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Solucionario 5to secundaria
- 1. Quinto Año de Secundaria
Solucionario
quinto año de educación secundaria
-1-
- 2. CAPÍTULO 2
ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36)
Factorial de un número
NIVEL I Resolución 7
1 (n + 3 )!
Resolución 1 · = 10
3 (n + 1)!
E = (n + 2)! – 2(n+1)!
(n + 3)! = 30(n + 1)!
E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2]
(n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)!
∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D
(n + 3)(n + 2) = 30
Resolución 2
∴ n=3 Rpta.: B
7! − 2 × 5! 7 ·6 ·5! − 2·5! 7·6· 5 ! − 2· 5 !
M= = =
6! − 10 × 4! 6·5! − 2·5·4! 6· 5 ! − 2· 5 ! Resolución 8
42 − 2 (x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880
M=
6−2
(x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880
∴ M = 10 Rpta.: E
(x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880
Resolución 3 (x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880
1 1 1 1 (x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72
E= = = =
4!+ 3! 4· 3!+ 3! 3!(4 + 1) 3!· 5
x–1=5
4 4
E= = Rpta.: E ∴ x=6 Rpta.: B
3!· 4 · 5 5!
Resolución 9
Resolución 4
1 1 (n + 1) 1 (x − 1)! (x + 2 ) = 5
E= − = − x! 3
n! (n + 1)! n!(n + 1) (n + 1)!
n +1 1 n + 1− 1
3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)!
E= − =
(n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! 3x + 6 = 5x
E=
n ∴ x=3 Rpta.: B
∴ (n + 1)!
Rpta.: D
Resolución 10
Resolución 5
(n + 1)!− n! = (n + 1)n!− n! = n![n + 1− 1] m!(n + 1)! m!(n + 1) n!
R= E= =
(n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! (m + 1)! n! (m + 1)m! n!
n!n n!· n · n n! n2 n+1
R= = = ∴ E= Rpta.: B
(n − 1)! n(n − 1)! n! m+1
∴ R = n2 Rpta.: B Resolución 11
Resolución 6 11!+10!+ 9! 11· 10· 9· 8!+10· 9· 8!+ 9· 8!
R= =
(n + 2)! = 6 (n + 2)(n + 1)n! = 6 121· 8! 121· 8!
à
n! n! 11 10· 9 + 10· 9 + 9
·
R=
(n + 1)(n + 2) = 6 121
Resolviendo:
∴ R=9 Rpta.: B
∴ n=1 Rpta.: A
-2-
- 3. Quinto Año de Secundaria
Resolución 12 Resolución 3
(n + 1)! (n + 3 )! (n + 2)! − n n + 3 + (n − 2)!
2 − =6 P= ( )
n! (n + 2)!
n! (n − 3)!
(n + 2)(n + 1)n! − n n + 3 + (n − 2)(n − 3)!
2· (n + 1)n! (n + 3)(n + 2)! = 6 P= ( )
− n! (n − 3)!
n! (n + 2)!
P = n2 + n + 2n + 2 − n2 − 3n + n − 2
2n + 2 – n – 3 = 6
∴ P=n Rpta.: C
∴ n=7 Rpta.: C
Resolución 4
Resolución 13
( x − 5)! 2 ( x − 4 )!
(x + 6 )! − (x + 2)! = 44 =
( x − 3)! ( x − 2)!
( x + 4)! x!
( x − 5)! 2 ( x − 4 )!
( x + 6 )(x + 5)( x + 4)! − (x + 2)( x + 1) x! = 44 =
( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5)! (x − 2) ( x − 3 ) (x − 4 )!
(x + 4 )! x!
1 2
(x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 44 = x–2 = 2x – 8
x−4 x−2
8x + 28 = 44
∴ x=6 Rpta.: D
∴ x=2 Rpta.: D
Resolución 5
Resolución 14
( x − 2)!+ (x − 1)! = 720
(n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2 x
(n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2 (x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x
(n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2 (x–2)!(1+x–1) = 720 x
[(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n (x–2)! = 6! x–2= 6
[(n–1)!]2[n] = 36n ∴ x=8 Rpta.: B
(n–1)! = 6
(n–1)! = 3! Resolución 6
(n – 1) = 3 (n + 4)! − (n + 3)! = 25
∴ n=4 Rpta.: C (n + 2)! (n + 2)!
