Este documento describe los modelos matemáticos para el flujo laminar de fluidos newtonianos y no newtonianos a través de un tubo circular horizontal. Para fluidos newtonianos se obtiene la ecuación de Hagen-Poiseuille relacionando la caída de presión con la velocidad media. Para fluidos que siguen la ley de potencia de Ostwald-de Waele, se deriva un perfil de velocidades y se propone un número de Reynolds generalizado. Finalmente, se presentan gráficas experimentales que relacionan la fricción

1. Obtención de modelos para Ley de la Potencia y ecuación de Hagen-Poiseuille
Flujo de un fluido de Ostwald de Waele (o Ley de la Potencia) por un ducto horizontal en sección circular
(de radio R) con gradiente de presión como factor motriz en régimen laminar completamente
desarrollado.
vz
P P + dP vz
∑ 𝐹𝑧 = 𝑃𝜋𝑟2
− (𝑃 + 𝑑𝑃)𝜋𝑟2
− 𝜏(2𝜋𝑟𝑑𝑧) = 0
−
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
2𝜏
𝑟
La caída de presión por longitud es empíricamente constante como ya hemos trabajado en este curso, y
le llamaremos B por facilidad de nomenclatura,
−
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
2𝜏
𝑟
= 𝐵(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝜏 =
𝐵𝑟
2
Para un fluido de Ostwald de Waele la ecuación de esfuerzo cortante es:
𝜏 = 𝑘 (−
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
)
𝑛
=
𝐵𝑟
2
∫ −𝑑𝑣𝑧 = (
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
∫ 𝑟
1
𝑛⁄
𝑑𝑟
𝑟
𝑅
𝑣 𝑧
0
Perfil de velocidades
𝑣𝑧 = (
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
(
𝑅
1
𝑛
+1
− 𝑟
1
𝑛
+1
1
𝑛 + 1
)
Velocidad máxima:
𝑣 𝑚𝑎𝑥 = (
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
(
𝑅
1
𝑛
+1
1
𝑛 + 1
)
Para obtener la velocidad media utilizamos el cálculo de caudal
Newtoniano
τ = - μ dv/dx
-dv/dx
τ

2. 1/n + 1 = (1+n)/n
(R-r)/R = 1-r/R
𝑣 𝑚 =
𝑄
𝐴
=
∫ 𝑣𝑑𝐴
𝑅
0
𝐴
=
∫ (
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
(
𝑅
1
𝑛
+1
− 𝑟
1
𝑛
+1
1
𝑛 + 1
) 2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
𝜋𝑅2
𝑣 𝑚 =
2 (
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
𝑅2 (
1
𝑛 + 1)
{
𝑅
1
𝑛
+3
2
−
𝑅
1
𝑛
+3
1
𝑛 + 3
}
𝑣 𝑚 =
2 (
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
𝑅2 (
1
𝑛 + 1)
𝑅
1
𝑛⁄ +3
{
1
𝑛 + 3 − 2
2 (
1
𝑛 + 3)
}
𝑣 𝑚 = (
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
𝑅
1
𝑛⁄ +1
(
𝑛
1 + 3𝑛
)
𝑣 𝑚
𝑣 𝑚𝑎𝑥
=
(
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
𝑅
1
𝑛⁄ +1
(
𝑛
1 + 3𝑛
)
(
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
(
𝑅
1
𝑛
+1
1
𝑛 + 1
)
𝑣 𝑚
𝑣 𝑚𝑎𝑥
=
𝑛
1 + 3𝑛
𝑛
1 + 𝑛
=
1 + 𝑛
1 + 3𝑛
𝑣𝑧
𝑣 𝑚𝑎𝑥
=
(
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
(
𝑅
1
𝑛
+1
− 𝑟
1
𝑛
+1
1
𝑛 + 1
)
(
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
(
𝑅
1
𝑛
+1
1
𝑛 + 1
)
𝑣𝑧
𝑣 𝑚𝑎𝑥
= (1 −
𝑟
𝑅
)
1
𝑛⁄ +1
Caso particular:
Fluido newtoniano: n = 1; k = μ
𝑣𝑧
𝑣 𝑚𝑎𝑥
= 1 − (
𝑟
𝑅
)
2
(𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑜)
𝑣 𝑚
𝑣 𝑚𝑎𝑥
=
1
2

