Presentación sobre el trabajo de maestría, en la aplicación de la herramienta lúdica, el algebra es un juego.

1. ENSEÑANZA DE FACTORIZACIÓN, CON LA AYUDA DEL
MATERIAL DIDÁCTICO “EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO”, A LOS
ESTUDIANTES DE ÁLGEBRA DEL COLEGIO NUESTRA
SEÑORA DE FÁTIMA.
HERNANDO ACEVEDO RÍOS
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al
título de:MAGISTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Director: ORLANDO AYA CORREDOR Mgtr
UNIVERSIDAD DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
MANIZALES, COLOMBIA
2014

2. PROBLEMA Y JUSTIFICACIÓN
• En el estudio del álgebra elemental en la educación básica secundaria se detecta el
problema del paso del lenguaje natural al lenguaje simbólico del álgebra; poco se potencian
otros sistemas de representación como el uso de figuras geométricas tridimensionales para
materializar variables algebraicas, que permiten visualizar procesos de equivalencia entre
dichas variables y los registros de representación semiótica o sean las figuras
tridimensionales que se pueden fabricar de cualquier material.
• La experiencia desde el aula muestra que los estudiantes de octavo grado de la educación
básica secundaria presentan dificultades en el aprendizaje, en la manipulación de
operaciones con polinomios pero particularmente, en su factorización, tanto en lo que
respecta a los procesos algorítmicos como en dar una interpretación de este proceso y
concepto.
• Utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego”, resulta una herramienta pertinente
para hacer el tránsito entre las estructuras del pensamiento concreto hacia las estructuras
del pensamiento abstracto.
HIPÓTESIS
• Los estudiantes de grado octavo, utilizando el material didáctico “El Álgebra es un Juego”,
realizaran los procesos algorítmicos asociados a la factorización más fácilmente y con
mayor nivel de comprensión, esto es dotándolo de un significado
• Los estudiantes, una vez hayan asimilado el proceso de factorización con la mediación
instrumental del juego, podrán factorizar sin necesidad de utilizar el material didáctico
es decir sin tener el referente concreto.

3. OBJETIVOS
GENERAL:
• Utilizar el artefacto “El Álgebra es un Juego” que permite, como mediador
instrumental, hacer la transición entre las estructuras del pensamiento concreto a
las del pensamiento abstracto, para realizar ejercicios sobre factorización,
partiendo del lenguaje geométrico, para luego hacer la conversión al lenguaje
simbólico y que al resolverlos los hagan comprendiendo el concepto y en forma
correcta.
ESPECÍFICOS:
• Utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego” para facilitar el tránsito entre
las estructuras del pensamiento concreto hacia las estructuras del pensamiento
abstracto y encontrarle mayor significado a las expresiones algebraicas.
• Usar “El Álgebra es un Juego” como un mediador instrumental que permita
realizar procesos de conversión entre el lenguaje natural y el simbólico en los
diferentes casos de factorización.
• Utilizar el material concreto “El Álgebra es un Juego”, en el marco de las
representaciones sociales, realizando los procesos de tratamiento solamente para
verificar las respuestas analítica y geométricamente.

4. ANTECEDENTES Y REFERENTES TEÓRICOS
• Babilonios: ( 2000 y 600 a.C.)Escribas- Tablillas de arcilla- Recetas-Sistema
Sexagesimal- Problemas algebraicos y geométricos
• Los Griegos: Diofanto (290 – 200 a. C.) - Arithmetica- Ecuaciones Diofánticas
• Los Árabes: Al-Khwarizmi (780 - 850 d.C.) -Al-jabr wa´lmuqäbala
• El Renacimiento: Imprenta- Descartes (1596 – 1650)-La Geometrie
ACTUALES:
• Lab Gear: Usa planillas que organizan los bloques en rectángulos para modelizar la
multiplicación, la división y la factorización.
• Algebra Tiles: Fichas planas que trabajan sólo con una variable.
• Algeblocks: Pueden crear reglas en forma inductiva, es decir, van de lo concreto a lo
abstracto.
• Puzzle Algebraico: Cantidades numéricas positivas y negativas. (Hernández et al,
2008).
• Tabletas Algebraicas: Jiménez y Salazar (2013)
• Álgebra Geométrica: Ballén (2012).

5. Fichas que utiliza Lab Gear

6. Piezas de Algebra Tiles

7. Piezas del material manipulativo Algeblocks.

8. b•1
1•1 -1.1 X•1
1
-X•1 -Y•1Y•1
-b•1
X•X -X•X b•X -b•X
(b/2)•X -(b/2)•X −
𝑏
4
. 𝑋𝑏
4
•X
(b/2)•(b/2) -(b/2)•(b/2)
b•b -b•b
𝑏
4
.
𝑏
4
−
𝑏
4
.
𝑏
4
Piezas del Puzzle Algebraico.

