2. INTRODUCCION
Partiendo de las necesidades presente en varios mecanismos
utilizados en la ingeniería mecánica, surge la necesidad de usar modelos
matemáticos para generar soluciones a algunos de los problemas de diseño
y mantenimiento en las maquinarias. Algunas de ellas son la deformación
excesiva en los resortes de las balanzas y las fallas por fatiga generadas por
las maquinas rotativas, en el cual es fundamental la aplicación de ecuaciones
diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones de la misma en la
resolución e interpretación de problemas físicos y geométricos.
Al pasar del tiempo se incrementa la necesidad de utilizar las series de
Fourier y las transformadas de Laplace en los problemas de diseño en
ingeniería con lo cual proponemos varias soluciones en el presente trabajo.
3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES, LAS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y SERIES DE FOURIER EN LA
INGENIERÍA MECÁNICA
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o
diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la
función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una
ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo,
si la función desconocida depende de más
de una variable la ecuación se llama una
ecuación diferencial parcial.
El orden de una ecuación diferencial
está dado por el orden mayor de su
derivada. Y el grado de una ecuación
diferencial está dado por el exponente del
mayor orden de su derivada. Pero a continuación se presentan algunos
ejemplos de aplicación de dichas
ecuaciones.
Para determinar la velocidad de
una partícula proyectada desde la
tierra en dirección radial se aplica
la ecuación diferencial:
𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒓
= −
𝒈𝑹 𝟐
𝒓 𝟐
4. Esta es una ecuación
diferencial de orden 1 y grado 1.
Donde v es la velocidad, g es la
aceleración de gravedad, R es el
radio de la tierra y r es la
distancia a la que se encuentra la
partícula.
Para resolver problemas de dinámica se usa la ecuación:
𝑭 = 𝒎
𝒅 𝟐
𝒙
𝒅 𝟐 𝒕
, 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐥𝐞𝐲 𝐝𝐞 𝐍𝐞𝐰𝐭𝐨𝐧
Esta es una ecuación diferencial
de orden 2 y grado 1.
Para resolver problemas de
propagación del calor con simetría esférica se utiliza la ecuación de
Legendre (francés, 1752-1833):
( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒚′′
− 𝟐𝒙𝒚′
+ 𝒂( 𝒂 + 𝟏), 𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆.
Esta ecuación diferencial es de orden 2 y grado 1.
Para caracterizar la propagación de ondas en algunos medios y las
vibraciones mecánicas de una cuerda vibrante se aplica la llamada ecuación
de ondas:
𝝏 𝟐
𝒖
𝒅𝒕 𝟐
= 𝒂 𝟐
𝝏 𝟐
𝒖
𝒅𝒙 𝟐
, 𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆.
5. Esta es una ecuación diferencial parcial de orden 2 y grado 1.
Para estudios de flujo de calor; potencial eléctrico, magnético y
gravitatorio se usa la ecuación de Laplace (francés, 1749-1827):
𝝏 𝟐
𝒖
𝒅𝒙 𝟐
+
𝝏 𝟐
𝒖
𝒅𝒚 𝟐
+
𝝏 𝟐
𝒖
𝒅𝒛 𝟐
= 𝟎
Esta es una ecuación diferencial parcial de orden 2 y grado 1.
Para resolver problemas de mecánica de
fluidos se usa la ecuación de Blasius:
𝒇′′′
+
𝟏
𝟐
𝒇 𝒇′′
= 𝟎
Esta es una ecuación diferencial
de orden 3 y grado 1.
Para determinar la línea elástica de
una viga, si la flexión es bastante ligera,
se aplica la ecuación diferencial:
𝒚′′
=
𝟏
𝑬𝑰
𝑴( 𝒙)
Esta es una ecuación diferencial de orden 2 y grado 1, donde E es la
constante de elasticidad de la viga, I es el momento de inercia de una
sección transversal de la viga y M(x) es el momento flector.
Para estudiar el movimiento rectilíneo de una partícula sometida a una
fuerza atractiva se aplican las siguientes ecuaciones diferenciales:
6. 𝒎𝒚′′
+ 𝒌𝒚 = 𝟎, 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒂𝒓𝒎ó𝒏𝒊𝒄𝒐 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆
𝒎𝒚′′
+ 𝒄𝒚′
+ 𝒌𝒚 = 𝟎, 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒂𝒓𝒎ó𝒏𝒊𝒄𝒐 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒈𝒖𝒂𝒅𝒐
Estas ecuaciones diferencial son de orden 2 y grado 1, llamadas
ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
Transformadas de Laplace
La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral
frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida para
todos los números positivos t ≥ 0
Cuando se habla de la
transformada de Laplace,
generalmente se refiere a la
versión unilateral. También
existe la transformada de
Laplace bilateral. La
transformada de Laplace F(s)
típicamente existe para todos
los números reales s > a,
donde a es una constante que
depende del comportamiento
de crecimiento de f(t).
Las transformadas de Laplace son aplicables, primordialmente, para
resolver ecuaciones diferenciales como las siguientes:
Ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes
Ejemplo:
7. Considérese un resorte metálico amarrado a un
soporte y colgando, el cual es distendido o comprimido,
entonces el modelo que describe el desplazamiento x
del resorte en cualquier instante de tiempo t está dado
por la ecuación diferencial ordinaria con coeficientes
constantes siguiente:
𝒘
𝒈
𝒙′′( 𝒕) + 𝒃𝒙′( 𝒕) + 𝒌𝒙( 𝒕) =
𝒘
𝒈
𝑭( 𝒕), 𝒕 > 𝟎,
𝒙( 𝟎) = 𝒙 𝟎, 𝒙′( 𝟎) = 𝒗 𝟎
Esta es una ecuación diferencial de orden 2 y grado 1. Dónde: w es el
peso de un cuerpo amarrado a la parte inferior del resorte, g es la
aceleración de gravedad, b y k son constantes.
