Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con 3 incógnitas utilizando determinantes. Primero, se eliminan las incógnitas y para obtener una ecuación en una sola incógnita. Luego, se utilizan determinantes para encontrar los valores de las incógnitas sustituyendo en las ecuaciones originales. Finalmente, se obtienen las soluciones x=3, y=-1, z=2.

1. Matemáticas II
Ecuaciones lineales con 3 incógnitas

2. Ecuaciones con 3 incógnitas: Suma y resta
①6𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 12
②4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 =8
③5𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 4
1. Multiplicar ① y ② por los valores de z contrario y
cambiar signo de la segunda (solo si los signos son
iguales)
3(6𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 12)
−5(4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 8)
18𝑥 − 12𝑦 − 15𝑧 = 36
−20𝑥 + 10𝑦 + 15𝑧 = −40
2. Eliminar y ; sumar los otros valores
18𝑥 − 12𝑦 − 15𝑧 = 36
−20𝑥 + 10𝑦 + 15𝑧 = −40
−2𝑥 − 2𝑦 = −4 ④
3. Hacer lo mismo con ② y ③
4(4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 8)
−3(5𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 4)
16𝑥 − 8𝑦 − 12𝑧 = 32
−15𝑥 − 9𝑦 + 12𝑧 = −12
𝑥 − 17𝑦 = 20 ⑤
4. Hacer lo mismo para ④ y ⑤ eliminando la y
17(−2𝑥 − 2𝑦 = −4)
−2(𝑥 − 17𝑦 = 20)
−34𝑥 − 34𝑦 = −68
−2𝑥 + 34𝑦 = −40
36𝑥 = 108
𝑥 =
108
36
𝑥 = 3

3. Ecuaciones con 3 incógnitas: Suma y resta
①6𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 12
②4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 =8
③5𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 4
5. Sustituir x en ④ para encontrar el valor de
y
−2(3) − 2𝑦 = −4
−6 − 2𝑦 = −4
−2𝑦 = −4 + 6
−2𝑦 = 2
𝑦 =
2
−2
𝑦 = −1
6. Sustituir x y y en ① para encontrar el valor
de z
6(3) − 4(−1) − 5𝑧 = 12
18 + 4 − 5𝑧 = 12
−5𝑧 = 12 − 18 − 4
−5𝑧 = −10
𝑦 =
−10
−5
𝑧 = 2

4. Determinantes
①6𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 12
②4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 =8
③5𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 4
1. Tomar los números y signos de las x , y, z multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
𝐷 =
6 −4 −5
4 −2 −3
5 3 −4
6 −4 −5
4 −2 −3
𝐷 = 6 −2 −4 + 4 3 −5 + (5)(−4)(−3) − 4 −4 −4 + 6 3 −3 + (5)(−2)(−5)
𝐷 = 48 − 60 + 60 − 64 − 54 + 50 = 48 − 60 = −12
2. Cambiar las x por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
𝐷 𝑥 =
12 −4 −5
8 −2 −3
4 3 −4
12 −4 −5
8 −2 −3
𝐷 𝑥 = 12 −2 −4 + 8 3 −5 + (4)(−4)(−3) − 8 −4 −4 + 12 3 −3 + (4)(−2)(−5)
𝐷 𝑥 = 96 − 120 + 48 − 128 − 108 + 40 = 24 − 60 = −36

5. Determinantes
①6𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 12
②4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 =8
③5𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 4
3. Cambiar las y por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
𝐷 𝑦 =
6 12 −5
4 8 −3
5 4 −4
6 12 −5
4 8 −3
𝐷 𝑦 = 6 8 −4 + 4 4 −5 + (5)(12)(−3) − 4 12 −4 + 6 4 −3 + (5)(8)(−5)
𝐷 𝑦 = −192 − 80 − 180 − −192 − 72 − 200 = −452 + 464 = 12
4. Cambiar las z por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
𝐷𝑧 =
6 −4 12
4 −2 8
5 3 4
6 −4 12
4 −2 8
𝐷𝑧 = 6 −2 4 + 4 3 12 + (5)(−4)(8) − 4 −4 4 + 6 3 8 + (5)(−2)(12)
𝐷𝑧 = −48 + 144 − 160 − −64 + 144 − 120 = −64 + 40 = −24

6. Determinantes
①6𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 12
②4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 =8
③5𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 4
5. Dividir el resultado del paso 2 entre el resultado del paso 1.
𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
=
−36
−12
= 3
6. Dividir el resultado del paso 3 entre el resultado del paso 1.
𝑦 =
𝐷 𝑦
𝐷
=
12
−12
= −1
7. Dividir el resultado del paso 4 entre el resultado del paso 1.
𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
−24
−12
= 2