mod_geo_primer_grad_2010

PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA
GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-
Práctico, del curso de Geometría y Medición correspondiente al área de Matemática, el
cual permitirá a nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de
sostenerla y aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la
educación del país.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido
lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.

Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, está asegurada.

La Dirección

1er Año Geometría y Medición 2

COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”

Geometría plana
conceptos primitivos – estudio
de la recta
MS.c Miguel Ángel Yglesias Jáuregui
I Bimestre

Historia de la Geometría

¿En qué momento apreció el hombre la
Introducción. maravillosa idea de lo que es un punto? ¿Cuándo
comprendió las propiedades básicas de la línea?
¿Cómo tuvo conciencia de lo que es una
La presente obra, está dirigida a
superficie? ¿Cuándo empezó apreciar la forma
estudiantes que cursan el primer año de
de las cosas? ¿Cuándo tuvo conciencia de lo que
educación secundaria en la Institución
es grande o pequeño, o lo que es
Educativa “Víctor Valenzuela Guardia”
extremadamente grande o extremadamente
(COCIAP), de la UNASAM, y ha sido elaborada
pequeño? A pesar de la complejidad que hay
en base al módulo de “Geometría y Medida”
detrás de estas ideas, el hombre parece no
aplicado el año 2009. Contiene los tópicos de
necesitar demasiado para entenderlas porque
geometría y medida, cuyos contenidos han sido
forman parte de sí mismo. Son componentes
tomados de acuerdo a la programación que hace
fundamentales de su inteligencia.
el Ministerio de Educación. En la elaboración de
Es difícil contestar por qué ocurre esto,
esta obra se ha tenido en cuenta consignar
pero a decir verdad el ser humano no ha
aparte de los contenidos conceptuales, el
desarrollado los conceptos que comprende la
desarrollo de actividades que deben permitir al
geometría como un ejercicio intelectual, lo ha
estudiante, potencializar un conjunto de
hecho porque le es claro cómo aprovechar
habilidades que están enmarcadas dentro del
algunos hechos más evidentes y esto le abre
razonamiento y demostración, pensamiento
nuevas vías de conocimiento que al
geométrico, asimismo habilidades de tipo
desarrollarse vuelven a ser de utilidad y así
procedimental.
sucesivamente en un ciclo interminable. La
Al estudiante a quien va dirigida esta
magnífica construcción que el hombre ha hecho
obra, se le recomienda practicar los ejercicios y
de la geometría es en verdad enorme, sin
problemas, realizar dibujos al momento de la
embargo sus principios básicos son accesibles a
resolución del ejercicio o problema, el cual le
cualquier persona
permitirá visualizar los datos y así desarrollar
Observemos por ejemplo la actitud de
el pensamiento geométrico indicado más arriba.
un niño mirando pacientemente la inquietud de
Asimismo, se le recomienda tener habilidades
un grano de polvo vagando en el aire, en el fondo
en resolución de ecuaciones y sistemas de
este niño está haciendo geometría. El grano de
ecuaciones, pues siempre los problemas
polvo es pequeño e insignificante, sin embargo
geométricos se resuelven mediante técnicas del
el niño fácilmente puede comprender que ése
álgebra.
es el bloque formador de todo lo existente.

CONCEPTO: La geometría es parte de la
Continuemos observándolo, ahora matemática que trata del estudio de figuras
extiende su dedo y después de rascar el muro geométricas, de sus propiedades y su extensión.
mira a contraluz el resultado que es verdad También podemos decir que la geometría es una
sorprendente: el muro está hecho de granos de rama de la matemática que trata con medidas,
polvo, pequeños e insignificantes. Ahora el niño propiedades y relaciones entre puntos, líneas,
repite el mismo ejercicio con su propia piel y ángulos, superficies y sólidos
con los objetos que le rodean, entonces en su Etimológicamente la palabra geometría
mente se forma una idea clara: todo su entorno proviene de las raíces griegas: geo = tierra y
está hecho de granos de polvo. metron = medida; de lo que se deduce que la
Pero un grano de polvo se puede dividir, geometría literalmente quiere decir “medida de
y aún dividir el resultado de la división y la tierra”, es decir “agrimensura”, lo cual nos
continuar sin fin. ¿Qué queda después de indica que uno de los orígenes de la geometría
repetir un millón de veces la división de un fue práctico y surgió de la necesidad de medir
grano de polvo? Lo que queda es en extremo la tierra, para luego con el transcurrir del
pequeño, casi no tiene peso ni dimensiones, se tiempo, ésta se transforme en una ciencia.
parece a la nada y sin embargo existe en el Como se dijo, la geometría tuvo un origen
universo. práctico, agrario (extensión de un terreno), Lo
¿Y qué hay de la línea recta? ¿Se puede que se aprendió a medir (con los geómetras
intuir a partir de la imaginación humana? Bien, griegos) fue la extensión de una línea, recta o
miremos hacia la luz de un foco y luego curva; de una superficie limitada por líneas y de
cerremos nuestros ojos lentamente. Lo que se un volumen limitado por superficies. Pero
ve son segmentos rectilíneos emergiendo del rápidamente la expresión medir adquirió entre
origen de la luz. Hagamos ahora otra cosa, los griegos un sentido muy general de
imaginemos a un hombre primitivo pendiendo de "establecer relaciones". Desde las antiguas
una liana. ¿No es éste un modelo de segmento civilizaciones surgió la necesidad de medir
rectilíneo? Será aun más interesante el cuadro distancias entre puntos o localidades, como así
con un león hambriento esperando en tierra la también cantidades y volúmenes de objetos, por
caída de nuestro amigo, para este último no es lo que se comenzaron a conocer conceptos tales
difícil comprender que la trayectoria que hará como punto, recta, plano, etc.
las delicias del león es la línea que va directo Más tarde seria en la civilizaciones de Egipto,
hacia abajo, y entenderá, nadie sabe cómo pero Asiria, India, en donde se hablaría de figuras
lo entenderá, que la longitud del segmento geométricas y la noción de ángulo,
rectilíneo que le separa de las fauces de la principalmente en Grecia (Siglo VI y III a.C.)
fiera, para su desgracia, la distancia más corta donde tuvo su principal desarrollo. Durante los
posible. años 330 y 275 a. c. en Alejandría vivió un
Y así podríamos continuar analizando las hombre que sistematizó y amplió los
manifestaciones de nuestra intuición en conocimientos geométricos. Sin embargo en
materia geométrica para al fin entender lo aquella época su obra, en la cual establece las
natural que nos resultan estas ideas. Esto relaciones entre conceptos primitivos y sus
justifica sin duda por qué las civilizaciones más principales propiedades, pasa desapercibida. Hoy
notables del planeta han hecho geometría, y una en día solo nos queda un nombre, Euclides, y a
buena medida de su grado de avance se ha través de comentarios, la existencia de trece
establecido en términos del conocimiento libros Stoikheia (elementos), en los que se
geométrico que alcanzaron. encontraban los axiomas y teoremas deducidos
Lectura tomada de [1]


