Cd u2 ea_canf

Límites y continuidad. UnaLímites y continuidad. Una
introducción teórico-gráficaintroducción teórico-gráfica
Carlos Alberto Navarro FuentesCarlos Alberto Navarro Fuentes
AL11503788AL11503788
CD_U2_EA_CANFCD_U2_EA_CANF
Cálculo Diferencial.Unidad 2Cálculo Diferencial.Unidad 2
Prof. Óscar René Cavazos RamosProf. Óscar René Cavazos Ramos
ESAD. Licenciatura en MatemáticasESAD. Licenciatura en Matemáticas

Presentación de la UnidadPresentación de la Unidad
 El concepto de límite y continuidad son la base para iniciar elEl concepto de límite y continuidad son la base para iniciar el
estudio de la derivada, que de hecho, es un límite.estudio de la derivada, que de hecho, es un límite.
 Iniciaremos con la definición intuitiva de límite, apoyándonos enIniciaremos con la definición intuitiva de límite, apoyándonos en
la gráfica para mostrar lo que sucede con el límite de una función.la gráfica para mostrar lo que sucede con el límite de una función.
 A través del concepto de límite, podremos comprender mejor elA través del concepto de límite, podremos comprender mejor el
concepto de continuidad, permitiéndonos identificar quéconcepto de continuidad, permitiéndonos identificar qué
situaciones de la vida cotidiana se pueden representar por mediosituaciones de la vida cotidiana se pueden representar por medio
de una función continua.de una función continua.

Objetivos de la unidadObjetivos de la unidad
a)a) Identificarás el concepto de límite, deIdentificarás el concepto de límite, de
forma gráfica y numérica.forma gráfica y numérica.
b)b) Aplicarás las propiedades de los límitesAplicarás las propiedades de los límites
para calcular los límites de las funcionespara calcular los límites de las funciones
dadas.dadas.
c)c) Aplicarás el concepto de continuidad enAplicarás el concepto de continuidad en
situaciones de la vida cotidiana.situaciones de la vida cotidiana.

Competencia específicaCompetencia específica
 Aplicarás el procedimiento de límite yAplicarás el procedimiento de límite y
continuidad para determinarlos en unacontinuidad para determinarlos en una
función por medio de la expresión generalfunción por medio de la expresión general
de la misma o de su representación gráfica.de la misma o de su representación gráfica.

Definición intuitiva de límiteDefinición intuitiva de límite
Si deseas calcular el límite de una funciónSi deseas calcular el límite de una función
ƒƒ(x)= x(x)= x22
, tienes que analizar los puntos que hay a su, tienes que analizar los puntos que hay a su
alrededor, tanto del lado izquierdo como del ladoalrededor, tanto del lado izquierdo como del lado
derecho del eje de las x´s. Por cada punto que tomes enderecho del eje de las x´s. Por cada punto que tomes en
el eje de lasel eje de las xx´s, tienes que analizar lo que sucede con la´s, tienes que analizar lo que sucede con la
gráfica, conforme te acercas al puntográfica, conforme te acercas al punto xx11, por el lado, por el lado
izquierdo, debes analizar hacia donde se aproxima laizquierdo, debes analizar hacia donde se aproxima la
gráfica, lo mismo debes hacer por el lado derecho.gráfica, lo mismo debes hacer por el lado derecho.

Ejemplo gráfico-numéricoEjemplo gráfico-numérico
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x = 2
f(x)-
f(x)+
x = 2 2 2 2 2 2
f(x)- 1.5 1.75 1.98 1.99999 1.9999999
f(x)+ 2.85 2.05 2.02 2.000001 2
Podemos observar, como en la medida en que los valores menores a
2 y mayores a 2, conforme se aproximan a éste por la derecha y por
la izquierda respectivamente, van ciñéndose hasta casi tocarse entre
sí, lo cual gráficamente parece suceder por las escalas del gráfico.

Definición intuitiva de límiteDefinición intuitiva de límite
 Cuando se desea determinar un límite, noCuando se desea determinar un límite, no
interesa encontrar cuánto vale la función en eseinteresa encontrar cuánto vale la función en ese
punjto, sino lo que sucede en su entrono.punjto, sino lo que sucede en su entrono.
 Para acercarte tanto del lado izquierdo comoPara acercarte tanto del lado izquierdo como
del lado derecho del punto evaluado, asignasdel lado derecho del punto evaluado, asignas
valores a x, de tal manera que te aproximes alvalores a x, de tal manera que te aproximes al
puntopunto xx11=2, y observes el comportamiento que=2, y observes el comportamiento que
tiene lastiene las yy, a medida que te aproximes al punto, a medida que te aproximes al punto
para el quepara el que ƒ(x)ƒ(x), en este caso 2, no está definido., en este caso 2, no está definido.

