Demostración del teorema Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es negativo uno.

1. Reflexiones Matemáticas Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a – 𝟏.
Demostración:
Puesto que las rectas pasan por el origen (0, 0), donde la abscisa así como la ordenada
son cero, nos queda que:
y = mx+0 o lo que es lo mismo y = mx.
Sustituyendo el valor de x en 𝑚1 y en 𝑚2 tenemos que:
Para 𝒎 𝟏 Para 𝒎 𝟐
y = (𝑚1)(1)=𝑚1 y = (𝑚2)(1)=𝑚1
y = 𝑚1 y = 𝑚2
Ahora se calcula la distancia de ambos puntos al origen y la distancia de P1 a P2
DP1 0 = √( 𝑦2 − 𝑦1)2 + ( 𝑥2 − 𝑥1)2
DP1 0 = √(0 − 1)2 + (0 − 𝑚1)2
DP1 0 = √1 + 𝑚1
2
DP2 0 = √( 𝑦2 − 𝑦1)2 + ( 𝑥2 − 𝑥1)2
DP2 0 = √(0 − 1)2 + (0 − 𝑚2)2
DP2 0 = √1 + 𝑚2
2
X
Y
•
L = 1
𝐋 𝟐
𝐋 𝟏
𝐏𝟏= (𝟏, 𝒎 𝟏)
𝐏𝟐 = (𝟏, 𝒎 𝟐)
0
Se trazan las rectas
perpendiculares L1 y L2
y se traza la recta L =1
perpendicular al eje x
y = 𝒎 𝟐 𝒙 y = 𝒎 𝟏 𝒙
1
•
•

2. Reflexiones Matemáticas Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Prof. Joel Amauris Gelabert S.
DP1 p2
= √(y2 − y1)2 + (x2 − x1)2
DP1 p2
= √(1 − 1)2 + (m2 − 𝑚1)2
DP1 p2
= √02 + (m2 − 𝑚1)2
DP1 p2
= √(m2 − 𝑚1)2
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OP1P2
Tenemos que:
(DP1 p2
)
2
= (DP1 0)
2
+ (DP2 0)
2
(√(m2 − 𝑚1)2 )
2
= (√1 + 𝑚1
2 )
2
+ (√1 + 𝑚2 )
2
(m2 − 𝑚1)2
= 1 + 𝑚1
2
+ 1 + 𝑚2
2
(Se desarrolla el binomio m2 − 𝑚1)2
aplicando la regla del cuadrado de la diferencia
de dos cantidades
𝑚2
2
− 2 𝑚2 𝑚1 + 𝑚1
2
= 2 + 𝑚1
2
+ 𝑚2
2
Simplificando nos queda que:
− 2 𝑚2 𝑚1 = 2
Se aplica la propiedad del opuesto aditivo y se divide por 2.
− 2 𝑚2 𝑚1
−2
=
2
−2
Luego de simplificar nos queda que:
𝒎 𝟐 𝒎 𝟏 = −𝟏