por él, los serán estudiados en el transcurso de LA RECTA: Como idea de recta se tiene el
la asignatura. borde de una regla, un hilo extendido, el borde
de una mesa, etc.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA – Podemos pensar la recta como un
CONCEPTOS PRIMITIVOS conjunto de puntos alineados en una dirección,
extendiéndose infinitamente en ambos
El término de concepto primitivo hace sentidos, algunas características de la recta
referencia a aquellos elementos sobre los son las siguientes:
cuales se construye la geometría, sin embargo, • No tiene principio ni fin.
dichos elementos sólo son entes abstractos que • Es infinita en ambos sentidos.
la mente los concibe, a los cuales no podemos • Contiene un conjunto infinito de puntos:
definir, sólo aceptar en nuestro modo de Al respecto se afirma, que entre dos
razonar. Dichos conceptos primitivos son: el puntos distintos, siempre es posible
punto, la recta, el plano y el espacio. encontrar al menos un punto entre ellos.
Tenga en cuenta que la Geometría es
una rama de la Matemática, que justamente Representación: Una recta se representa
tiene como cimientos a estos conceptos mediante una línea con flechas en sus extremos.
primitivos, a partir de los cuales se establecen A continuación se muestran figuras que
los axiomas y postulados, los cuales a la vez van representan una recta y sus formas de
a servir de sustento para que a partir de ellos, notación.
a través de razonamientos, se construyan los
Teoremas. Este proceso en cadena, es L
justamente el método que a través de siglos, A B
han dado origen a la Geometría. Notación:
Notación:
Se lee: recta .
Se lee: recta
EL PUNTO: Como idea de punto se tienen las
marcas de un lápiz sobre un papel, una partícula EL PLANO: Como idea de plano tenemos la
de polvo, un punto ortográfico, etc. superficie de una cancha de fulbito, la
Un punto es un objeto ideal, abstracto, superficie de una mesa, el piso del aula, etc.
que no tiene dimensiones, sin embargo nos será Representación: Un plano se representa
útil en geometría para indicar una posición. mediante un paralelogramo designándose con
Representación: Un punto será representado una letra mayúscula en una de sus esquinas.
mediante una marca redonda y se le designará
P
con letras mayúsculas.

A

B EL ESPACIO: Como idea de espacio tenemos el
C
lugar geométrico que se extiende
indefinidamente, y que contiene a la totalidad
Más adelante, el punto nos servirá para de los objetos geométricos y de cosas
determinar una posición, aun más, será posible existentes imaginables.
hablar de las coordenadas de un punto.



Actividad: Observación: el punto se llama punto
1. Describa algunos objetos del mundo frontera y no pertenece a ninguna de
real, en los cuales sea posible las semirrectas.
identificar: puntos, rectas y planos. B. El rayo: Un rayo es la unión de una
2. Elabore un resumen acerca de la vida y semirrecta con su punto frontera.
obra de “Euclides”
A O B
3. ¿Qué es un axioma?
4. ¿Qué es un Teorema?
5. ¿Cuándo dos rectas son paralelas?
A O O B
6. ¿En qué consiste el quinto postulado de
Euclides? Se denota por Se denota por
, y se lee: El , y se lee: El
rayo , . rayo , .
A continuación iniciamos el estudio detallado
de los elementos de una Recta. El punto en cada uno de los casos es el
origen del rayo.
LA RECTA
Como se dijo anteriormente, el borde de una C. El segmento
regla, el pliegue de una hoja doblada, etc., nos Un segmento es la porción de recta que
dan una idea aproximada de lo que es una se encuentra entre dos puntos. Los
Recta. puntos que determinan un segmento se
La recta es una línea que se extiende llaman puntos frontera y forman parte
indefinidamente en ambos sentidos. Se lo del segmento.
considera como un sub conjunto de plano, el A B
cual a la vez contiene infinitas rectas.
En una recta podemos identificar los A B
siguientes subconjuntos:
Se denota por , y se lee el
segmento , .
I. SUBCONJUNTOS DE LA RECTA
En una recta podemos identificar: (i) Medida de un Segmento: Un
A. La semirrecta: Si sobre una recta segmento tiene la propiedad de ser
se escoge un punto entre y , El medible, es decir posee longitud. La
punto divide a la recta en dos longitud del segmento se denota
subconjuntos (o partes), los cuales se mediante , y es la distancia que hay
llaman semirrectas de origen . Tenga desde el punto , hasta el punto .
en cuenta que el punto no es parte de (ii) Congruencia de un Segmento: El
ninguna de las semirrectas. segmento es congruente al
segmento , lo cual se denota
A O B
mediante ≅ , si y sólo si,
= . Es decir: tienen igual
longitud.
A O O B (iii) Sistemas de medida de longitud
Se denota por Se denota por La medición de un segmento se hace
, y se lee: , y se lee: por comparación con una medida
La semirrecta La semirrecta estándar. Dentro de las medidas
, . , .


estándar se tiene a los siguientes para medir la mesa de centro en tu
sistemas de medición: habitación?
4. Un automóvil recorrió 500 millas, ¿a cuánto
Sistema métrico decimal equivale en kilómetros?
1 Kilómetro(Km) 1000 m 5. En la etiqueta de un carrete de hilo de
1 Hectómetro (Hm) 100 m pescar se puede leer que la longitud de hilo
1 Decámetro(Dm) 10 m es de 50 yardas, ¿cuántos metros de hilo
1 metro(m) 1m contiene dicho carrete?
1 decímetro(dm) 0,1 m 6. ¿Qué es el punto medio de un segmento?
1 centímetro(cm) 0,01 m 7. Usando una cinta métrica, realice mediciones
1 milímetro(mm) 0,001 m sobre algunos objetos de tu aula.
Ejemplo:
Sistema inglés Con respecto a la figura que se muestra, realizar
Las unidades de medida usadas en el sistema las operaciones siguientes:
inglés son la milla, la yarda, el pie y la pulgada,
cuyas equivalencias con unidades del sistema
métrico decimal son las siguientes:
1 milla = 1609,34m
1 yarda = 0,9144 m 1) AM + MN – NB
1 pie = 30,48 cm Rpta. _ _ _ _ _ _
1 pulgada = 2,54cm 2) 2AM + 3MN
Rpta. _ _ _ _ _ _
Operaciones con Segmentos 3) AM . MN + MN . NB
Las operaciones se realizan con los Rpta. _ _ _ _ _ _
números que indican las longitudes. 2AM . NB
4)
En la siguiente figura: MN + NB
19
Rpta. _ _ _ _ _ _