Ejemplo gráfico-numéricoEjemplo gráfico-numérico
y
x
2
1
xx 11 1.991.99 1.99991.9999 1.9999991.999999
ƒƒ(x)(x) 00 0.990.99 0.99990.9999 0.9999990.999999
xx 33 2.252.25 2.00012.0001 2.00000012.0000001
ƒƒ(x)(x) 22 1.251.25 1.00011.0001 1.00000011.0000001

Definición de límiteDefinición de límite
LímLímxx→→aa ƒ(x)= Lƒ(x)= L
Se dice que la funciónSe dice que la función ƒ tiende hacia el límite L enƒ tiende hacia el límite L en
aa, si para todo, si para todo ε>ε>0 existe algún0 existe algún δ>δ>0 tal que, para0 tal que, para
todo x, con xtodo x, con x≠≠a, si |x-a|a, si |x-a|<δ<δ, entonces |ƒ(x)-1|, entonces |ƒ(x)-1|<ε<ε; o,; o,
∀ε>∀ε>00 ∃∃ δ>δ>0 tal que, si 00 tal que, si 0<< |x-a||x-a|<δ<δ, entonces |ƒ(x)-L|, entonces |ƒ(x)-L|
<ε<ε..
El concepto de límite entraña la idea de un acercamientoEl concepto de límite entraña la idea de un acercamiento
cada vez mayor, “ilimitado”, entre 2 magnitudes. Comocada vez mayor, “ilimitado”, entre 2 magnitudes. Como
ejemplo, una fábula.ejemplo, una fábula.

El límite como noción. Fábula.El límite como noción. Fábula.
Supongamos una pequeña rana que quiere llegar a unSupongamos una pequeña rana que quiere llegar a un
punto que está a una distancia de un metro de donde ellapunto que está a una distancia de un metro de donde ella
se encuentra. En el primer salto recorre medio metro, ense encuentra. En el primer salto recorre medio metro, en
el segundo, un cuarto de metro, y así sucesivamente, enel segundo, un cuarto de metro, y así sucesivamente, en
cada salto recorre lacada salto recorre la mitad de la distancia que le faltamitad de la distancia que le falta
para llegar a la metapara llegar a la meta..
0.5m0.125m 0.25m

El límite como noción. Fábula.El límite como noción. Fábula.
¿Llegará nuestra rana a la meta?¿Llegará nuestra rana a la meta?
Evidentemente no, porque nunca saltará loEvidentemente no, porque nunca saltará lo
suficiente para llegar. Sólo saltará la mitad de losuficiente para llegar. Sólo saltará la mitad de lo
le falta, y simepre le faltará un pedacito. Losle falta, y simepre le faltará un pedacito. Los
saltos de la rana y la distancia recorrida son:saltos de la rana y la distancia recorrida son:
0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 7.8125*0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 7.8125*10-310-3
......∞∞

Definición de límiteDefinición de límite
Esto significa que “cualquiera que seaEsto significa que “cualquiera que sea εε mayormayor
que cero, existe unque cero, existe un δδ mayor que cero, tal que simayor que cero, tal que si
la distancia entrela distancia entre xx yy aa es menor quees menor que δδ, entonces, entonces
la distancia entrela distancia entre ƒƒ(x)(x) y L es menor quey L es menor que εε”.”.
Antes de probar que el límite de una funciónAntes de probar que el límite de una función
existe, debes sutituir todos los términos en estaexiste, debes sutituir todos los términos en esta
definición. Veamos un ejemplo.definición. Veamos un ejemplo.

Ejemplo en la DefiniciónEjemplo en la Definición
LímLímxx→→22 ƒ(x)= xƒ(x)= x22
–4–4
-------- = 4-------- = 4
x – 2x – 2
Se lee: la funciónSe lee: la función xx22
–4/ x – 2 = 4 tiende hacia 4 en 2, si–4/ x – 2 = 4 tiende hacia 4 en 2, si
para todopara todo ε>ε>0 existe algún0 existe algún δ>δ>0 tal que, para todo x,0 tal que, para todo x,
con xcon x≠≠2, si |x-2|2, si |x-2|<δ<δ, entonces |(, entonces |(xx22
–4/x – 2) - 4–4/x – 2) - 4||<ε<ε

Pasos para definir y demostrar un límitePasos para definir y demostrar un límite
A partir del ejemplo anterior.A partir del ejemplo anterior.
Paso 1. Factorizar el numerador.Paso 1. Factorizar el numerador.
((x-2) (x-2)x-2) (x-2)
---------------- – 4---------------- – 4 << εε
x-2x-2

Pasos para definir y demostrar unPasos para definir y demostrar un
límitelímite
Paso 2. Reduce términos.Paso 2. Reduce términos.
((x+2) – 4x+2) – 4 << εε

Paso 3.Paso 3.
Tienes queTienes que ||x – 2x – 2||<< εε, esto indica que, esto indica que δδ==εε porqueporque
en la definición se tiene que |en la definición se tiene que |x – 2x – 2||<< δδ y para quey para que
esto sucedaesto suceda δδ==εε..

