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Futuro de la
energía
EL MECANISMO DE
LAS ARTICULACIONES
HUMANAS
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Revista mensual de Ciencia y Tecnología
NO 4 / 1970 / $ 3.00 ($ 300 m/n.)
EL ASPECTO
UNITARIO DE LAS
MATEMATICAS
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Reportaje a
Pierre De Gennes
PANORAMA
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Diseño de la portada: Diagrama de una
dislocación en cristal. El efecto gráfico es
producto de la superposición de dos dia-
gramas perpendiculares.
Cora Sadosky
Manuel Risueño
Henri Pétard
John A. Wheeler
Fierre de Gennes
E. H. S. Burhop
Harold Hartley
Oscar Maggiolo
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Revista mensual
de ciencia y tecnología
No olvidar Hiroshima
Tránsito, tiempo de asfixia
Estado y petroquímica
El mecanismo de las articulaciones humanas
El aspecto unitario de la matemática
Los polióminos-II
Teoría matemática de la caza mayor
María Sklodowska Curie
Panorama de la física del sólido
Yo no soy un pacifista. . .
Futuro de la energía mundial
Crisis de la ingeniería civil uruguaya
Novedades de Cieneia y tecnología
1. Freno-radar para automóviles
2. El tokamak: un paso más hacia la fusión termonuclear
controlada
3. Desarmando y armando amebas
4. Un tren tubular que se divide por la mitad
5. Elemento N^ 105: ¿Ekatantalio o Hahnio?
6. Un reflector para advertir rutas heladas
7. Información sobre la "anomalía magnética sudatlántica"
8. El ruido: una plaga social
9. El DDT convierte un huevo en una "omelette"
10. Un domo geodésico con control solar
11. Nube de hidrógeno alrededor de un cometa
12. Nuevo equipo para físicos soviéticos
13. Trigo melómano
Humor nuevo
Cursos y reuniones científicas
Libros nuevos
Comentarios de libros
Posición de los matemáticos uruguayos frente a la OEA
Correo del lector
De las opiniones expresadas en los artículos firmados
son responsables exclusivos sus autores.

no l / N 9
4 / 3 1 de Agosto 1970 / Buenos Aires
Ricardo A. Ferraro
Ignacio Ikonicoff
Eduardo A. Mari
Héctor Abrales
Daniel Goldstein
Ricardo Schwarcz
Isabel Carballo
María Susana Abrales
Caracas: Pascual Llórente
Florencia: Hernán Bonadeo
Frankfurt: Jan Kovarik
Londres: Eduardo Ortiz
Nueva York: Roberto Lago
París: Guillermo Picabea
Praga: Jan Rehacek
Santiago de Chile: J. Pablo Schifini
La Recherche; New Scientist; Sciences; Science et Yie;
Science Journal; Scientific World; Sapere;
Cooperation Technique; Science Service; Associated Press;
APN; TASS; CTK; ADN; Agencia DAN; ICA press;
informaciones de los servicios culturales de las embajadas de
Francia, Gran Bretaña, Italia, Estados Unidos y Japón.
Es una publicación de Editorial Ciencia
Nueva. Viamonte 1464, 4?
piso, of. 22.
Buenos Aires. República Argentina, Tel.:
46-5842. Distribuidores: en la República
Argentina y exterior Ryela S. A. I. C. I. F.
y A., Paraguay 340, Capital Federal. Tel.:
32-6010 al 29; en Capital Federal, Vaccaro
Hnos., S. R. L., Solís 585, Capital Federal.
Impreso en Talleres Gráficos DIDOT S.
C. A., Luca 2223, Buenos Aires. Precio
del ejemplar: ley 18.188 $ 3 (m$n. 300).
Suscripciones: Argentina, ley 18.188 $ 40
(m$n. 4.000) por año; exterior, por vía
ordinaria, u$s. 10 anual. Registro de la
propiedad intelectual n? 1049414. Hecho
el depósito de ley. Circula por el Correo
Argentino con Tarifa Reducida, concesión
n? 9165, y Franqueo Pagado, concesión
n° 3689. Derechos reservados en castellano
y cualquier otro idioma para los trabajos
originales, y en castellano para colabora-
ciones traducidas.
Directores
Asesores de dirección
Diseño gráfico
Secretaria
Corresponsales
Servicios del exterior
2

No olvidar Hiroshima
El 25° aniversario del lanzamiento de la bomba atómica
sobre Hiroshima — 6 de agosto de 1945— atrajo a la
prensa mundial a recordar las secuencias de la masacre.
Cómo quiere la tradición, los aniversarios son las fechas
destinadas al recuerdo... los otros 364 días del año, al
olvido.
Sin embargo, el desarrollo actual de algunas ramas
de la ciencia, y la insistencia en la aplicación bélica de
otras, señalan que lo importante no es recordar una fe-
cha por costumbre, sino aprender su lección fundamen-
tal: la ciencia, como toda creación humana, impone res-
ponsabilidades ineludibles a quienes participan de ella.
El proyecto Manhattan, de construcción de las pri-
meras armas nucleares, fue la más vasta planificación
integral entre la investigación básica, la aplicación tec-
nológica y la producción industrial que conoció la hu-
manidad hasta ese momento. Al concluir el trabajo,
cuando algunos de los participantes intentaron un vasto
movimiento para impedir el uso del arma contra la po-
blación civil, recién entonces descubrieron que habían
trabajado como el aprendiz de hechicero, desarrollando
fuerzas que escapaban totalmente a su control. La de-
cisión sobre el resultado de toda la planificación, de
todo el esfuerzo coordinado, quedaba en manos de quie-
nes detentaban el poder político en su país.
El tema es de la mayor actualidad. Una enorme pro-
porción de todos los científicos y tecnólogos en activi-
dad se dedican actualmente al desarrollo de nuevos
agentes de guerra química y biológica, a la cada vez
mayor sofisticación del arsenal nuclear y al "perfeccio-
namiento" de todo tipo de armas convencionales. A me-
diados de agosto, un barco cargado con 80.000 tone-
ladas de gas neurotóxico fue hundido en el Caribe.
Las razones por las que se determinó desecharlo —la
parcial descomposición y el consecuente peligro de al-
macenamiento— permiten suponer que tal cantidad,
suficiente para matar a toda la población de varias ciu-
dades como Buenos Aires, es sólo una parte del arsenal
norteamericano para la guerra química. Los daños que
este tipo de armas causan a las personas no se dife-
rencian —en cantidad de afectados ni en gravedad de la
afección— de los producidos con armas atómicas.
Por otra parte, los reiterados anuncios sobre la po-
sibilidad de obtener resultados significativos e inme-
diatos en el campo de la genética y la peligrosidad de
sus aplicaciones bélicas, atraen sobre el primer plano de
las noticias la responsabilidad política de los hombres
de ciencia.
Hiroshima es un ejemplo de una dirección de trabajo
científico. Y algunos de los científicos más destacados
de este siglo han cumplido involuntariamente un papel
casi decisivo en la construcción del arma, como es el
caso de Einstein cuando informó al presidente Roose-
velt en su carta del 2 de agosto de 1939, sobre las po-
sibilidades bélicas de las aplicaciones de la investigación
atómica.
El recuerdo, el homenaje a las víctimas, será perma-
nente si se integra en la responsabilidad que debe asu-
mir cada trabajador científico con respecto a su rela-
ción con el conjunto de la sociedad, al menos a través
de su trabajo y de la aplicación de los resultados de
la ciencia. O
Tránsito, tiempo de asfixia
Entre los días 18 y 23 de agosto último, se realizó en
la Facultad de Ingeniería de Buenos Aires, el Primer
Seminario de Ingeniería de Tránsito. Las característi-
cas de los trabajos presentados, su falta de originali-
dad, traducen la pobreza de la ingeniería y planifica-
ción de transportes en el país y en especial en la ciudad
de Buenos Aires. No existe, entre las ciudades compa-
rables con ella, otra tan carente de estudios y planifi-
cación en esta materia.
Este déficit pudo disimularse hasta hace poco tiem-
po, sólo porque teníamos el más bajo número de auto-
motores por habitante. Ahora que la tasa de motoriza-
ción crece velozmente, es fácil prever una situación de
asfixia comparable a la que se observa en el centro de
otras grandes ciudades. En nuestro caso, tendrá un agra-
vante: la asfixia debida al creciente número de automo-
tores se dará en un momento en que la cantidad de
habitantes será mucho mayor que la población que te-
nían Londres, París, Nueva York o Tokio en una situa-
ción similar. La asfixia, de difícil solución, puede ya
ser prevista.
Para ello es urgente atacar el problema a varios
niveles. E n primer lugar es necesario coordinar los
trabajos en la vía pública, terminar con el caos que
significa actualmente el cierre de calles: mejorar la se-
ñalización temporaria (por obras o desvíos) y perma-
nente; formar al personal de control y dirección de
tránsito, evitando la repetición de la situación actual en
la que los encargados de dicha tarea son eficaces cola-
boradores del desorden y el caos de tránsito más que
de su ordenamiento. En segundo lugar, es imprecindi-
ble decidir la distribución de respetabilidades en la
planificación y que los organismos interesados elijan las
soluciones correspondientes. Finalmente, deben alentar-
se las tareas de estudio e investigación en los temas
de ingeniería de tránsito y planificación de transporte
como único medio de garantizar la concreción de solu-
ciones definitivas para este problema. O

