1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo



























1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas de Arcos
Compuestos”
En el presente capítulo realizaremos el estudio de las
razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su
vez están constituidas por la suma o resta de otros 2
ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo
con la demostración de las principales Identidades para
ángulos compuestos que son:
* Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen
* Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen
* Tg(+) =
Tg
Tg Tg
 
 
+ Tg
1 .
Identidades Trigonométricas para la Diferencia de
Ángulos:
    sen sen sen     cos cos
    cos cos cos     sen sen
* Tg(-) =


TgTg
TgTg
.1 

Algunas Propiedades de Importancia
a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen²
b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)
c) Si:  +  +  = 180°  Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg
d) Si:  +  +  = 90°  Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1
e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen²
f) Si: +  +  =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1
g) 1
2
.
22
.
22
.
2

C
tg
B
tg
C
tg
A
tg
B
tg
A
tg
h)
2
.
2
.
2222
C
Ctg
B
Ctg
A
Ctg
C
Ctg
B
Ctg
A
Ctg 
i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg(  - )
j)
yx
yxsen
tgyTgx
cos.cos
)( 

k)
SenySenx
yxsen
CtgyCtgx
.
)( 

l)
SenyCosx
yxCos
Ctgytgx
.
)( 

m) )(... 22
 xSenbaCosxbsenxa
Donde:
22
ba
b
Sen


22
ba
a
Cos


n) Si: Rxxbsenxaxf  ;cos..)(
Se cumple: 2222
)( baxfba 
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Siendo:    tg x y tg x y    3 2 4 2 3 5
Halle: “  tg x y ”
A) 1
21
B) -1 C) 1
10
D) 
1
21
E) 
1
10
RESOLUCIÓN
* tg( x y) tg    3 2 4 4
* tg( x y) tg    2 3 5 5
*    tg x y ? tg      = ?
“  ”
Semana Nº 8

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velasquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
  
tg tg
tg
tg tg
   
    
   
4 5
1 1 4 5
  tg     
1
21
2. De la figura mostrada, calcular: tg 
A) 
5
3
B) 
55
3
C) 5
3
D) 55
3
E) 4
3
RESOLUCIÓN
tg 
4
5
tg 
7
5
 tg tg    
tg tg
tg
tg tg
  
 
  1
tg

 
 
4 7
5 5
4 7
1
5 5
tg 

11
5
3
25
tg  
55
3
RPTA.: B
PROBLEMAS DE CLASE
1. En la figura, el valor de la tg es igual a :
A) 5
14
B) 3
7
C) 1
7
D) 3
14
E) 1
2
1º EXAMEN ORDINARIO – UNS 2014 - II
2. Si: 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽). 𝐶𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽)
y = 𝑆𝑒𝑛(𝛽 + 𝜃). 𝑆𝑒𝑛(𝛽 − 𝜃)
𝑧 = 𝐶𝑜𝑠(𝛼 + 𝜃). 𝐶𝑜𝑠(𝛼 − 𝜃)
Entonces x+y-z, es igual a:
a) Cos𝛼 b) Cos𝛽 c) Cos𝜃 d) 0 e) ½
3. Si 3𝑆𝑒𝑛𝜃 + 4𝐶𝑜𝑠𝜃 = 5, entonces el valor de
𝑀 = 𝑇𝑔 𝜃 +
1
4
A) √2 B) 3 C) 1 D) 2√3 E) 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
4. Al reducir 𝑀 = 𝑇𝑔(2𝛼 + 𝛽) . 𝐶𝑡𝑔(𝛼 − 𝜃) ,
donde 𝛼, 𝛽 𝑦 𝜃 son ángulos de un triángulo. Se
obtiene:
A) ½ B) 1 C) -1 D) 𝑇𝑔2
𝛽 E) 𝐶𝑡𝑔2
𝛽
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
5. Si: 𝑆𝑒𝑛𝛼 =
1
√5
y 𝐶𝑜𝑠𝜃 =
2
√13
, entonces el valor
de 𝑘 = 𝑇𝑔(𝛼 + 𝜃) es:
A)
7
5
B)
7
3
C)
7
4
D)
7
6
E) 8
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
6. Calcular: E = 4.Sen(x+8º) + 7.Cos ( x+8º)
A) 65 B) 67 C) 69 D) 57 E) 45
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
7. El valor de la expresión:
( 𝑇𝑔 80º − 𝑇𝑔10º) 𝐶𝑡𝑔70º es:

3
4
5

3
4
5

4
5 b5 b
2 b
b


3. Lic. Rodolfo Carrillo Velasquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
8. Sabiendo que:
Halle: tg(x + y + z)
a) 1 b)-1 c) d) e)
9. Si Tanα y Tanβ son las raíces de la ecuación:
2𝑥2
− 5𝑥 + 3 = 0
Calcular el valor de: Tan(α + β)
a) -1/5 b) 1/5 c) -5 d) 5 e) 1
10. Si 2Sen5x = 3Sen3x
Calcular el valor de: E = 25Cot2
4x − Cot2
x
a) 2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
11. En un triángulo ABC, se sabe que:
TanA − 1 = TanB = TanC + 1
Calcular el valor:
E = TanA + Tan2
B + Tan3
C
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 20
12. Si se cumple:
Tan2
α − Tan2
β + 2Tan2
αTan2
β = 2
Además: Tan(α − β) = 3
Calcular el valor de: Tan(α + β)
a) ½ b) 2/3 c) 3/2 d) 2 e) 3
13. Calcular el valor aproximado de:
E = 4√6Sen52° + Cos7°
a) 7,1 b) 7,2 c) 7,3 d) 8,3 e) 8,7
14. Del grafico mostrado, calcular Tanx
45˚
2
5
14
x
a)1/3 b) ½ c) ¾ d) 1 e) 4/3
15. En el grafico mostrado se cumple que:
α + β + θ = 180°
¿A que es igual? E = Tanα + Tanβ + Tanθ
β
α
θ
x
a) Senx b) Cosx c) Tanx
d)Cotx e) Secx
16. De un triángulo ABC, reducir:
P = SenA. Sen(B − C) + SenB. Sen(C − A)
+ SenC. Sen(A − B)
a) -1 b) 2 c) 1 d) 3 e) 0
17. Si:
     sennmsennm ).().( ;
determinar:


tg
tg
a)
n
m
b)
m
n
c)
n
m
 d)
m
n
 e)
nm
nm


18. Si Tan(x + a). Tan(x − a) = Tan2
b
¿A que es igual? E = Tan(x + b)Tan(x − b)
a) Tan2
a b)Tan2
b c)Tan2
x
d)Cot2
a e)Cot2
x
PROBLEMA DE REPASO
1. Dado el cuadrado ABCD, calcule “K”
a) 1 b) 2 c)3 d) ½ e) 3/2
2. Si:











  xCtgCalcularxTg
28
5
;
2
1
14

a) 1 b)2 c)3 d) ½ e) 1/3
3. Determina el valor mínimo de F, si
1
cot(3x 2y 5z)
3
  
1
cot(2x 3y 6z)
2
  
1
5
1
6
1
7

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velasquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
F = a(Senx - cosx) +b(Senx + cosx); 0 < a < b
a) 22
ba  b) ab
2
1
c) ba.
d) a + b e)  22
2 ba 
4. Del gráfico, calcular:
a) – 4 b) – 8 c)–16 d)- 9 e)32
5. Si:
0.cos)(.)(  coxyxnmsenysenxnm
; determinar:
)cos(
)cos(
yx
yx
M



a)
n
m b)
m
n
c)
n
m
 d)
m
n
 e) nm.
6. Si:
3
2
20








tg ; calcular:








5
tg
a) 1/5 b) 1/3 c) 3 d) 5 e) 6
7. Si:   º10º.2532º10º25)( tgtgtgtgyxtg 
Y





 

2
.0)(
yx
tgCalcularyxtg
a) 2326  b) 2326 
c) 2326  d) 2326 
e) 2326 
8. Si se sabe que: cotx y coty son las raíces de la
ecuación: ax2 + bx + c = 0
Hallar: tg(x + y)
A) B) C) D) E)
9. En un triángulo ABC, se cumple que:
SenC
SenB
SenA
.2 y CosC
CosB
CosA
.2
Calcular Sen 2A
a)
12
1

b)
12
1

c)
2
2 d) 12  e) 12 
10.Del gráfico calcular
Siendo AB = 1; AE = 3; EC = 2.
A) 3/37 B) 5/41 C) 3/41 D) 2/9 E) 3/7
11. Del gráfico mostrado calcular .
A) 10 B) 8 C) 12
D) 6 E) 15
12.Si:
tg(5+ 3)= 5 . . . (1)
tg(5– 3)= 2 . . . (2)
Calcular: k=tg(10)+Ctg(6)
A) B) C) D)3 E)
13.Si , se pide hallar:
A) 1/5 B)1/7 C)1/9 D) 1/11 E) 1/13
14.Si x + y + z = , se pide reducir:
TgyTgzTgzTgxTgyTgx
E
.
2
.
2
.
2

A) 1 B) 2 C) 6 D) E) ½
15.Evaluar: S= tg22º+tg23º+tg22º.tg23º
A) tg 22º B) tg 23º C) 2tg 22º
D) 2tg 23º E) 1
16.Si: kCosSen  º12º12.3 ,
Calcular: º27cosº27 senW
a)
k
2
2

b)
k
4
2

c)
5
k
 d)
k
6
2 e)
k
2
2
Tan

37º
A
B C
D
P
b
c a
a
b c
a
c b
c
a b
b
a c
Tg( )
Tg
7
9

25
9
3
11
26
9
   
1 1
tg y tg
3 4
      
 E tg   
