Resumen teórico del curso Matemáticas I de la preparatoria abierta de la SEP. Primera unidad.

1. El presente material debe ser considerado únicamente como un complemento para el estudio y de ninguna manera sustituye al libro de texto. MATEMÁTICAS I UNIDAD I CONJUNTOS Contacto: joelamparn@gmail.com

2. Conjunto: colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto. Ejemplos Los Estados de la República Mexicana Los días de la semana Las vocales del alfabeto.

3. Elementos: Las ideas u objetos que forman un conjunto. Notación  Generalmente usamos letras mayúsculas para denotar conjuntos y las minúsculas para sus elementos. A podría ser el conjunto de días de la semana. x podría ser lunes.

4. Para simbolizar que un elemento pertenece (o no) a un conjunto, usamos: es un elemento de… no es un elemento de… Así… se lee x es elemento del conjunto A. se lee m no es elemento del conjunto A.

5. Notación enumerativa: se puede denotar un conjunto anotando los elementos entre llaves… {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} Notación por descripción: anotar entre llaves la condición para pertenecer al conjunto… {días de la semana} Observación: { } simboliza un conjunto.

6. Variable: letra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto; ejemplo: x. Una línea vertical como | se lee tal que. La notación para construir conjuntos permite abreviar la representación de los mismos… V={ x | x sea una vocal} E={ x | x sea una de las estaciones del año}

7. Oración abierta: aquella en la que interviene una variable. Conjunto de reemplazamiento: el que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable. Conjunto de verdad: los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera.

8. Sea E={ x | x es una de las estaciones del año} y el conjunto de reemplazamiento para x el conjunto M: M={primavera, verano, otoño, invierno, lunes, abril, frío} Notación para construir conjuntos: Conjunto de verdad: E={primavera, verano, otoño, invierno}

9. Cardinalidad: número de elementos contenidos en un conjunto. Se representa con la letra n, y luego la letra que simboliza al conjunto entre paréntesis. V={a, e, i, o, u} n(V)=5 Un conjunto es finito cuando es posible determinar el número de elementos que lo conforma, aún cuando no sea fácil. Si no se cumple la condición anterior, el conjunto es infinito: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}

10. Conjunto universal: totalidad de elementos considerados para determinada operación (equivale al conjunto de reemplazamiento). Conjunto vacío: el que no contiene elementos. Su símbolo es . Conjuntos equivalentes: los que tienen la misma cardinalidad. En ellos se puede establecer la correspondencia uno a uno (correspondencia biunívoca).

11. Sea C={verde, blanco, rojo} y F={5, 4, 3}, se puede establecer la correspondencia biunívoca: {verde, blanco, rojo} {5, 4, 3} Conjuntos iguales: se dice que A y B son iguales cuando cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A.

12. Subconjuntos: al conjunto R que está formado por elementos que también pertenecen al conjunto P, se le llama un subconjunto de P. Si V={vocales del alfabeto} y A={todas las letras del alfabeto}, entonces , pero .

13. Subconjunto propio: siendo , pero A tiene además elementos que no pertenecen a V, se dice que V es un subconjunto propio de A (V está incluido en A y no tiene la misma cardinalidad). Con lo cual se puede establecer que A>V y n(A)>n(V).

14. Número naturales: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} Conjunto de múltiplos de k: Si entonces M={k, 2k, 3k, 4k, 5k,…} Conjunto de números primos: P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…} Conjunto de números compuestos: C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,…}

15. Se factoriza un número cuando se expresa como producto de sus factores. Una factorización se considera completa cuando sólo tenemos factores primos. 2, 3, 4 y 6 son factores de 12. 2 x 2 x 3 es la factorización completa de 12. 5, 7, 8 y 9 no son factores de 12.

16. Unión: si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B, tendremos un tercer conjunto. La operación efectuada se llama unión. Los elementos del tercer conjunto pertenecerán al conjunto A o bien al conjunto B o bien a ambos. P={1, 2, 3, 4} Q={3, 4, 5, 6, 7} P Q ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

17. Intersección: operación entre dos conjuntos para obtener un tercero cuyos elementos son los que simultáneamente pertenezcan a los conjuntos dados. P={1, 2, 3, 4} Q={3, 4, 5, 6, 7} P Q ={3, 4} Disjuntos: dos conjuntos sin elementos en común. Su intersección es un conjunto vacío.

18. Complemento: conjunto formado por los elementos del conjunto universal que le faltan al conjunto dado. Para el conjunto S, se lee como S prima o complemento de S. Complemento de S = S’ U={todas las letras del alfabeto} V={vocales del alfabeto} V’={consonantes del alfabeto} Observación:

19. Gráfica de un conjunto (diagramas de Venn). U U 10 El rectángulo indica el conjunto universal. B A 4 2 5 1 Los círculos A y B muestran conjuntos disjuntos. 7 3 6 8 9 1, 2 y 3 son elementos de A; 4, 5, 6 y 7 son elementos de B; 8, 9 y 10 no son de A ni de B, pero sí pertenecen al universo.

20. Gráfica: unión de conjuntos. V={i, o, w, a, e} M={a, e, b, d, g, c, f} U M V b o a c i d e w f g El resultado es toda el área sombreada.

21. Gráfica: intersección de conjuntos. V={i, o, w, a, e} M={a, e, b, d, g, c, f} U M V b o a c i d e w f g El resultado es el área con doble sombreado.

22. Gráfica: conjunto complemento. U S’ S

23. Gráfica: conjuntos disjuntos U U

24. Gráfica: U A B C

25. Gráfica: U A B C

26. Tomado de: Matemáticas I, Libro de Texto, SEP, Autores: Mario Villegas Urquidi, Francisco René Zubieta.