Estado y petroquímica
El 1.5 de mayo pasado se firmó entre YPF y la Di-
rección General de Fabricaciones Militares el acta cons-
titutiva de la Sociedad Petroquímica General Mosco-
ni, de acuerdo a la ley 17.318, que determina que ambos
entes deberán mantener, conjunta o individualmente, su
prevalencia mayoritaria en la Sociedad. Dicha ley esta-
blece que la finalidad de la SPGM es desarrollar acti-
vidades industriales y comerciales propias de la indus-
tria petroquímica en general, y en particular en lo re-
ferente a hidrocarburos aromáticos y sus derivados,
como ser benceno, ciclohexano, fenol, dodecilbenceno,
tolueno, ortoxileno, paraxileno y otros productos quí-
micos provenientes del petróleo y del gas natural. Los
hidrocarburos aromáticos y las cicloparafinas obtenidas
servirán como materia prima para industrias tales co-
mo la de fibras sintéticas, materiales plásticos, explo-
sivos, solventes, etcétera y serían producidos a precios
competitivos con los internacionales.
De esta manera el Estado nacional comienza a dar
sus primeros pasos en el campo de la petroquímica, ac-
tividad de la cual hasta ahora se había abstenido, li-
mitándose su intervención al sector exclusivamente
petrolífero, a través de YPF. En otros tres países la-
tinoamericanos, Brasil, México y Venezuela, el estado
posee desde hace tiempo una importante participación
en la industria petroquímica.
Pero de esos primeros pasos es poco lo que se sabe
de cierto y mucho lo que se conjetura. Hay un proyecto
para construir un complejo industrial que produciría
unos 142,000 toneladas de aromáticos por año, cerca
de la ciudad de La Plata, es decir, en combinación con
las refinerías de YPF. Este proyecto, sin embargo, se
superpone con los proyectos de expansión de PASA
(Petroquímica Argentina SA, empresa integrada por un
grupo de compañías norteamericanas: Uniroyal, Cities
Service, Continental Oil, Fish Inter-America y Witco
Chemical), ya aprobada por el gobierno, consistente en
la ampliación de su planta de San Lorenzo (Santa Fe)
para pasar de 98.000 a 150.000 toneladas / año de BTX
(benceno, tolueno, xileno). Según diversas fuentes, el
consumo de aromáticos por año en nuestro país no su-
perará esta cifra hasta fines de la década del 70, por lo
que no se justificaría la existencia de más de una planta
de aromáticos.
PASA, por su parte, propuso a YPF, en el mes de
marzo, un acuerdo del cual no se conocen muchos de-
talles, pero que incluía una oferta de transferencia de
algunas de las unidades del complejo petroquímico de
PASA en San Lorenzo a YPF, a cambio de una inversión
de capital de este último ente para ampliar la planta
de aromáticos. Si bien YPF nunca dio a conocer en for-
ma oficial su posición frente a esta proposición, todo
parece indicar que, de lograrse un acuerdo, sería a tra-
vés de la nueva SPGM; en efecto, las autoridades de
esta última estarían evaluando los primeros resultados
de la explotación de los nuevos yacimiento petrolíferos
de Caimancito (Jujuy), que se estiman de antemano
muy favorables, para decidir la instalación de la nueva
planta en San Lorenzo (y no en La Plata), lo que im-
plicaría, ya de por sí, llegar a algún tipo de acuerdo
con PASA.
Lo único deseable es que todas estas tramitaciones y
todos los datos técnicos correspondientes, tengan h
más amplia difusión para que se puede saber exacta-
mente cuál va a ser la función de la nueva sociedad pe-
troquímica en la estructura industrial del país, y par-
ticularmente con respecto a las empresas privadas exiv
tentes en ese sector. O
%
4

El mecanismo de las
articulaciones humanas
S. A. Y. Swanson y M. A. R. Freeman
Figura 1. Radiografías de una articulación enferma
(izquierda) y una sana (derecha). Nótese las superficies
nítidas de los huesos y su separación en la
articulación sana, mientras que en la enferma
la artrosis ha provocado una deformación.
Los Doctores Alan Swanson y Michael Freeman dirigen el
trabajo de la Biomechanics Unit (Unidad de Biomecánica)
en el Imperial College, de la Universidad de Londres. An-
tes de ocupar este cargo el Dr. Swanson trabajó en el la-
boratorio de desarrollo de ingeniería en una compañía de
aviación. El Dr. Freeman es cirujano consultor del London
Hospital y Research Fellow en el Imperial College.
El funcionamiento de las articulaciones
humanas presenta problemas tanto
biológicos como mecánicos. Combinando
ambos aspectos se puede arrojar nueva
luz sobre el mecanismo de las
articulaciones sanas y enfermas.
El cuerpo humano puede considerarse como una má-
quina que contiene en su armazón o esqueleto muchas
articulaciones esenciales para el adecuado funcionamien-
to del todo. Cuando estas articulaciones o "cojinetes"
funcionan bien, apenas nos damos cuenta de su exis-
tencia, pero cuando no funcionan correctamente pueden
ocasionar dolor e incapacidad; las enfermedades de las
articulaciones (artritis de diferentes clases) representan
uno de los problemas médicos y sociales más impor-
tantes en la mayoría de los países. Esta es una de las
causas que despiertan el interés por su funcionamiento,
pero su estudio es asimismo de gran importancia pues
representan un sistema mecánico que utiliza con elegan-
cia los medios disponibles, con resultados particular-
mente buenos.
Los cojinetes constituyen una parte indispensable en
la mayoría de las máquinas, y por lo tanto el estudio
de la fricción, el desgaste y la lubricación, es desde
tiempo atrás una rama importante de la ingeniería. En
este artículo consideraremos primero los sistemas de
lubricación corrientes conocidos por los ingenieros. Des-
pués describiremos cómo se halla formada una articula-
ción humana típica, y cómo transmite el peso mientras
permite una notable libertad de movimientos. Este as-
pecto no está comprendido aún totalmente, y por ello
el tema debe ser dejado en el punto alcanzado por la
investigación hasta este momento, investigación que
continúa tanto en nuestros laboratorios como en otros.
Una superficie metálica muy bien pulida, usualmente
considerada como lisa, parece un campo arado si se la
observa con un aumento lo suficientemente grande. Si
dos superficies de este tipo, ambas perfectamente lim-
pias y secas, son comprimidas una contra otra, el con-
tacto efectivo se produce entre los ápices de algunas de
las asperezas de ambas. Por lo tanto la presión en cada
punto es de una magnitud mayor de lo que pueda su-
ponerse considerando toda la superficie involucrada; tan
elevada, en efecto, como para causar en frío soldaduras
locales de los puntos sobresalientes. El movimiento de
una superficie sobre otra romperá esta gran cantidad
5

Surco (1 nm-50nm)
fV ' "I--. } • ' - - • •
Soldadura cu frío
Figura 2. Esquema de los distintos regímenes
de lubricación (de arriba abajo):
A — Superficie metálica "lisa" aumentada
B — Lubricación estacionaria.
C — Lubricación bidrostática.
D — Lubricación hidrodinámica.
Las superficies metálicas lisas aparecen irregulares
si se las observa al microscopio bajo grandes aumentos;
al tocarse los ápices de las irregularidades de las
superficies adyacentes se forman soldaduras en frío.
Para prevenir tales uniones y disminuir la fricción,
los ingenieros usan diversos tipos de sistemas
de lubricación algunos de los cuales, solos o bien
combinados con otros, juegan un papel importante en el
funcionamiento normal de las articulaciones.
de pequeñas soldaduras que son continuamente rehechas
al entrar en contacto entre sí nuevos puntos. La fuerza
paralela a dos superficies necesaria para deslizarías una
sobre otra, resulta ser directamente proporcional a la
fuerza perpendicular que las comprime, y la relación
entre esta fuerza tangencial y la fuerza perpendicular
se llama coeficiente de fricción. Generalmente el valor
de este coeficiente para sunerficies metálicas limpias
es de 0,5 a 1,5; con superficies especialmente limpias
(incluyendo la eliminación de los gases absorbidos por
los metales) se producen soldaduras en frío con más
facilidad, correspondiendo por lo tanto a coeficientes
más elevados, a vece1
! d» hasta 10 y aún 100.
Por supuesto, es difícil que las superficies estén per-
fectamente secas y limpias. Aún donde no se ha intro-
ducido deliberadamente un lubricante, se forma general-
mente sobre los metales una película superficial de óxido
y agua (en cantidades demasiado pequeñas como para
ser visible). La formación de estas películas reduce el
coeficiente de fricción, debido presumiblemente a que
hacen más difíciles las soldaduras en frío.
Una de las formas más sencillas de hacer deslizable
una superficie sobre otra es asegurar que la capa super-
ficial mantenga permanentemente sus características lu-
bricantes apropiadas. Hace muchas décadas qüe se sabe
que algunos ácidos grasos, tales como el ácido oléico
(CitHmhCOOH) y H ácido esteárico (Ci .H^COOLI)
mantienen las superficies en condiciones adecuadas. Las
moléculas de estos ácidos se disponen de tal manera que
los grupos carboxilo (COOH) se adhieren a la super-
ficie de los metales, en tanto qUe las cadenas de ^nra-
fina sobresalen, como el pelillo cortado de una alfom-
bra. De este modo el desplazamiento no se produce
entre las dos superficies metálicas sino entre las dos
capas de cadenas de parafina, las que se mueven con
relativa facilidad una sobre otra. Estos ácidos grasos
usados como lubricantes hacen disminuir los coeficientes
de fricción a menos de 0,1 ó 0,05 (según los metales de
que se trate), menores que los coeficientes de 0,4 a
0,2 obtenidos directamente con aceites minerales. Este
régimen de lubricación, con una película muy delgada
de líquido lubricante sobre la superficie, se denomina
estacionario.
La molécula de ácido esteárico tiene aproximada-
mente un largo de 2,4 nm (1 nm es igual a 10"° m).
Una superficie lisa de acero tendrá series regulares de
asperezas, por lo menos diez veces más elevadas que
dicha cifra, de modo tal que el contacto efectivo sigue
siendo entre las asperezas, con presiones locales más
intensas y la posibilidad de romper la película adherida.
Si en lugar de aplicar una película de unas pocas
moléculas de espesor, se puede hacer circular entre las
superficies una cantidad suficiente de líquido como pata
mantener continuamente una película lo bastante gruesa
y separar las asperezas superficiales, el régimen friccio-
nal se modifica.
El movimiento relativo tiene ahora lugar dentro del
líquido, y por ende la fuerza necesaria para mantener
el movimiento depende de las características del mismo.
Para la mayoría de los líquidos la fuerza paralela a las
superficies es independiente de la fuerza perpendicular,
pero es proporcional a la extensión de las superficies en
contacto y a la velocidad relativa de ambas superficies.
Hay tres formas principales ,de mantener la película
de líquido. Si el mismo es bombeado en una proporción
suficiente para compensar las pérdidas y para mantener
6