9. Tabletas Algebraicas y un ejemplo de unión correcta.
Fichas planas
para 𝒂 𝟐
, 𝒃 𝟐
, 𝒂𝒃, 𝒂, 𝒃, 𝒚 𝒍𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅
Figura que representa el trinomio
𝒃 𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏

10. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
Problema: En un lote rectangular construir una casa de tipo A, 6
casas de tipo B y 8 casas de tipo C.
Modelos de casas: A, B y C.
Una de 15 soluciones fue la
siguiente: 𝑥2 + 6𝑥 + 8
Modelo A. Modelo B Modelo C.

11. REFERENTES MATEMÁTICOS
TEOREMAS Y CASOS DE FACTORIZACIÓN
Teorema del residuo
Si el polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 se divide entre 𝑥 −
𝑟, siendo 𝑟 una constante independiente de 𝑥, el
residuo 𝑅 es igual a 𝑃(𝑟). Esto es 𝑃 𝑥 =
𝑄 𝑥 . 𝑥 − 𝑟 + 𝑅 donde 𝑄(𝑥) es un polinomio de
grado 𝑛 − 1 y 𝑅 = 𝑃 𝑟 .
Demostración.
Como 𝑃 𝑥 = 𝑄 𝑥 . 𝑥 − 𝑟 + 𝑅, por el algoritmo
de la división, se tiene que si 𝑥 = 𝑟, entonces
𝑃 𝑟 = 𝑄 𝑟 . 𝑟 − 𝑟 + 𝑅, por lo tanto 𝑃 𝑟 = 𝑅.

12. Teorema del factor
Un polinomio 𝑃(𝑥) tiene un factor (𝑥 − 𝑐) si y sólo si
𝑃 𝑐 = 0.
Demostración.
Si 𝑐 es un cero de 𝑃(𝑥), 𝑃 𝑐 = 0.
Pero por el algoritmo de la división 𝑃 𝑥 =
𝑥 − 𝑐 𝑄 𝑥 + 𝑅
Como 𝑃 𝑐 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 𝑐 = 𝑐 − 𝑐 𝑄 𝑐 +
𝑅 = 0, por lo tanto 𝑅 = 0
y 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑐 𝑄 𝑥 .

13. Teorema Fundamental del Álgebra
• a) Todo polinomio de grado 𝒏 ≥ 𝟏 con coeficientes reales o complejos
tiene al menos una raíz real o compleja.
• b) Todo polinomio de grado 𝒏 ≥ 𝟏 con coeficientes reales o complejos se
descompone en un producto de factores lineales con coeficientes reales
o complejos y admite 𝒏 raíces reales o complejas (distintas o repetidas).
• c) Todo polinomio de grado 𝒏 > 𝟏 con coeficientes reales puede ser
descompuesto en un producto de factores con coeficientes reales de
primero o segundo grado.
𝑷 𝒙 = 𝒂 𝒏
𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 + …+ 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟎
• 𝑷 𝒙 = 𝒂 𝒏 𝒙 − 𝒄 𝟏 𝒙 − 𝒄 𝟐 … (𝒙 − 𝒄 𝒏)

14. MARCO TEÓRICO DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA
• Desarrollo de la Inteligencia:
– Las operaciones concretas (7-12 años): Paso de las intuiciones a las operaciones concretas.
– Las operaciones formales (12-16 años): Formular pensamientos realmente abstractos, o lo que se
denomina un pensamiento de tipo hipotético deductivo. (Piaget, 1975)
• Representaciones Sociales: Es un conjunto de conceptos, enunciados y explicaciones
originados en la vida diaria, en el curso de las comunicaciones interindividuales. «…
aprendemos principalmente lo que somos capaces de representar.» (Moscovici , 1986)
– Actitud: Es el elemento afectivo de la representación.
– Información: Refiere los conocimientos en torno al objeto de representación; su cantidad y calidad
es variada en función de varios factores.
– Campo de representación: Nos sugiere la idea de “modelo”
• Procesos de Conversiones de Registros Semióticos: La actividad matemática se realiza
necesariamente en un «contexto de representación». Los estudiantes también deberían
ser capaces de reconocer el mismo objeto matemático en otros contextos de
representación y usarlos. (Duval, 2006 a)
• Pensamiento Matemático Elemental y Avanzado: Durante esta transición coexisten en
la mente del estudiante las experiencias más tempranas y el nuevo corpus de
conocimiento deductivo. (Belmonte, 2009). Un aprendizaje efectivo precisa de
estrategias para tratar tal conflicto.

