El presente documento está elaborado para dar ejemplos de las primeras 6 formulas de nuestro formulario utilizado en clase , los problemas utilizados se rescataron de los libros mencionados en este documento

1. PAOLA ROMERO PADILLA
4°A

2. INTRODUCCIÓN.
Es muy interesante ver de lo que son capaces las matemáticas y un ejemplo
muy claro son las derivadas y las antiderivadas. En este trabajo
desarrollaremos ejercicios de cada una de las primeras 6 fórmulas de
nuestro formulario visto en clase, con el propósito de que aclaremos dudas
y desarrollemos nuestra habilidad para ubicar que formula se usa en cada
problema y ver que en algunos casos se usan más de dos.
Para comenzar debemos saber primeramente lo que es una antiderivada:
“La antiderivada es la función que resulta del procesoinverso de derivación,
esto quiere decir que al momento de resolver una antiderivada estaríamos
encontrando la derivada de esa función.”
Esto quiere decir en palabras básicas que es lo contrario a la derivada, por
eso sinos damos cuenta nuestros resultados de los ejercicios es laderivada
del problemaque nos dieron. El comprenderel concepto no es difícil,lo que
nos puede resultarcomplicado eshacerelproceso,peroconestosejercicios
esperamos sea cada vez más fácil.
Esperamos y este trabajo sea de su agrado.

3. FÓRMULA #1:
EJEMPLOS:
1.∫( 𝑥3
+ 6𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 + 6 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥
=
𝑥4
4
+ 6
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝑐
=
𝑥4
4
+ 3𝑥2
+ 𝑥 + 𝑐
2. ∫ (𝑥2
+ 1 +
1
𝑥2+1
) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥2+1
𝑑𝑥
=
𝑥3
3
+ 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐
3.∫(5𝑥3
+ 2𝑥2
− 6𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑑𝑥
= 5
𝑥4
4
+
2𝑥3
3
−
6𝑥2
2
+ 3𝑥 + 𝑐
= 5
𝑥4
4
+
2𝑥3
3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 + 𝑐
4.∫ 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑥
= 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑐|

4. 5.∫(8𝑥5
− 5𝑥4
− 4𝑥3
− 6𝑥2
− 2𝑥 − 3)𝑑𝑥 = 8 ∫ 𝑥5
𝑑𝑥 − 5 ∫ 𝑥4
𝑑𝑥 −
4 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 −
2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑑𝑥
= 8
𝑥6
6
− 5
𝑥5
5
− 4
𝑥4
4
− 6
𝑥3
3
−
2
𝑥2
2
− 3𝑥 + 𝑐
=
4𝑥6
3
− 𝑥5
− 𝑥4
− 𝑥3
− 𝑥2
−
3𝑥 + 𝑐

5. FÓRMULA #2:
EJEMPLOS:
1.∫ 𝑥
−3
4 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
−3
4 𝑑𝑥
=
𝑥
1
4
1
4
+ 𝑐
= 4𝑥
1
4 + 𝑐
2. ∫ √ 𝑥3
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
1
3 𝑑𝑥
=
𝑥
4
3
4
3
+ 𝑐
=
3𝑥
4
3
4
+ 𝑐
3. ∫(2 − √ 𝑥)2
𝑑𝑥 = ∫(2 − √ 𝑥)2
𝑑𝑥
=
(2 − √ 𝑥)
3
3
+ 𝑐

6. 4. ∫ 14(𝑥 − 5)6
𝑑𝑥 = 14 ∫(𝑥 − 5)6
𝑑𝑥
= 14
( 𝑥−5)7
7
+ 𝑐
= 2(𝑥 − 5)7
+ 𝑐
5. ∫ 𝑥(1 +
1
𝑥
)3
𝑑𝑥 = 𝑥 ∫(1 +
1
𝑥
)3
𝑑𝑥
= 𝑥
(1+
1
𝑥
)
4
4
+ 𝑐