las superficies separadas, este régimen se llama de lu-
bricación hidrostática. Si las dos superficies son apre-
tadas sólo intermitentemente, y están separadas por una
película de un líquido lo suficientemente viscoso, ésta
no será completamente eliminada durante cualquier
aplicación de presión. Si la película puede formarse nue-
vamente antes de la próxima aplicación de presión (por
ejemplo, separando levemente las superficies mediante
la absorción de líquido de los contornos), el cojinete
soportará cargas durante un largo período de tiempo;
esto se denomina cojinete con película en compresión.
La tercera forma de mantener la capa de líquido es
ajustar la geometría del cojinete de modo que las fuer-
zas hidrodinámicas dentro del líquido mantengan por sí
mismas la película. Este régimen de lubricación hidro-
dinámica puede encontrarse en cojinetes de muchas for-
mas, pero lo esencial es que las dos superficies estén en
movimiento relativo. Por ejemplo, un cojinete con un
movimiento oscilatorio lento no sería un medio idóneo
para establecer esta clase de lubricación.
A veces la capa de lubricante es tan delgada y la
presión del líquido que actúa sobre las superficies es tan
fuerte que la deformación elástica de éstas no puede
ser ignorada; el sistema es por lo tanto denominado
elástico-hidrodinámico, porque la deformación de las
superficies incrementa su carga efectiva y así pueden
soportar cargas más pesadas de lo que se podría predecir
aplicando la teoría de la hidrodinámica.
La articulación como unidad mecánica
Las uniones, o mejor dicho —en términos anatómicos—
articulaciones, entre los huesos del esqueleto, se dividen
en dos categorías: aquellas cuyo movimiento está per-
mitido (articulaciones móviles), y aquellas cuyo movi-
miento está completa o casi completamente impedido
(articulaciones fijas). Las primeras son las articulacio-
nes sinoviales y —cuando funcionan eficientemente—
transmiten sin dolor cargas compresivas a través de su
superficie, en tanto que presentan una suave resistencia
friccional al movimiento. La geometría de las articula-
ciones sinoviales es variable, de modo que tanto la can-
tidad de ejes a los que el movimiento está referido,
como la extensión del movimiento mismo, pueden dife-
rir mucho de una articulación a otra.
Las enfermedades, en general, pueden definirse como
una anormalidad manifiesta e inaceptable de una estruc-
tura o función; las enfermedades de las articulaciones
—como las artritis— se manifiestan por la imposibilidad
de soportar cargas (va que los elementos que componen
la articulación se deforman y provocan dolor), por-
que las articulaciones se han tomado rígidas, o bien
porque no funcionan dentro de las restricciones norma-
les del movimiento de la articulación (en este último
caso, se dice que la articulación es inestable).
Para comprender el proceso de las enfermedades de
las articulaciones es necesario comprender la forma nor-
mal de la transmisión de la carga y el régimen de lubri-
cación. Anatómicamente estas propiedades funcionales
dependen en toda articulación sinovia! de los cinco ele-
mentos que la forman: el hueso, el cartílago articular, la
membrana sinovial, el líquido sinovial y los ligamentos.
Además, los músculos que actúan sobre la articulación
no sólo son responsables del movimiento sino también
juegan un importante papel en el manteniminto de la
estabilidad de la misma; probablemente gran parte del
dolor en las enfermedades de las articulaciones proven-
ga de los músculos.
En una articulación sinovial las superficies entr** las
que se produce el movimiento relativo, están cubiertas
por los cartílagos articulares. Este materia! contiene re-
lativamente pocas células, y la mayor parte del mismo
está compuesto por un material fibroso y gelatinoso
denominado matriz. La matriz del cartílago°está for-
mada por tres elementos producidos por las células: eí
colágeno (una proteína fibrosa), diferentes tipos de tra¡-
copolisacáridos de cadena lama y agua. Se considera
—casi con certeza— que las fibras de colágeno forman
columnas arciformes que emergen de la capa basa! del
cartílago y se curvan para quedar paralelas a la super-
ficie. En cualquier zona del cartílago las columnas tie-
nen una dirección predominante y su orientación espa-
cial es característica de cada tipo de superficie articular.
Las moléculas de mucopolisacáridos forman con el agua
que se halla en el cartílago un «el hidratado. Parre del
agua del mismo puede ser expulsada por compresión. El
cartílago se puede describir así como una red fibrosa
ordenada cuyos intersticios están rellenos de un gel
hidratado. Recientemente se han hallado pequeñas enti-
dades de grasa, tanto en la matriz como en las células
del cartílago. No se sabe qué función cumple la misma,
pero se supone que debe actuar en la lubricación de la
superficie del cartílago, como sugerimos más adelante.
La superficie del cartílago es considerada muy resbala-
diza, con irregularidades del orden de los 0,1 |im (1 um
= 10~®m); sin embargo, recientes investigaciones de
D. Dowson y colaboradores han señalado irregularida-
des de hasta 10 [im, con valores promedio de 2 um.
La composición química y la estructura fina de la capa
superficial extema no están determinadas, pero, como
ya hemos mencionado, el colágeno inmediatamente ad-
yacente a la superficie es abundante y está dispuesto en
forma paralela a ella.
La superficie de los cartílagos está humedecida por
pequeñas cantidades de líquido sinovial producido por
la membrana sinovial; éste consiste en una solución
acuosa de sales, glucosa, pequeñas cantidades de pro-
teínas, polisacárídos de cadena larga, y ácido hialuróni-
co. Este último es el responsable de la viscosidad del
líquido sinovial, y por lo tanto es fundamental para la
lubricación de la articulación. Las propiedades lubri-
cantes del ácido hialurónico en el cartílago también de-
ben depender del hecho de que la matriz del cartílago
es impermeable a aquel. En el adulto, las células del
cartílago dependen para su nutrición del abastecimiento
de substancias químicas disueltas en el líquido sinovial;
las pequeñas moléculas pueden difundirse a través de la
matriz. Es decir, el líquido sinovial cumple también una
función nutritiva del cartílago.
La membrana sinovial es una estructura muy flexible
y blanda, en forma de saco, incluida en la cavidad de
la articulación. Sus funciones no son mecánicas (no de-
be soportar cargas), sino que produce el líquido sino-
vial. Por lo tanto es responsable de la nutrición del
cartílago, factor de gran importancia para la mecánica
del sistema.
El complejo formado por el cartílago, el líquido sino-
vial y la membrana sinovial que se observa en el diagra-
ma (figura 3), puede ser considerado como una unidad
funcional y, dado que el movimiento se produce dentro
de esta unidad, su funcionamiento normal es esencial
para el normal funcionamiento de la articulación.
7

1 • células
hueso columnas
arciformes
de fibras
de colágeno
Figura 3. Diagrama esquemático de una
articulación humana.
El cartílago articular está firmemente adherido a los
huesos que forman parte de la articulación. La verda-
dera naturaleza de la unión cartílago-hueso no se conoce,
pero posiblemente dependa de la interconexión de am-
bos con el colágeno, y del hecho de que lá matriz de la
capa inferior del cartílago, como la matriz del hueso,
está calcificada.
El hueso mismo está estructurado como un panal de
modo que las cargas transmitidas a través de la articu-
lación se difunden sobre un área muy extensa. Los
huesos están unidos por ligamentos compuestos de fi-
bras de colágeno paralelas, en una estructura semejante
a la de una soga. Los ligamentos en tensión son fuertes
y flexibles.
Los huesos y los ligamentos forman una unidad fun-
cional exterior en las articulaciones sinoviales, la que
junto con los cartílagos es responsable de la regulación
de la dirección y extensión de los movimientos de la
articulación, y de la transmisión de las cargas.
En lo que sigue nos referiremos exclusivamente a las
propiedades de la primera unidad funcional, formada
por los cartílagos, la membrana sinovial, y el líquido
sinovial por ella segregado. Dentro de esta unidad pue-
den distinguirse dos sectores: uno central, que soporta
las cargas, entre los cartílagos y la membrana sinovial, y
otro lateral, vecino a los ligamentos; toda la cavidad
está lubricada por el líquido sinovial. El funcionamiento
del sector central es, desde el punto de vista de la
función de la articulación, el más obvio, ya que es a
través del mismo que se transmite la carga de un hueso
a otro. La lubricación del sector lateral es también im-
prescindible, porque la membrana sinovial —que, como
no debe olvidarse, está firmemente adherida al naci-
miento del cartílago— debe deslizarse suave y fácilmen-
te sobre el mismo para no quedar comprimida dentro de
la cavidad. Cuando esto sucede (por ejemplo, como
consecuencia de un movimiento muy brusco), la mem-
brana se desgarra y sangra, y la articulación se hincha
y se pone rígida, produciendo un dolor intermitente.
Péndulos y articulaciones
El método experimental más adecuado para estudiar
la fricción en una articulación, es fabricar con ella un
péndulo.
Si se pudiera lograr que un péndulo se balancee com-
pletamente libre, sin fricción sobre su pivote, y sin
resistencia del aire, oscilaría ininterrumpidamente sin
disminuir su ángulo de oscilación. Cualquier péndulo
real, por supuesto, sufre la acción de fuerzas de fricción
que provocan la disminución de su amplitud y final-
mente la conducen a cero. De la manera en que la am-
plitud decrece con el tiempo, se puede deducir el tipo
de resistencia y puede calcularse la magnitud de las
fuerzas de fricción. Este principio fue utilizado por
T. E. Stanton en 1923 y el péndulo empleado para
investigar la fricción de su pivote es denominado a veces
"Péndulo de Stanton".
En 1936 E. S. Jones utilizó un péndulo de este tipo,
empleando la articulación del dedo de un cadáver hu-
mano como pivote. Descubrió que la fricción disminuye
cuando la amplitud del balanceo decrece, lo cual es una
característica de la lubricación fluida (hidrostática o
hidrodinámica) y no de la lubricación estacionaria. John
Charnley en 1959 llevó a cabo experimentos similares,
utilizando la articulación de un tobillo humano, y des-
8