PROBLEMAS PARA LA CLASE
= + +
Es decir: la medida de todo el segmento 1. En una recta se toman los puntos
es la suma de las longitudes de sus consecutivos P, Q y R, PR =20; QR = 4.
partes: Hallar PQ

2. Si: M y N son puntos medios de ó
Actividad
. Calcular: AB
1. Elabore un mapa conceptual sobre los temas:
elementos de la geometría y la recta.
2. El tamaño de una pantalla de televisor se
expresa mediante pulgadas (‘’). Así por
ejemplo, se habla de televisores de 14’’, 21’’, 3. Si: AC + AB = 32. Hallar BC
40’’, etc. Aludiendo a la medida de la diagonal
de su pantalla. En casa, usando una cinta
métrica, realiza la medida de la pantalla de
tu televisor. 4. Del gráfico = 30 , calcular .
3. ¿Cuál es la unidad más idónea para medir la
distancia de Huaraz a Lima? ¿y la más idónea
A B C D

14. En una recta se ubican los puntos
5. Calcular BC, si AC = 9; BD = 11, AD = 15 consecutivos , , y , tal que: =5 ,
"
= 32 y = . Calcular .
! #
15. En una línea recta se ubican los puntos
consecutivos , , y . Si = ,
= 10 y = 12 . Calcule .
consecutivos , , y , tal que: =
2 , = , = 40 . Calcule . Tarea Domiciliaria
consecutivos , , y , tal que: = , 1. En una recta se toman los puntos
= , = 60 . Calcule . consecutivos A, B y C; AC = 30, BC =
12. Hallar AB.
8. Una cuerda de 30 cm se ha dividido en
A) 16 B) 15 C) 14
tres partes, sus longitudes medidas en
D) 18 E) 20
centímetros forman una progresión
aritmética de razón 2. Halle la longitud de 2. Si: 2AB = 3BC = 7CD = 84, Hallar AC.
la parte más pequeña.

9. En una misma carretera están ubicadas las
ciudades , y . ¿Qué distancia hay 3. Si: B y C son puntos medios de y .
entre y , si del punto medio de al Hallar AD.
punto medio de hay 10 km?
10. En una misma carretera se encuentran los
paraderos , y , a mitad del trayecto
se encuentra el peaje y a mitad del
trayecto se encuentra el peaje . Si los 4. Si: AB = CD = 18; BC = DE = 16. Hallar

peajes se encuentran separados 15 km, la longitud del segmento que une los

¿qué distancia separa de los paraderos y puntos medios de y

?
11. En una calle recta de 190 m de longitud,
están ubicados 20 árboles separados a
igual distancia. Calcular la distancia de
separación, si en los extremos de la calle 5. Si: AC + BD = 36. Hallar AD
hay árboles.
12. En un terreno de forma cuadrada se ubica
un bastón en cada esquina y cada 20m otro
bastón, ¿cuántos bastones se han puesto si
el perímetro del cuadrado es de 320 m?
13. Un rayo derriba un árbol y lo rompe en tres
consecutivos A, B y C tal que AB – BC = 6 y
pedazos, uno de ellos mide el doble que
AB + BC = 10. Hallar AB
otro y el restante mide 10 m. Si el árbol
7. En una recta se ubican los puntos A, B, C y
en pie medía 40 m, ¿cuánto mide el pedazo
AB CD
más pequeño? D tal que = BC = , siendo AD = 12.
3 2
Calcule BC.


8. En una recta se ubican los puntos D) 11 E) 12
consecutivos A, B y C tal que AB = 2BC y AC
15. Si: 3PQ = 4QR = 5RS = 60. Calcular PS
= 6. Calcule: BC
9. Si: M es punto medio de y AC – CE = 32.
Hallar MC

A) 41 B) 43 C) 47
D) 48 E) 60

10. Si: AB = 10, BC = 18. 16. Si: M y N son puntos medios de y ,
Hallar BM, siendo M punto de Hallar PQ

A) 24 B) 36 C) 48
11. Si M es punto medio de y AB + AC = 38. D) 46 E) 50
Hallar AM.
17. Si: N es punto medio de PR y PQ – QR
= 48.
Hallar NQ

12. Si P y Q son puntos medios de y
. Hallar MR

A) 15 B) 28 C) 29
D) 34 E) 17

18. En una calle recta de 280 m de longitud, se
encuentran ubicados una cantidad de
árboles separados a 20 m de distancia uno
A) 12 B) 20 C) 24 del otro. ¿Cuántos árboles hay en la avenida,
D) 26 E) 28 si hay un árbol en cada extremo?

13. Si: PR + PQ = 64. Hallar QR 19. Sobre una línea recta se tienen los puntos
consecutivos , , y tal que =2 ,
=3 y = 30 . Calcule .
20. Si N es punto medio de QR y además
PQ+PR=30. Hallar PN
A) 14 B) 15 C) 16
D) 18 E) 20