Entonces, para cadaEntonces, para cada ε>ε>0, puedo tomar0, puedo tomar δδ==εε, por lo, por lo
tanto, la funcióntanto, la función xx22
–4/x – 2 tiende hacia 4 en 2,–4/x – 2 tiende hacia 4 en 2,
cumpliendo así con todas las condiciones de lacumpliendo así con todas las condiciones de la
definición.definición.
Es importante recordar que nos interesa, no lo que sucedeEs importante recordar que nos interesa, no lo que sucede
exactamente en x=2, sino en su entorno, es decir, cuandoexactamente en x=2, sino en su entorno, es decir, cuando
te acercas a 2, por la izquierda y por la derecha, por estate acercas a 2, por la izquierda y por la derecha, por esta
razón en la definición de límite se tiene: si |x – 2|razón en la definición de límite se tiene: si |x – 2|<< δδ yy
esto se traduce en lo siguiente:esto se traduce en lo siguiente:

Se sabe que:Se sabe que: ||aa||=a si a=a si a>0 y>0 y ||aa||=-a si a=-a si a<0<0
EntoncesEntonces |x – 2||x – 2|<< δδ tiene dos opciones: que sea mayortiene dos opciones: que sea mayor
o menor que cero. Si es mayor que cero, se tiene que x-o menor que cero. Si es mayor que cero, se tiene que x-
2<2< δδ; pero si es menor que cero, sería –(x-2)<; pero si es menor que cero, sería –(x-2)< δδ; al; al
multiplicar por –1 la desigualdad se invierte, x-2>multiplicar por –1 la desigualdad se invierte, x-2> δδ, por, por
lo tanto -lo tanto - δδ <x-2<<x-2< δδ..

Demostración gráfica de la existencia delDemostración gráfica de la existencia del
límitelímite
-2 -1
2
4
5
4 - ε
4 + ε
1 2 3
2 - δ 2 + δ
(2, 4)
Se observa el papel que juega ε y δ si te das cuenta.

Ejemplo de la Demostración de un límiteEjemplo de la Demostración de un límite
Demuestra que LímDemuestra que Límxx→→33 xx22
= 9= 9
Solución. SeaSolución. Sea 0>ε0>ε un número cualquiera, pero ya predefinido.un número cualquiera, pero ya predefinido.
Debemos encontrar un númeroDebemos encontrar un número δ>δ>0 tal que0 tal que
|(x|(x22
–9) |–9) |<< εε, siempre que 0 < |x-3| <, siempre que 0 < |x-3| < δδ, entonces se tiene que, entonces se tiene que
cumplir quecumplir que
|x + 3 | o |x - 3 ||x + 3 | o |x - 3 | << εε, siempre que 0 < |x-3| <, siempre que 0 < |x-3| < δδ
De manera que |(xDe manera que |(x22
–9) |= |x + 3 | * |x - 3 |–9) |= |x + 3 | * |x - 3 | << C *C * εε/7 =/7 = εε. Así queda. Así queda
demostrado quedemostrado que LímLímxx→→33 xx22
= 9= 9
(C= una constante con valor de 7)(C= una constante con valor de 7)

Límites lateralesLímites laterales
EscribimosEscribimos
(Lím(Lím xx→→a-a- ƒ(x)= L)ƒ(x)= L) ⇔⇔ ∀∃∀((∀∃∀((aa−δ<−δ<xx<<a)a) ⇒⇒ (|ƒ((|ƒ(xx)−)−LL|| <ε))<ε)),,
dondedonde ε>ε>0 y0 y δ>δ>00
Luego decimos que el límite izquierdo deLuego decimos que el límite izquierdo de ƒƒ(x), cuando x tiende a(x), cuando x tiende a
aa, es igual a L, si es posible aproximar los valores de, es igual a L, si es posible aproximar los valores de ƒƒ(x) a L(x) a L
tanto como queramos, escogiendotanto como queramos, escogiendo xx lo bastante cerca delo bastante cerca de aa, pero, pero
menor quemenor que aa. De manera análoga, si hacemos que. De manera análoga, si hacemos que xx sea mayorsea mayor
queque aa obtendremos el límite por la derecha deobtendremos el límite por la derecha de ƒƒ(x) y cuando(x) y cuando xx
tiende atiende a aa es igual a L, entonces:es igual a L, entonces:
(Lím(Lím xx→→a+a+ ƒ(x)= L)ƒ(x)= L) ⇔⇔ ∀∃∀((∀∃∀((a<xa<x<<a+a+δδ)) ⇒⇒ (|ƒ((|ƒ(xx)−)−LL|| <ε))<ε)),,
dondedonde ε>ε>0 y0 y δ>δ>00

Teorema de la existencia del límiteTeorema de la existencia del límite
Los límites laterales se utilizan frecuentemente paraLos límites laterales se utilizan frecuentemente para
demostrar si el límite de una función existe o no.demostrar si el límite de una función existe o no.
SeaSea ƒ una función y sean a y L números reales.ƒ una función y sean a y L números reales.
El lEl límímxx→→aa ƒ(x) existe y es igual a L sí y sólo sí el lƒ(x) existe y es igual a L sí y sólo sí el límímxx→→a+a+
ƒ(x) y lƒ(x) y límímxx→→a-a- ƒ(x) existen y son iguales a L.ƒ(x) existen y son iguales a L.
Veamos algunos ejemplos.Veamos algunos ejemplos.