cubrió que la fricción era independiente del ángulo de
balanceo: una característica de la lubricación estaciona-
ria. El mismo sugirió que los resultados de Jones fueron
diferentes porque la cápsula y los ligamentos de la
articulación quedaron intactos, y deben haber ejercido
fuerzas que decrecieron como decreció el ángulo de
balanceo, mientras que Charnley eliminó todos esos te-
jidos en las articulaciones utilizadas. Esta explicación
fue sustentada por resultados publicados por C. H. Bar-
nett y A. F. Cobbold en 1962 quienes utilizaron articu-
laciones de dedos humanos y tobillos de perros, sacando
en etapas la piel, los ligamentos y los tendones del
último. Estos investigadores observaron que la articula-
ción desnuda produce una fuerza de fricción que es
independiente del ángulo de balanceo. También descu-
brieron que el coeficiente de fricción disminuye cuando
se aumenta la carga sobre el péndulo, lo que no puede
esperarse con un régimen de lubricación estacionario.
J. J. Faber y sus colegas publicaron en 1967 los resul-
tados de una investigación semejante, usando como
dispositivo un resorte cargado en lugar de un péndulo.
Empleando articulaciones de rodillas de conejo, descu-
brieron que las fuerzas de fricción son en parte inde-
pendientes y en parte dependientes de la amplitud.
Señalaron que los primeros investigadores para los que
las fuerzas de fricción eran aparentemente independien-
tes de la amplitud (y por lo tanto de la velocidad del
movimiento), usaron velocidades apreciablemente me-
nores a las que se pueden esperar en un ser vivo. Por
lo tanto no deben haber acertado con las relaciones
entre velocidad y fricción, como las que se manifiestan
en el movimiento natural de la articulación.
Como parte del trabajo realizado en nuestro labora-
torio con articulaciones sinoviales, utilizamos un pén-
dulo que tenía como pivote una articulación de cadera
humana. Con velocidades similares a las más bajas que
comúnmente se encuentran en vida, también llegamos
a la conclusión de que las características de la fricción
no corresponden totalmente ni al régimen estacionario
ni al régimen fluido. Coincidiendo con otros investiga-
dores llegamos a la conclusión de que con tales velo-
cidades la fricción es notablemente baia; obtuvimos
coeficientes de fricción de 0,01 a 0,02, los cuales son
apreciablemente más bajos que los obtenidos con ácidos
grasos en cojinetes metálicos.
El líquido sinovial: ¿un lubricante ideal?
En 1743 William Hunter escribió que el líquido sino-
vial es "un líquido apropiado para lubricar dos super-
ficies contiguas", y esta visión natural ha sido sostenida
hasta hace poco. Se han dedicado considerables esfuer-
zos para medir las propiedades reológicas del líquido
sinovial, con la esperanza de poder explicar su acción
lubricante en las articulaciones. Esta esperanza es com-
prensible, porque el líquido sinovial no es un fluido
newtoniano, ya que es menos viscoso cuanta más
elevado es el rozamiento, y esto parece ser una de sus
propiedades relevantes. La forma de su acción se consi-
deró, alternativamente, como hidrodinámica, estaciona-
ría, elastohidrodinámica o hidrostática.
El régimen hidrodinámico fue postulado por M. A.
MacConaill en 1932, en base a la experiencia disponible
en ese momento, referida principalmente a las suaves
irregularidades de la mayoría de las superficies de las
articulaciones cuando no soportan ninguna carga. Mac-
Coneill sugirió que estas irregularidades ayudarían a la
formación de películas de líquido en las áreas cargadas-
mediante los mecanismos clásicos de la hidrodinámica-
La teoría estacionaria fue propuesta por John Charn-
ley en 1959, en parte basándose en sus propios resul-
tados experimentales mencionados anteriormente. Dese-
chando la teoría hidrodinámica, señaló que el cartílago
de la articulación es tan deformable que las cargas fisio-
lógicas comunes hacen desaparecer las irregularidades
(esto podría ser, por supuesto, un argumento en favor
de la lubricación elastohidrodinámica). Posteriormente
se llevaron a cabo, en diferentes lugares, trabajos inves-
tigando la posibilidad de una lubricación estacionaria.
M. W. Ropes y sus colaboradores descubrieron que el
líquido sinovial no era un buen lubricante estacionario
para superficies de plástico acrílico. En 1959 R. I. Tan-
ner y F. J. Edwards demostraron que el líquido sinovial
aplicado a superficies metálicas tiene un coeficiente de
fricción de 0,18, similar al de 0,21 de una mezcla de una
parafina y aceite lubricante. Ambos valores son más
elevados de lo que se podría esperar para un buen
lubricante como el ácido oleico.
C. W. McCutchen encontró que, en un cojinete forma-
do por cartílago contra vidrio, el coeficiente de fricción
con líquido sinovial era alrededor de 0,03 con una presión
menor que una atmósfera, comparado con 0,1 cuando el
lubricante era agua. Al aumentar la presión, ambos lí-
quidos presentan coeficientes de fricción mayores, pero
la diferencia entre los dos decrece hasta hacerse muy
pequeña a 4,5 atmósferas (agua 0,21 a 0,26, líquido
sinovial 0,15 a 0,20). Esto sugiere que el líquido sino-
vial es un buen lubricante estacionario para superficies
sometidas a poca presión, o sea para los sectores de las
articulaciones sinoviales que no soportan cargas, así
como para las sunerfictes de los cartílagos sometidas a
las cargas fisiológicas normales (la presión promedio
de una articulación de cadera en el momento en que
soporta el máximo peso, caminando normalmente, es
de unas 10 atmósferas, v las presiones locales son casi
seguramente más elevadas que esta cifra). Generalmen-
te se supone que el líquido sinovial difiere del agua
como lubricante debido al ácido hialurónico que con-
tiene; McCutchen mostró que el tamaño de la molécula
de ácido hialurónico no es importante, porque el líquido
sinovial en el cual dicho ácido ha sido despolimerizado
por la acción de enzimas da resultados iguales a los
obtenidos con el líquido normal. En otro trabajo Me
Cutchen utilizó goma contra vidrio y F. C. Linn cartí-
lago contra cartílago llegando a la siguiente conclusión:
las propiedades reológicas del líquido sinovial normal
tienen poca importancia en el problema de la lubrica-
ción de las articulaciones, con la posible excepción del
caso en que la articulación está inmóvil, en el cual la
mayor viscosidad retardará la eliminación de la película
de líquido.
En 1966 R. I. Tanner demostró que, en determinadas
condiciones fisiológicas, la lubricación elastohidrodiná-
mica era una posibilidad, en el sentido de que una capa
de líquido podía mantenerse por sus propios medios
posiblemente acompañada por una lubricación estacio-
naria en las superficies ásperas. Anteriormente, -en
1959, había señalado que, con valores de rozamiento
fisiológicamente posibles, la viscosidad del líquido sino-
vial no difería tanto de la del agua como para permitirle
mantener una película por medios hidrodinámicos co-
munes.
9

Figura 4. Mecanismo de lubricación autopresionada
hidrostática propuesto por C. W. McCutchen
como explicación del funcionamiento de las
articulaciones humanas. Cuando una carga comprime
al cartílago, sale el líquido del mismo para alimentar
la película lubricante entre las dos superficies.
McCutchen desarrolló también el concento de un coji-
nete autopresionado hidrostáticamente. Esta expresión
quiere decir que, cuando la aplicación de la carga com-
prime al cartílago, parte del líquido contenido en este
último se "exprime" alimentando así la película exis-
tente entre las dos superficies de los cartílagos. De este
modo puede mantenerse la película lubricante, por más
que la presión aplicada tienda a hacer fluir al líquido
hacia afuera de la cavidad entre los cartílagos, es de-
cir, hacia los sectores laterales de la articulación que
soportan menos carga (figura 4). Sus experimentos
sustentan esta teoría en dos formas. En primer lugar,
una carga prolongada hace que el coeficiente de fricción
aumente y se reduzca el espesor del cartílago (sugirien-
do así que el líquido se "exprime" hasta que su forma-
ción no alcanza más para mantener la película). En
segundo lugar, si se usa un delgado corte de cartílago
sobre un soporte poroso, en lugar del cartílago en su
espesor normal unido al hueso impermeable, la fricción
aumenta en pocos segundos, en lugar de minutos. Esto
indica que para la buena lubricación de la articulación
es fundamental que el líquido sinovial exprimido del
cartílago siga alimentando la película, como sucede coa
el cartílago normal adherido al hueso.
El punto de vista de McCutchen, que parece estar
más cerca de la verdad que los otros ya mencionados,
es que el régimen de lubricación es mixto: autopresio-
nado hidrostático y estacionario, con moléculas de ácido
hialurónico absorbidas sobre las superficies de los car-
tílagos.
El papel del ácido hialurónico
Si se aplica una carga sobre una articulación, el líquido
sinovial en la zona central en que las dos superficies
del cartílago están bien apretadas es expulsado hacia las
zonas laterales por la presión local, y esta misma presión
tenderá a alisar las superficies de los cartílagos. Estos
dos procesos se producen en la capa de líquido sinovial
entre las superficies de los cartílagos, que se van exten-
diendo y adelgazando, lo que a su vez significa que la
resistencia a la expulsión del líquido aumenta. La Dra.
Alice Maroudas, que trabaja en nuestro laboratorio, ha
demostrado que, en el caso de cargas elevadas, esta re-
sistencia puede aumentar a valores tales que, como con-
secuencia de la distribución de presiones, al líquido le
resulta más fácil volver a penetrar en el cartílago y
salir de él por las zonas laterales. El espesor de la
película de líquido entre los cartílagos puede llegar
a tener unos 50 fim. Pero los cartílagos sanos son
efectivamente impermeables al ácido hialurónico, de
modo que el líquido que fluye a través del cartílago
sólo puede ser agua y pequeñas partículas solubles, que-
dando el ácido hialurónico entre las áreas del cartílago
más cargadas en forma de un gel que aumenta su con-
centración. Las presiones osmóticas pondrán un límite
a la concentración de dicho gel, pero, con esta teoría, se
podría esperar que la concentración alcanzada en un
tiempo del orden de pocos segundos, sea varias veces
más elevada que la del ácido hialurónico en el líquido
sinovial normal. Por lo tanto no es necesario postular
la absorción del ácido hialurónico por las superficies
de los cartílagos. Este trabajo lleva a la conclusión de
que la lubricación de las articulaciones sinoviales de-
pende de la reología de tales geles hidratados de ácido
hialurónico.
Nuestro trabajo con el sistema del péndulo en el cual
usamos como pivote la articulación de una cadera hu-
mana introduce otra posibilidad. Además del balanceo
del péndulo con la articulación intacta y después elimi-
nando los tejidos, hemos sometido las superficies de los
cartílagos a varios procedimientos intentando observar
cual de ellos tiene mayor influencia en la fricción. Aún
el tratamiento más suave (lavado con solución fisioló-
gica en frío para eliminar el exceso de ácido hialurónico)
produjo un cierto aumento en la fricción, que no dis-
minuía cuando el exceso de líquido sinovial volvía a la
articulación. Pero el mayor incremento en la fricción se
observó cuando se lavaron las superficies de los cartíla-
gos con un solvente orgánico. Hasta el momento, las
teorías dé la lubricación de las articulaciones ignoraron
la posibilidad de referirse a otro lubricante que no
fuera el líquido sinovial, pero G. Meachim y sus colabo-
radores han demostrado que la grasa producida por las
células cartilaginosas está presente en la matriz del car-
tílago, y es posible que lubrique las superficies del
mismo.
10