14. Calcular QR, si. PR = 18; QS = 22, PS = 30

A) 10 B) 15 C) 20
D) 30 E) 40

A) 8 B) 9 C) 10


de los egipcios. Lo que si está claro es que los
EL ÁNGULO griegos fueron muy respetuosos de la sabiduría
en oriente, Egipto y Babilonia.
LECTURA: La matemática prehelénica fue algo A pesar que este auge de los griegos fue
más que un empirismo factible, una colección de mucho más reciente que el de los egipcios,
procedimientos prácticos que si bien llegaron a actualmente no se tienen escritos griegos
aciertos notables, como es el caso de la fórmula originales sobre Geometría. La fuente más
para calcular el volumen de un tronco de importante sobre esta historia es el sumario de
pirámide cuadrada, puede llevar a errores como Eudemo escrito por Proclo quien vivió en el siglo
hubo varios. El razonamiento lógico se V d. de C., varios cientos de años después del
contrapone a los procedimientos empíricos decaimiento de la cultura griega. Este texto es
porque no basa sus aseveraciones en la un resumen de otra obra mucho más extensa y
observación, ciertamente la usa como medio para antigua escrita por Eudemo, alumno de
ganar intuición, pero es más bien el uso de la Aristóteles, en algún año anterior a 335 a. de C.,
lógica formal la que nos ayuda a encontrar la que también se llama el Sumario de Eudemo y
verdad. ahasta donde se puede apreciar por unas
Pongamos un ejemplo, sabemos que cuantas hojas que se conservan de este trabajo,
todas las rocas son duras y sabemos además que se trató de un compendio muy completo de la
el cuerpo humano cuando cae desde una altura historia de los griegos.
superior a los dos metros sobre una cosa dura se
daña de manera severa. Si alguien nos propusiera DEFINICIÓN
lanzarnos de la azotea de una construcción Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un
sobre un conjunto de piedras desde una altura origen común.
de 10 metros, realmente no necesitamos
experimentar lo que puede pasar, seguro vamos ELEMENTOS
a resultar lastimados y esto es una consecuencia - Lados: Son los rayos y
lógica de los hechos que se enunciaron al - Vértice: Es el origen común “B”
principio de este párrafo.
Del mismo modo, si sabemos que dos Notación:
rectas a lo más se intersectan en un punto, En general los ángulos se designan con tres
entonces no es posible que por dos puntos dados letras mayúsculas; la letra central corresponde
pase más de una recta porque de lo contrario al vértice.
estas rectas se intersectarían en dos puntos y Algunas veces, cuando no hay lugar a
ya habíamos dicho que esto es imposible. Así, a confusión un ángulo se nombra con la letra del
partir de uno o varios resultados geométricos, vértice.
es posible demostrar otros sin necesidad de
hacer experimentos. No estamos diciendo que la ∧
experimentación sea inapropiada, al contrario, la ∢ABC, A B C
experimentación sirve para plantear conjeturas El símbolo ∢ se
y para corroborar los resultados que se lee “ángulo”
obtengan a partir del razonamiento lógico. Este
modelo de pensamiento es el que finalmente les MEDIDA DE UN ÁNGULO
permitió a los griegos construir la Geometría La medida de un ángulo está determinada por la
Sistemática o Matemática. abertura que forman los dos rayos que lo
No se sabe bien a bien cómo lograron conforman. Para realizar la medición de un
asimilar los griegos los conocimientos científicos


ángulo, se cuenta con tres sistemas de medida 7. Efectuar 128°30’56’’-53°56’58’’
muy conocidos: 8. Calcular: 190°-42°25’45’’
El sistema sexagesimal
El sistema centesimal BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Sistema radial Es el rayo que partiendo del vértice, divide al
ángulo en dos ángulos congruentes.
a. Sistema sexagesimal
Consiste en dividir el ángulo de una vuelta
(circunferencia) en 360 partes iguales
(ángulos iguales), de modo que cada una de
esas partes se toma como unidad de medida y
se le llama grado sexagesimal (1°). De este
modo una vuelta consiste de 360 grados
∧ ∧
sexagesimales. Asimismo, un grado se vuelve Divide al ∢A0B en dos ángulos. A 0 P y P 0 B
a dividir en 60 partes iguales, siendo cada que son congruentes por tener la misma medida
una ellas un minuto sexagesimal (1’). Si un “α” luego.
minuto sexagesimal se divide nuevamente en
es bisectriz de ∢A0B
60 partes iguales, cada una de ellas es un
segundo sexagesimal.
Actividad:
1 vuelta = 360°
1. Usando regla y compás, determine la
1° = 60’
bisectriz de cualquier ángulo.
1’ = 60’’
2. Dibuje un ángulo de 55°, luego usando regla y
El instrumento que se usa para medir ángulos
compás, dibuje la bisectriz del ángulo.
en este sistema se llama transportador.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN
b. Sistema centesimal
SU MEDIDA
Consiste en dividir el ángulo de una vuelta, en
400 partes iguales, siendo cada una de ellas
Ángulo Nulo
un grado centesimal (1g)
Cuando sus dos lados coinciden midiendo de
1 vuelta = 400g
esta manera 0º.
c. Sistema radial
Su unidad de medida es el radián

ACTIVIDAD . m∢A0B = 0º .
1. Realice con el Profesor una experiencia,
mediante la cual determine, en qué consiste Ángulo Agudo
un radián. Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y
2. Usando tu transportador, dibuja ángulos mayor que 0º.
cuyas medidas sean: 25°, 40°, 75°, 90°,
125°, 175°, 275° y 340°.
3. Convertir 1224’’ en minutos y segundos.
4. Exprese 24356’’ en grados, minutos y
segundos.
5. Expresar 32546’’ en grados minutos y
segundos.
. 0º < m∢A0B < 90º .
6. Efectuar: 79°50’24’’+20°42’18’’.


Ángulo Recto
Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.

Ángulo Opuestos por el Vértice
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y
sus lados son opuestos (tienen la misma medida)
. m∢A0B = 90º .

Ángulo Obtuso
Es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero
mayor que 90º.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN
LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS
. 90 < m∢A0B < 180º .

Ángulo Complementarios
Ángulo Llano
Dos ángulos son complementarios si la suma de
Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se
sus medidas es 90º.
encuentran extendidos en direcciones opuestas)

. m∢A0B = 180º .

Ángulo de una Vuelta . α + β = 90º .

Es el ángulo cuya medida es 360º
Ángulo Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus
medidas es 180º

. m∢A0B = 360º .

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulo Consecutivos
Son los que tienen lados en común y el mismo
α + β = 180º .
vértice


Actividad:
1. Elabore un mapa conceptual referente al PROBLEMAS PARA LA CLASE
tema de ángulos. 1. En la figura, hallar “θ”
2. Dibuje ángulos que sean opuestos por el
vértice, luego con la ayuda del transportador
mida los ángulos opuestos y compruebe que
tienen la misma medida.
3. Con la orientación de tu profesor, descubre
una propiedad mediante la cual se pueda
determinar el complemento o el suplemento
2. Hallar “x”
aplicado a un ángulo muchas veces.

TEOREMAS FUNDAMENTALES

Teorema I
La suma de las medidas de los ángulos
consecutivos formados alrededor de un mismo ∧
3. Se tiene los ángulos consecutivos A 0 B ,
vértice y a un mismo lado de una recta es 180º ∧ ∧
B 0 C y C 0 D , m∢A0C=60º y m∢BOD=40º,
∧ ∧
m∢ B 0 D =80º. Hallar m∢ B 0 C .
4. En la figura, hallar “α”

. α + β + θ + φ = 180º . 5. En la figura mostrada, hallar “α”

Teorema II
La suma de las medidas de los ángulos
consecutivos formados alrededor de un punto en
un plano es 360º.

6. En la figura mostrada: α=3x – 10º;
β=2x+5º. Hallar el complemento de “α”

. α + β + θ + γ + φ = 360º .