Teorema y ejemploTeorema y ejemplo
LímLímxx→→aa ƒ(x)= Lƒ(x)= L ⇔⇔ LímLím xx→→a+a+ ƒ(x)= L) yƒ(x)= L) y LímLím xx→→a-a- ƒ(x)= L)ƒ(x)= L)
Determine los siguientes límites:Determine los siguientes límites:
Sea ƒ(x)=Sea ƒ(x)=
x – 1 si x <0
1 si 0≤ x ≤1
x2
si x< x <2
3 si x ≥ 2

Teorema y ejemplo gráficoTeorema y ejemplo gráfico
y
x
4
2
2 4-4 -2
-2
-4

Solución al ejemploSolución al ejemplo
1)1) LímLímxx→→0-0- ƒ(x)= -1ƒ(x)= -1
2)2) LímLímxx→→0+0+ ƒ(x)= 1ƒ(x)= 1
3)3) ComoComo LímLímxx→→0-0- ƒ(x)ƒ(x) ≠≠ LímLímxx→→0+0+ ƒ(x), entonces seƒ(x), entonces se
puede determinar quepuede determinar que LímLímxx→→00 ƒ(x) no existe.ƒ(x) no existe.
4)4) LímLímxx→→2-2- ƒ(x)= 4ƒ(x)= 4
5)5) LímLímxx→→1+1+ ƒ(x)= 1ƒ(x)= 1

Reglas para el cálculo de límitesReglas para el cálculo de límites
a)a) LímLímxx→→aa kk= k ; b)= k ; b) LímLímxx→→aa xx= a= a
c) Límc) Límxx→→aa kkƒ(x)= k lƒ(x)= k límímxx→→aa ƒ(x)ƒ(x)
d) Límd) Límxx→→aa [[ƒ(x) +/-ƒ(x) +/- gg(x)] = l(x)] = límímxx→→aa ƒ(x) +/- lƒ(x) +/- límímxx→→aa gg(x)(x)
e) Líme) Límxx→→aa ƒ(x) *ƒ(x) * gg(x) = l(x) = límímxx→→aa ƒ(x) * lƒ(x) * límímxx→→aa gg(x)(x)
f) Límf) Límxx→→aa ƒ(x)/ƒ(x)/ gg(x) = l(x) = límímxx→→aa ƒ(x)/lƒ(x)/límímxx→→aa gg(x),(x), si lsi límímxx→→aa gg(x)(x) ≠≠ 00
g) Límg) Límxx→→aa [[ƒ(x)]ƒ(x)]nn
== límlímxx→→aa [[ƒ(x)]ƒ(x)]nn

Estrategias para calcular límitesEstrategias para calcular límites
LímLímxx→→aa xxkk
== aakk
; además, para k; además, para k>0 l>0 límímxx→→00 xxkk
== 0, mientras0, mientras
que lque límímxx→→00 1/1/xxkk
== ∞∞;;
LímLímxx→→00 sgn (sgn (x) no existe; lx) no existe; límímxx→→--∞∞ eexx
== 0, mientras que0, mientras que
llímímxx→→ ++∞∞ eexx
== 0;0;
LímLímxx→→aa InIn xx == In a, (a >0); lIn a, (a >0); límímxx→→0+0+ InIn x =x = --∞∞ mientras quemientras que
llímímxx→→ ++∞∞ InIn x =x = ++∞∞;;
LímLímxx→→aa sensen x = sen a; límx = sen a; límxx→→aa coscos x = cos a; lx = cos a; límímxx→Π→Π-/-/22 tan x =tan x =
++∞∞; l; límímxx→Π→Π-/-/22 tan x = -tan x = -∞∞

Ejemplos de cálculo de límitesEjemplos de cálculo de límites
Calcule los siguientes límites:Calcule los siguientes límites:
a)a) LímLímxx→→44 2x/(3x2x/(3x33
– 16) = 2(4)/(3(4)– 16) = 2(4)/(3(4)33
-16) = 1/22-16) = 1/22
b)b) LímLímxx→→-2-2 (3x(3x44
– 8)/(x– 8)/(x33
+ 24) = (3(-2)+ 24) = (3(-2)44
-8)/((-2)-8)/((-2)33
+24) =5/2+24) =5/2
c)c) LímLímxx→→22 (x(x33
– 2x – x + 2)/(x– 2x – x + 2)/(x22
+ x - 6) ; [factorizamos]+ x - 6) ; [factorizamos]
límlímxx→→22 (x – 2) (x(x – 2) (x22
– 1))/(x – 2) (x + 3);– 1))/(x – 2) (x + 3);
límlímxx→→22 (x(x22
– 1)/(x + 3) = 3/5– 1)/(x + 3) = 3/5

