Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría circular. Explica cómo convertir entre grados y radianes, y cómo calcular la longitud de arco y el área de sectores circulares usando medidas de ángulos en radianes. También cubre conversiones entre sistemas de notación de grados y ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos.

1. R. Padilla
Longitud de arco y
sectores circulares
Trigonometría

2. R. Padilla
Convertir de grados a radianes
y viceversa
1 𝑟𝑎𝑑 =
180
𝜋
°
1° =
𝜋
180°
𝑟𝑎𝑑

3. R. Padilla
Ejemplos
60° = _______𝑟𝑎𝑑
= 60°
𝜋
180°
=
𝜋
3
3𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 = ______°
=
3𝜋
2
180°
𝜋
= 270°

4. R. Padilla
D˚M’ S”
1′ = 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 1" = 𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
1′
=
1
60
∙ 1° 60" = 1′
1" =
1
60
∙ (1′)

5. R. Padilla
Ejemplo
• Convierte 5°42′30" a notación de grado
decimal.
5°42′30" = 5° + 42′ + 30"
= 5° + 42′ +
30′
60
= 5° + 42.5′
= 5° +
42.5°
60
≈ 5.71°

6. R. Padilla
Ejemplo
• Convierte 72.18˚ a notación D˚M’S”.
72.18° = 72° + 0.18 × 1°
= 72° + 0.18 × 60′
= 72° + 10.8′
= 72° + 10′ + 0.8 × 1′
72°10′
48"
= 72° + 10′ + 0.8 × 60"
= 72° + 10′ + 48"

7. R. Padilla
Ángulos coterminales
• Un ángulo es coterminal a otro ángulo si
comparten los mismos lados inicial y terminal,
no importa la dirección del mismo.
• Pueden ser mayores de 360°(2𝜋) o menores
que −360° (−2𝜋).

8. R. Padilla
Ángulo central
• Ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro
del círculo.

9. R. Padilla
Radian
• El radian es la unidad de ángulo plano en el
sistema internacional de unidades.
• Representa el ángulo central en una
circunferencia y abarca el arco cuya longitud es
igual a la del radio

10. R. Padilla
El círculo unitario

11. R. Padilla
Medidas en radianes
• La medida en radián de
la rotación 𝜃 de una
distancia 𝑠 que viaja a
través de un radio 𝑟 del
centro de rotación está
dada por
𝜃 =
𝑠
𝑟
(𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)

12. R. Padilla
Longitud de arco
• La longitud de arco s es
la medida desde el lado
inicial del ángulo hasta
el lado final del mismo
sobre la circunferencia
del círculo.
𝑠 = 𝑟𝜃
𝜃 =
𝑠
𝑟
(𝑟)𝜃 =
𝑠
𝑟
(𝑟)

13. R. Padilla
Ejemplo
• Halla el largo de arco de un círculo de radio 5
cm asociado a un ángulo de
𝜋
3
.
𝑠 = 𝑟𝜃
𝑠 = 5 𝑐𝑚 ∙
𝜋
3
𝑠 =
5𝜋
3
≈ 5.24 𝑐𝑚

14. R. Padilla
Área de sector circular
𝑟
𝜃
𝐴 =
1
2
𝜃 ∙ 𝑟²
(𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)

15. R. Padilla
Área de sector circular
• Ejemplo: Halla el área de sector circular de un
círculo de radio 5 cm generado al rotar un
radio a un ángulo de 2.
𝐴 =
1
2
𝜃 ∙ 𝑟²
𝜃 = 2 𝑟 = 5 𝑐𝑚 𝐴 =
1
2
2 ∙ 5²
𝐴 = 25 𝑐𝑚²

16. R. Padilla
Problema
• Tengo una pizza de pepperoni con salsa roja y
extra queso que mide 16 pulgadas de diámetro.
Si corto la pizza en 6 pedazos iguales, ¿cuál es
el área de cada pedazo de pizza?