(n + 4 )(n + 3 )(n + 2 )! − (n + 3 )(n + 2 )! = 25
NIVEL II (n + 2 ) (n + 2 )!
n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25
Resolución 1
n2 + 6n + 9 = 25
n!
R= − n2 ∴ n=2 Rpta.: C
(n − 2)!
n (n − 1)(n − 2)! Resolución 7
R= − n2 = n2 − n − n2
(n − 2)!
A=
(n + 1)!+ n! (2n + 3)!
∴ R = –n Rpta.: D
(2n + 1)!+ (2n + 2)! (n + 2)!
Resolución 2
A=
(n + 1)n!+ n! (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)!
·
(2n + 1)!+ (2n + 2)(2n + 1)!
(n + 2)(n + 1· n!
)
n (n + 1)!− n! n (n + 1) n!− n! n· n!(n + 1− 1)
M= = =
(n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! =
n! n + 2
·
( 2n + 3 )(2n + 2) (2n + 1)!
(2n + 1)! 2n + 3
( n + 2 )(n + 1)n!
n· n· n! n· n· n (n − 1)!
M= =
(n − 1)! (n − 1)! 2 (n + 1)
=
n +1
∴ M = n3 Rpta.: C
∴ A=2 Rpta.: B
-3-
- 4. Resolución 8 (13· 12)2 (11!)2 13· 12· 11 10!
·
−
(n + 7 )! ⋅ (n + 5 )! = 10! 2
(12 + 1) (11!) 2 10! (1+ 11)
(n + 6 )!+ (n + 5 )!
(13· 12)2 − 13· 12· 11
(n + 7)!(n + 5)! = 10! (13 )2 12
(n + 6) · (n + 5)!+ (n + 5)!
(12)2 – 13· 11
(n + 7 )! (n + 5)! = 10!
(n + 5)! [n + 6 + 1] ∴ 1 Rpta.: A
Resolución 12
(n + 7)(n + 6)! = 10! (n + 6)! = 10! (119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!)24
(n + 7 )
(119! 5!)x!! = (5!!)23!· 24
n + 6 = 10
(119! 120)x!! =(5!!)24!
∴ n=4 Rpta.: E
(120!)x!! = (5!!)24!
Resolución 9 (5!!)x!! = (5!!)24!
R=
(a!!+ 2)!− 2(a!!+ 1)! = (a!!+ 2)(a!!+1)!− 2(a!!+ 1)! x!! = 24! x!! = 4!!
(a!!+ 1)! (a!!+ 1)! ∴ x=4 Rpta.: B
R=
(a!!+ 1)! (a!!+ 2 − 2) Resolución 13
(a!!+ 1)!
5 5 5
∴ R = a!! Rpta.: B = =
5!+ 4!+ 3! 5· 4· 3!+ 4· 3!+ 3! 3!(20 + 4 + 1)
Resolución 10 5 1 4 4
= = = Rpta.: D
E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!! 3!· 25 3· 2· 1 5 5· 4· 3· 2· 1 5!
·
E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!!
E = (n!!–1)! n!! – n!!! Resolución 14
E = n!!! – n!!! (n + 2)! = 5+
(n + 12)!
∴ E=0 Rpta.: C n! (11+ n)!
Resolución 11 (n + 2)(n + 1)n! = 5 + (n + 12)(n + 11)!
(13!)2 13! n! (n + 11)!
2
−
2 10!+ 11!
(12!) + 2 (12!11!) + (11!) (n+2)(n+1) = 5+n+12
(13!)2 − 13! n2 + 3n+2 = 5+n+ 12
(12!+ 11!)2 10!+ 11! n2 + 2n = 15
∴ n=3
(13· 12· 11!)2 − 13· 12· 11· 10!
