Angie Daniela Quiñonez Gomez Matematica III

1. MATEMATICA III
ARQUITECTURA
DERIVADADIRECIONAL
Quiñonez Gómez, Angie Daniela- CI: 26955881

2. Derivada Direccional: Sea f: definida al menos en un
entorno de , y sea un vector de tal que = 1. Se define entonces la
derivada direccional de f en la dirección3 de en el punto ∈ Dom f como el
límite:
Alternativamente, esta definición puede escribirse de la siguiente forma, con
frecuencia más útil en los cálculos:
La equivalencia entre ambas expresiones es trivial si recordamos la definición de
derivada ordinaria. Una vez definido el concepto de derivada direccional,
podemos comprobar con facilidad que las derivadas parciales no son más que las
derivadas direccionales en la dirección de los vectores de la base canónica de
. En particular, para el caso de una función de tres variables f (x, y, z),
tendremos:
Donde se ha denotado, como es tradicional, por { }, a la base canónica de .

3. Ejemplo: Encontrar la derivada direccional de la función f (x, y) = x2 + y + 1 en la
dirección de en el punto (0, 0).
Utilizando la definición de derivada direccional como un límite tendremos:
Alternativamente, usando la definición como una derivada ordinaria:
y así:

4. Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional (1),
podemos notar que si entonces y
si , es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales
en la dirección de los vectores canónicos.