Un pequeño ejemplo de una posible forma de como realizar un análisis de normalidad con R y contraste de hipótesis sobre las medias de dos poblaciones.

1. Comparativa de la distribución de agua a las explotaciones
agrícolas entre La región de Murcia y la comunidad de
Castilla La Mancha
Inferencia Estadística
Grado en Matemáticas.
Adil Ziani
adil.ziani @um.es
19/12/2016
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2. Índice
1. Introducción 3
2. Estudio para Castilla La Mancha 3
2.1. Estimación X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Estimación 2
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Estudio para Región de Murcia 5
3.1. Estimación Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2. Estimación 2
Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4. Inferencia sobre las medias de las dos poblacionies 7
5. Por qué se queja el gobierno manchego por el trasvase TajoSegura 8
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3. 1. Introducción
En este documento vamos a hacer una comparativa de la distribución de agua a las explotaciones agríco-
las entre La región de Murcia y la comunidad de Castilla La Mancha. Para ello disponemos de una muestra
empírica obtenida del INE (Instituto Nacional de Estadistica) de los años 2000 hasta 2014 ambos inclusive,
que refleja la cantidad de agua en miles de metros cúbicos destinados al sector agrícola.
La cantidad de agua destinada a la agricultura depende directamente de las precipitaciones, que noso-
tros consideraremos variable aleatoria aun que con avances de tecnología para la meteorología se puede
estimar, y si la naturaleza actúa como era previsto sus aproximaciones serán mas acertadas, pero no siempre
la naturaleza actúa com era previsto, con lo cual lo consideraremos un fenómeno aleatorio y no determinista.
Variables aleatorias que vamos a considerar:
X = miles de metros cúbicos de agua destinados a la agricultura por año en CLM
Y = miles de metros cúbicos de agua destinados a la agricultura por año en MU
Las muestras son:
Año 2014 2013 2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000
Castilla La Mancha 1384978 1594521 1774425 1457484 1679912 1804532 1561411 1756765 1722266 1806982 2056215 1983521 1904691 1811118 1804619
Regiń de Murcia 609319 531099 587658 574697 507840 526051 521744 551803 527511 563066 619956 614442 629710 563734 496364
Cuadro 1: Agua destinada a la agricultura. unidad: miles de metros cúbicos. Fuente: INE
En forma de Histograma:
2. Estudio para Castilla La Mancha
Vamos en primer lugar a realizar un test de normalidad sobre la v.a X.
## shapiro.test(X) ## shapiro.test(log(X))
## ##
## Shapiro-Wilk normality test ## Shapiro-Wilk normality test
## ##
## data: X ## data: log(X)
## W = 0.96497, p-value = 0.7779 ## W = 0.95184, p-value = 0.5539
Con lo cual aceptamos que la v.a X sigue una distribución normal dado que el p-valor=0.7779 es
superior a = 0;01. Lo que equivale a decir que aceptamos la normalidad de X con un 99% de confianza.
Podríamos aceptar también la hipótesis de seguir una Log normal, pero como ambas distribuciones dependen
del mismo número de parámetros (la media y la varianza), escogemos el modelo con mayor p-valor.
Valor que toma el estadístico: W=0.96497
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4. Veamos que podemos observar la conclusión anterior plasmada en gráficas.
(a) Función de Distribución Empírica (b) Función de Distribución Teórica
(c) Superposición de las graficas anterioires (d) Q Q Plot
Se observa que el ajuste es bueno tanto en la gráfica de comparación de distribuciones como la gáfica Q Q
Plot, lo que corrobora nuestra conclusión inicial.
Una vez que hemos aceptado la hipótesis de normalidad de la variable X, usando para ello el test de
Shapiro Wilk, procedemos a hacer Inferencia sobre sus dos parámetros.
2.1. Estimación X
Para estimar la media de la distribución, lo haremos tanto por estimación puntual como por intervalos
de confianza.
Un E.I.M.V para la media es la media muestral X =
nP
i=1
Xi
n LLevado a R:
1mean(X)
## [1] 1740229
Com lo cual tomaremos como aproximación a la media el valor X = 1740229.
Como se desconoce la varianza del modelo, usaremos la siguiente expresión de intervalo de confianza nivel
1 con = 0;01.
(X t1
2
SXpn;X +t1
2
SXpn)
4