15. METODOLOGÍA
Tipo de estudio: Investigación–Acción y Descriptiva:
El docente autor realiza una aplicación de la propuesta y evalúa los
hallazgos particulares al aplicar un material en unos temas específicos en
un grado específico.
La acción metodológica estará ligada a utilizar el material didáctico “El
Álgebra es un Juego” con el tema de factorización.
La fase descriptiva se realiza al documentar de manera global lo que ocurre
al plantear unas actividades específicas con un grupo de estudiantes.
Propuesta Metodológica
Tresfases: Experiencias vividas, Diseño del material y Aplicación del material

16. «EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO»
PLANO CARTESIANO Y LAS FICHAS UTILIZADAS EN ESTE TRABAJO
Plano cartesiano con los ejes ampliados
y algunas casillas (𝒙, 𝒚).
Fichas que simbolizan la unidad y las
variables.

17. REGLAS DEL JUEGO. Para multiplicar se deben tener en cuenta
las siguientes reglas:
Verde ×Verde=Verde (1×1=1) Azul ×Verde= 𝑨𝒛𝒖𝒍 (𝒙 × 𝟏 = 𝒙)

18. Gris× 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒆 = 𝑮𝒓𝒊𝒔 (𝒚 × 𝟏 = 𝒚), Azul× 𝑮𝒓𝒊𝒔 = 𝑹𝒐𝒋𝒐 (𝒙 × 𝒚 = 𝒙𝒚), Rojo×
𝑽erde = 𝑹ojo (𝒙𝒚 × 𝟏 = 𝒙𝒚) y Amarilla × Verde = 𝑨marilla (𝑥2 × 1 = 𝑥2).

19. Gris × Gris = Café (𝒚 × 𝒚 = 𝒚 𝟐
) , Café × Verde = Café (𝒚 𝟐
× 𝟏 = 𝒚 𝟐
), Azul×Azul=
𝑨marilla (𝒙 × 𝒙 = 𝒙 𝟐) Y Azul×Amarillo=Naranja (𝒙 × 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟑).

20. Café × Gris= Blanco (𝒚 𝟐
× 𝒚 = 𝒚 𝟑
), Azul oscuro × Café = Azul
claro (𝒙 × 𝒚 𝟐
= 𝒙𝒚 𝟐
), Rojo× 𝑮𝒓𝒊𝒔 = Azul claro (𝒙𝒚 × 𝒚 = 𝒙𝒚 𝟐
)
y Amarilla × Gris = Verde claro (𝒙 𝟐
× 𝒚 = 𝒙 𝟐
𝒚).

21. Azul × Rojo = Verde claro (𝒙 × 𝒙𝒚 = 𝒙 𝟐 𝒚).
Fichas que representan 𝒙 𝟓 (rosada), 𝒙 𝟔 (negra), y otros
registros para 𝒙 𝟐 (amarilla), 𝒙 𝟑 (naranja) y 𝒙 𝟒 (violeta). Se
cumple que 𝒙 𝟐
× 𝒙 𝟒
= 𝒙 𝟔
, −𝒙 × 𝒙 𝟒
= −𝒙 𝟓
, −𝒙 × −𝒙 =
𝒙 𝟐
y 𝒙 𝟐
× −𝒙 = −𝒙 𝟑

22. PRIMEROS TABLEROS
(𝒙 𝟐+𝒙) 𝒙 𝟐 − 𝒙 = 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐
(𝒙 + 𝟑) 𝒙 + 𝟑 = 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗

23. REGLA DEL BISTURÍ: Imagine pasar un bisturí horizontal y verticalmente
por las líneas que se forman entre ficha y ficha, incluyendo las que están en
los ejes. Si el bisturí pasa libremente de un extremo al otro, sin chocarse
contra ninguna ficha, el rectángulo está bien construido.
Trinomio 2𝑥2 + 6𝑥 + 4 formando
un rectángulo
Trinomio 2𝑥2 + 6𝑥 + 4 con los
factores en los ejes.

24. REGLA DEL BISTURÍ: Imagine pasar un bisturí horizontal y verticalmente
por las líneas que se forman entre ficha y ficha, incluyendo las que están en
los ejes. Si el bisturí pasa libremente de un extremo al otro, sin chocarse
contra ninguna ficha, el rectángulo está bien construido.
Trinomio 2𝑥2
+ 6𝑥 + 4
con los factores en los ejes.