(12· 11!+ 11!)2 10!+ 11· 10! ∴ Suma valores = 3 Rpta.: C
ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46)
NIVEL I
Resolución 2
Resolución 1
5 pantalones 3 blusas
N° maneras = 5 × 3
N° maneras = 6 × 4
∴ N° maneras = 15 Rpta.: C
∴ N° maneras = 24 Rpta.: D
-4-
- 5. Quinto Año de Secundaria
Resolución 3 Resolución 9
m 5
...................← Personas
V2 = 20
5
--------------- ← asientos
m! m (m − 1) (m − 2 )! N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1
= 20 = 20
( m − 2 )! (m − 2)! ∴ N° maneras = 120 Rpta.: C
m(m–1) = 4 × 5
∴ m=5 Rpta.: C Resolución 10
Resolución 4
A B C D ← asientos
N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3
Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta-
∴ N° maneras = 360 Rpta.: B
mos.
N° maneras = 4!
Resolución 5
∴ N° maneras = 24 Rpta.: B
3 : anillos:
4 : dedos
N° maneras = 4· 3· 2 Resolución 11
∴ N° maneras = 24 Rpta.: C N = a b c d > 6000
6523
Resolución 6 N° maneras = 1· 3· 2· 1
10 : amigas ∴ N° maneras = 6 Rpta.: D
6 : invitadas Resolución 12
10· 9· 8· 7
N° maneras = C10
6 = 8· 7· 6· 5
1 2· 3· 4
· C8 =
4
1 2· 3· 4
·
∴ N° maneras = 210 Rpta.: B ∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: B
Resolución 7 Resolución 13
n N = abc
= 15
4 números: {1; 2; 3; 4; 5}
n (n − 1)(n − 2 )(n − 3 ) N° maneras = 5· 4· 3
= 15 ∴ N° maneras = 60 Rpta.: D
1 2· 3· 4
·
n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3
Resolución 14
∴ n=6 Rpta.: B n + 1 n
: ... (1)
n n − 1
Resolución 8
Entonces:
x x
C5 + C6 = 28 n + 1 n + 1 n + 1
= = = n+1
C5 + C6 = C6 +1 = 28
x x x n n + 1− n 1
( x + 1) x (x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 28 n n n
1 2· 3· 4· 5· 6
· = = =n
n − 1 n − (n − 1) 1
(x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3 En (1):
∴ x=7 Rpta.: C n+1
∴ Rpta.: D
n
-5-
- 6. Resolución 15 Resolución 7
x
C5 = 21 p + q (p + q)! = (p + q)!
=
p p! (p + q) − p !
p! q!
x (x − 1)(x − 2)(x − 3 )(x − 4 )
= 21
1 2·3· 4· 5
· Además:
x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3 p + q p + q p + q
= =
∴ x=7 Rpta.: E q (p + q) − q p
∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B
NIVEL II
Resolución 1 Resolución 8
4 : biólogos → se escogen 2
3 : químicos → se escogen 2
De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminos 5 : matemáticos → se escogen 3
De venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminos
N° maneras = 9· 9 = 81 N° maneras = C4 · C3 · C5
2 2 3
Quitamos los 9 caminos de ida.
N° maneras = 81 – 9
4·3 3·2 5·4·3
∴ N° maneras = 72 Rpta.: B N° maneras = 1· 2 · 1· 2 · 1· 2 · 3
Resolución 2 ∴ N° maneras = 180 Rpta.: C
N° maneras = 7· 6 · 5
∴ N° maneras = 210 Rpta.: D Resolución 9
x
Resolución 3 = 0 ..... (1)
10
Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Se sabe que:
N = a bc d e m
↓ ↓↓ ↓ ↓ =0 ⇔ m<n ∧ m>0
98765 n
N° formas = 9· 8·7· 6· 5 En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
∴ N° formas = 15120 Rpta.: C
Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9
Resolución 4 ∴ Producto: 9! Rpta.: D
L I B R O → 5 letras
N° palabras = 5!