Figura 5. Mecanismo sugerido para explicar la acción
lubricante del ácido hialurónico en las articulaciones.
La aplicación de una carga (b) hace que los
cartílagos se aplasten localmente, y el líquido se desplaza
hacia los lados. Una aplicación continua de la carga
hace que los cartílagos se aplasten más aún,
de modo que el líquido ya no puede desplazarse
libremente y el agua y las sales pasan a las zonas de
menos presión a través del cartílago. El ácido
hialurónico queda, concentrado, en la zona más
comprimida, estabilizado por fuerzas osmóticas.
Articulaciones sanas y articulaciones enferma»
Nuestro punto de vista con respecto al mecanismo me-
diante el cual la fricción es tan pequeña en las articu-
laciones sinoviales puede ser resumida como sigue: en-
primer lugar, las superficies de los cartílagos son tan
resbaladizas que aún sin un lubricante se deslizan fácil-
mente una sobre la otra. Segundo, como las superficies:
de los cartílagos son deformables y también, aunque
esto es menos importante, gracias a la viscosidad del
líquido sinovial, es probable que las superficies cartila-
ginosas estén lubricadas por una película de liquido
cuando se transmiten cargas en tan sólo una fracción de
segundo aproximadamente. Tercero: como las superfi-
cies de los cartílagos son permeables al agua pero no al
ácido hialurónico del líquido sinovial, puede esperarse
que se forme un gel concentrado de ácido hialurónico
hidratado entre las superficies cartilaginosas cargadas en
unos pocos segundos. Dicho gel actuaría como lubri-
cante estacionario (figura 5). Y finalmente, en general
nuestras observaciones experimentales sugieren que la
grasa en la matriz del cartílago actúa como lubricante
estacionario con más eficiencia que el hipotético gel de
ácido hialurónico.
Por lo tanto el sistema de lubricación entre las super-
ficies de los cartílagos cargados depende de la duración
de la aplicación de la carga y es probablemente una
combinación variable de un régimen de lubricación elas-
tohidrodinámica y de un régimen estacionario. En lo
que respecta a la fricción, a baja carga, entre la misma
membrana sinovial y el cartílago, o entre los cartílagos
entre sí, parece probable que el régimen de lubricación
sea de naturaleza estacionaria, y que el ácido hialuró-
nico del líquido sinovial actúe como lubricante.
Obviamente, la comprensión del funcionamiento nor-
mal de las articulaciones sinoviales sanas debe preceder
al conocimiento de cómo y por qué a veces su funciona-
miento es inadecuado, pero ya se sabe lo suficiente para
hacer ciertas sugestiones razonables. Desde hace tiempo
se sabe que los cartílagos deteriorados por la pérdida
de la capa superficial se vuelven más blandos. También
se sabe que estos cambios visibles son precedidos por
modificaciones en la composición del mucopolidosacá-
rido de la matriz del cartílago. Trabajos recientes en
nuestro laboratorio sugieren que los cambios visibles
son también precedidos por un incremento de la per-
meabilidad y una disminución de la rigidez del cartílago.
El significado compleo de estos cambios no puede ser
todavía esclarecido hasta que no se conozca más detalla-
damente el mecanismo de la transmisión de las cargas,
pero parece probable que un incremento importante de
la permeabilidad podría impedir la estabilización de un
gel del ácido hialurónico en la zona de fricción que
soporta la carga. O
Lecturas sugeridas
Synovial joints, their structure ani mechantes, por C.
H. Barnett, D. V. Davies y M. A. MacConaill (Long-
mans, Londres, 1961).
The "Friction and Lubrication of Solids, por F. P. Bow-
den y D. Tabor (Clarendon Press, Oxford, 1954).
Theory and Pracíice of Lubrication for Engineers, por
D. D. Fuller (John Wiley, Londres, 1966).
11

El aspecto unitario
de la matemática
Cora Sadosky Licenciada en Matemática en la
U.N.B.A. (1960) y posteriormente
graduada como Ph.D en la
Universidad de Chicago,
la autora fue profesora en la
Universidad John Hopkins (Baltimore)
en 1967-68, y a partir de ese año
en la Universidad de Montevideo.
Existe en la actualidad una tenden-
cia general a hablar de la mate-
mática y no de las matemáticas, co-
mo se decía antes. Esta tendencia
puede resultar paradójica si se piensa
en que es cada vez mayor el grado
de diversificación de esta ciencia.
Como ocurre en las otras disciplinas
científicas, el número de sus cultores
y el de los trabajos publicados por
año ha aumentado prodigiosamente
desde fines del siglo XIX. Hoy en
día no hay un sólo matemático en
el mundo en condiciones de seguir
en detalle el desarrollo de las diver-
sas ramas de su ciencia. Menos de
un siglo después que Hilbert y Poin-
caré dejaron la impronta de sus ideas
en casi todos los dominios del pen-
samiento matemático de su época, ni
los más grandes matemáticos con-
temporáneos podrían soñar en emu-
larlos, tan fantástico es el grado de
especialización a que se ha llegado.
Y, sin embargo, hablar de la mate-
mática tiene actualmente más sentido
que nunca, verdadero sentido por
primera vez.
Desde la época de la Grecia clási-
ca, en que se planteó, desde sus orí-
genes, la dualidad entre la aritméti-
ca (ciencia de lo discreto) y la geo-
metría (ciencia de lo continuo), la
matemática se desarrolló hasta el si-
glo XIX en grandes ramas, álgebra,
análisis, teoría de números, geome-
tría, cuyas relaciones entre sí, cuan-
do las hubo, fueron más bien for-
tuitas.
Después del fracaso del aritmetis-
mo de los pitagóricos ("todas las
cosas son números"), que hicieron
el primer intento de unificación a
través de la ciencia, han sido nume-
rosas las tentativas de diversos filó-
sofos —como Descartes, Leibntz y
los logísticos del siglo XIX— de in-
tegrar el conjunto de la matemática
a sistemas de interpretación del uni-
verso.
Pero no es en este sentido —filo-
sófico— de unificación que nos refe-
rimos a la matemática, sino al aspec-
to unitario que ésta ofrece desde su
interior. El desarrollo de la ciencia
en lo que va del siglo "ha estrechado
más que nunca la unidad de sus par-
tes diversas y ha creado una especie
de núcleo central más coherente de
lo que ha sido nunca" (Nicolás
Bourbaki).
¿A qué se debe esta unificación
profunda que subyace bajo la cre-
ciente especialización? La respuesta
se halla en el uso sistemático del mé-
todo axiomático que permite "en-
contrar las ideas comunes sepultadas
bajo el aparato exterior de los deta-
lles propios de cada una de las teo-
rías consideradas, discernirlas y sa-
carlas a la luz" (Nicolás Bourbaki).
Noción de estructura
El procedimiento para encontrar es-
tas ideas comunes se parece bastan-
te al del método experimental: se
procede a analizar una teoría, a aislar
los componentes principales de los
razonamientos que la integran, a re-
plantearlos como principios abstrac-
tos de los que se extraen todas las
consecuencias posibles y luego a
combinar lo encontrado de modo de
obtener resultados propios de la
teoría.
Este procedimiento permite estu-
diar en forma simultánea problemas
muy diferentes. Si consideramos a
los números enteros con la suma de-
finida de manera ordinaria, a los
desplazamientos en el espacio de tres
dimensiones con la "composición"
de dos desplazamientos definida co-
mo el desplazamiento obtenido al
efectuar primero uno de ellos y des-
pués el otro, y a las rotaciones de un
cristal respecto a un eje con el "pro-
ducto" de dos rotaciones de ángulos
conocidos definido como la rotación
de ángulo suma de éstos, tenemos
tres ejemplos de una de las teorías
axiomáticas más simples y antiguas:
la de los grupos abstractos. En cada
una de estas teorías, a cada par de
elementos del conjunto considerado
(números enteros, desplazamientos
tridimensionales, rotaciones alrede-
dor de un eje) se le hace correspon-
der (por un método propio de la
teoría) un tercer elemento bien de-
terminado. Si examinamos las pro-
piedades de estas correspondencias,
notamos un paralelismo en las tres
teorías y si descartamos las propieda-
des interdependientes podemos lle-
gar a ver que todas pueden obtenerse
como consecuencia de tres, que pue-
den ser:
(a la operación que para cada par de
elementos a, b define un tercero,
la anotaremos como aSb)
1) la operación es asociativa, es
decir, dados tres elementos da lo
mismo aplicar la operación a dos de
ellas en un cierto orden y luego al
tercero, que aplicarla al primero y
al resultado de la operación entre
el segundo y el tercero:
[a$b) §c = aS (bSc);
2) existe un elemento neutro e,
tal que la operación entre este ele-
mento y cualquier otro del conjunto
lo da a este mismo como resultado,
e§a = a§e — a (número cero; des-
plazamiento "idéntico" que deja fijo
al punto; rotación de ángulo nulo);
3) para cada elemento del conjun-
to existe un elemento inverso, tal
que aplicada la operación a un ele-
mento y a su inverso se obtiene el
L
12