25. III
III IV
+
+
–
– +
+
-
-
–
–
+
+
EJEMPLO DE
POSICIONES
INCORRECTAS EN EL
TABLERO
2x2 + 6x + 4

26. Factorización
Factor Común: 2x3 + 4x2 - 8x
Respuesta:
2x(x2+2x-4)

27. Caso 2: AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
𝟐𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟗 =
(𝟐𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
) +(−𝟑𝒙 + 𝟗) =
𝟐𝒙 𝟐
𝒙 − 𝟑 + −𝟑 𝒙 − 𝟑 =
(𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑).
𝒙 𝟑+𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒙𝒚 𝟐 =
(𝒙 𝟑
+𝒙 𝟐
𝒚) + (𝒙 𝟐
𝒚 + 𝒙𝒚 𝟐
) =
𝒙 𝟐
𝒙 + 𝒚 + 𝒙𝒚 𝒙 + 𝒚 =
(𝒙 + 𝒚) 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 .

28. Caso 3: DIFERENCIA DE CUADRADOS
4𝑥2 − 25
= (−2𝑥 − 5)(−2𝑥 + 5)
4𝑥2−𝑦2
= 2𝑥 + 𝑦 2𝑥 − 𝑦

29. III
III IV
+
+
–
– +
+
-
-
–
–
+
+
Diferencia de
cuadrados
x2 - 9 =
(x + 3) (x - 3)

30. Caso 4: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
𝟗𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏
= 𝟑𝒙 + 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟏
𝒙 𝟐+𝟐𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
= 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚

31. III
III IV
+
+
–
– +
+
-
-
–
–
+
+
Trinomio cuadrado
perfecto
9x2 + 6x + 1 =
(3x + 1)2

32. III
III IV
+
+
–
– +
+
-
-
–
–
+
+
x2 - 5x + 6 =
Trinomio De la forma
x2 + bx + c
a = 1
(x - 3) (x - 2)

33. III
III IV
+
+
–
– +
+
-
-
–
–
+
+
Trinomio De la forma
x2 + bx + c
a  1
- 4x2 - 14x - 12 =
(2x + 3) (- 2x - 4)

34. Factorización
Suma de cubos
Factorizar x3 + 8
Respuesta
( x + 2 )( x2 - 2x + 4 )

35. Caso 6: SUMA DE CUBOS
𝒙 𝟑
+ 𝟖 =
𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒
antes de cancelar términos
𝒙 𝟑
+ 𝟖 =
𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟒
después de cancelar términos.

36. Factorización
Diferencia de cubos
Factorizar x3 - 1
Respuesta:
( x - 1 )( x2 + x + 1 )

37. Caso 7: DIFERENCIA DE CUBOS
𝒙 𝟑 − 𝒚 𝟑 =
𝒙 − 𝒚 𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
antes de cancelar términos.
𝒙 𝟑 − 𝒚 𝟑 =
𝒙 − 𝒚 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
después de cancelar términos.

38. Caso 8: EXPRESIÓN QUE ES EL CUBO DE UN BINOMIO
𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 =
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏).
𝒙 𝟑+𝟑𝒙 𝟐 𝒚 +𝟑𝒙𝒚 𝟐 + 𝒚 𝟑
= 𝒙 + 𝒚 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐

39. Factorización
Expresión que es el cubo de un binomio
Factorizar x3+3x2+3x+1
Respuesta 1:
( x + 1 ) ( x2 + 2x + 1 )
Respuesta 2:
( x + 1 )3

40. Expresión que es el cubo de un binomio
Factorizar: x3+ 3x2y + 3xy2 + y3
Respuesta:
(x + y) (x2+ 2xy+y2)
= (x + y)3

41. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Después de identificar las dificultades históricas y epistemológicas relacionadas
con la factorización de polinomios de segundo grado, y de haber mostrado
diferentes ejemplos con factorizaciones, vemos que “El álgebra es un juego” es
una herramienta especialmente útil porque permite la “visualización” de la
factorización.
Siendo una investigación aplicada, ya que se trata de aplicar un material en
unos temas ya conocidos, la metodología estuvo ligada a utilizar el material
didáctico “El Álgebra es un Juego” con el tema de factorización.
La pregunta: ¿Es posible, a través del lenguaje geométrico y representaciones
físicas, contribuir a mejorar el aprendizaje del álgebra, o por lo menos,
encontrar una alternativa de enseñanza que sirva como instrumento de
mediación entre el pensamiento concreto y el abstracto?
Se logró responder utilizando el material didáctico “El Álgebra es un Juego”,
justificando su uso en las teorías sobre Desarrollo de la Inteligencia,
Representaciones Sociales y Procesos de tratamiento y conversión de Registros
Semióticos.
También las consultas sobre Pensamiento Matemático Elemental y Pensamiento
Matemático Avanzado dejan claro que el presente trabajo enfatiza en el
aspecto didáctico, sacrificando un poco el rigor matemático.

