Este documento presenta información sobre elipses, incluyendo ecuaciones para elipses con centros en el origen y en puntos (h,k), fórmulas para calcular elementos como el eje mayor, eje menor y excentricidad, y ejemplos resueltos de cálculos y trazados de gráficas de elipses.

1. UNIVERSIDAD
AUTÓNOMA DEL ESTADO
DE MÉXICO
PLANTEL DR. ÁNGEL MA. GARIBAY K.
Geometría Analítica Módulo IV ELIPSE
Autor M. en I. Alejandro Morales Velázquez

2. PRESENTACIÓN
• Con la finalidad de que el alumno comprenda mejor
los temas relacionados con la solución de ejercicios
que tienen que ver con los diferentes tipos de las
ecuaciones de la elipse, se realiza esta presentación
para que paso a paso se familiarice con una forma
diferente de resolver los ejercicios fuera del salón de
clases.

3. PROPÓSITOS.
• Que el alumno comprenda los diferentes tipos de
ecuaciones de la elipse e identifique su gráfica
correspondiente.
• Que comprenda los procesos de desarrollo para
diferentes situaciones, centro en el origen, en h,k y
elipses verticales u horizontales.

4. Guía para el profesor
• Este material lo puede utilizar cualquier profesor, ya
que únicamente tiene que ir proyectando las
diapositivas y comentar con los alumnos paso a paso
la solución de los ejercicios.
• Se pueden pasar primero los ejercicios con centro en
el origen y en una segunda sesión con centro en h,k;
para que el alumno comprenda mejor la resolución
de ejercicios.

5. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

6. Ecuaciones de la elipse
centro en (0,0)
x2
a2
+
y2
b2
=1 Elipse horizontal
x2
b2
+
y2
a2
=1 Elipse vertical

7. Ecuaciones de la elipse
centro en (h,k)
(x - h)2
a2
+
(y - k)2
b2
=1 Ecuación horizontal
(x - h)2
b2
+
(y - k)2
a2
=1 Ecuación vertical

8. Fórmulas de los elementos de la
elipse
Lado recto = LR =
2b2
a
Excentricidad = e =
c
a
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b
Relación fundamental b2
= a2
- c2

9. Ejercicio
• Una elipse horizontal tiene su centro en el origen,
uno de sus vértices es (5,0) y su lado recto es de 4,
calcular todos sus elementos y trazar su gráfica.

10. Como es horizontal
• Utilizamos la ecuación:
• Uno de sus vértices es (5,0) y como el centro esta en el
origen (0,0); la distancia entre estos dos puntos es 5.
• Por lo que:
x2
a2
+
y2
b2
=1
a = 5

11. Otro dato que nos dan es el lado
recto
LR =
2b2
a
= 4
y como a = 5;
2b2
5
= 4
despejando b = 10

12. Para conocer el valor de c
utilizamos la relación fundamental
b2
= a2
- c2
Sustituyendo datos :
10
( )
2
= 52
- c2
c = 25 -10 = 15

13. Otros elementos de la elipse
Eje mayor=2a=2(5)=10
Eje menor=2b=2 10
Excentricidad =e=
c
a
=
15
5

14. Gráfica

15. Ejercicio de aplicación
• En la imagen se muestra un plato de una vajilla los
cuales tienen forma de una elipse.
• Considera el centro a la mitad del plato,
• Si el largo del plato mide 30 centímetros y el ancho
12 centímetros. Calcula todos sus elementos y
propon la ecuación de la elipse.