Resolución 10
∴ N° palabras = 120 Rpta.: B
n + 1 n n n + 1
−
Q= + + +
Resolución 5 2 1 n − 1 n − 1
25· 24 Se sabe que:
C25 =
2
12
·
m m
=
∴ N° partidos = 300 Rpta.: D n m − n
n + 1 m + 1
n n n
Resolución 6 = y =
n − 1 2 n − 1 1
N° diagonales = C8 − N° lados Luego:
2
n + 1 n (n + 1)n
8 ·7 Q = 2 + = 2 + n
N° diagonales = 1· 2 − 8 2 1 12
·
∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B ∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B
-6-
- 7. Quinto Año de Secundaria
Resolución 11 Resolución 12
n n −1
+ = 99
n + 1 n − 2
Se sabe que:
m
=0 ⇔ m < k N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1
k
∴ N° maneras = 120 Rpta.: E
n
=0
n + 1 Resolución 13
Luego: 3 : entradas → se toma 1
n −1 n −1 3 : de fondo → se toma 1
0+ = 99 = 99
n − 2 (n − 1) − (n − 2) 5 : postres → se toma 1
3 3 5
N° maneras = C1 · C1 · C1
n − 1
= 99 n – 1 = 99
1 N° maneras = 3· 3· 5
∴ n = 100 Rpta.: D ∴ N° maneras = 45 Rpta.: A
BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53)
NIVEL I
Resolución 1
A) (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5
= x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5
B) (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 +
7(1)(3a)6 + (3a)7
=1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7
C) (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b 4 – 462(1)6b5 +
462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11
= 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9
+ 11b10 – b11
6
1 6 5 -1 4 -1 2 3 -1 3 2 -1 4 -1 5 -1 6
D) x − x = x – 6(x) ·(x ) + 15(x) (x ) –20(x) (x ) + 15(x) (x ) – 6(x)(x ) + (x )
= x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6
4
2 1
E) z + 2 = (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4
z
=z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8
6
3 x3
F) 4− = (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 +
x 4
15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6
−24 729 −17 1215 −10 135 −3 135 4 9 11 1 18
= 729x − x + x − x + x − x + x
2 16 16 256 512 4096
-7-
- 8. Resolución 2 Resolución 3
11 A) (2x – y)4
A) (x – y)11 ; t7 = t6+1 = x11−6 y6
6 4 1
coef(t2) = coef(t1+1) = 1 2 (−1)
3
∴ t7 = 462x5y6
∴ coef(t2) = – 32
21
B) (a + b)21 ; t5 = t4+1 = a21− 4b4 B) (3a + b)6
4
∴ t5 = 5985 a17 b4 6 4 2
coef(t3) = (3 ) (4 ) = 19440
10 10 −9 9
2
1 1 10 1 −1
C) a − b ; t10 = t9+1 = b
9 a x 2 y2
10
C) −
y x
∴ t10 = – 10a-1 b-9
10 10−8
8
2 2
7
7 2 7 − 7 −2
7
coef(t9) = coef(t8+1)= 10 (1) ( −1)8 = 45
D) x y − 2
xy
; t8 = t7+1 = 7 x y
( ) 2
xy
8
D) (–a + 12)5
∴ t8 = –128x-7y-14 5 5−4
coef(t5) = coef(t4+1) = 4( −1) (12)4 = −5·124
10
10−10
E) (2a – b)10 ; t11 = t10+1 = 10 (2a ) ( −b )10
E) (p 2 v 2 –1)14
∴ t11 = b10
14
coef(t8) = coef(t7+1) = 7 (1)14-7(–1)7 = –3432
4 1
1 4 4 −1 −1
F) 1− ; t2 = t1+1 = (1)
xyz 1 xyz F) (2x2y + xy3)8
8
∴ t2 = –4x-1y-1z-1 coef(t5) = (2)8-4 (1)4 = 1120
4
Resolución 4
5
2 1
( )
5
2 −1
3x − x = 3x − x
5
2 1 2 5 2 4 -1 2 3 -1 2 2 2 -1 3 2 -1 4 -1 5
3x − x = (3x ) – 5(3x ) (x ) + 10(3x ) (x ) – 10(3x ) (x ) + 5(3x )(x ) – (x )
5
2 1 10 7 4 -2 -5
3x − x = 243x – 405x + 270x – 90x + 15x – x
A) coef(t4) = –90
B) t3
C) No existe el término independiente de x:
Resolución 5
Nos piden:
2
12 (x)3k-24 = x-3 3k – 24 = –3 k=7
3
2 − 3xy
x y
(
= 2x y −2 −1
− 3xy )
3 12
Luego:
tk+1 = t7+1 = t8
12−k
12 2
(−3xy3 )
k
A) tk+1 = k 2 12
x y
B) tk+1 = k (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
12 (y)4k-12 = y12 4k – 12 = 12 k=6
tk+1 = k (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
∴ tk+1 = t6+1 = t7
-8-
- 9. Quinto Año de Secundaria
12 3 3 −k
C) tk+1 = k (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12 = k (3 ) (−1)k (q)15−6k
(x)3k-24 = x0 3k – 24 = 0 k=8 (q)15-6k = q9 15 – 6k = 9 k=1
∴ tk+1 = t8+1 = t9 3 3 −1 1 15−6·1
t1+1 = (3 ) ( −1) (q)
12 1
D) tk+1 = k (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
∴ t2 = –27q9
y4k-12 = y0 4k – 12 = 0 k=3
Resolución 7
∴ tk+1 = t3+1 = t4
( )
10
2x+ 3
Resolución 6
10
(2p + q)11
( ) ( ) ( ) ( 3)
A) 10 10 9
2 x+ 3 = 2x + 2x
11 1
tk+1 = k (2p)11-k(q)k
10
( ) ( 3)
8 2
+ 2x
qk = q9 k=9 2
11
( )
10
tk+1 = t9+1 = t10 = 9 (2p)11-9(q)9 ∴ 2 x+ 3 = 32x10 + 160 6 x9 + 2160x8 + ...