42. Se hizo una evaluación diagnóstica, incluyendo ejercicios de factorización porque en el Taller
Tiempo Libre “El Álgebra es un Juego” se habían inscrito alumnos de octavo y noveno. El
rendimiento fue del 80% para los de noveno y del 60% para los de octavo.
En los Casos 1 y 2 de factorización: Factor Común, el día 12 de Julio resolvieron correctamente el
75% de los ejercicios.
Se observó que, cuando todos los términos son positivos, algunos estudiantes ubicaron las fichas
en el tercer cuadrante.
En el caso 3 de factorización: Diferencia de cuadrados. el día 19 de Julio resolvieron correctamente
el 85% de los ejercicios.
Al principio los estudiantes no eran capaces de ubicar las fichas formando el rectángulo y
siguiendo las reglas del juego.
Caso 4 de factorización: Trinomios Cuadrados Perfectos. el día 26 de Julio resolvieron
correctamente el 85% de los ejercicios.
En este taller ubicaron las fichas fácilmente, porque sabían que debían formar un cuadrado y se
notó la creatividad de muchos estudiantes al acomodar las fichas.
Caso 5 de factorización: Trinomios de la forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 = 𝟏., el día 1 de Agosto
resolvieron correctamente el 85% de los ejercicios.
Se presentaron dificultades cuando debían colocar fichas adicionales y cuando debían utilizar los
cuatro cuadrantes.
En losTrinomios de la forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 ≠ 𝟏, el día 8 de Agosto resolvieron correctamente
el 80% de los ejercicios 𝐲 𝐧𝐨𝐭𝐚𝐫𝐨𝐧 𝐥𝐚 diferencia entre usar el material y hacer el ejercicio por
medio de los algoritmos vistos.
Caso 6 y 7 de factorización: Suma y diferencia de cubos. el día 22 de Agosto resolvieron
correctamente el 80% de los ejercicios.
Se observó que las niñas eran más exactas en la formación de los cubos, buscando que se vieran
más bonitos.

43. CONCLUSIONES
• El objetivo general de este trabajo se cumple plenamente porque se
utiliza el artefacto “El Álgebra es un Juego” que permite. como
mediador instrumental, hacer la transición entre las estructuras del
pensamiento concreto a las del pensamiento abstracto. partiendo del
lenguaje geométrico para luego hacer la conversión al lenguaje
simbólico.
• También fue fundamental las consultas realizadas sobre los temas
Desarrollo de la Inteligencia, Representaciones Sociales y Procesos de
tratamiento y conversión de Registros Semióticos. Es aquí donde se
justifica plenamente el uso del material propuesto ya que se cumple el
primer objetivo específico o sea utilizar “El Álgebra es un Juego” para
hacer el tránsito entre el pensamiento concreto y el pensamiento
abstracto.
• El principal mérito de “El Álgebra es un Juego”, comparado con todos los
manipulativos analizados, es que todas las operaciones, especialmente la
factorización están ligadas al plano cartesiano.

44. RECOMENDACIONES
• El álgebra geométrica realmente logra que exista una mejor comprensión de los
temas a pesar de las limitaciones que pueda tener, pero la parte visual que tiene
este recurso genera una mayor motivación porque se logra manipular los
conceptos algebraicos de una manera más atractiva sin dejar a un lado su
fundamentación teórica. A partir del álgebra geométrica como recurso didáctico
y ambientación a diferentes temas creemos se pueden mejorar estos procesos de
enseñanza aprendizaje. (Ballén, 2012, p.49).
• La recomendación principal es utilizar este material didáctico “El
Álgebra es un juego” en las clases. No se pretende reemplazar la
enseñanza tradicional del Álgebra, sino que sea una ayuda poderosa
en la medida que los profesores la utilicen para convertir conceptos
abstractos en concretos y viceversa –lo que con el juego se hace
concreto, después es más fácil hacerlo abstracto- y así los alumnos
manipulando fichas en un tablero, no solo refuerzan lo aprendido
sino que también desarrollan el pensamiento tridimensional y, lo
principal, aprenden a amar y a disfrutar las matemáticas,
especialmente el Álgebra.

45. MUCHAS GRACIAS A TODOS LOS
ASISTENTES