DefiniciónDefinición
SeaSea ƒƒ una función definida a ambos lados deuna función definida a ambos lados de aa, excepto tal, excepto tal
vez en el mismovez en el mismo aa. Entonces,. Entonces,
LímLímxx→→aa ƒ(x)= +ƒ(x)= +∞∞
SeaSea ƒƒ una función definida a ambos lados deuna función definida a ambos lados de aa, excepto tal, excepto tal
vez en el mismovez en el mismo aa. Entonces,. Entonces,
LímLímxx→→aa ƒ(x)= -ƒ(x)= -∞∞

En el primer caso, significa que los valores deEn el primer caso, significa que los valores de ƒƒ(x) pueden(x) pueden
hacerse grandes (tan grandes como se quiera) tomandohacerse grandes (tan grandes como se quiera) tomando xx
suficientemente cerca desuficientemente cerca de aa, pero distinto de, pero distinto de aa. Para cada. Para cada
número positivonúmero positivo MM hay un número correspondientehay un número correspondiente δδ, tal, tal
queque ƒƒ(x)(x) >M siempre que>M siempre que 0<|Χ−0<|Χ−aa|<δ|<δ..
En el segundo caso, significa que los valores deEn el segundo caso, significa que los valores de ƒƒ(x) pueden(x) pueden
hacerse grandes en valor negativo, tomandohacerse grandes en valor negativo, tomando xx
suficientemente cerca desuficientemente cerca de aa, pero distinto de, pero distinto de aa. Para cada. Para cada
número negativo denúmero negativo de NN hay un número correspondientehay un número correspondiente δδ, tal, tal
queque ƒƒ(x)(x) <N, siempre que<N, siempre que 0<|Χ−0<|Χ−aa|<δ|<δ..

Límites de las funciones trigonométricasLímites de las funciones trigonométricas
Si c es un número real en el dominio de la funciónSi c es un número real en el dominio de la función
trigonométrica indicada, se cumple:trigonométrica indicada, se cumple:
1.1. LímLímxx→→cc sen x = sen c 4. Límsen x = sen c 4. Límxx→→cc cot x = cot ccot x = cot c
2.2. LímLímxx→→cc cos x = cos c 5. Límcos x = cos c 5. Límxx→→cc sec x = sec csec x = sec c
3.3. LímLímxx→→cc tan x = tan c 6. Límtan x = tan c 6. Límxx→→cc csc x = csc ccsc x = csc c

Identidades trigonométricas básicasIdentidades trigonométricas básicas
para el cálculo de límitespara el cálculo de límites
1.1. sensen22
x + cosx + cos22
x = 1x = 1
2.2. tan x = sen x/cos xtan x = sen x/cos x
3.3. sec x = 1/cos xsec x = 1/cos x
4.4. cot x = 1/tan x = cos x/sen xcot x = 1/tan x = cos x/sen x
5.5. csc x = 1/sen xcsc x = 1/sen x
6.6. sen (sen (α+β)=α+β)= sensen αα coscos ββ + cos+ cos αα sensen ββ
7.7. sen (sen (αα--β)=β)= sensen αα coscos ββ - coscos αα sensen ββ
8.8. tan (tan (α+β)=α+β)= (tan(tan αα ++ tantan β)β)/(1- tan/(1- tan αα tantan β)β)
9.9. tan (tan (αα--β)=β)= (tan(tan αα - tantan β)β)/(1+ tan/(1+ tan αα tantan β)β)
10.10. sen 2sen 2 αα == 2 sen2 sen αα coscos αα
11.11. tan 2tan 2 αα == 2 tan2 tan αα/ 1 – tan/ 1 – tan22
αα
12.12. cos 2cos 2 αα = cos= cos22
αα - sen- sen22
αα = 2 cos= 2 cos22
αα - 1= 1 – 2 sen- 1= 1 – 2 sen22
αα

Límites especiales y ejemplosLímites especiales y ejemplos
a) Líma) Límxx→→00 sensen θθ//θθ = 1 b) Lím= 1 b) Límθθ →→00 1 – cos1 – cos θθ//θθ = 0= 0
a)a) LímLím θθ →→00 sen 4sen 4θθ//θθ, multiplicamos numerador y, multiplicamos numerador y
denominador por 4:denominador por 4:
LímLím θθ →→00 (sen 4(sen 4θθ * 4)/(* 4)/(θθ * 4) = Lím* 4) = Lím θθ →→00 sen 4sen 4θθ / 4/ 4θθ = 4*1=4= 4*1=4
b) Límb) Límxx→→00 1 – cos 3x/x, multiplicamos numerador y1 – cos 3x/x, multiplicamos numerador y
denominador por 3:denominador por 3:
LímLím xx →→00 (1 – cos 3x*3)/x * 3)= Lím(1 – cos 3x*3)/x * 3)= Lím xx →→00 3 * Lím3 * Límxx→→00 1 – cos1 – cos