16. Ejercicio de aplicación

17. Gráfica que representa el plato

18. Datos del problema
• De la gráfica observamos que las coordenadas de los
vértices son: ( - 15,0 ) y ( 15,0 ); que corresponden al
eje mayor, por lo que el valor de a = 15
• Las coordenadas del eje menor son:
• (0, - 6 ) y (0, 6 ); por lo que el valor de b = 6

19. Ecuación de la elipse
• Con los valores de a y b obtenemos la ecuación de la
elipse:
x2
152
+
y2
62
=1

20. Y sus elementos son
• Eje mayor = 30
• Eje menor = 12
• Lado recto =
• Excentricidad =
2b2
a
=
2(6)2
15
= 4.8
e =
c
a
=
13.75
15
= 0.916

21. Obtención del valor de c:
• Utilizando la relación fundamental de la elipse:
• b2
= a2
- c2
Sustituyendo datos;
62
= 152
- c2
despejando c :
c = 152
- 62
= 13.75

22. Ejercicio con centro en (h,k)
• Una elipse tiene sus vértices en (3,8) y (3,-4)
• y tiene eje menor igual a 6. Calcular todos sus
elementos y traza la gráfica.

23. Los vértices nos dan el eje mayor de
la elipse.
• Por lo que calculamos la distancia entre estos puntos.
Eje mayor = (3- 3)2
+ (8-(-4))2
=12
Eje mayor = 2a =12
a =
12
2
= 6

24. El centro de la elipse es el punto
medio entre los vértices.
x =
3+ 3
2
= 3
y =
8 - 4
2
= 2
Centro(3,2)

25. Como el eje menor es 6
Eje menor = 2b = 6
b =
6
2
= 3
Sustituyendo a y b en : b2
= a2
- c2
32
= 62
- c2
; c = 36 - 9 = 27

26. Otros elementos de la elipse
Lado recto =
2b2
a
=
2(3)2
6
= 3
Excentricidad = e =
c
a
=
27
6

27. Gráfica

28. Elipse horizontal
• Encontrar la ecuación de la elipse horizontal que
tiene su centro en (2,3), el eje mayor es igual a 8 y su
lado recto mide 2. Trace la gráfica.

29. Como el eje mayor es igual a 8
• EM = 8 = 2a despejando a = 4
• Y como el lado recto = 2 =
• Sustituyendo a = 4
• Despejamos b:
2b2
a
b =
2a
2
= 4 = 2

30. Encontrando el valor de c.
• Utilizando la relación fundamental de la elipse:
• Despejando c:
b2
= a2
-c2
c = a2
-b2
= 16- 4 = 12

31. Como es una elipse horizontal
• La ecuación correspondiente es:
• Sustituyendo datos:
(x - h)2
a2
+
(y - k)2
b2
=1
(x -2)2
42
+
(y - 3)2
22
=1

32. Ecuación general
• Eliminando los denominadores:
• Desarrollando los binomios:
4(x -2)2
+16(y - 3)2
= 64
4(x2
- 4x + 4)+16(y2
-6y + 9) = 64

33. Ecuación general
• Realizando operaciones:
4x2
-16x +16+16y2
-96y +144 -64 =0
4x2
+16y2
-16x -96y+96=0

34. Gráfica

35. Dada la ecuación general trazar la
gráfica
25x2
+ 4y2
-150x +125 = 0
Ordenamos x con x; y con y
25x2
-150x + 4y2
= -125

36. Completando el trinomio en x, y
encontrando la ecuación ordinaria.
25(x2
-6x + (-3)2
)+ 4y2
= -125+ (-3)2
25(x - 3)2
+ 4y2
= -125 + 225
25(x - 3)2
+ 4y2
=100
(x - 3)2
4
+
y2
25
=1

37. El centro está en (3,0)
a2
= 25,Þ a = 5
b2
= 4,Þ b = 2

38. Calculando el valor de c:
b2
= a2
- c2
4 = 25 - c2
c = 25 - 4 = 21

39. Cálculo del Lado recto
LR =
2b2
a
=
2(2)2
5
=
8
5
Excentricidad e =
c
a
=
21
5

40. Gráfica

41. Bibliografía
• Riddle F. Douglas. (1996). Geometría Analítica. Ed.
Thomson.
• Swokowski, E. Cole, J.(2001) Álgebra y
Trigonometría con Geometría Analítica. Editores
México.