7. En la figura mostrada, es bisectriz del 16. Si el suplemento de “x” es igual a “2x”.
ángulo A0B, es bisectriz del ángulo B0C, Hallar “x”

m∢A0C = 72º. Hallar m∢x0y

Tarea Domiciliaria

1. En la figura, hallar “α”

8. En la figura, Calcular el valor de “θ”, si
α=x+5º, β = x + 20º ; θ = 4x + 10º, φ = 100º -
x.

A) 12º B) 20º C) 10º
D) 15º E) 16º

2. Hallar “x”

9. En la figura, m∢A0D = 90º. Determinar el
valor de “x”

A) 90º B) 80º C) 100º
D) 110º E) 120º
∧
3. Se tienen los ángulos consecutivos A 0 B ,
∧ ∧
B 0 C y C 0 D . m∢A0C=50º, m∢B0D=30º. Y
10. Calcula el complemento y el suplemento del m∢A0D=70º.
ángulo que mide 30°28’16’’
Hallar m∢B0C
11. Hallar el suplemento del complemento
de 20º A) 5º B) 10º C) 15º
12. Hallar el complemento de un ángulo que D) 20º E) 25º
mide el doble de 16º. 4. En la figura, calcular “α”
13. Halar el suplemento de la mitad de un
ángulo que mide 66º.
14. El suplemento de θ es igual a 4θ; hallar “θ”
15. El complemento de “α” más el suplemento de
“α” es igual a 170º. Hallar “α”

A) 70º B) 80º C) 90º C) 23º D) 23º30'
D) 100º E) 60º E) 24º

5. En la figura, m∢A0D = 100º. Hallar el valor 10. Hallar el suplemento del complemento de

de “x”. 40º.
A) 120º B) 130º C) 140º
D) 110º E) 90º

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS
RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA
SECANTE A ELLAS.

A) 15º B) 12º C) 10º Lectura: Tales de Mileto (640- 546 a.C)
D) 15º E) 16º Nació y murió en la ciudad de Mileto
(en lo que actualmente es Turquía). La opinión
antigua es unánime al considerar a Tales como
6. En la figura que se muestra, hallar “x”
un hombre excepcionalmente inteligente y
como es primer filósofo, el primero de los
siete sabios griegos.
El hecho, concreto que más aseguró su
reputación fue la predicción de un eclipse de
sol, que tuvo lugar exactamente en el año que
él había predicho.
A) 10º B) 15º C) 20º Igualmente fue el primero en mantener que
D) 25º E) 30º la luna brillaba por el reflejo del sol. Tomó
7. En la figura mostrada: α=4x–15º y β=x–5. prestada la geometría de los egipcios y dio en
Calcular el valor de . ella un avance fundamental ya que fue el
primero en emprender la tarea de demostrar
exposiciones matemáticas mediante series
regulares de argumentos. En otras palabras
inventó la matemática deductiva. Se le asignan
entre otros, los siguientes teoremas: 1°
Teorema de Tales: un ángulo inscrito en una
semicircunferencia es un ángulo recto. 2° Todo
círculo queda dividido en dos partes iguales por
A) 52º B) 42º C) 32º un diámetro. 3° Los ángulos básicos en un
D) 22º E) 12º triángulo isósceles son iguales, etc.
Tales busca el fundamento natural de las
8. Hallar el complemento del complemento del
cosas y cree, al respecto, que el principio
complemento de 50º
originario, la sustancia primordial de todas las
A) 40º B) 50º C) 60º
cosas, es el agua. Pensaba asimismo que el agua
D) 80º E) 30º
llenaba todo el espacio. Se imaginaba a la tierra
9. El suplemento de un ángulo es 5θ y el como un gran disco flotando sobre las aguas,
complemento del mismo ángulo es θ. sobre las cuales existiría una burbuja
¿Cuál es ese ángulo? hemisférica de aire, nuestra atmósfera
A) 20º B) 22º30' sumergida en la masa líquida. La superficie
1 er Año Geometría y Medición
15

convexa de la burbuja sería nuestro cielo y los
astros según expresión de Tales “Navegarían
por las aguas de arriba”. Escribió un libro de
navegación y se decía que usó la constelación de
la Osa Menor que él había definido como una
característica importante de la navegación. Se Si: // , Entonces:
cree que Tales pudo haber sido maestro de
Anaximandro y que fue el primer filósofo
natural de la escuela milesiana. . α=β .

Actividad: Con la orientación del profesor Propiedad
dibuje rectas paralelas usando regla y compás.

1. Alternos

Internos Externos

Si: //

Entonces:

x=α+β .

Si: // Si: //
1. En la figura // . Aplicando las
Entonces: Entonces:
propiedades que conoces calcula todos los
. α=β . . θ=γ . ángulos que faltan.

2. Ángulos Conjugados
Internos Externos

ángulos que faltan.
Si: // Si: //

Entonces: Entonces:

. α + β = 180º . . θ + γ = 180º .

3. Ángulos Correspondientes



8. Si: // Hallar “x


9. Si: // Hallar “x

5. En la figura identifica qué tipo de parejas
son los ángulos “marcados” y escribe la 10. Si: // Hallar “x
propiedad que le corresponde, sabiendo que:
// .

Tarea Domiciliaria

6. Si: // . Hallar “x”
1. Dos ángulos son complementarios, uno de
ellos mide 38°24’52’’. Hallar la medida del
otro ángulo.
2. Si el suplemento del complemento de un
ángulo es igual a 124°34’20’’. Hallar la
medida del ángulo.
3. La medida de un ángulo es igual a ocho
veces su complemento. Encontrar el
suplemento de dicho ángulo.
7. Si: // . Hallar “x


9. En la figura % es paralela con ", Calcular la
4. Los ángulos consecutivos y forman medida del ángulo que mide .
un ángulo que mide 130°. Hallar la medida
L1
del ángulo formado por sus bisectrices. 35'
5. Si: // Hallar “x+y”

40'
L2

10. En la figura mostrada, % es paralela con ",

Calcular la medida del ángulo que mide .

6. Si: // Hallar “x” y “2y” L1

150'
L2

11. Si las rectas %, " y & son paralelas,
¿cuánto vale en la siguiente figura:

(

L1

80' L2
7. Si: // Hallar “x”

L3

12. En la figura, las rectas %, " y & son
paralelas. Calcular la medida del ángulo que
mide .

L1
*+(
(
*
L2
*+(
8. En la figura adjunta, las rectas % y " son
L3
paralelas, ¿cuánto mide el ángulo
representado por ?