Para resolver esta ecuación diferencial se aplica la transformada de
Laplace en ambos miembros de esta ecuación; es decir, la situación es
equivalente a calcular 𝒙(𝒕) a partir de:
𝑳{ 𝒙(𝒕)} = 𝒖( 𝒔) 𝒚 𝑳{ 𝑭(𝒕)}=f(s), en particular, si:
𝒘 = 𝟏𝟐 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒂𝒔, 𝒈 = 𝟑𝟐𝒑𝒊𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐, 𝒃 = 𝟎, 𝒌 =
𝟐𝟒𝒍𝒊𝒃𝒓𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒊𝒆 𝒚 𝑭( 𝒕) = 𝟎
Entonces, la ecuación diferencial del movimiento es:
𝟏𝟐
𝟑𝟐
𝒙′′( 𝒕) + 𝟐𝟒𝒙( 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, 𝒙( 𝟎) =
𝟏
𝟑
, 𝒙′( 𝟎) = −𝟐
Luego, para hallar 𝒙( 𝒕) basta con resolver la transformada: 𝑳{ 𝒙( 𝒕)} =
𝒖( 𝒔), cuya solución es: 𝒙( 𝒕) =
𝟏
𝟑
𝐜𝐨𝐬( 𝟖𝒕) −
𝟏
𝟒
𝐬𝐢𝐧(𝟖𝒕)
Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables
8. La transformada es útil, especialmente, en los casos donde los términos de
la ecuación diferencial son de la forma: 𝒕 𝒎
𝒚 𝒏
(t), cuya transformada de
Laplace es: (−𝟏) 𝒎 𝒅 𝒎
𝒅𝒔 𝒎 𝑳{𝒚(𝒏)
(𝒕)}
Ejemplo:
Resolver: 𝒕𝒚′′
+ 𝒚′
+ 𝟒𝒕𝒚 = 𝟎, 𝒚( 𝟎) = 𝟑, 𝒚′( 𝟎) = 𝟎
Luego, para hallar 𝒚( 𝒕) basta con resolver: 𝑳{ 𝒕𝒚′′} + 𝑳{ 𝒚′} + 𝑳{ 𝟒𝒕𝒚} =
𝟎, cuya solución es:
𝑦( 𝑡) = 3𝐽0(2𝑡).
Ecuaciones diferenciales parciales
2. Ejemplo:
Encontrar la solución de:
𝝏𝑼
𝝏𝒙
= 𝟐
𝝏𝑼
𝝏𝒕
+ 𝑼, U(x,0)=6𝑒−3𝑥
, 𝑈 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎, 𝑥 >
0, 𝑡 > 0
Tomando las transformadas de Laplace a la ecuación anterior se tiene
que:
𝑼( 𝒙′
𝒕) = 𝟔𝒆−𝟐𝒕−𝟑𝒙
Series de Fourier
Una serie de Fourier es una serie
infinita que converge puntualmente a una
función periódica y continua a trozos (o por
partes). Las series de Fourier constituyen
la herramienta matemática básica del
análisis de Fourier empleado para analizar
9. funciones periódicas a través de
la descomposición de dicha
función en una suma infinita de
funciones sinusoidales mucho
más simples.
Es una aplicación usada
en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta
sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación
incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y
señales, y compresión de datos.
Las series de Fourier se utilizan en el proceso de resolución de
ecuaciones diferenciales parciales de valor limitado, como por ejemplo en la
ecuación térmica unidimensional siguiente:
𝝏𝑼
𝝏𝒙
= 𝒉 𝟐 𝝏𝑼 𝟐
𝝏𝒙 𝟐, para 0< 𝒕, 𝟎 < 𝒙 < 𝒄
Tal que:
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕 → 𝟎+
, 𝒖 → 𝒇( 𝒙), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 < 𝒙 < 𝒄
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → 𝟎+
, 𝒖 → 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 < 𝒕
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → 𝒄+
, 𝒖 → 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 < 𝒕
La solución de esta ecuación es de la forma:
𝑼(𝒙, 𝒕) = ∑ 𝑩 𝒏 𝒆𝒙𝒑[− (
𝒏𝝅𝒉
𝒄
) 𝒕]
∞
𝟎
𝐬𝐢𝐧
𝒏𝝅𝒙
𝒄
Donde 𝑩𝒏 se obtiene usando la serie del seno de Fourier.
10. Conclusión
Se concluye que las de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales,
las transformadas de Laplace y series de Fourier en la ingeniería mecánica,
son necesarias en el momento de una realización de estudios de
comportamientos en las gráficas que muestran los valores críticos de los
materiales. Para así efectuar el diseño más óptimo y lograr entender y cubrir
todos los factores que afectan el comportamiento de un sistema que posee
movimiento, elasticidad, transferencia de calor, flujo másico o deformación.
Finalmente se puede notar que son de mucha utilidad los modelos
matemáticos de ecuaciones diferenciales, transformada de Laplace y Series
de Fourier en la Ingeniería Mecánica.
11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Orellana, Mauricio. (1995). Ecuaciones Diferenciales. Caracas: UNA.
Raiville, E. y Bedient, P. (1977). Ecuaciones Diferenciales. México:
MACMILLAN xxxx PUBLISHING CO., INC.
Spiegel, Murray. (1971). Transformadas de Laplace. México: MCGRAW-
HILL.
Monografías.com