17. R. Padilla
Solución
𝐴 =
1
2
𝜃 ∙ 𝑟²
𝜃 =
𝜋
3
𝐴 =
𝜋
3 ∙ 8²
2
𝑟 = 1
2 𝑑
𝑟 = 8
𝐴 = 33.47 pulg²
El área de un pedazo de la pizza es de 33.47 pulgadas².
𝑑 = 16

18. R. Padilla
Ejercicios de práctica

19. R. Padilla
Practica:
• Cambia de grados a radianes:
1) 30° =
2) 180° =
3) 300° =
4) 45° =
5) 60° =

20. R. Padilla
Practica:
• Cambia de radianes a grados:
1)
5𝜋
6
= 2)
𝜋
6
=
3)
𝜋
2
=
4)
2𝜋
3
=
5)
𝜋
4
=

21. R. Padilla
Práctica
• Cambia a notación decimal de grados.
Redondea a dos lugares decimales.
1. 9°43′ 2. 52°15′ 3. 35°50"
4. 64°53′ 5. 3°2′ 6. 19°47′
23"
7. 76°11′34" 8. 49°38′46" 9. 15′
5"
10. 9°53"

22. R. Padilla
Práctica
• Convierte a grados, minutos y segundos.
1. 17.6° 2. 20.14° 3. 83.025°
4. 68.84° 5. 11.75° 6. 29.8°
7. 47.8268° 8. 0.253° 9. 0.9°
10. 2.4°

23. R. Padilla
Práctica
• Halla un ángulo positivo y un ángulo negativo
que sean coterminales con el ángulo dado.
1.
𝜋
4 2.
5𝜋
3 3.
7𝜋
6
4. 𝜋 5. −
2𝜋
3 6. −
3𝜋
4

24. R. Padilla
Práctica
• Dibuja un círculo unitario y traza los ángulos
para cada ejercicio.

25. R. Padilla
Práctica 1a

26. R. Padilla
Práctica 1b

27. R. Padilla
Práctica 1c

28. R. Padilla
Práctica 1d

29. R. Padilla
Práctica 1e

30. R. Padilla
Práctica 1f

31. R. Padilla
Práctica
• Dibuja un círculo unitario y traza los ángulos
para cada ejercicio.

32. R. Padilla
Práctica
• Dibuja un círculo unitario y traza los ángulos
para cada ejercicio.

33. R. Padilla
Práctica
• Dibuja un círculo unitario y traza los ángulos
para cada ejercicio.

34. R. Padilla
Práctica
• Halla dos números reales entre −2𝜋 y 2𝜋 que
determina cada punto señalado.
2𝜋
3
5𝜋
4 3𝜋
2
11𝜋
6
𝜋
𝜋
4
4𝜋
3
7𝜋
6

35. R. Padilla
Práctica
• Halla la longitud de arco para cada caso.
1. 𝑟 = 5, 𝜃 =
𝜋
3
2. 𝑑 = 18, 𝜃 =
4𝜋
3
3. 𝑟 = 4, 𝜃 =
2𝜋
5

36. R. Padilla
Práctica
• Halla el área de un sector de un círculo con un
radio de 6 cm si su ángulo es:
1.
𝜋
3 2.
5𝜋
12 3.
2𝜋
3
𝐴 =
1
2
𝜃 ∙ 𝑟² 𝐴 =
1
2
𝜃 ∙ (6 𝑐𝑚)²

37. R. Padilla
Práctica
• Un sector circular tiene un radio de 12 m. Halla
el ángulo, en radianes, del sector circular dado
que su área medida es de 100 m².
𝑟 = 12 𝑚
𝐴 =100 m²
𝐴 =
1
2
𝜃 ∙ 𝑟²

38. R. Padilla
Práctica
• El sector de un círculo con radio de 3 cm tiene
un ángulo de
5𝜋
18
radianes en el centro.
a) Halla la longitud de arco del sector.
b) Halla el área del sector del círculo.
𝑠 = 𝑟𝜃
s = 3𝑐𝑚
5𝜋
18
s =
5𝜋
6
𝑐𝑚
𝐴 =
1
2
𝜃 ∙ 𝑟²
𝐴 =
1
2
5𝜋
18
∙ 3²
𝐴 =
1
2
5𝜋
18
∙ 9 𝑐𝑚²
𝐴 =
5𝜋
4
𝑐𝑚²