centro de placas planas

1. Alumno: Marlon Teran
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2. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMESIONAL
Al sumar las fuerzas en la dirección z vertical y los momentos alrededor de los ejes horizontales y & x,
Aumentando el número de elementos en que está dividida la placa y disminuyendo el tamaño de cada una
obtendremos:
𝑊 = ∫ 𝑑𝑤 𝑥𝑊 = ∫ 𝑥 𝑑𝑤 𝑦𝑊 = ∫ 𝑦 𝑑𝑤

3. El centro de gravedad de un cuerpo rígido es
el punto G en donde puede aplicarse una sola
fuerza W, llamada peso del cuerpo, para
representar el efecto de la atracción de la
Tierra sobre ese cuerpo. Es el punto del
espacio en el que se considera que está
aplicado el peso.
Figura N1. Estadística
∑ 𝑀𝑦: 𝑥̅ 𝑊 = ∑ 𝑥 ∆𝑊
∑ 𝑀𝑥: 𝑦̅ 𝑊 = ∑ 𝑦 ∆𝑊

4. El peso de un cuerpo no actúa en un solo
punto, sino que está distribuido sobre su
volumen total, sin embargo, el peso se
puede representar con una sola fuerza
equivalente actuando en uN punto
llamado centro de masa. Por ejemplo,
cada parte de un automóvil tiene un
peso propio, pero se puede representar
su peso total con una sola fuerza que
actúa en su centro de masa.
∆𝑊 = 𝑝𝑔𝑡 ∆𝐴; 𝑊 = 𝑝𝑔𝑡 ∆𝐴
𝑝 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣
𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛)𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎
𝑔 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑
(9.807𝑚/𝑠2
)
𝑡 = 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐a
∆𝐴 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐a
Este coincide con el centro de gravedad siempre y cuando actué la fuerza gravitatoria sobre un
cuerpo.
∑𝑀𝑦: 𝑥̅ 𝐴 = 𝑥1 ∆𝐴1 + 𝑥2 ∆𝐴2 … … . . 𝑥𝑛 ∆𝐴n
∑𝑀𝑥: 𝑦̅ 𝐴 = 𝑦1 ∆𝐴1 + 𝑦2 ∆𝐴2 … … . . 𝑦𝑛 ∆𝐴n

5. Aumenta el número de elementos en que se
divide la superficie a la vez que se disminuye
el tamaño de c/u.
𝑥𝐴 = ∫ 𝑥 𝑑𝐴
𝑦𝐴 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴
∑ 𝑀𝑦: 𝑥 ̅ 𝐴 = ∑ 𝑥 ∆𝐴
∑ 𝑀𝑥: 𝑦̅ 𝐴 = ∑ 𝑦 ∆𝐴

6. Existen tablas de las áreas y los
centradas de diversas formas
comunes. Cuando una placa plana
se puede dividir en varias de estas
formas, se pueden determinar las
coordenadas x ; y de su centro de
gravedad G a partir de las
coordenadas x1, x2 . . . y y1, y2 . . .
de los centros de gravedad de las
diversas partes, usando.
𝑋∑ 𝑊 = ∑ 𝑥𝑊
𝑌∑𝑊 = ∑ 𝑦𝑊
Si la placa es homogénea y de
espesor uniforme, su centro de
gravedad coincide con el
centroide C del área de la misma y
los primeros momentos del área
compuesta son:
𝑄𝑦 = 𝑋 ∑ 𝐴 = ∑ 𝑥𝐴
𝑄𝑥 = 𝑌∑ 𝐴 = ∑ 𝑦𝐴
Cuando el área está limitada por
curvas analíticas, se pueden
determinar por integración las
coordenadas de su centroide. Esto
se puede hacer al evaluar integrales
dobles o una sola integral en la cual
se use un elemento de área,
rectangular delgado o con forma de
pastel. Denotando por 𝑥𝑒𝑙 y 𝑦𝑒𝑙 las
coordenadas del centroide del
elemento 𝑑𝐴, se tiene:
𝑄𝑦 = 𝑥𝐴 = ∫ 𝑥𝑒𝑙𝑑𝐴
𝑄𝑥 = 𝑦𝐴 = ∫ 𝑦𝑒𝑙𝑑𝐴

7. También se puede usar el concepto de centroide de un área para resolver problemas diferentes a los de
tratar con el peso de placas planas. Por ejemplo, para determinar las reacciones en los apoyos de una viga,
se reemplaza una carga distribuida w por una carga concentrada W con magnitud igual al área A debajo de
la curva de carga y que pase a través del centroide C de esa área.
𝑥𝑊 = ∫ 𝑥 𝑑𝑊
𝑦𝑊 = ∫ 𝑦 𝑑𝑊
𝑧𝑊 = ∫ 𝑧 𝑑𝑊
Para determinar las coordenadas del centro
de gravedad G de un cuerpo tridimensional
𝑥𝑉 = ∫ 𝑥 𝑑𝑉
𝑦𝑉 = ∫ 𝑦 𝑑𝑉
𝑧𝑉 = ∫ 𝑧 𝑑𝑉
Para un cuerpo homogéneo donde el centro
de gravedad G coincide con el centroide C
del volumen V del mismo; las coordenadas
de C se definen por las relaciones:

8. Si el volumen posee un plano de simetría, su centroide C
estará en ese plano; si posee dos planos de simetría, C
estará localizado sobre la recta de intersección de los dos
planos; si posee tres planos de simetría que se intersequen
en un solo punto, C coincidirá con ese punto.