La recta x=a es llamada asíntota vertical de la curvaLa recta x=a es llamada asíntota vertical de la curva
y=y=ƒ(x) si por lo menos una de las siguientes afirmacionesƒ(x) si por lo menos una de las siguientes afirmaciones
es verdadera :es verdadera :
LímLímxx→→aa ƒ(x)= +ƒ(x)= +∞∞ LímLímxx→→a-a- ƒ(x)= +ƒ(x)= +∞∞ LímLímxx→→a+a+ ƒ(x)= +ƒ(x)= +∞∞
LímLímxx→→aa ƒ(x)= -ƒ(x)= -∞∞ LímLímxx→→a-a- ƒ(x)= -ƒ(x)= -∞∞ LímLímxx→→a+a+ ƒ(x)= -ƒ(x)= -∞∞

Definición intuitiva de ContinuidadDefinición intuitiva de Continuidad
Continuidad, intuitivamente podemos definirla como unaContinuidad, intuitivamente podemos definirla como una
función que se considera continua si se puede trazar sufunción que se considera continua si se puede trazar su
gráfica sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, nográfica sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, no
siempre sabemos cómo trazar la gráfica de una funciónsiempre sabemos cómo trazar la gráfica de una función
dada a través de una expresión analítica. Es por eso quedada a través de una expresión analítica. Es por eso que
necesitamos una definición que nos permita estudiar sinecesitamos una definición que nos permita estudiar si
una función es continua o no a partir de la expresión queuna función es continua o no a partir de la expresión que
la define.la define.

Definición de ContinuidadDefinición de Continuidad
Sea y= una función definida en una vecindad de x=a. SeSea y= una función definida en una vecindad de x=a. Se
dice que esa función es continua en x=a si se cumpledice que esa función es continua en x=a si se cumple
que:que:
a.a. Está definidaEstá definida ƒ(x)ƒ(x)
b.b. Existe límExiste lím xx→→aa ƒ(x)ƒ(x)
c.c. LímLímxx→→aa ƒ(x)ƒ(x) == ƒ(ƒ(aa))
Si falla alguna de las tres condiciones se dice que y=Si falla alguna de las tres condiciones se dice que y= ƒ(x)ƒ(x)
no es continua en x=a.no es continua en x=a.

Definición de ContinuidadDefinición de Continuidad
Sea y=ƒ(x) una función definida en el intervalo (a.b). SeSea y=ƒ(x) una función definida en el intervalo (a.b). Se
dice que esa función es continua en el intervalo (a,b) sidice que esa función es continua en el intervalo (a,b) si
es continua en cada punto de ese intervalo.es continua en cada punto de ese intervalo.
Se dice queSe dice que ƒƒ es continua en x=a por la derecha (por laes continua en x=a por la derecha (por la
izquierda) si:izquierda) si:
a)a) ƒ(ƒ(aa)) eestá definidastá definida
b)b) Existe límExiste lím xx→→a+a+ ƒ(x) =ƒ(x) = ƒ(ƒ(aa)), (lím, (límxx→→a-a- ƒ(x) =ƒ(x) = ƒ(ƒ(aa))))
Se considera que f es continua en el intervalo cerrado [c,d]Se considera que f es continua en el intervalo cerrado [c,d]
si lo es en el intervalo abierto (c,d), así como por lasi lo es en el intervalo abierto (c,d), así como por la
derecha en x=c y por la izquierda en x=d.derecha en x=c y por la izquierda en x=d.

Propiedades de las funciones continuasPropiedades de las funciones continuas
Si las funciones f y g son continuas en x=a, entonces lasSi las funciones f y g son continuas en x=a, entonces las
funcionesfunciones
ff +/-+/- gg,, ff ** gg,, ff//gg (si(si gg (a)(a) ≠≠ 0) y k0) y kff (k(k ∈∈ ℜℜ) también lo son) también lo son
en x=a. Si g es continua en x=a yen x=a. Si g es continua en x=a y ff lo es en x=c=g(a),lo es en x=c=g(a),
entoncesentonces ff °°gg lo es en x=a.lo es en x=a.
SiSi ff es continua en el intervalo cerrado [c,d] y b eses continua en el intervalo cerrado [c,d] y b es
cualquier número entrecualquier número entre ff (c) y(c) y ff (d), entonces existe un(d), entonces existe un
valor Xvalor X00 que pertenece al intervalo [c,d], tal queque pertenece al intervalo [c,d], tal que
ff(x(x11) =b.) =b.