∴ t10 = 220 p2q9
Resolución 8
10
1
B) q− (1 + 3x2)6
pq
6
(3x2 ) 6 k
6 −k k 2k
10 −1
k tk+1 = k (1) = (3 ) ( x )
tk+1 = q10−k k
k pq
6 0 2·0
10 k −k 10− 2k t0+1 = 0 (3 ) (x ) t1 = 1
= (−1) (p ) (q)
k
(q)10-2k = q9 10 – 2k = 9 6 6 2·6
t6+1 = 6 (3) ( x ) t7 = 729x12
1
k=
2 Luego:
t1 · t7 = 1· 729x12
Como k ∈
∴ Producto de los coeficientes = 729
∴ No existe el término
C) (p2 – q3)7
NIVEL II
7 2
( ) ( )
7 −k k
tk+1 = k p −q3
Resolución 1
7 k 14 −2k (x – 3y)5
= ( −1) (p ) (q)3k
k
5 5− 5
(q)3k = q9 3k = 9 k=3 t6 = t5+1 = 5 (x ) (−3y )5
Luego:
∴ t6 = – 243y5 Rpta.: D
7 3 14− 2·3
t3+1 = 3 (−1) (p) (q)3·3
∴ t4 = –35p8 q9 Resolución 2
3 (2 – x)11
5 1
D) 3q − 11 11− 7
q
t8 = t7+1 = 7 (2) ( −x )7
k
3
( )
3 −k −1
tk+1 = 3q
5 t8 = –5280x7
k q
∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D
-9-
- 10. Resolución 3 Resolución 8
n
(2a + b)5 2 x
+
x 2
5 5−1 1
t2 = t1+1 = (2a ) (b ) = 80 a b
4 n−k K
n 2 x n n− 2k
1 tk+1 = 2 = k ( 2) ( x )2k −n
k x
∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C Para el término independiente:
(x)2k-n = x0 2k – n = 0 n = 2k
Resolución 4 Pero: k + 1 = 4 k=3
7 Entonces: n = 2· 3 n=6
y
3x − Luego: tk+2 = t3+2 = t5
2
La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos 6 6−8 8−6 15 2
t5 = ( 2 ) (x ) = x
∴ No hay término central Rpta.: E 4 4
15
Resolución 5 ∴ coef(t5) = Rpta.: C
4
(2x – y)6
6 6− 3 Resolución 9
t4 = t3+1 = (2x ) ( −y )3
3
13
3 x2 1
∴ t4 = –160x3 y3 Rpta.: D +5
2
x
Resolución 6
( ) (x )
13 − k k
tk + 1 = ( 13 ) 2 −1 x 3
4 2 1
−
1 5
x − 2
k
x
26 13k
k 13 k −13 −
4 4 −k −1 4 k 4 −3k tk+1 = ( 2) ( x ) 3 15
tk+1 = ( x ) 2 = ( −1) ( x )
k x k k
Del dato: El término indenpendiente:
26 13k
4 − 0 26 13k
x4-3k = x0 4 – 3k = 0 k=
3 (x ) 3 15 =x − =0 k = 10
3 15
Como k ∈ tk+1 = t10+1 = t11
∴ No hay término independiente Nos piden el t10 k=9
26 13·9
Rpta.: E 13 9−13 −
t10 = ( 2) (x ) 3 15
Resolución 7 9
(2x – 1)5 13
715 15
5 5 −k k 5 5 −k k 5 −k ∴ t10 = x Rpta.: A
tk+1 = (2x ) ( −1) = (2 ) ( −1) ( x ) 16
k k
Resolución 10
5 5− 2 2 5− 2
t3 = t2+1 = (2 ) ( −1) ( x ) = 80x 3 120
2 1
x +
x
5 5−4
t5 = t4 + 1 = (2 ) ( −1)4 (x )5−4 = 10x 120 120−k 1 120 120−2k
k
4
tk+1 = (x ) x = k x
k
t3
= 72 80x 3
Luego: = 72
t5 10x Como es de grado 100
∴ Rpta.: C 120 – 2k = 100 k = 10
x = ±3
∴ tk+1 = t10+1 = t11 Rpta.: E
- 10 -
- 11. Quinto Año de Secundaria