Jt: *
E. Galois (1811-1832).
elemento neutro, a'§a = e (opuesto
de un número a, menos a; desplaza-
miento "inverso" que lleva a un pun-
to a su posición primitiva; rotación
del ángulo opuesto, menos a , de
una rotación de ángulo ce ).
De estas propiedades podemos ex-
traer numerosas consecuencas. Si
nos proponemos demostrar que la
relación a$b = a$c implica b — c,
lo podemos hacer a partir de nuestro
conocimiento sobre la naturaleza de
los números, de los desplazamientos
o de las rotaciones, pero también
podemos proceder en forma abstrac-
ta, de un modo aplicable a los tres
casos:
—de la relación a$b — aíc se de-
duce que a'§ (a§¿>) = a'§ ( ¿ k )
—por 1)
USa) §b = {día) $c
—por 3 )
<?§ b =
—por 2)
b = c
En este razonamiento no ha in-
tervenido para nada el hecho que
a, b, c fueran números, desplaza-
mientos o rotaciones; es más, el
razonamiento sigue siendo válido
para cualesquiera a, b, c, ligados
por una operación que tenga las
propiedades 1), 2), 3). Se com-
prende que, si obtenemos de una
vez para siempre las consecuencias
de 1), 2), 3), éstas podrán ser apli-
cadas a los casos de las tres teorías
mencionadas y a todos los otros don-
de aparezca una operación con tales
propiedades.
En general, se dice que un conjun-
to en el que está definida una ope-
ración que satisface las propiedades
1.), 2), 3) está previsto de una es-
tructura de grupo (o, simplemente,
que es un grupo). A las propiedades
1), 2), 3) se las llama los axiomas
de la estructura de grupo y el estu-
diar sus consecuencias es hacer la
teoría axiomática de grupos.
Existen numerosas y muy diver-
sas estructuras matemáticas, que se
aplican a conjuntos de elementos sin
intervención de la naturaleza de és-
tos. Para definir una estructura se
dan una o varias relaciones entre
estos elementos (en el caso de los
grupos, la relación a%b — c, entre
tres elementos arbitrarios) y se pos-
tulan las propiedades básicas de esta
o estas relaciones (axiomas de la es-
tructura ). Estudiar la teoría axiomá-
tica de una estructura dada es dedu-
cir las consecuencias lógicas de sus
axiomas con exclusión de toda otra
hipótesis (en particular, con exclu-
sión de todo conocimiento acerca de
la naturaleza de los elementos que
intervienen).
Hay diversos tipos de estructuras,
clasificables de acuerdo con el tipo
de relaciones que las definen. En el
caso de la estructura de grupo, la
relación entre los elementos está da-
da por una operación o ley de com-
posición. Cuando las relaciones de
definición de una estructura son ope-
raciones se dice que ésta es una
estructura algebraica.
Entre las muchas otras estructuras
que no son algebraicas, se destacan
por su especial importancia matemá-
tica aquellas que permiten el estudio
abstracto de las nociones intuitivas
de cercanía, vecindad y continuidad-,
éstas se llaman estructuras topológi-
cas. El nivel de abstracción que re-
quiere el enunciado de los axiomas
de las diversas estructuras topológi-
cas es tal, que restringiremos nues-
tros ejemplos a las estructuras alge-
braicas. Pero es un rasgo común a
todas las estructuras matemáticas el
que su estudio permita realizar una
importante economía de pensamien-
to y constituya una herramienta po-
derosa para la consideración de las
distintas teorías.
Así es que llegamos a una visión
unificada de la matemática. Ya no
se sigue el ordenamiento tradicional,
donde a semejanza de la botánica o
N. H. Abel (1802-1829).
la zoología sistemática, se agrupaban
las disciplinas que presentaban se-
mejanzas exteriores. Ahora, el prin-
cipio ordenador será el de una jerar-
quía de estructuras, que permitirá
entender las semejanzas entre el es-
tudio de los vectores y de los polino-
mios, entre las ecuaciones integrales
y la geometría del plano euclídeo.
Como dice Nicolás Bourbaki, la
matemática "es como una gran ciu-
dad, cuyos suburbios no cesan de
progresar, de manera un poco caóti-
ca, sobre el terreno circundante,
mientras que el centro se reconstru-
ye periódicamente, siguiendo un plan
cada vez más claro y una disposición
cada vez más majestuosa, echando
abajo los viejos barrios y sus labe-
rintos de callejuelas, para lanzar ha-
cia la periferia avenidas cada vez
más directas, más amplias y más có-
modas".
Operaciones
Como ya dijimos, el estudio de las
estructuras se hace a partir de rela-
ciones entre elementos de conjuntos
cualesquiera y las estructuras alge-
braicas están definidas por operacio-
nes o leyes de composición.
¿Qué es una operación? Desde
la escuela conocemos operaciones
tales como a + b, a • b, log a, —a,
etc. La operación que a todo par
de números a, b le hace correspon-
der un tercer número c que es su
suma, a -f- b = c, se llama opera-
ción binaria porque opera sobre dos
elementos a y b. Otras operaciones
13

son unitarias como la de extraer el
logaritmo de un número, que a un
solo número a positivo le hace co-
rresponder log a. Tanto como ope-
raciones unitarias y binarias, se pue-
den considerar operaciones n-ar'tas,
en las que intervienen un número
« de elementos.
En general, decimos que está de-
finida una operación entre los ele-
mentos de un conjunto si existe una
relación que a uno, dos o más ele-
mentos de ese conjunto le hace co-
rresponder otro único elemento re-
sultado de la operación (que puede
pertenecer al conjunto o no).
Si el elemento resultado pertene-
ce en todos los casos al mismo con-
junto que los elementos que inter-
vienen en la operación, se dice que
el conjunto es cerrado con respecto
a la operación.
Muchas de las operaciones más
frecuentes en las estructuras alge-
braicas son operaciones binarias y
cerradas. Dada una tal operación que
escribiremos, para un par de ele-
mentos a, b, como a$b, diremos que
• es asociativa si
a${bíc) — (a§b)$c
• es conmutativa si
a$b = b§a
• tiene elemento neutro si
a§e = e§a = a
(se puede demostrar fácilmente
que si hay un elemento neutro
es único)
• admite una operación inversa si
para todo par a, b existe un úni-
co elemento x tal que b$x = a.
De modo análogo se pueden ex-
plicitar otras propiedades de las ope-
raciones.
Ejemplos de operaciones:
1) Consideremos el conjunto de
los números complejos y la opera-
ción que a cada número complejo
a = x + iy le hace corresponder su
conjugado á — x — iy. Esta opera-
ción es unitaria, el conjunto de los
mímeros complejos es cerrado res-
pecto a ella y tiene la propiedad que
aplicada dos veces a un mismo nú-
mero da como resultado el número
de partida: & = a. Tales operacio-
nes unitarias suelen llamarse in-
voluciones.
2) Consideremos el conjunto de
los polinomios de coeficientes reales
y la operación de producto usual
entre polinomios. Esta operación es
binaria, el conjunto de todos los po-
linomios de coeficientes reales es ce-
rrado respecto a ella, verifica las
propiedades de asociatividad y con-
mutatividad y tiene elemento neu-
tro (el polinomio de grado cero
constantemente igual a l ) . Cabe se-
ñalar que los elementos del conjunto
en general no tienen elemento in-
verso respecto al producto: en efec-
to, no hay polinomio P que verifi-
que P • jf = 1, pues el grado del
polinomio P • x es forzosamente ma-
yor o igual a uno, luego el polino-
mio x no tiene elemento inverso.
Estructuras algebraicas
Las diversas estructuras algebraicas
se definen a partir de una o más
operaciones que, a su vez, pueden
gozar de un distinto número de
propiedades.
Cuanto mayor sea el número de
operaciones que la definen y más
numerosas sean las propiedades de
éstas, se dirá que la estructura es
tanto más rígida y rica-, en caso que
sea una la operación de la estruc-
tura y pocas las propiedades que
ésta satisface, se la llamará laxa y
pobre. Esto se comprende en el si-
guiente sentido: cuantos más axio-
mas intervengan en la axiomática de
la estructura (es decir, cuantas más
operaciones la definan y más pro-
piedades se postulen), más difícil
será encontrar conjuntos de elemen-
tos concretos a los que se pueda apli-
carla, de ahí su "rigidez"; al mismo
tiempo, el mayor número de axio-
mas permite deducir una mayor va-
riedad de consecuencias, de ahí su
"riqueza". Por ejemplo, un grupo,
definido por una sola operación con
las características antes menciona-
das, puede ser, además de grupo,
abeliano (la operación es, aclemás,
conmutativa), finito (el número de
elementos del conjunto es finito),
etcétera.
El algebra estudia las estructuras
definidas sobre conjuntos de entes
cualesquiera, independientemente de
la naturaleza de los mismos; sin em-
bargo, es en los distintos conjuntos
numéricos donde se han encontrado
tanto ejemplos sencillos como ins-
piración. Si bien los conjuntos de
números enteros, racionales, reales
y complejos forman grupo (abelia-
no) respecto a la operación de suma
ordinaria, es mucho más lo que po-
demos decir acerca de su estructura
algebraica. Por de pronto, hay er>
estos conjuntos definida otra opera-
ción además de la suma (la resta,
operación inversa de la suma, puede
ser considerada como caso particu-
lar de ésta), que es el producto entre
números. Así tenemos que en estos
conjuntos están definidos la suma
que cumple las propiedades de ope-
ración de grupo y es además distri-
butiva, y el producto, que es una
operación asociativa y conmutativa
y, además, distributiva respecto de
la suma: {a + b) c = ac+ be.
Se dice que estos conjuntos son
anillos numéricos y que los conjun-
tos de elementos cualesquiera equi-
pados con dos operaciones que cum-
plen tales propiedades tienen estruc-
tura de anillo.
Este es el caso, por ejemplo, del
conjunto de las matrices y del con-
junto de los polinomios de coeficien-
tes reales o complejos. ¡Cualquiera
que haya tenido que lidiar con las
engorrosas demostraciones de la teo-
ría de inversión de matrices o de
divisibilidad de polinomios se senti-
rá agradecido al pensar que éstas
son consecuencias que se obtienen
en forma sencilla, de una vez para
siempre y sin escribir ni una matriz
o polinomio, a partir de los axiomas
de la teoría de anillos!
Como se ve en el estudio de los
conjuntos numéricos, hay estructu-
ras más ricas que las de anillo. Men-
cionaremos al pasar, por su impor-
tancia en las más diversas discipli-
nas, la teoría de campos o cuerpos
que son anillos en los que la segunda
operación tiene (como la primera)
propiedades de operación de grupo
con respecto al mismo conjunto si
se excluye de éste el elemento neu-
tro de la primera operación.
Para concluir volvemos a insistir
en que el estudio de las estructuras
no es un ejercicio formal: no sólo
pone "orden" en el trabajo sino que
jerarquiza las ideas, las destaca de
entre el cálculo y permite aprove-
char para el abordaje de problemas
difíciles, todo lo que se sabe de
otros, análogos en el fondo, pero de.
apariencia más elemental.
Es por eso que resulta fundamen-
tal inculcar la noción de estructura
aún en los niveles elementales, para
enseñar, desde lo más temprano po:
sible, a poner en práctica la fórmula
de Dirichlet de tratar siempre de
"sustituir el cálculo por las ideas"O
14