7. FÓRMULA #3:
EJEMPLOS:
1.∫ (
3
𝑥5
−
2
𝑥2
−
6
𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫
3
𝑥5
𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥2
𝑑𝑥 − ∫
6
𝑥
𝑑𝑥
= 3 ∫ 𝑥−5
𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥−2
𝑑𝑥 − 6 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
= −
3
4𝑥4
+
2
𝑥
− 6𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
2.∫(
𝑥2
√ 𝑎2+𝑏2
−
3𝑥
√ 𝑎
− 5√ 𝑏) 𝑑𝑥 = ∫
𝑥2
√ 𝑎2+𝑏2
𝑑𝑥 − ∫
3𝑥
√ 𝑎
𝑑𝑥 − ∫ 5 √ 𝑏 𝑑𝑥
= ∫ 𝑥2
(𝑎2
+ 𝑏2
)
−1
2 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥 (𝑎)
−1
2 𝑑𝑥 −
5 ∫(𝑏)
−1
2 𝑑𝑥
=
1
√ 𝑎2+𝑏2 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 −
3
√ 𝑎
∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 5√ 𝑏 ∫ 𝑑𝑥
=
𝑥3
3√ 𝑎2+𝑏2
−
3𝑥2
2√ 𝑎
− 5 √ 𝑏 𝑥 + 𝑐
3.∫ (
5
√ 𝑥
3 − 4√ 𝑥3
)𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥
−1
3 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑥
1
3 𝑑𝑥
= 5
𝑥
2
3
2
3
+ 4
𝑥
4
3
4
3
+ 𝑐
=
15𝑥
2
3
2
+
𝑥
4
3
3
+ 𝑐 =
15 √ 𝑥23
2
+
𝑥 √ 𝑥
3
3
+ 𝑐

8. 4.∫(𝑦
5
2 − 5𝑦
4
3 − 2𝑦
1
4 − √ 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑦
5
2 𝑑𝑦 − 5 ∫ 𝑦
4
3 𝑑𝑦 − 2 ∫ 𝑦
1
4 𝑑𝑦 −
∫ √ 𝑦 𝑑𝑦
=
𝑦
7
2
7
2
−
5𝑦
7
3
7
3
−
2𝑦
5
4
5
4
−
𝑦
3
2
3
2
+ 𝑐
=
2𝑦
7
2
7
−
15𝑦
7
3
7
−
8𝑦
5
4
5
−
2𝑦
3
2
3
+ 𝑐
5.∫ 𝑥3
(3 − 𝑒 𝑥3
) = ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 −
1
3
∫ 3𝑥2
𝑒 𝑥3
𝑑𝑥
𝑣 = 3 − 𝑒 𝑥3
= 3
𝑥3
3
−
1
3
𝑒 𝑥3
+ 𝑐
𝑑𝑣 = −𝑒 𝑥3
∙ 3𝑥2
= 𝑥3
−
1
3
𝑒 𝑥3
+ 𝑐

9. FÓRMULA #4:
EJEMPLOS:
1.∫ 5𝑥4
𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
= 5
𝑥5
5
+ 𝑐
= 𝑥5
+ 𝑐
2.∫ 𝑏𝑥3
𝑑𝑥 = 𝑏 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
= 𝑏
𝑥4
4
+ 𝑐
3. ∫ √3 𝑥2
𝑑𝑥 = √3 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
=
√3𝑥3
3
+ 𝑐
4.∫ 5 √ 𝑥4
𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥
1
4 𝑑𝑥
=
5𝑥
5
4
5
4
+ 𝑐
=
20𝑥 √ 𝑥
4
5
+ 𝑐
= 4𝑥 √ 𝑥4
+ 𝑐
5. ∫
6𝑑𝑥
√ 𝑥
3 = 6 ∫
𝑑𝑥
√ 𝑥
3
= 6 ∫ 𝑥
−1
3 𝑑𝑥
=
6𝑥
2
3
2
3
+ 𝑐
=
18𝑥
2
3
2
+ 𝑐
= 9𝑥
2
3 + 𝑐