Resolución 11 Resolución 12
9 (1 + x)3n
2 0,5
0,4x + x
3n 3n−k k 3n k
tk+1 = (1) (x ) = x
9 −k 0,5 k
k k
9
(
tk+1= 0,4x
k
2
) x
3n k +1
tk+2 = x
9 9− 2k k − 9 18− 3k k + 1
= (2 ) (5 ) ( x )
k 3n 2k −4
t2k-3 = x
Término independiente: 2k − 4
(x)18-3k = x0 18 – 3k = 0 k=6 Como los coeficientes son iguales se tiene:
9 9 −2·6 6 −9 18 −3·6 3n 3n
Luego: t6+1 = ( 2) ( 5) ( x ) = (k + 1) + (2k – 4) = 3n
6 k + 1 2k − 4
3k – 3 = 3n
t7 = 0,084 Rpta.: C
∴ k = n+1 Rpta.: A
BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO
Pág. 58
Resolución 5 1 1 1
2 2 − 1 2 − 2
1
t4 = 32x = 1 ⋅ 32x
(1− 2x ) 5 1· 2· 3 16
1 1
t5 1
= T4 +1 = 5 (1)5 −4 ( −2x )4 = 5 4
4
4 16x ∴ t4 = 2x
1 1 1 1 Resolución 7
5 5 − 1 5 − 2 5 − 3
· 16x 4
1 2· 3· 4
· −3
E=
33
−21 4 E=
( −3)( −3 − 1)( −3 − 2)( −3 − 3).....( −3 − 32)
= 16x 1 2· 3· 4· 5· ..... ·33
·
625
E=
(−3 )( −4 )( −5 )(−6 ) · ..... · ( −35 ) = (−1)31 ( −34 )( −35 )
−336 4 1 2· 3· 4· 5 · ..... · 33
· 12
·
∴ t5 = x
625
∴ E = –595
Resolución 6 Resolución 8
1 −15 −15 −15
1 2 E= + +
1 + x3 3 4 5
4
−15 + 1 −15
E= +
4 5
1 3
1 −3 1 1
2 1 2 3 2 −14 −15
E= +
t4 = t3+1 = 4
3 x = 32x
3 4 5
E=
(−14 )(−15)(−16 )(−17 )
1 2· 3· 4
·
- 11 -
- 12. +
( −15)( −16 )( −17 )( −18 )( −19 ) Resolución 10
1 2· 3· 4· 5
· −2
1 −3 −9
∴ E = – 9248 2x − x
Resolución 9 k
−2 −k 9
(
−2
) −2 k + 2 6 − 3k
− (2 ) ( x ) 2
tk +1 = 2−1x −3
1 x 2 = k
(x 2
−3 ) 2
k
Término indenpendiente:
1 1 1 3k
2 2 −2
t3 = t2+1 = x
2 ( )
−3
2 ( −3 )2 = 2 x ( 9 )
2
6−
2
=0 k=4
1 1 Entonces:
− 1
( )
2 2 −9 3·4
t3 = 9x −3 = 3 −2 4 +2 6−
1· 2 8x t4+1 = t5 = (2 ) (x ) 2
4
−9 ( −2)( −3 )( −4 )( −5)
Si: x=3 t3 = (2)6
8· 33 t5 = 1 2· 3· 4
·
∴ t3 = (–24)-1 ∴ t5 = 320
CAPÍTULO 3
LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96)
NIVEL I Resolución 5
5
Resolución 1 log x 2 = 0,4
2
log a = x 5 2 2 2
log x = logx =
log 10a = log10 + loga = 1 + loga 5 5 5
∴ log10a = 1 + x Rpta.: E ∴ logx = 1 Rpta.: B
Resolución 2 Resolución 6
log p = x log p = q
1 p
log 3 p = logp log = log p − log r
3 r
x p
∴ log 3 p = Rpta.: D ∴ log = q − log r Rpta.: B
3 r
Resolución 3 Resolución 7
loga = m ; logb = n 1
logx + log = logx + logx-2 = logx – 2logx
x2
a 1 a 1
log = log = (loga − logb )
b 2 b 2 1
∴ logx + log = –logx Rpta.: C
x2
a m−n
∴ log = Rpta.: B
b 2 Resolución 8
2
Resolución 4 2 2
log5 3 25 = log5 5 3 = log5 5 = · 1
3 3
log 103 = 3log10 = 3· 1
2
