MEGS

1. Método Directos
Método de eliminación
gaussiana simple
Clase 8
18-Junio-2014

2. Método de eliminación gaussiana simple
• En general, podemos clasificar los métodos para resolver sistemas de
ecuaciones lineales como métodos gráficos, métodos directos y métodos
iterativos. Los métodos gráficos son ineficientes para sistemas de tres o mas
ecuaciones, por lo que no los consideraremos en este curso.

3. Método de eliminación gaussiana simple
• El método consta de dos fases. En la primera se realiza la eliminación de las
incógnitas y en la segunda se busca la solución mediante la sustitución hacia
atrás. La eliminación hacia adelante de las incógnitas reduce el conjunto de
ecuaciones a un sistema triangular superior.

4. Ejemplo
• Resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones, mediante el método de
eliminación Gaussiana simple
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 2 14
4 4 3 6
3 2 3 2
x x x
x x x
x x x
  
  
   

5. Ejemplo
• El sistema puede ser representado en forma matricial
1
2
3
2 3 2 14
4 4 3 6
3 2 3 2
x
x
x
     
           
           

6. Ejemplo
• En forma de matriz aumentada queda:
2 3 2 14
4 4 3 6
3 2 3 2
 
  
   

7. 2 2 1
3 3 1
1 1.5 1 7
1 (1/ 2)
4 4 3 6
3 2 3 2
(4) 1 1.5 1 7
(3) 0 10 7 22
0 6.5 6 23
R R
R R R
R R R
 
   
   
   
     
    

8. Ejemplo
• El procedimiento de eliminación principia con la normalización del primer renglón. Esta
actividad consiste en dividir el primer renglón entre el elemento 𝑎11 es diferente de cero.
Para nuestro ejemplo, se tendrá que dividir el primer renglón entre dos.
• Las operaciones siguientes consisten en transformar en ceros los elementos de la columna
que se encuentran debajo del elemento que se utilice para normalizar el renglón. Esto se
logra al hacer las operaciones que se muestran en el desarrollo siguiente:

9. 1 1.5 1 7
2 (1/10)
0 1 0.7 2.2
0 6.5 6 23
1 1.5 1 7
3 3 2(6.5)
0 1 0.7 2.2
0 0 1.45 8.7
R R
R R R
 
    
   
 
     
   

10. 1 1.5 1 7
3 3 2(6.5)
0 1 0.7 2.2
0 0 1 6
R R R
 
     
  

11. Ejemplo
• Al normalizar el tercer renglón, se observa que es equivalente a la ecuación:
• 𝑥3 = 6
• Al sustituir el valor de 𝑥3 en la segunda ecuación del sistema se obtiene:
• 𝑥2 − 0.7𝑥3 = −2.2

12. Ejemplo
• Para obtener:
• 𝑥2 = −2.2 − −0.7 0.6 = −2.2 + 4.2 = 2
• Finalmente se sustituyen 𝑥3 𝑦 𝑥2 en la primera ecuación del Sistema triangular inferior
• 𝑥1 − 1.5𝑥2 + 𝑥3 = 7
• Para obtener:
• 𝑥1 = 7 − −1.5 2 − 1 6 = 7 + 3 − 6 = 4

13. Ejemplo
• Con lo que la solución del Sistema de ecuaciones propuesto es:
1
2
3
4
2
6
x
x x
x
   
       
      

14. Implementación del método de eliminación
gaussiana mediante el uso de Excel
1. Introducir la matriz aumentada del Sistema a resolver, en
este caso la matriz, y normalizar el primer renglón, tal como
se muestra en la figura 1
2 3 2 14
4 4 3 6
3 2 3 2
 
  
   

15. Figura 1. Normalización del
primer renglón de la
matriz aumentada de un
Sistema lineal de
ecuaciones

16. Implementación del método de eliminación
gaussiana mediante el uso de Excel
2. Transformar en ceros los elementos de la columna debajo del
element0 𝑎11, las operaciones se muestran en la figura 2.
Cabe aclarar que se hace la misma operación a lo largo de
todo el renglón, para no cometer ninguna violación
algebraica. Estas operaciones se muestran en el desarrollo

17. Figura 2. Generación de
ceros debajo del primer
elemento de la diagonal
principal.

18. Implementación del método de eliminación
gaussiana mediante el uso de Excel
3. Normalizar el Segundo renglón y transformar en ceros los
elementos de la columna, qué se encuentran debajo del
elemento que se utilizó para la normalización del renglón, tal
como se muestra en la figura 3.

19. Figura 3. Normalización
del segundo renglón y
generación de ceros
debajo del elemento 𝑎22.

20. Implementación del método de eliminación
gaussiana mediante el uso de Excel
4. Normalizar el tercer renglón.
5. Calcular el valor de la tercera incognita 𝑥3 , tal como se
muestra en la figura 4.

21. Figura 4. Normalización
del tercer renglón calculo
de la tercera incognita..

22. 6. Despejar la segunda y la primera incógnita de las ecuaciones
que se forman en los renglones 21 y 20 respectivamente, de
la figura 4. Los despejes corresponden a las ecuaciones
anteriormente trabajadas y se efectúan en las celdas E25 y
E26 de la figura 5.

23. Figura 5. Calculo de la
segunda y primera
incógnitas.

24. • La estrategia anterior se puede modificar para obtener la solución
directamente de la matriz de eliminar todas las incógnitas de cada ecuación,
excepto la que se encuentra en la diagonal principal. Este procedimiento se
puede observar en el método de Gauss-Jordan.

25. Implementación enVisual Basic

26. Código
Fuente