L1
65'

40'
L2



El Triángulo
MSc. Miguel Ángel Yglesias Jáuregui

II Bimestre
estudian están relacionados con las propiedades
Lectura: Euclides del triángulo.
Casi nada se sabe de Euclides, fuera de Grandes matemáticos dedicaron su
las noticias que menciona Proclo en su resumen tiempo al estudio de estas figuras y han
histórico, según el cual Euclides fue un sabio descubierto extraordinarias propiedades que se
Alejandrino que floreció hacia el 300 a.C, que cumplen el triángulo.
publicó numerosas obras científicas,
destacándose entre ellas los célebres Actividad
“Elementos”, cuya importancia científica y 1. Con la orientación de tu profesor, recorta
didáctica se pone en evidencia ante el hecho de tiras de papel de diferentes longitudes,
que hasta hace pocos años eran aún utilizados agrúpalos de tres en tres, luego pega por los
como texto escolar. Por lo demás, ese trabajo extremos para formar triángulos. Debes
fue siempre considerado como sinónimo de descubrir una propiedad, la cual te permita
geometría, y su extraordinaria difusión le decidir cuándo es posible construir un
permite rivalizar con las obras cumbres de la triángulo y cuando no.
literatura universal: la Biblia, la Divina Comedia, 2. Con tres medidas que te proponga el
el Quijote, etc. profesor, construye triángulos que tengan
Euclides se educó probablemente en por lados, dichas medidas exactas, usando
Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento regla y compás.
de la geometría elaborada en la escuela de 3. Con la propiedad que has descubierto en la
Platón, aunque no parece que estuviera parte 1, evalúa si es posible construir
familiarizado con las obras de Aristóteles. triángulos con las siguientes medidas:
Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran a) 6, 6 y 9 cm.
prestigio en el ejercicio de su magisterio b) 12, 15 y 21 cm.
durante el reinado de Tolomeo I Soter. c) 6, 9 y 18 cm.
d) 5, 6 y 11 cm.
CONCEPTO 4. Con la orientación de tu profesor, dibuja
El triángulo es una figura geométrica formada triángulos de diferentes tamaños, luego
por tres segmentos que resultan de unir tres recorta sus tres ángulos y júntalos por sus
puntos no colineales en el plano. vértices. Descubrirás con esta experiencia
una importante propiedad geométrica.
Los triángulos son las figuras más 5. Ahora dibuja triángulos de diferentes
importantes en el estudio de la geometría, gran tamaños, pero que todos ellos posean dos
parte de las propiedades y teoremas que se lados de igual longitud. Después de
identificar los lados iguales, recorta los

ángulos que se les oponen (o que están PROPIEDADES BÁSICAS
frente a ellos) en el triángulo. ¿qué ocurre 1. La suma de los ángulos interiores en un
con ellos? ¿tienen la misma medida? Enuncia triángulo es 180º
la propiedad que has descubierto con esta
experiencia.
6. Usando las rectas paralelas, demuestra que
la suma de los ángulos internos en un
triángulo es 180°.
7. Usando la propiedad anterior ¿qué ocurre si
sumas los ángulos externos del triángulo? . α + β + γ = 180º .
¿cuánto suman? Enuncia la propiedad.
8. Dibuja triángulos equiláteros de diferentes 2. Un ángulo exterior cualquiera es siempre
tamaños, luego con tu transportador mide igual a la suma de los ángulos interiores no
sus ángulos ¿qué ocurre? Enuncia la adyacentes a él.
propiedad que has descubierto.
9. Dibuja un triángulo, luego marca dos ángulos
internos y el ángulo externo no adyacente a
ellos. Recorta los ángulos internos y trata de
cubrir con ellos el ángulo externo, ¿qué
ocurre? ¿has descubierto alguna propiedad
con esta experiencia?
. γ=α+β .
10. Hay una propiedad que se llama la
propiedad del pantalón, pide a tu profesor
que lo enuncie, y con su orientación
1. Hallar α en:
demuestra dicha propiedad.
11. Pide a tu profesor, ejemplos con los cuales
puedas aplicar las propiedades
descubiertas.

CLASIFICACIÓN
Según la Medida de sus Lados

2. Hallar “x”:

Escaleno Isósceles Equilátero

Según la Medida de sus Ángulos 3. Hallar θ:

Obtusángulo Acutángulo Rectángulo
4.

5. Calcular “x”

11. Determinar “x”

6. Hallar “x”, si BD es bisectriz

12. Calcular “x”, si AB = BC = CD

7. Hallar “x” si SL es bisectriz

13. Determinar “x”. Si AB = BC,
BP = BQ

8. Hallar “x”

14. Hallar “θ”

∧ ∧ ∧ ∧
9. Hallar “x” en 15. Hallar la suma de los ángulos A , B , C , D
∧
y E.

10. En la figura, hallar “x”

16. Hallar “α” en:


4. Hallar “α” si:

17. En un triangulo Rectángulo, uno de sus
ángulos agudos es el doble del otro. Hallar el A) 30º B) 40º C) 38º
mayor de los ángulos. D) 25º E) 20º
18. En un triangulo isósceles la medida de su
5. Hallar “x” en:
ángulo diferente es igual al triple del ángulo
común. Cual es dicho ángulo.
19. Los angulos de un triangulo miden; x, 2x y
7x. Hallar el mayor de los angulos

Tarea Domiciliaria A) 70º B) 80º C) 90º
D) 60º E) 100º

1. Hallar “α” en: 6. Hallar “x” en:

A) 12º B) 13º C) 14º
D) 15º E) 16º A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 50º

A) 10º B) 20º C) 30º A) 15º B) 12º C) 11º
D) 40º E) 50º D) 10º E) 14º

3. Hallar θ en: 8. En la figura, hallar “x”

A) 10º B) 30º C) 20º
D) 40º E) 5º A) 30º B) 40º C) 50º


D) 60º E) 70º Tres de sus obras existentes están
dedicadas a la Geometría Plana. Son Medidas de
9. En la figura, hallar “x”
una Circunferencia, Cuadratura de la Parábola y
sobre Espirales. En la primera de estas obras,
Arquímedes propuso el método clásico para el
cálculo del número ,, que consiste en computar
sucesivamente el perímetro de polígonos
A) 5º B) 50º C) 30º regulares llevando el proceso al límites.
D) 60º E) 40º Sobre su vida no se sabe mucho. Su padre
10. Hallar el valor de “x” fue un astrónomo reconocido llamado Fidias que
tenía una relación muy cercana con el rey Hiero
II de Siracusa. Parte de su formación
matemática lo obtuvo en la Universidad de
Alejandría donde trabajó con sucesores
directos de Euclides, y posiblemente, con el
A) 10º B) 30º C) 40º mismo Euclides. Cuando regresó a Sicilia, Roma
D) 20º E) 60º y Cártago se encontraban luchando en las
Guerras Púnicas, y Sicilia era una posición
estratégica en el Mediterráneo para ambos
Líneas y Puntos Notables bandos. A Arquímedes se atribuyen la invención
de muchos mecanismos de aplicación en la
Guerra que le permitieron a Siracusa soportar
Lectura: Arquímedes
por buen tiempo el asedio Romano.
Arquímedes fue un gran matemático de todos
Aún después de la caída de Siracusa,
los tiempos, sin lugar a dudas el mayor de la
Arquímedes continuó estudiando matemáticas.
antigüedad. Nació en la ciudad griega de
Un día estaba haciendo diagramas en la arena y
Siracusa en la isla de Sicilia aproximadamente
estaba allí absorto en sus pensamientos cuando
en 287 a. de C., y murió durante el saqueo
los soldados romanos le derribaron.
romano de Siracusa en 212 a. de C.,
ALTURA:
Es altamente probable que Arquímedes haya
pasado cierto tiempo en Egipto, en la Segmento que sale de un vértice y corta en
Universidad de Alejandría, porque tenía forma perpendicular al lado opuesto o a su

estrechos lazos de amistad con matemáticos prolongación.

muy cercanos a Euclides.