∴ log 103 = 3 Rpta.: D ∴ log5 3 25 = Rpta.: D
3
- 12 -
- 13. Quinto Año de Secundaria
Resolución 9 7 4
log 102 + log2 2 − log 5
5
logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103
= logx–log1000 2log 10 + 7log 2 − 4log 5
2 5
x 2+7–4
∴ logx–3 = log Rpta.: E 5 Rpta.: B
1000
Resolución 10 Resolución 18
log2 a = x log0,01+ log 0,0081= log10-2 + log (0,3)4
0,3 0.3
x + 1 = log2 a + log2 2
= –2log10 + 4 log (0,3)
∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D (0,3)
=–2+4= 2 Rpta.: C
Resolución 11 Resolución 19
log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2) log 0,25 + log 0,125 − log 0,0625
2 2 2
log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2)
log
(0,25)(0,125) = log (0,03125)
Rpta.: D 2 0,0625 2 (0,0625 )
Resolución 12
log (0,5) = log 2−1 = −1log 2
log(x2–x) = logx(x–1) 2 2 2
∴ log(x2–x) = logx + log(x–1) =–1 Rpta.: E
Rpta.: A
Resolución 20
Resolución 13
1 1 1
log − log + log
5 125
11
3 2 11 12 2 16 3 81
log 216 6 = log 63 = : log6 6
12 3 5
36 5 36
65 log 2−4 − log 3−4 + log 5−3
2 3 5
55
= Rpta.: C −4log 2 + 4log 3 − 3log 5
36 2 3 5
–4+4–3
Resolución 14
∴ –3 Rpta.: D
log 0,064 = x log (0,4)3 = x
0,4 0,4
Resolución 21
3log 0,4 = x
0,4 log3 = 0,47 , log5 = 0,70
∴ x=3 Rpta.: D log75 – log125 + log45 =
75 · 45
log = log27 = log33 = 3log3
Resolución 15 125
−2 = 3(0,47)
2 9
log x = −2 x= x=
2 3 4 =1,41 Rpta.: B
3
Rpta.: E
Resolución 22
Resolución 16
log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70
2
log (a2 − 2ab + b2 ) = log (a − b) 35
(a −b) (a −b) log35 – log14 = log
14
= 2 log (a − b) = 2 Rpta.: E
(a −b)
5
= log = log5 − log2
2
Resolución 17
log 35 – log14 = 0,70 – 0,30
log 100 + log 128 − log 625
2 5 ∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B
- 13 -
- 14. Resolución 23 Resolución 28
log 2 log 2
1
+
1
log 36 log 36
= log (2) + log (3)
36 36
243
3
= 35 ( ) 3
2 3
log 2 5·log 2 log 25
3 3 3
= log (2· 3) = log 6 243 = (3) = (3) = 25
36 36
log 2
1 ∴ 243 3 Rpta.: E
= 32
1 2
= log (36) = log 36
36 2 36
Resolución 29
1
= Rpta.: C logx + log(x–3) = 1
2
logx (x–3) = log10
Resolución 24 x(x–3) = 10
log 3 = x ∴ x=5 Rpta.: C
2
log 64 = log 26 = 6log 2
24 24 24 Resolución 30
1 1 log x log3
= 6 = 6 10 − 10 = 2x − 5
log 24
2 log (8· 3)
2
x – 3 = 2x – 5
1 1 ∴ x=2 Rpta.: B
= 6 = 6
log 8 + log 3
2 3log 2 + x
2 2 NIVEL II
6
= Rpta.: B Resolución 1
