07 - Odalis Carvajal 2° BGU "C"

1. Nombre: Odalis Carvajal
Docente: Ing. Héctor Aguirre
Asignatura: Matemática
La circunferencia y la
elipse
Curso: Segundo BGU Paralelo: “C”

2. Actividades de la página 192
(Para finalizar)
1. Sea la siguiente gráfica:
a. ¿Cuáles son los elementos que definen de forma total a una circunferencia?
Los elementos que definen de forma total a una circunferencia son:
 Centro: El punto interior equidistante a todos los puntos de la
circunferencia.
 Radio: Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier
punto de ella. El radio se denota con la letra “r” o bien con suspuntos
extremos, su medida es constante.
Pero no está demás mencionar otros elementos que constituyen la circunferencia
como:
 Diámetro
 Tangente
 Secante
 Cuerda

3. b. ¿Cuál es el valor del radio?
Sabiendo que el radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con
cualquier punto podemos llegar a la conclusión que le radio de esta circunferencia
es igual:
r = 3
c. Escribe la ecuación respectiva
𝑟2 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 = 32
𝑥2 + 𝑦2 = 9
d. ¿Cómo varía la ecuación de la circunferencia si el centro se traslada 4
unidades a la derecha?
C = (4; 0)
(h; k)
𝑟2 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2
𝑟2 = (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 0)2
9 = (𝑥 − 4)2 + 𝑦2
9 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2
0 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 9
𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 7 = 0 Ecuación de la forma general
Ecuación canónica

4. e. ¿Cómo se explicaría el hecho de recorrer 4 unidades a la derecha, que
significaría un aumento de cuatro unidades (+4), en la ecuación aparezca
(-4)?
La ecuación canónica es:
Y tenemos como datos:
Por lo tanto:
𝑟2 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2
C = (4; 0)
(h; k)
−ℎ = 4
−ℎ = 4 (−1)
ℎ = −4
Una variable nunca puede ser negativa
Circunferencia con centro (0; 0) Circunferencia con centro (4; 0)

5. f. En cambio ¿Cómo varía la ecuación de la circunferencia si el centro se
traslada tres unidades hacia arriba?
C = (0; 3)
(h; k)
𝑟2 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2
𝑟2 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 3)2
9 = 𝑥2 + (𝑦 − 3)2
9 = 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9
0 = 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 − 9
0 = 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 Ecuación de la forma general
Ecuación canónica
Circunferencia con centro (0; 0) Circunferencia con centro (0; 3)

6. 2. Sea la gráfica:
a. ¿Cuál es la distancia del eje mayor?
Teniendo en cuenta que la fórmula de los vértices es igual a: 𝑉1 = (0; 𝑎) 𝑦
𝑉2 = (0; −𝑎) y los puntos expresados son 𝑉1 = (0; 5) 𝑦 𝑉2 = (0; −5) la
distancia del eje mayor es igual al doble valor de a = 5 ya que este es
mayor que b, dando una distancia de 10.
b. ¿Cuál es la distancia del eje menor?
Teniendo en cuenta que la fórmula de los vértices es igual a: 𝐵1 = (−𝑏; 0) 𝑦
𝐵2 = (𝑏; 0) y los puntos expresados son 𝐵1 = (−4; 0) 𝑦 𝐵2 = (4; 0) la
distancia del eje menor es igual al doble valor de b = 4 ya que este es
menor que a, dando una distancia de 8.
c. ¿Cuál es la ecuación de la gráfica?
Para obtener la ecuación canónica de la gráfica tenemos la siguiente fórmula:
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
1. En la cual al remplazar los valores de a = 5 y b = 4 de la siguiente manera:
𝑥2
42
+
𝑦2
52
= 1

7. 2. Obtenemos la siguiente ecuación:
𝑥2
16
+
𝑦2
25
= 1
d. ¿Cómo cambiaría la ecuación si el eje mayor se trasladase al eje horizontal
y el eje menor al eje vertical?
La ecuación se vería afectada en el orden en el cual se expresa a y b
de la siguiente manera:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Que al resolver quedaría:
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
De esta manera no cambian solo sus ejes, también cambia su forma, la cual sería:
e. En una elipse, ¿Cuál de las variables entre a, b y c, es mayor?
La variable a siempre será mayor que b y c, de esta forma se llega a
saber cómo se vería la elipse y cuáles serían sus ejes y sus respectivos
puntos.
f. Según la gráfica, ¿cuál sería la ecuación si la elipse se traslada 2
unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo?
Cuando el centro de la elipse ya no es el punto (0; 0) se remplaza con los valores
h y k con la siguiente fórmula:
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1
Al momento de reemplazar valores obtendríamos:

8. (𝑥 − 2)2
16
+
(𝑦 + 4)2
25
= 1
Pero la gráfica también cambia sus puntos, más no sus dimensiones:
.
g. ¿Cómo diferenciamos si una elipse es paralela al eje x o al eje y?
Se diferencia que la elipse es paralela al eje x cuando es numerador de a,
si y es numerador de a entonces la elipse será paralela al eje y. Para
diferenciar cuál es la variable a en una ecuación canónica ya dada se tiene
en cuenta que 𝒂 > 𝒃.

9. 3. ¿Cómo se diferencian las ecuaciones canónicas de la elipse e hipérbola?
Después de tener en cuenta las formulas podemos llegar a la conclusión, que la única
diferencia que existe son los signos; puesto que, en la ecuación canónica de la elipse los
términos se suman, mientras que en la ecuación canónica de la hipérbola los términos
se restan.
4. Para la expresión 𝒙 𝟐 = −𝟐𝟎𝒚 el lado recto y la directriz es:
a. LR = 10, y = 5
b. LR = 5, y = -4
c. LR = 20, y = 5
d. LR = -20, y = -4
Al usar la ecuación (𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘) y reemplazar los valores que se obtiene de 𝑥2
= −20𝑦
obtenemos:
(𝑥 − 0)2
= −20(𝑦 − 0)
Con esto podemos hallar el vértice de la ecuación que son los puntos (ℎ; 𝑘) que en este caso el
vértice sería: 𝑉 = (0; 0)
Para encontrar tanto la directriz como el foco necesitamos conocer el valor de p, para ello
despejamos de la siguiente manera:
4𝑝 = −20
𝑝 =
−20
4
𝑝 = −5
Partimos desde el vértice hacia dentro de la parábola tomando en cuenta el valor de p y
encontramos el foco, ubicado en los puntos (0; −5)
Hacemos lo mismo para hallar el punto en el cual se encuentra la directriz pero en sentido
contrario, obteniendo el punto 𝑑 = (0; 5).
Para hallar la ecuación de la directriz nos basamos en el eje perpendicular a esta, en este caso
el eje 𝑦 y la igualamos al punto en el cual se topan, dándonos como ecuación de la directriz
𝑦 = 5.
Para encontrar el valor del lado recto reemplazamos valores en la ecuación 𝐿𝑅 = 4𝑝, teniendo
en cuenta que 𝑝 = −5 reemplazamos y nos queda que el valor del lado recto es igual a -20
o 20 debido a que es un módulo y no un punto en el plano cartesiano.
Ecuación canónica de la elipse Ecuación canónica de la hipérbola