A diferencia de sus predecesores, Arquímedes
no se dedicó a compilar resultados, sus trabajos
son completamente originales y hoy en día son
consideradas obras maestras de exposición
matemática que aún en la actualidad se utilizan
como modelos de producción científica.
Actualmente se tiene conocimiento de unos diez Ortocentro (H):
tratados de Arquímedes y se tiene conocimiento
Es el punto donde se intersectan las tres
de otros que se encuentran perdidos. Su
alturas de un triángulo.
contribución más importante a la Matemática es
su anticipación al cálculo integral,

H:es el Ortocentro.

INCENTRO (I):
MEDIANA: Es el punto donde se intersectan las tres
Segmento que une un vértice con el punto medio bisectrices interiores de un triángulo, es el
del lado opuesto a dicho vértice. centro de la circunferencia inscrita

BARICENTRO (G):

Es el punto donde se intersectan las tres
medianas de un triángulo. PARA RECORDAR.
G: es el Baricentro TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.

EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL
TEOREMA
TRIÁNGULO.
BG = 2GM
AG = 2GN EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR
CG = 2GS DEL TRIÁNGULO.

EXCENTRO (E):
PARA RECORDAR.
Es el punto donde se intersectan dos
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO. bisectrices exteriores con una bisectriz
DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES interior en un triángulo, es el centro de la
A 2. circunferencia exinscrita

EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.

ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE
GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.

BISECTRIZ:

Segmento que divide a un ángulo interior o
E: Encentro relativo de
exterior en dos ángulos de igual medida.



PARA RECORDAR. PARA RECORDAR.

TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO
CIRCUNCENTRO.
LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS
EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES
EXTERIORES AL TRIÁNGULO.
DEL TRIÁNGULO.

ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES
MEDIATRIZ: ACUTÁNGULO.

Es una recta que pasa por el punto medio de un ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES
lado cortándolo en forma perpendicular. OBTUSÁNGULO.

SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE
LA HIPOTENUSA.

: Mediatriz de

CIRCUNCENTRO (O):

Es el punto donde se corta las tres mediatices
de un triángulo.
Propiedad: Si: “0” es circuncentro
C: Circuncentro, es el centro de la
circunferencia circunscrita

⇒ . x = 2α .

CEVIANA:

Segmento que une un vértice con un punto
cualquiera del lado opuesto o de su
prolongación.



CEVACENTRO (C) .'
= 90' +
2
Es el punto donde se intersectan tres
2. Ángulo formado por dos bisectrices
cevianas de un triángulo.
exteriores:

PARA RECORDAR:
.'
TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS = 90' −
2
CEVACENTROS.
3. Ángulo formado por una bisectriz interior
y una exterior:

OBSERVACIONES:

- PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES
NECESARIO TRAZAR DOS LÍNEAS NOTABLES DE
LA MISMA ESPECIE.
- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE
TRAZA UNA DE LAS CUATRO PRIMERAS LÍNEAS
NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA
.'
CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS =
2
OTRAS.
4. Propiedad:
- EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL
ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y
CIRCUNCENTRO COINCIDEN.
- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL
ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL
EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE
ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ
DE LA BASE.

0
PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES = +( −
1
1. Ángulo formado por dos bisectrices
interiores:


TEOREMA DE PITÁGORAS: En todo triángulo condiciones de sugerir al alcalde la ubicación
recto (o triángulo rectángulo), el cuadrado de la del farol, ¿dónde debe hacerlo?
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados 7. Un triángulo equilátero de lado está
de sus catetos. inscrito en una circunferencia, ¿calcule el
radio de la circunferencia ( este problema
debe entender plenamente su solución,
porqué será muy aplicado en próximos

0 2 temas)


3
1. Hallar “x” si BM es bisectriz
1 1 1
2 =0 +3

ACTIVIDAD:
1. Elabore un mapa conceptual, sobre el tema:
“líneas y puntos notables”
2. Dibuje un triángulo y ubique exactamente el
incentro. 2. Hallar “a” si BM es mediana
3. Demostrar con la orientación de tu profesor
las propiedades (teoremas) 1, 2 y 3.
5
4. Con la ayuda del profesor, recorta un
triángulo, luego usando regla y compás *
determina los puntos medios de cada lado. A
continuación ubica el baricentro y sostén por 4 0 6
7
medio de un hilo el triángulo en dicho punto.
Si el baricentro (centro de gravedad) fue 3. Hallar “α” si BH es altura.
bien ubicado, el triángulo permanece en
posición horizontal. Investiga porqué ocurre
esto.
5. Pídele a tu profesor que te enseñe a
construir la mediatriz de un segmento. Luego
dibuja un triángulo y en cada uno de sus
lados traza la mediatriz respectiva. El punto
en que se cruzan las tres mediatrices ¿ cómo 4. Hallar el valor de “x”, si G es el baricentro.
se llama?. Verifica que dicho punto es el 5
centro de una circunferencia que pasa por
los tres vértices del triángulo
(circunferencia circunscrita) 8
6. En un pueblito del Callejón de Huaylas, hay 2 6
un parque que tiene la forma de un triángulo. 4
El Alcalde dispone de un solo farol para
poner en dicho parque, de modo que todos 5. Hallar “x”:
sus vértices sean igualmente iluminados.
Como Usted estudia en el COCIAP está en



6. Hallar el valor de “x” en 11. Hallar el valor de “x”

12. Hallar el valor de “x”

7. Hallar el valor de “x” en

8. Hallar el valor de “x”
13. Hallar de “x” en

9. Hallar el valor de “x” en 14. Hallar “x”

15. Hallar “x”, si BH es bisectriz




4. Hallar “x” si BM es bisectriz

A) 30º B) 35º C) 36º
Tarea Domiciliaria D) 40º E) 20º

5. Hallar AM si BM es mediana

1. Hallar “x”

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

6. El baricentro de un triángulo se encuentra
a 6 cm de uno de sus vértices. ¿cuál es la
A) 10º B) 20º C) 30º
longitud de la mediana correspondiente a
D) 40º E) 50º
dicho vértice?
2. Hallar “x” en 7. Hallar el valor de “x” si G es el baricentro

A) 40º B) 30º C) 20º
D) 10º E) 15º A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

3. Hallar “x”, si BF es bisectriz 8. Hallar “x” en la siguiente figura

A) 10º B) 15º C) 17º A) 30º B) 40º C) 60º
D) 20º E) 30º D) 70º E) 45º



A) 60º B) 90º C) 120º
D) 140º E) N.A.