Ejemplos De Funciones ContinuasEjemplos De Funciones Continuas
y Discontinuasy Discontinuas
Encuentra el límEncuentra el lím xx→1+→1+ ƒ(ƒ(x) de la función:x) de la función:
ƒ(ƒ(x) =x) =
Dado que la función está formada por dos partes, seDado que la función está formada por dos partes, se
calcularán los límites laterales en 1.calcularán los límites laterales en 1.
4 – x2
si x≤1
2 + x2
si x>2

Ejemplos de FuncionesEjemplos de Funciones
Continuas y DiscontinuasContinuas y Discontinuas
límlím xx→1+→1+ ƒ(ƒ(x) =x) = límlím xx→1+→1+ (2 + x(2 + x22
))
= 2+1= 2+1
= 3= 3
límlím xx→1→1-- ƒ(ƒ(x) =x) = límlím xx→1→1-- (4 - x(4 - x22
))
= 4-1= 4-1
= 3= 3
Dado que el límDado que el lím xx→1+→1+ ƒ(ƒ(x) =x) = límlím xx→1→1-- ƒ(ƒ(x), esto hace que sex), esto hace que se
cumplan las condiciones del teorema del límite, se tiene quecumplan las condiciones del teorema del límite, se tiene que
límlím xx→1→1 ƒ(ƒ(x) = 3x) = 3

Encuentra el límEncuentra el lím xx→→3-3- ƒ(ƒ(x) de la función:x) de la función:
ƒ(ƒ(x) =x) =
Para resolver este ejemplo primero hay que encontrar losPara resolver este ejemplo primero hay que encontrar los
límites de la función en x= -3.límites de la función en x= -3.
x + 5
√9 − x2

límlím xx→→-3-3
++
ƒ(ƒ(x) =x) = límlím xx→→-3-3++ √√ 9 - x9 - x22
== √√ 9 –(-3)9 –(-3)22
= 0= 0
límlím xx→→-3-3
--
ƒ(ƒ(x) =x) = límlím xx→→ -3-3
--
x + 5x + 5
= -3+5= -3+5
= 2= 2
Dado que el límDado que el lím xx→→ -3-3
++
ƒ(ƒ(x)x) ≠≠ límlím xx→→ -3-3
--
ƒ(ƒ(x), entoncesx), entonces
límlím xx→→-3-3 ƒ(ƒ(x): No existe.x): No existe.

Ejemplo de límites que tienden alEjemplo de límites que tienden al
infinitoinfinito
SeaSea ƒ(x)=1/(x–2), determine:ƒ(x)=1/(x–2), determine:
a)a) LímLímxx→→2+2+ ƒ(x)=ƒ(x)= LímLímxx→→2+2+ 1/(x–2)=1/(x–2)= ++∞∞
b)b) LímLímxx→→2-2- ƒ(x)=ƒ(x)= LímLímxx→→2-2- 1/(x–2)=1/(x–2)= --∞∞
Por lo tanto diríamos que esta función tiene unaPor lo tanto diríamos que esta función tiene una
asíntota vertical en x=2.asíntota vertical en x=2.

Ejemplo gráfico de límites queEjemplo gráfico de límites que
tienden al infinitotienden al infinito
Una vez que se conocen los límites, con ayuda de la gráficaUna vez que se conocen los límites, con ayuda de la gráfica
de la función es posible inferir en qué momento tiene unde la función es posible inferir en qué momento tiene un
límite infinito: Ejemplo:límite infinito: Ejemplo:
ƒ(x)=1/x²ƒ(x)=1/x²
x
y
La función tiende hacia el infinito cuando x se acerca al 0 tantoLa función tiende hacia el infinito cuando x se acerca al 0 tanto
por la derecha como por la izquierda.por la derecha como por la izquierda.

Ejemplo numérico y gráfico deEjemplo numérico y gráfico de
límites que tienden al infinitolímites que tienden al infinito
SiSi ƒ(x) tiende a infinito positivo o negativo cuandoƒ(x) tiende a infinito positivo o negativo cuando
x tiende ax tiende a cc por la derecha o por la izquierda, sepor la derecha o por la izquierda, se
dice que la recta x=c es una asíntota vertical de ladice que la recta x=c es una asíntota vertical de la
gráficagráfica dede ƒ. Para entender claramente lo que sonƒ. Para entender claramente lo que son
las asíntotas verticales, se analizará la gráfica de lalas asíntotas verticales, se analizará la gráfica de la
siguiente función:siguiente función:
Sea ƒ(x) = 1/x , encontrar su asíntota vertical.Sea ƒ(x) = 1/x , encontrar su asíntota vertical.

límites que tienden al infinitolímites que tienden al infinito
Observa la gráfica deObserva la gráfica de ƒ(x):ƒ(x):
x
y
0
A medida que te acercas al 0 por la derecha
ƒ(x) tiende al infinito positivo, esto quiereƒ(x) tiende al infinito positivo, esto quiere
decir que ƒ(x) seguirá creciendo mientras xdecir que ƒ(x) seguirá creciendo mientras x
se siga acercando al 0.se siga acercando al 0.
Siempre sucede que xSiempre sucede que x≠0,≠0, es decir, que ƒ(x)es decir, que ƒ(x)
Nunca tocará la línea x=0. Por tanto, laNunca tocará la línea x=0. Por tanto, la
recta x=0 es una síntota vertical de larecta x=0 es una síntota vertical de la
función ƒ(x).función ƒ(x).

