rozamiento está unido
mediante una cuerda que pasa por una polea de radio r y de momento de inercia I, a un bloque
EJERCICIOS PROPUESTOS
3 kg
2 kg
2 kg
1 Kg
2 m
O
A

suspendido de masa m2 en reposo. Calcular la velocidad de cualquier bloque cuando el bloque m2
ha bajado una altura h. Hacer este problema aplicando la segunda ley de Newton.
R.
221
22 2
r
I
mm
hgm
v


5.- Un volante de 100 kg y cuya masa se puede considerar a 1 m del eje de rotación, adquiere al
cabo de 10 s una velocidad de 5 rev/s. Calcular el momento de las fuerzas aplicadas. R 314 N.m.
6.- Una rueda montada en un eje tiene un momento de inercia de 10 kg.m2
y se encuentra girando a
1800 rpm. La rueda es frenada uniformemente y llega a detenerse luego de 10 s. Hallar:
a) La aceleración angular de la rueda.
b) El módulo del torque aplicado para frenar la rueda.
R. a) – 0,5 rad/s2
. b) – 5 N.m.
7.- Una polea de 50 cm de diámetro y 20 kg de masa está montada sobre un eje
horizontal sin fricción. Se suspende mediante una cuerda enrollada en su borde un
bloque de 500 g, y al soltarla ésta desciende 3 m en 2 s. Calcular:
a) La aceleración del bloque
b) El radio de giro de la polea
R. a) 1,5 m/s2
; b) 0,0092 m.
8.- Un cubo de agua de 20 kg de masa está suspendido de una cuerda enrollada a un
torno que tiene forma de cilindro macizo de 0,2 m de diámetro, y también de 20 kg
de masa. Se suelta el cubo partiendo del reposo desde la boca de un pozo y cae 20 m hasta alcanzar
la superficie del agua.
a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda mientras cae el cubo?
b) ¿Con qué velocidad choca el cubo con el agua?
c) ¿Cuánto tiempo dura el descenso? Despréciese el peso de la cuerda.
R. a) 65,3 N; b) 16,2 m/s; c) 2,47 s.
9.- Dos masas m1 = 5 kg y m2 = 8 kg están unidas mediante un hilo delgado que
pasa por una polea de 30 cm de radio y tienen un momento de inercia de 2
kg.m2
. Despreciando la masa del hilo y la fricción en el apoyo de la polea.
Determinar:
a) La aceleración de cada masa
b) La tensión en la cuerda, en cada lado de la polea.
R. a) 0,835 m/s2
, b) 53,2 N y 71,7 N.
10.- Un cuerpo de 12 kg se encuentra sobre el plano inclinado de
la figura. El cuerpo está atado a una cuerda delgada que está
enrollada en un cilindro homogéneo de 5 kg de masa y 20 cm de
radio. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano
indinado es u = 0,2 y el sistema parte del reposo, calcular la
aceleración de la masa.
R. a) 4,95 m/s2
.
11.- Una masa de 5.00 kg está sostenida por un plano inclinado sin
fricción, como se muestra en la figura. La masa está fija a una
cuerda delgada que está enrollada en un cilindro homogéneo de
4.00 kg de masa y 30.0 cm de radio. El sistema está en reposo.
Calcule la aceleración de la masa.
R. a) 4,2 m/s2
.
500 g
5kg
kg
8kg
kg

12.- En el sistema de la figura el momento de inercia de la rueda es 10 kg.m2
. Hallar:
a) La aceleración del bloque de masa M, si el sistema se
abandona partiendo del reposo.
b) El tiempo en que el bloque M desciende una
distancia de 1 m, después que es abandonada en reposo.
c) La tensión de la cuerda en la sección horizontal y el
la sección vertical.
R. a) 0,852 m/s2
; b) 1,53 s; c) 213,04 N, 10 N.
13.- Para el sistema que se muestra en la figura, m1 =
8.0 kg, m2 = 3.0 kg,  = 30° y el radio y la masa de la
polea son 0.10 m y 0.10 kg, respectivamente.
a) ¿Cuál es la aceleración de las masas?.
b) Si el torque de la polea es constante de 0.50 N.m
cuando el sistema está en movimiento, ¿cuál es la
aceleración?.
R. a) 0,89 m/s2
; b) 0,44 m/s2
.

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