1. Cauchy-euler
Manuel Alejandro
Regalado González
11110202

2. Es una ecuación lineal de la forma:
donde los coeficientes son constantes
se le conoce como una ecuación de cauchy-euler
la característica de este tipo de ecuación es que
el grado k=n,n-1.....1,0 de los coeficientes
coincide con el orden ñ de diferenciación

3. Solucionar la siguiente ecuación diferencial por
medio del método cauchy-euler:
𝑥2𝑦" + 𝑥𝑦´ + 4𝑦 = 0
Para resolverla hacemos lo siguiente, derivamos
tantas veces nos lo pida la ecuación para
después sustituir:
𝑦 = 𝑥𝑚
𝑦´ = 𝑚𝑥𝑚−1
𝑦" = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥𝑚−2

4. Sustituyendo en la ecuación nos queda:
𝑥2𝑚(𝑚 − 1)𝑥𝑚−2 + 𝑥𝑚𝑥𝑚−1 + 4𝑥𝑚 = 0
Haciendo las multiplicaciones nos queda:
𝑥𝑚𝑚(𝑚 − 1) + 𝑚𝑥𝑚 + 4𝑥𝑚 = 0
Factorizando:
𝑥𝑚
(𝑚(𝑚 − 1) + 𝑚 + 4) = 0
Reduciendo la ecuación, quitando 𝑥𝑚 nos queda:
𝑚2 + 4) = 0

5. Por lo tanto hay dos valores para m q son
complejos.
𝑚𝑛 = 0 ± −4
Que puede quedar como:
𝑚1 = 0 + 2𝑖
𝑚𝑛 = 0 − 2𝑖
Por lo tanto la solución es:
𝑦 = 𝑥0(𝑐1cos 2𝑙𝑛𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 2𝑙𝑛𝑥 )