Ejemplo numérico de límites queEjemplo numérico de límites que
En el caso de que los límites tiendan hacia direccionesEn el caso de que los límites tiendan hacia direcciones
diferentes, al obtenerdiferentes, al obtener ∞∞ en el primer límite ya no seríaen el primer límite ya no sería
necesario calcular el segundo debido a que directamente senecesario calcular el segundo debido a que directamente se
podría decir que el límite no existe.podría decir que el límite no existe.
Calcula límCalcula lím xx→2→2 ƒ(ƒ(x) en la siguiente función:x) en la siguiente función:
ƒ(ƒ(x)=x)=
√x²-4 si x ≥0
1000/(x – 2) si x <2

Ejemplo numérico de límites queEjemplo numérico de límites que
Si quieres calcular el límite deSi quieres calcular el límite de ƒ en x=2,ƒ en x=2, debes desarrollar el límite pordebes desarrollar el límite por
partes, entonces el límite por la derecha es:partes, entonces el límite por la derecha es:
límlím xx→→22++ ƒ(ƒ(x) =x) = límlím xx→→22++ √√xx22
–4 =–4 = √√2222
–4 = 0, y el límite por la izquierda es:–4 = 0, y el límite por la izquierda es:
límlím xx→→2-2- ƒ(ƒ(x) =x) = límlím xx→→2-2- 1000/(x - 2), el segundo miembro de la1000/(x - 2), el segundo miembro de la
desigualdad anterior decrece infinitamente a medida que x se acerca a 2.desigualdad anterior decrece infinitamente a medida que x se acerca a 2.
Por lo cual, se puede decir que:Por lo cual, se puede decir que:
límlím xx→→2-2- 1000/(x - 2) = -1000/(x - 2) = -∞∞
Dado que los límites laterales son distintos y uno de ellos es igual a -Dado que los límites laterales son distintos y uno de ellos es igual a -∞∞
se puede concluir que el límse puede concluir que el lím xx→→22 ƒ(ƒ(x). No existe.x). No existe.

Ejemplo numérico y gráfico de asíntotasEjemplo numérico y gráfico de asíntotas
Por lo general, las asíntotas se presentan en funciones cuyaPor lo general, las asíntotas se presentan en funciones cuya
variable independiente se encuentra en el denominador, yvariable independiente se encuentra en el denominador, y
serán el valor que haga cero a dicho denominador. Ejemplo:serán el valor que haga cero a dicho denominador. Ejemplo:
SeaSea ƒ(x)=x²/(x-3) encuentra sus asíntotas.ƒ(x)=x²/(x-3) encuentra sus asíntotas.
Lo que debo hacer es encontrar la gráfica de ƒ, que en esteLo que debo hacer es encontrar la gráfica de ƒ, que en este
caso es:caso es:

asíntotasasíntotas
En la gráfica se observa que si x se acerca a 3 por la derecha ƒ(x) se
dispara al infinito y si x se acreca a 3 por la izquierda, (x) se dispara
al infinito negativo, entonces, la recta x=3 es una asintota vertical
de ƒ(x). Esta función posee un denominador, el cual es x-3, el cual
se hace 0 cuando x-3 = 0, por lo tanto, x=3. Así entonces, la recta
x=3 es asíntota de ƒ(x), tal y como se dijo en la explicación de la
función.
x
y
x=3

Analice la continuidad de la siguiente función paraAnalice la continuidad de la siguiente función para
x=1.x=1.
ƒ(x) =ƒ(x) =
-(x+1)2
+ 5 si x ≤1
(x-1)3
+ 2 si x >2
1) La función está definida para1) La función está definida para x=1:x=1:ƒ(x) = -(1+1)ƒ(x) = -(1+1)2
+ 5 = 1
2) Calculemos el lím2) Calculemos el límxx→1→1 ƒ(ƒ(x):x):
límlímxx→1→1-- [-(x+1)[-(x+1)2
+ 5] = 1 límlímxx→1→1++ [(x-1)[(x-1)3
+ 2] = 2
límlímxx→1→1
--
ƒ(ƒ(x)x) ≠≠ límlímxx→1→1++ ƒ(ƒ(x)x)

Así que no existeAsí que no existe límlímxx→1→1 ƒ(ƒ(x), falla la segundax), falla la segunda
condición y la función no es continua en x= 1.condición y la función no es continua en x= 1.
y
x
1-3
2
4
3

BibliografíaBibliografía
Apuntes del curso de Cálculo Diferencial. ESAD, Diciembre
2011.
López Saura, Irma y Wisniewski, Piotr Marian (2006),
Thomson, México, 395p.
Wisniewski, Piotr Marian y Gutíerrez Banegas, Ana Laura
(2003), McGraw Hill, México, 696p.

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