5. 1t.test(X,conf.level = 0.99)
## One Sample t-test
##
## data: X
## t = 36.839, df = 14, p-value = 2.434e-15
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 99 percent confidence interval:
## 1599608 1880850
## sample estimates:
## mean of x
## 1740229
Con lo cual el intervalo es (1599608;1880850).
2.2. Estimación 2
X
Un estimador insesgado consistente para la varianza es la cuasi varianza muestral:
S2
X = 1
n 1
nP
i=1
(xi X)2
Que llevado a R nos devuelve:
1sd(X)
## [1] 182953.2
Con lo cual aproximamos la varianza del modelo 2
X = 182953;2
2.3. Resumen
Resumiendo el contraste anterior:
X $ N(1740229;182953;2)
3. Estudio para Región de Murcia
Haremos un estudio análogo al caso anterior.
test de normalidad:
1shapiro.test(Y)
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: Y
## W = 0.94239, p-value = 0.4134
Donde el estadístico tiene un valor de W = 0;94239 y el p-valor= 0.4134 que es superior a = 0;01 con
lo cual aceptamos que los datos siguen una distribución normal.
Una aproximación por gráficas.
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6. (e) Función de Distribución Empírica (f) Función de Distribución Teórica
(g) Superposición de las graficas anterioires (h) Q Q Plot
3.1. Estimación Y
Usamos el E.I.M.V Y
1mean(Y)
## [1] 561666.3
Com lo cual tomaremos como aproximación a la media el valor Y = 561666;3.
Estimación por intervalo de confianza.
1t.test(Y,conf.level = 0.99)
## One Sample t-test
##
## data: Y
## t = 50.326, df = 14, p-value 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 99 percent confidence interval:
## 528442.9 594889.6
## sample estimates:
## mean of x
## 561666.3
Con lo cual el intervalo es (528442;9;594889;6).
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7. 3.2. Estimación 2
Y
1sd(Y)
## [1] 43224.84
Con lo cual aproximamos la varianza del modelo 2
Y = 43224;84
3.3. Resumen
Y $ N(561666;3;43224;84)
4. Inferencia sobre las medias de las dos poblacionies
Las observaciones se han tomado en distintas áreas, y dado que el agua destinada a la agricultura depende
de las necesidades del sector en cada región, las variables que estamos considerando son independientes, hecho
que usaremos acontinuación.
Observando los datos vemos que la media de agua destinada a la agricultura fue mucho mayor en Castilla
la Mancha que en la Rigión de Murcia, contrastemos dicha observación matemáticamente.
En primer lugar nos planteamos el siguiente contraste de hipótesis:
H0 : 2
Y = 2
X
H1 : 2
Y T= 2
X
Podemos realizar dicho contraste en R con el comando:
1var.test(Y,X)
## F test to compare two variances
##
## data: Y and X
## F = 0.05582, num df = 14, denom df = 14, p-value = 2.984e-06
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
## 0.01874029 0.16626356
## sample estimates:
## ratio of variances
## 0.0558196
Obteniendo como valor del estadístico F = 0;05582 y p-valor=2.984e-06, como el p-valor obtenido es muy
pequeño, es menor que = 0;01 y por tanto rechazamos la hipótesis nula
Acontinuación hacemos el siguiente contraste:
H0 : Y X
H1 : Y ! X
Podemos realizar dicho contraste en R con el comando:
1t.test(Y,X,alternative=greater,var.equal=FALSE)
## Welch Two Sample t-test
##
## data: Y and X
## t = -24.281, df = 15.558, p-value = 1
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
7

8. ## -1263454 Inf
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 561666.3 1740229.3
Obteniendo como valor del estadístico t = 24;281 y p valor = 1, lo que con permite aceptar la hipótesis
nula con toda certeza posible. Podemos obtener intervalo de confianza para diferencia de medias
1t.test(Y,X,conf.level = 0.99, var.equal=FALSE)
## Welch Two Sample t-test
##
## data: Y and X
## t = -24.281, df = 15.558, p-value = 8.634e-14
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 99 percent confidence interval:
## -1320868 -1036258
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 561666.3 1740229.3
De donde el intervalo de confianza a nivel 0;99% para Y X es ( 1320868; 1036258)
5. Por qué se queja el gobierno manchego por el trasvase TajoSegura
Consultando fuentes oficiales
http://www.castillalamancha.es/
http://www.institutofomentomurcia.es/web/portal/informes-sectoriales1
tenemos que la Comunidad de castilla La Mancha dedica 5694723 hectáreas a la agricultura y obtiene un
ingreso de 37399453000E del cual el 10;17% proviene del sector agrario, es decir, el sector agrario genera
3;803;524;370E
Para la región de Murcia, tenemos que dedica 606019 hectáreas a la agricultura y genera un 21.4 % del PIB
regional que es de 27.122.000.000E, es decir, 5;804;108;000E
Con lo cual, viendo a ambas partes como parte de España y que la Comunidad de Castilla La Mancha cubre
sin problemas hasta el momento su necesidad de agua a la agricultura con el trasvase abierto, es logicamente
necesario y útil dicho trasvase ya que Murcia con dedicar un 10;64% de superficie que dedica Castilla la
Mancha, ingresa un 152;59% de lo que ingresa Castilla La Mancha. Gracias en parte a que el 21% del agua
dedicada a la agricultura en Murcia es la ofrecida por el trasvase Tajo Segura.
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