Los poliómitios - II
juegos
Matemáticos Manuel Risueño
De acuerdo con la insinuación que
dejamos hecha en nuestro artículo
del primer número de CIENCIA
NUEVA, volveremos hoy a los po-
lióminos, a los que tenemos la in-
tención de dedicar, a menos que los
lectores protesten, un artículo de
cada tres, pues realmente sobre ellos
hay material para llenar por varios
años, toda una revista mensual del
tamaño de ésta. ¡Además, constitu-
yen la recreación matemática favo-
rita del autor!
Siguiendo el orden natural, des-
pués de haber hablado de los domi-
nós en el primer artículo de esta
serie, nos referiremos hoy a los "tró-
minos" (¡el cambio de acento es
una muestra de la terrible influencia
yankee, inclusive en las matemáticas
recreativas!).
Pero antes, una cuestión más, re-
lacionada con los dominós, que nos
va a servir de introducción para un
problema que vamos a analizar más
adelante.
Golomb, en las páginas 135 a 139
de su obra sobre los polióminos, ci-
tada en el primer artículo, se ocupa
del problema, originario de W . E.
Patton, de determinar el número
total de formas d i f e r e n t e s en que
puede cubrirse un r e c t á n g u l o de di-
mensiones 2 X n utilizando domi-
nós, es decir, rectángulos de di-
mensiones 1 X 2 . E n l a página 23
(figura 7) del n? 1 d e CIENCIA
NUEVA dimos dos e j e m p l o s , pero
con las limitaciones p r o p i a s al pro-
blema de los "tatami" q u e estába-
mos discutiendo, es d e c i r , evitando
que las esquinas de c u a t r o dominós
coincidieran en un p u n t o .
Sin esta limitación, a j e n a al pro-
blema actual, el número total de so-
luciones diferentes p u e d e determi-
narse, siguiendo a G o l o m b , en la
siguiente forma:
Comencemos por d e t e r m i n a r el
número total de soluciones, si con-
sideramos soluciones d i f e r e n t e s aún
aquellas que se pueden o b t e n e r una
de otra por rotación o r e f l e x i ó n (por
ejemplo, las dos soluciones dadas
para n = 4 en la f i g u r a 1). Para
ta de las cinco soluciones dadas
para n = en la f i g u r a 1). Para
n = 1, el número de rectángulos po-
sibles, fi es, evidentemente, 1; para
n = 2, como los dos dominós se
pueden disponer horizontal o verti-
calmente, U = 2. Para n mayor de
Figura 1.
n * i
1m1m
n s 2
n = 4
i
ii
n = 3
i H Í
¡8811
15

2, un rectángulo de 2 X n puede
comenzar a la izquierda con un do-
minó vertical, a cuya derecha se pue-
den colocar las fn.i soluciones del
caso 2 X (n-1) para completar la
solución; o con dos dominós hori-
zontales, en cuyo caso el rectángulo
se completará con las f„.2 soluciones
del caso 2 X (n-2). Se obtiene así
la fórmula f„ = fn-i + fn-a. La serie
que obedece a esta fórmula y que
comienza con los valores 1, 2, 3,
5 , . . . como en el problema que nos
ocupa, es la famosa "serie de Fibo-
nacci" a la que esperamos dedicar
uno de nuestros próximos artículos.
Pasamos ahora a determinar el
numero de soluciones para los
rectángulos de 2 X n si no se con-
sideran diferentes las soluciones que
se obtienen por simple rotación o
reflexión. Teniendo presente que las
soluciones que son simétricas con
respecto a la línea media vertical del
rectángulo (por ejemplo, las segun-
da, tercera y quinta de la figura 1
para n = 4) se reproducen a sí mis-
mas por rotación o reflexión, en
tanto que las otras soluciones (en el
caso n = 4, la primera y la cuarta
de figura 1) se agrupan por pares,
es fácil ver que Cn resulta ser igual
a VS(fn + s„), en que f„ es el nú-
mero total de soluciones, ya deter-
minadas en el párrafo precedente,
y Su es el número de soluciones si-
métricas verticalmente. Determinado
sn, quedará, pues, resuelto totalmen-
te el problema planteado en este
párrafo.
Para ello, consideramos separada-
mente los casos de n par e impar. Si
n es impar, digamos = 2m + 1, es
evidente que una solución simétrica
verticalmente debe tener un dominó
vertical en el centro, dejando un
rectángulo de 2 X m a cada lado.
Uno de estos rectángulos se puede
completar de fm formas distintas y
el otro quedará totalmente determi-
nado como su imagen simétrica. Por
lo tantO, S2m +1 = fm.
Si n = 2m, la línea media verti-
cal, o bien cortará un par horizontal
de dominós o no cortará ningún do-
minó. En el primer caso, el rectán-
gulo de 2 X (m-1) unidades colo-
cado a la derecha del par horizontal,
podrá llenarse de í„,-i formas, que-
dando nuevamente determinada por
simetría la forma de llenar el rec-
tángulo colocado a la derecha de
dicho par. En el segundo caso, las
mismas consideraciones se aplican a
los rectángulos de 2 X m unidades
en que la línea media vertical divide
Figura 2.
Figura 3.
la figura, dando fm soluciones. Po:
lo tanto, S2m = fm-l + fm = fm + 1,
de acuerdo con la fórmula anterior-
mente dada.
En consecuencia, concluye Go-
lomb su demostración,
+ 1 =
^ ( + 1
y
C2m= W(f2lB + fm + 1),
"lo que constituye la solución del
problema propuesto, excepto para el
caso n = 2, por cuanto el rectángu-
lo de 2 X 2 es un cuadrado y admi-
te una rotación de 90°, lo que re-
duce Cs, que debiera ser = 2 según
las fórmulas precedentes, a la mitad,
o sea, C 2 = l , sin afectar ningún
otro caso".
Dejando a cargo del lector la apli-
cación detallada de la fórmula, en la
adjunta tabla N? 1 resumimos los
resultados para los primeros 12 va-
lores de n, a fin de que el lector
pueda verificar sus cálculos.
n Cn
1 1
2 1
3 2
4 4
5 5
6 9
7 12
8 21
9 30
10 51
11 76
12 127
Tabla N? 1
Una rápida mirada a la tabla nos
convencerá que para mayores valo-
res de n no puede producirse la coin-
cidencia que ocurre para n = 1, 4, 5,
en que C„ = n, pues es fácil de-
mostrar matemáticamente que Cn
crece más rápidamente que n.
Golomb señala que determinar el
número de formas en que puede
cubrirse con dominós un rectángulo
de 3 X 2n unidades (heímos reem-
plazado n por 2n para Recordar al
lector que este número debe necesa-
riamente ser par a fin de que resulte
par la superficie total del rectán-
gulo y pueda cubrirse éste con
dominós; ver CIENCIA NUEVA
n? 1); es evidentemente un pro-
blema mucho más difícil, pero que
invita al lector a hacer algunos ex-
perimentos. Adaptaremos su sabio
precedente de dejar que el lector
siga solo por este camino, aunque
16

pre estamos dispuestos a publi-
cando al autor el debido crédito,
[uier resultado interesante que
b tenga.
sernos ahora a los tróminos.
ectores habituales de CIENCIA
VA sin duda recordarán, y los
as lectores podrán verlo fácil-
2, que sólo hay dos tróminos
ra n° 2 ) , que pueden llamarse
:to y el anguloso,
meneemos por recordar que
los tróminos tienen, por defi-
i, una superficie de tres unida-
jara que una figura pueda cu-
exactamente con tróminos, es
ario que su área sea divisible
res. En el caso de los rectán-
que es el que principalmente
cupará, esto quiere decir que
e ambos lados, al menos, debe
visible por 3. De ahí que este
:o aparecerá constantemente
factor en las dimensiones que
3 mencionando,
a el trómino recto, los prin-
> problemas son las obvias ex-
ties de los problemas ya indi-
para los dominós: las "pare-
cidas", los "tatami" y la de-
lación del número total de
mes diferentes. Como los re-
ds son bastante obvios, los de-
is a cargo del lector intere-
aunque no sin señalar que el
problema no tiene solución
>s rectángulos cuya dimensión
es de 3 ó 6 unidades V dejar
problema, cuya solución in-
nos en el próximo artículo,
inar cuáles son las dimensio-
la más pequeña "pared só-
ormada con tróminos rectos.
1 parte, el problema de los
i" tiene solución para todos
tángulos, uno de cuyos lados
sible por 3, excepto para el
lo de 6 X 6 y para el rectán-
2 6 X 10,
ominar su comentario sobre
lema del número de maneras
:es de cubrir un rectángulo
minos, Golomb dice: "Un
ia mucho más fácil es el de
nar el número de maneras
:es de cubrir un rectángulo
n, o aún de 3 X n, con tró-
ngulosos; el número de íor-
cubrir el rectángulo 4 X n
os tróminos parece ser un
la lo suficientemente difícil
• muy interesante, pero con
:as razonables de que pueda
ble resolverlo. Se recomien-
ctor que trate de hacerlo".
* este último problema plan-
teado desde ya, por si algún lector
quiere ir afilando su lápiz . . . y su
intuición geométrica, y con la pro-
mesa de volver a él más adelante,
digamos algo sobre los casos 2 X n
y 3 X n, porque en ellos encontra-
remos nuevamente la vinculación en-
tre aritmética y geometría a través
de las permutaciones, que comenta-
mos en el último número de CIEN-
CIA NUEVA.
Cualquier tentativa de cubrir con
tróminos angulosos un rectángulo
cuya dimensión mínima es de 2 ó
de 3 unidades, nos convencerá fácil-
mente que la única manera de ha-
cerlo es reuniendo dos de estos tró-
minos de manera tal que formen un
rectángulo de 2 X 3, lo que puede
hacerse en las dos formas simétricas
o eniantomórficas, no superponibles,
indicadas en la figura 3. En conse-
cuencia, uno de los dos lados del
rectángulo debe forzosamente ser di-
visible por dos, y el otro por tres.
En los casos que nos ocupan, ten-
dremos los rectángulos de 2 X 3n y
los de 3 X 2n, ambas series consti-
tuidas por n rectángulos de 3 X 2 ,
colocados unos al lado de los otros,
horizontalmente en el primer caso
y verticalmente en el segundo. Lla-
mando A y B a los dos rectángulos
de la figura 3, fácil resulta constatar
que los problemas geométricos de
determinar las diferentes formas de
cubrir con tróminos angulosos los
rectángulos de 2 X 3n y de 3 X 2n
unidades, resultan equivalentes en-
tre sí y equivalentes también al pro-
blema aritmético de determinar el
número de diferentes combinacio-
nes con repetición de dos elementos
(tales como los símbolos, abstrac-
tamente considerados, A y B) de
un largo total n. En efecto, la com-
binación ABAB, por ejemplo, será
equivalente a las soluciones repre-
sentadas en las figuras 4 y 5 para
los rectángulos 2 X 3n y 3 X 2n,
respectivamente, en que n = 4.
Si se consideran todas las solu-
ciones posibles, sin equiparar entre
sí aquéllas que se obtienen por re-
flexión o rotación, el número total
obedece a la simple fórmula 2". E n
efecto, en el primer lugar se puede
elegir libremente uno de dos sím-
bolos, dando dos soluciones; en el
segundo hay nuevamente dos posi-
bilidades, que combinadas con las
anteriores, dan 2 X 2 soluciones; lo
mismo en el tercer lugar, dando
2 X 2 X 2 soluciones, y así hasta
llegar a n.
Si se consideran iguales aquellas
Antes de que
surjan
LOS
INGENIEROS
DE VARIAS
PIERNAS.
Antes de que surjan los
mutanfes que anuncien
cambios genéticos im-
previsibles, c o n v i e n e
planificar la marcha de
toda obra; simplificar
sus caminos; impedir,
en suma, que haya que
dirigirse hacia varios
o b j e t i v o s al mismo
t i e m p o . Afortunada-
mente, los especialistas
en organización indus-
trial del país y del ex-
terior han perfecciona-
do el Método de Ca-
mino Crítico: tenemos
15 profesionales y téc-
nicos para asesorarlo
sobre él.
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madas, que cubren más
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Figura 4
Fisura 5. Figura 6.
soluciones que se obtienen por re-
flexión o rotación, por ejemplo las
de las figuras 5 y 6, se reduce el nú-
mero de soluciones, pero no a la
mitad, como parecería a primera
vista, ni a la cuarta parte, como po-
drán pensar otros, porque hay que
tomar en cuenta los distintos tipos
de simetría. Se hace necesario hacer
un razonamiento análogo al de Go-
lomb para el primer problema con-
siderado en este artículo; pero para
evitar tener que considerar separa-
damente los casos de n par y de n
impar, recurriremos al símbolo ma-
temático [x] que denota el mayor
número entero no superior a x. Así
[21=2,
2_
3
0, [ir] = 3
etcétera. El número Cn del proble-
ma de Golomb debe reemplazarse
aquí, de acuerdo con lo ya indicado,
por 2", pero como las soluciones
asimétricas forman, por reflexión y
rotación, grupos de cuatro solucio-
nes que deben considerarse iguales,
hay que tomar la cuarta parte, o sea,
2n
"~; a este número debe agregarse
el equivalente de sa, con lo que se
llega a la fórmula
2n
"2
- f 2 ur
Respuesta a juegos
Matemáticos N9
3
La respuesta prometida en el nú-
mero 3 de Ciencia Nueva al pro-
blema de indicar cómo se agrupan
las 40.320 soluciones para el caso
n = 8, es la siguiente:
cuya derivación completa dejaremos
al cuidado del lector a manera de
fácil ejercicio, pero que estamos dis-
puestos a dar si algunos lectores lo
solicitaran.
Dejamos también a cargo del lec-
tor, pero con el compromiso de pu-
blicar en este caso la respuesta en
el próximo número, establecer usan-
do este símbolo, una fórmula única
que dé para todos los valores de n
(pares e impares), excepto para
n = 2, la solución del problema
de Golomb. O
121 grupos sin ninguna si-
metría, de 256 permu-
taciones cada uno
58 grupos con un eje de
simetría, de 128 per-
mutaciones cada uno
11 grupos con dos ejes de
simetría, de 64 permu-
taciones cada uno
1 grupo con cuatro ejes
de simetría, de 32 por-
taciones
9 grupos con centro de
simetría, de 128 per-
mutaciones cada uno
2 grupos regulares, de
16 permutaciones ca-
da uno
202 grupos
30.976
7.424
704
32
1.152
32
40.320