10. Hallar “x”

A) 80º B) 90º C) 100º
D) 110º E) 120º

11. Hallar “x”

A) 30º B) 60º C) 90º
D) 70º E) 120º



El Polígono
MSc. Miguel Ángel Yglesias Jáuregui

III Bimestre
presentan los fundamentos de la física y
Lectura astronomía formulados en el lenguaje de la
geometría pura; “Methodus fluxionum et
serierum infinitorum” en que se describe el
Isaac Newton (1642 - 1727) método de las fluxiones para explicar sus
Científico y matemático inglés nacido en métodos infinitesimales; “Optics”, en el que se
Woolsthorpe y fallecido en Lóndres. Newton ha describen los experimentos con la luz y el color
sido considerado por muchos como la mayor que le condujeron a enunciar teorías sobre la
inteligencia que jamás ha existido. Su padre naturaleza de la luz; “Arithmetica Universalis”,
murió antes del nacimiento del enfermizo Isaac, famoso tratado que contiene las fórmulas para
y su madre se volvió a casar cuando su hijo las sumas de las potencias de las raíces de una
tenía tres años de edad. El muchacho fue criado ecuación algebraica. Sin embargo a pesar de sus
por su abuela, hasta que un tío suyo se dio propias contribuciones al álgebra, Newton
cuenta de la inteligencia inusual del pequeño y parece haber preferido el análisis geométrico
convenció a su madre para que lo matriculase en de los antiguos, y en consecuencia la sección
Cambridge. A finales de 1664 Newton, tras más larga de “Arithmetica Universalis”, es la
estudiar las obras de Euclides, Kepler, Vieta y que está dedicada a la resolución de cuestiones
sobre todo la de los conocimientos matemáticos geométricas.
de la época, se encontraba preparado para
hacer sus propias contribuciones originales. Sus Introducción:
primeros descubrimientos datan de 1665, se El hombre en el transcurso de su
derivan de su habilidad para expresar funciones desarrollo ha buscado delimitar los terrenos
en términos de series infinitas. También donde habita o trabaja mediante líneas
empezó a pensar por esas fechas, en la cerradas que suelen presentar partes
velocidad del cambio o fluxión de magnitudes rectilíneas (principalmente formas
que varían de manera continua o fluentes, tales rectangulares, cuadradas, etc.); para esto,
como longitudes, áreas, volúmenes, distancias, recurrió a formas poligonales, cuyas
temperaturas … En 1666, la peste asoló Lóndres propiedades son necesarias conocer.
y se retiró a la finca de su madre huyendo del También en la naturaleza se observan
peligro, y fue durante este período cuando llevó formas poligonales por ejemplo: el panal de
a cabo sus principales descubrimientos: el abejas está formado por celdas hexagonales, la
teorema binomial, el cálculo, la ley de piedra de los doce ángulos.
gravitación y la naturaleza de los colores. Sus
obras más importantes son: “Philosophiae Definición: El polígono es la figura geométrica
naturalis principia mathematica”, el tratado plana que tiene varios ángulos y resulta den unir
más admirado de todos los tiempos, en que se

tres o más puntos no colineales mediante CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS
segmentos de recta no secante. CONVEXOS
Etimológicamente, “polígono” proviene
de las raíces griegas “POLI” que significa varios 1. Polígono Equiángulo.-
y “GONO” que significa ángulo. Cuando tienen todos sus ángulos internos
A (congruentes) iguales.
Ejm:
Diagonal
B ) Interno
E
β y°
°
120° 120°
Z ° °
120° 120°
θ C ° ° 120° 120°
x°
D ) Externo
2. Polígono Equilátero.-
N° de lados = N° de vértices = N° de s Cuando tienen todos sus lados
internos. (congruentes) iguales.
Ejm:
ELEMENTOS:
Vértice : A, B, C, D, E a a
Lados : AB, BC, CD, DE, EA
m internos : α, β, θ, γ, ψ
a a
m externos : x, y, z, …

a
POLÍGONO CONVEXO
Es cuando tienen todos sus ángulos internos
convexos. Es decir mayores que cero y menores
que 180.

Pentágono no convexo equilátero

3. Polígono Regular.-
Cuando sus lados son ≅ (iguales) y sus
ángulos son ≅ (iguales).
Ejms:
POLÍGONO NO CONVEXO O CÓNCAVO

Triángulo equilátero
Cuando algunos de sus ángulos internos son
mayores de 180° y menores que 360°.

60°
a a
β
60° 60°
θ
a
α, β, θ > 180°
El cuadrado


2da Propiedad.- Suma de las medidas de los
ángulos externos.

El pentágono regular

108° 3ra Propiedad.- Número total de diagonales.
108° 108°

108° 108°

Etc.
4ta Propiedad.- Número de diagonales desde un
Actividad: solo vértice
1. Elabore un mapa conceptual para el tema “el
polígono”.
2. Discute e investiga, si la circunferencia es
un polígono. 5ta Propiedad.- Número de diagonales medias
3. Usted sabe que al sumar los ángulos del
polígono de tres lados (triángulo), nos da
180°. Aplicando el método de razonamiento
inductivo, descubra una propiedad para
sumar los ángulos internos de cualquier
polígono.
PARA POLÍGONOS REGULARES
4. Usando la propiedad descubierta, ahora ¿qué
ocurre si suma los ángulos externos de
6ta Propiedad.- Medida del interior
cualquier polígono?
5. Aplicando el método inductivo, descubra una
propiedad para calcular el número de
diagonales de cualquier polígono.
6. ¿Cuál es otra forma de identificar un
7ma Propiedad.- Medida del exterior
polígono convexo y un polígono cóncavo?
7. Dibuje 5 polígonos convexos y cinco
polígonos cóncavos.

PROPIEDADES
8va Propiedad.- Medida del central (θ)
Para todo polígono convexo.- Si “n” es el número
de lados de un polígono convexo, se cumple que

1ra Propiedad.- Suma de las medidas de los
ángulos internos
9na Propiedad.- Suma de los ángulos centrales.


mod_geo_primer_grad_2010

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a mod_geo_primer_grad_2010

Similar a mod_geo_primer_grad_2010 (20)

Más de EDWIN RONALD CRUZ RUIZ

Más de EDWIN RONALD CRUZ RUIZ (20)

mod_geo_primer_grad_2010