3+x
3x
1 1
( )
x −4 2
log =x = 2 2 2 =2
Resolución 25 2 2 16 16
3
log (5x − 3) − log x = 1 −4 = x
2 2 2
(5x − 3) 8
log = log 2 ∴ x=− Rpta.: A
2 x 2 3
5x − 3 Resolución 2
=2 5x – 3 = 2x
x
∴ x=1 Rpta.: B (I) log 32 = 5 32 = 25 ... (V)
2
Resolución 26 (II) log 1= 0 1=(2000)0 .... (V)
2000
log (2x + 21) − log x = 2 1 1
3 3 (III) log = −4 = 2−4 ... (V)
2 16 16
2x + 21 2 2x + 21 2
log = log3 3 =3 ∴ VVV Rpta.: D
3 x x
2x + 21 = 9x Resolución 3
∴ x=3 Rpta.: A log 27 = a
12
Resolución 27
log2 24 4log2 2
log a + logb = log(a + b) log 16 = =
6 log2 2 + log2 3 log2 2 + log2 3
log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b
4 ........................... (1)
b log 16 =
∴ a= Rpta.: D 6 1 + log2 3
b −1
- 14 -
- 15. Quinto Año de Secundaria
3log2 3
Pero: log 27 = a =a 52 5
12 2log2 2 + log2 3 = log = 2log
2 22 2 2
3log2 3 2a
=a log2 3 = 10
2 + log2 3 3−a = 2 log 2 = 2[log 10 − 2log 2]
2
2 2 2
Reemplazando en (1) 1
= 2 log 10 − 2 = 2 − 2
4 10x x
log 16 =
6 2a 2 − 4x
1+ =
3−a Rpta.: D
x
12 − 4a
∴ log 16 = Rpta.: E Resolución 8
6 3+a
log y
Resolución 4 (log5 x ) 5 =y
log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 1024 log y
log (log x )
2 3 4 5 1023 5
= logy
5
log3 log4 log5
log1024 log6
· · · ..... log y log (log x ) = logy
log2 log3 log4 log5 log1023 5 5
log (log x ) = log5 log x = 5
log1024 log210 5 5
= = 10 Rpta.: B
log2 log2 x= 55 = 3125
∴ ∑ cifras = 11 Rpta.: C
Resolución 5
log2 = a ∧ log3 = b Resolución 9
log 4 + log 1 4
3
log 752 =
2
3
2
log75 = log 52 · 3
3
( ) E=
2
2 =
log2 22 + log −1 22
2
=
2 2
log52 + log3 = [2log5 + log3]
log 243 + log 1 81 log 35 + log −1 34
3 3
3 3
( )
3 3
2 10 2−2
= E=
2log + log3 5−4
3 2
2 ∴ E=0 Rpta.: E
= 2 (log10 − log2) + log3
3
Resolución 10
2
= 2 (1− a ) + b
3
log 2 = a ∧ log 3 = 2b
5 5
2
∴ log 3 752 =
3
[b − 2a + 2] Rpta.: D log
5
1
2 5
1
300 = log 300 = log 102·3
2 5
( )
1 1
Resolución 6 = log 10 + log 3 = [2log 10 + log 3]
2
2 5 5 2 5 5
2 4 6
logx = + − 1
7+ 5 11 + 7 11 + 5 = 2 (log 5 + log 2 ) + log 3
2 5 5 5
0
=
( 7+ 5 )( 11 + 7 )( 11 + 5 ) =
1
2
2 (1 + a ) + 2b
logx = 0 x = 100
∴ x=1 Rpta.: B ∴ log 300 = a + b + 1 Rpta.: E
5
Resolución 7
Resolución 11
log2 = x 2 = 10x
log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1
2,5
log 2,5 − log (0,4) = log log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10
2 2 2 0,4
- 15 -