3. 𝑣 𝑚 =
𝐵
2𝜇
𝑅2
(
1
4
)
𝑣 𝑚 =
−
𝑑𝑃
𝑑𝑧
2𝜇
𝐷
4
2
(
1
4
)
𝑣 𝑚 =
−
𝛥𝑃
𝛥𝑧
2𝜇
𝐷
4
2
(
1
4
)
Despejando:
−𝛥𝑃 =
32𝑣 𝑚 𝜇𝐿
𝐷2
(𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐻𝑎𝑔𝑒𝑛 − 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑒𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒)
Esta expresión es aceptada para Re < 2100

4. Obtención de Reynolds generalizado
Regresando a la igualdad de fuerzas derivadas de presión y esfuerzo cortante, para obtener una
expresión de τWall.
𝜏 𝑤(𝜋𝐷𝐿) = (−∆𝑃)( 𝜋
4⁄ )𝐷2
𝜏 𝑤 =
(−∆𝑃)𝐷
4𝐿
Sustituyendo la expresión de Hagen-Poiseville aquí,
𝜏 𝑤 =
8𝑣
𝐷
𝜇
Newtoniano (μ ctte) Ostwald de Waele
Si para el fluido de Ostwald de Waele hacemos una analogía basada en cómo cambia el modelo
newtoniano al de la Ley de la Potencia:
𝜏 𝑤 = (
8𝑣
𝐷
)
𝑛′
𝑘′
¿Qué relación existe entre k y n; k’ y n’?
𝑣 𝑚 = (
𝐵
2𝑘
)
1
𝑛⁄
𝑅
1
𝑛⁄ +1
(
𝑛
1 + 3𝑛
)
Elevando la velocidad (media) a la n:
𝑣 𝑛
=
−
∆𝑃
𝐿
2𝑘
(
𝐷
2
)
1+𝑛
(
𝑛
1 + 3𝑛
)
𝑛
Despejamos de esta expresión (-ΔP) para poderlo sustituir en la ecuación de τWall:
𝜏 𝑤 =
(−∆𝑃)𝐷
4𝐿
=
𝑣 𝑛(2𝑘)21+𝑛
4𝐷 𝑛
(
1 + 3𝑛
𝑛
)
𝑛
8 𝑛
8 𝑛
𝜏 𝑤 = (
8𝑣
𝐷
)
𝑛
𝑘 (2
1 + 3𝑛
8𝑛
)
𝑛
Comparando con
𝜏 𝑤 = (
8𝑣
𝐷
)
𝑛′
𝑘′
n = n’ y 𝑘′
= 𝑘 (
1+3𝑛
4𝑛
)
𝑛
τ
8v/D
τ
8v/D
Zona laminar

5. Reynolds generalizado
Para fluidos que siguen la Ley de la Potencia, se propone el número de Reynolds generalizado de la
siguiente manera:
𝑅𝑒 ≡
𝐷 𝑛
𝑣2−𝑛
𝜌
𝛾
donde 𝛾 = 8 𝑛−1
𝑘′
= 8 𝑛−1
𝑘 (
1+3𝑛
4𝑛
)
𝑛
Unidades de k: Pa*sn
Dodge y Metzner experimentaron con este tipo de fluidos y llegaron a una expresión de trabajo de
fricción y una gráfica:
𝑤 𝐹 =
(4𝑓)𝐿𝑣2
2𝐷
Donde f = f (Re, ε/D, n)
f
n
Re
Por falta de gráficas para rugosidad
relativa distinta a cero se utiliza la
relación siguiente:
𝑓∈
𝐷⁄ = 𝑓∈
𝐷⁄ =0 [
𝑓∈
𝐷⁄
𝑓∈
𝐷⁄ =0
]
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛𝑜