s

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
b
a
H
COSenA 
b
c
H
CA
CosA 
c
a
CA
COTanA 
a
b
CO
HCscA 
c
b
CA
HSecA 
a
c
CO
CA
CotA 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-I
TRIGONOMETRÍA
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con razones trigonométricas.
 Reconocer las características de las 6 razones trigonométricas.
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que
resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo.
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
. a2
+ b2
= c2
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
Sen =
Hipotenusa
OpuestoCateto
=
c
a
Cos =
Hipotenusa
AdyacenteCateto =
c
b
tg =
AdyacenteCateto
OpuestoCateto
=
b
a
Ctg =
OpuestoCateto
AdyacenteCateto
=
a
b
Sec =
AdyacenteCateto
Hipotenusa
=
b
c
csc =
OpuestoCateto
Hipotenusa
=
a
c
Razones Trigonométricas Recíprocas
Siendo  un ángulo agudo se cumple:
1csc.
1
csc  

 sen
sen
;
1sec.cos
cos
1
sec  

 ;
1.
1
 

 ctgtg
tg
ctg
Razones Trigonométricas De Ángulos
Complementarios
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
En la figura se muestra:
 y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en
consecuencia:
 cos
c
b
sen ;  sen
c
a
cos
 ctg
a
b
tg  ;  tg
b
a
ctg 
 cscsec 
a
c
;  seccsc 
b
c
Debido a estas relaciones las co-razones son::
Semana Nº 3

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 seno y coseno.
 tangente y cotangente.
 secante y cosecante.
Teorema del complemento
   deocomplementRTcoαRT 
Se llaman co–razones trigonométricas una de la
otra.
NOTA:
 Si:








1
1
1



CtgTg
SecCos
CscSen
 Si:     º90  RTcoRT
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
PROBLEMA DE CLASE
1. Halle “ctg” del gráfico, si:
BCAB 
A) 32 B) 33 C) 3 D) 6/3 E) 9/3
2. Si ,AD3CD  halle: tg
(tomar: sen37º=0,6)
A)
16
1 B)
8
1 C)
8
3 D)
16
3 E)
4
1
3. Si el triángulo ABC es equilátero.
Determine tg.
A)
5
3 B)
6
3
C)
7
3 D)
8
3
E)
9
3
4. En un triángulo rectángulo si la
hipotenusa es el doble de la media
geométrica de los catetos. Calcule la suma
de las tangentes trigonométricas de los
ángulos agudos del triángulo.
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
37º
53º
3
5
4
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 + 1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
Cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
Tan
3
3
4
3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
3
3
Sec
3
32
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
32
conocido).(T.R
conocidoLado
odesconocidLado 
M
B
A C
120º

B
A C
a
D
3a

CA
53º
D


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A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6
5. Siendo “” y "β" las medidas de 2
ángulos agudos tales que:
1sec.11cos  1csc.cos 
Halle:    '30º52sen.'30º37tgW 
A)1 B) ½ C) 3
2
D) 3 E)
3
3
6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N
son puntos medios. Determine "cot " .
A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3
7. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.
A)
3cos 2Sen   B)
2cos 3Sen  
C) 2sen 3cos   D) 3sen 2cos  
E) 2sen 3cos  
8. En la figura, halle “X” en términos de ””,
“ ” y “m”.
A)   tgctgm B)  m tg ctg  
C)   1
 tgctgm D)   1
 ctgtgm
E)  tgctg.m
9. En la figura, halle el perímetro del
rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el radio
del cuadrante MON es “r”.
A)  2r sen cos  
B)  r csc sen  
C)  r sen cos  
D)  2r csc sec  
E) 2
r sec csc 
10.Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo
mide 12m y uno de sus ángulos agudos mide 30º,
el cateto mayor supera el cateto menor en:
A) (√3 − 1)𝑚 B) 3(√3 − 1)𝑚 C) 6(√3 − 1)𝑚
D) 5(√3 − 1)𝑚 E) 2(√3 − 1)𝑚
11.Calcular la superficie de un triángulo
rectángulo, sabiendo que su hipotenusa vale 54cm
y el coseno del ángulo formado por la mediana y
altura relativa a la hipotenusa vale
2
3
A) 108 𝑐𝑚2
B) 216 𝑐𝑚2
C) 443 𝑐𝑚2
D) 486 𝑐𝑚2
E) 426 𝑐𝑚2
12.Si las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo son 8, (x+5) y (x+7) unidades, para
x>3; entonces el seno del mayor ángulo agudo es:
A)
3
5
B)
8
17
C)
15
17
D)
2
3
E)
4
5
13.Del gráfico adjunto, determinar Cosθ ,
𝑠𝑖 𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐵𝐶̅̅̅̅ =
5
2
𝑅.
A)
1
3
B)
2
3
C) ½ D) ¼ E) ¾
14.Si:
12.085   CtgTgyCosSen ,
entonces el valor de
     º2325º54 22
  SenTgSenM
, es:
A) 1,1 B) 2,1 C) 3,1 D) 4,1 E) 5,1
B
CD
A

N
M
3

2
x
O
r
MA
C

N
B
m


X

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15. Del grafico calcular Tg 
A) 3/5 B) 4/9 C) 9/10 D) 5/12 E) 5/14
16.Dado el cuadrado ABCD, hallar Tg 𝜃, si el
área de los triángulos EAF, FBC y EDC son
iguales.
A)
1+√5
2
B)
2−√5
2
C)
3−√5
2
D)
4+√3
2
E)
5−√3
2
17.Si
2
0
41
40 
  ySen , hallar






4

Ctg
a)
4
541  b)
4
541  c)
4
341 
d)
4
341  e)
4
3
18.En un triángulo AB, se tiene:
 2m<BCA = m<BAC
 Cos(2C) = 1/8 ; c = 4u
La medida de los lados a y b, respectivamente, son:
a) 6u y 7u b) 6u y 4u c) 6u y 5u
d) 6u y 6u e) 6u y 3u
19.Sí m 32 ; entonces el valor de
R = tg7º30` - Ctg 7º 30`, en términos de m es:
a) m/3 b) m/2 c) m d) 2m e) 3m
20.Si: sen2x - cos15x = 0, Calcular el valor de:
E = sen13x.sec4x + tg10x - ctg7x
a) -2 b)-1 c)0 d) 1 e) 2
21.En la circunferencia trigonométrica
mostrada, ABCD es un cuadrado. calcular Sen 
A)
5
3 B)
5
2 C)
5
22 D)
5
52 E) 2
22.Del gráfico que se muestra encontrar el valor
de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es
mediana relativa a la hipotenusa.
A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28
23.En la figura mostrada AOD es un cuadrante,
M y P son puntos de tangencia. Determinar
E=(1 – tg)2.
A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5
24.En el gráfico mostrado, calcular "tg ".
Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de
tangencia.
a) 1/3
b) ½
c)
d)
e) 2
A M C
B
37°
x
y
A
P
B0 M

2
2
2
2

5. 5
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