10. FORMULA #5:
EJEMPLOS:
1.∫(𝑎𝑥2
− 𝑏)5
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2𝑎
∫ (𝑎𝑥2
− 𝑏)5
2𝑎𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑎𝑥2
− 𝑏 =
1
2𝑎
∙
( 𝑎 𝑥2−𝑏)6
6
+ 𝑐
𝑑𝑣 = 2𝑎𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =
( 𝑎𝑥2−𝑏)6
12𝑎
+ 𝑐
2. ∫ 𝑡2
(𝑡3
− 4)2
𝑑𝑡 =
1
3
∫(𝑡3
− 4)2
3 𝑡2
𝑑𝑡
𝑣 = 𝑡3
− 4 =
1
3
∙
( 𝑡3−4)
3
3
+ 𝑐
𝑑𝑣 = 3𝑡2
𝑑𝑡 =
( 𝑡3
−4)
3
9
+ 𝑐
3.∫
5𝑑𝑥
(3𝑥−4)2
= 5 ∫
𝑑𝑥
(3𝑥−4)2
𝑣 = 3𝑥 − 4 =
5
3
∫(3𝑥 − 4)−2
3𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 3 𝑑𝑥 =
5
3
∙
(3𝑥−4)−1
−1
+ 𝑐
= −
5
3(3𝑥−4)
+ 𝑐

11. 4.∫
8𝑥 𝑑𝑥
(2𝑥2+5)4
=
8
4
∫(2𝑥2
+ 5)−4
4𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 2𝑥2
+ 5 = 2 ∫(2𝑥2
+ 5)−4
4𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 4𝑥 𝑑𝑥 = 2
(2𝑥2
+5)
−3
−3
+ 𝑐
= −
2
3(2𝑥2+5)3
+ 𝑐
5.∫ 𝑒3𝑥(1 − 𝑒3𝑥)2
𝑑𝑥 = −
1
3
∫(1 − 𝑒3𝑥)2
−3𝑒3𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = 1 − 𝑒3𝑥
= −
1
3
∙
(1−𝑒3𝑥)
3
3
+ 𝑐
𝑑𝑣 = −𝑒3𝑥
∙ 3 𝑑𝑥 = −
(1−𝑒3𝑥 )
3
9
+ 𝑐
𝑑𝑣 = −3𝑒3𝑥
𝑑𝑥

12. FÓRMULA #6:
EJEMPLOS:
1.∫
4𝑑𝑥
𝑥
= 4 ∫
𝑑𝑥
𝑥
= 4𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
2.∫
5𝑑𝑥
2𝑥
=
5
2
∫
𝑑𝑥
𝑥
=
5
2
𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
3.∫
𝑑𝑥
2+3𝑥
= ∫
1
3
∙
𝑑𝑣
𝑣
𝑣 = 2 + 3𝑥 =
1
3
∫
𝑑𝑣
𝑣
𝑑𝑣 = 3 𝑑𝑥 =
1
3
𝑙𝑛𝑣 + 𝑐
𝑑𝑣
3
= 𝑑𝑥 =
1
3
ln(2 + 3𝑥) + 𝑐
4.∫
𝑥𝑑𝑥
3𝑥2−4
=
1
6
∫
6𝑥𝑑𝑥
3𝑥2−4
𝑣 = 3𝑥2
− 4 =
1
6
ln(3𝑥2
− 4) + 𝑐
𝑑𝑣 = 6𝑥 𝑑𝑥
5.∫
𝑑𝑥
𝑥+3
= ∫
𝑑𝑥
𝑥+3
𝑣 = 𝑥 + 3 = ln( 𝑥 + 3) + 𝑐
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

13. LIBROS UTILIZADOS:

14. PÁGINAS DE DONDE SE SACARON LOS
PROBLEMAS