Novedades de« •
c i e n c i a
y tecnología
i
Freno-radar para
automóviles
Un nuevo sistema de frenado, basa-
do en la más moderna tecnología
electrónica, está a punto de ser lan-
zado a la-producción en escala in-
dustrial. Se trata de un sistema de
frenos-radar controlado y puesto a
punto por una fábrica estadouniden-
se, que convertirá al problema del
frenado en algo seguro, tanto para
el que guía un automóvil como para
quienes transitan por las calles. Para
su elaboración se emplearon produc-
tos de la más avanzada tecnología:
un oscilador a microondas, un radar
a efecto doppler y generadores de
impulsos realizados con circuitos in-
tegrados. El empleo de estos últi-
mos, unido al hecho de que el sis-
tema no cumple otra función que
la de indicar de manera automática
el grado de proximidad de un obs-
táculo, permitió desarrollar un sis-
tema relativamente simple, de bajo
costo y gran confiabilidad.
El sistema emplea un oscilador a
microondas que genera alrededor de
lOOmW a una frecuencia altísima
(decenas de miles de hertz), y dos
antenas a lentes que pueden ubicar-
se en la parte anterior del vehículo,
junto a los faros. El radar-freno fun-
ciona de esta manera: un oscilador
local suministra potencia a una fre-
cuencia muy elevada; esta potencia
está dirigida, en su casi totalidad, a
la antena trasmisora, y el resto a un
revelador mezclador. Los impulsos
radar de retorno son recogidos por
la antena receptora y se mezclan con
la señal del oscilador en el revelador
de fases. Si el vehículo que consti-
tuye el obstáculo se acerca dema-
siado, la salida del revelador es más
alta, y es tanto más alta cuanto ma-
yor es el grado de vecindad con ese
obstáculo. Esta señal, debidamente
amplificada, dirige un generador de
impulsos cuya amplitud es propor-
cional al grado de proximidad alcan-
zado. Estos impulsos gobiernan a su
vez a un piloto electromagnético que
actúa sobre el freno. Cuanto más
prolongada es la duración de estos
impulsos, más se prolonga el accio-
nar de los frenos. Mientras se des-
arrolla todo este proceso, el conduc-
tor es advertido del frenado median-
te una señal audible. De esta ma-
nera, una de las causas principales
de los accidentes en ruta, el llamado
"golpe de sueño", puede superarse
mediante la acción combinada del
freno-radar y la advertencia acústica
al conductor. El sistema funciona en
las más variadas condiciones atmos-
féricas, condiciones que a menudo
obstaculizan la visibilidad del con-
ductor, con el consiguiente peligro.
Además se previo la inclusión de
un pulsante en el tablero de coman-
do que puede anular totalmente la
señal radar, permitiendo que el con-
ductor regule el frenado, cuando
las condiciones de la ruta así lo
requieren.
Naturalmente, el sistema ha sido
programada tanto para el tránsito
urbano y sus correspondientes velo-
cidades, como para el tránsito en
ruta, haciendo corresponder en am-
bos casos distintos grados de sensi-
bilidad al objeto que obstaculiza la
marcha del vehículo. Este sistema,
con sus reflejos medidos en milési-
mas de segundo, puede ser de gran
ayuda para el conductor, y hasta se
puede decir que lo reemplazaría en
casos que, desgraciadamente, son
bastante frecuentes.
2
El Tokamak: un paso
más liacia la fusión
termonuclear controlada
Desde hace veinte años los físicos y
los ingenieros nucleares de muchos
países están estudiando las posibili-
dades de controlar las reacciones de
fusión termonuclear, y de utilizarlas
como nueva fuente de energía, en
alternativa a las reacciones de fisión,
que son la base de las actuales cen-
trales nucleares. La posibilidad de
llegar a dominar las reacciones de
fusión fue cuestionada, e incluso
negada, durante mucho tiempo, da-
dos los tremendos problemas prác-
ticos que plantea. Pero, poco a poco
estos problemas se están superando,
y ya tenemos aparatos experimenta-
les, como el Tokamak, construido en
el Instituto Kurtchatov, de Moscú,
el cual, si bien no es todavía un reac-
tor a fusión en todo el sentido de la
palabra, constituye un paso funda-
mental hacia la meta deseada.
E n una reacción de fusión, dos nú-
cleos se deben aproximar entre sí lo
suficiente como para formar uno so-
lo, liberándose energía. Por ejemplo,
en la fusión de un núcleo de deute-
rio con uno de tritio, se forma un
núcleo de helio y se libera un neu-
trón, junto con una cierta cantidad
de energía. Esta aproximación de los
núcleos constituye la dificultad bá-
sica del proceso, porque los núcleos
se repelen, y por lo tanto hay que
superar esa fuerza de repulsión y ha-
cer que entren en juego las fuerzas
de atracción nucleares; es decir, hay
que acercar mucho los núcleos entre
sí, lanzarlos unos contra otros con la
19

mayor velocidad posible, lo que im-
plica inyectar una gran cantidad de
energía al sistema. Esta energía se
alcanza aumentando la temperatura:
para el caso de la mezcla de deuterio
y tritio, la temperatura necesaria
para iniciar la reacción de fusión es
de unos 50 millones de grados. Una
vez iniciada la reacción, se mantiene
por sí misma, y la temperatura au-
menta aún más, por lo que es nece-
sario controlarla; la energía térmica
que se produce se transforma en
energía eléctrica por métodos con-
vencionales.
Ahora bien: ¿qué recipiente pue-
de contener una mezcla de gases a
una presión elevadísima, equivalente
a varios miles de veces la presión
atmosférica, y a una temperatura de
varias decenas de millones de gra-
dos, es decir, lo que se denomina
un "plasma"? Evidentemente, nin-
gún recipiente material resistiría esas
condiciones. La solución se ha en-
contrado en las "botellas magné-
ticas".
En las condiciones mencionadas,
los núcleos han perdido todas sus
capas externas de electrones; en
efecto, un plasma es una mezcla de
electrones y de núcleos. La "densi-
dad" del plasma debe ser cuidado-
samente controlada; para la mezcla
deuterio-tritio la densidad óptima es
de 1014
núcleos por centímetro cú-
bico. Para densidades diez veces su-
periores se produciría ya una explo-
sión termonuclear. Un plasma puede
confinarse en un recinto magnético
(o "botella magnética"), es decir,
una región del espacio rodeada por
un campo magnético muy intenso, y
esta es la idea que se ha seguido en
los reactores termonucleares expe-
rimentales como el Stellerator, de
los norteamericanos, y ahora el To-
fcamak soviético.
El "corazón" del Tokamab es un
anillo cilindrico hueco, dentro del
cual se encuentra la mezcla de gases.
Esta mezcla se lleva a la temperatura
deseada (por ahora sólo se ha llega-
do a los 30 millones de grados) me-
diante una corriente eléctrica, y el
plasma que se produce es mantenido
en la zona central del anillo gracias
a un campo magnético anular exter-
no muy poderoso. Si bien las tempe-
raturas obtenidas son consideradas
satisfactorias, el tiempo de duración
del plasma es aún muy breve: apenas
un centésimo de segundo, pero aún
ásí notablemente mayor que la logra-
da hasta ahora, que no superaba el
diezmillonésimo de segundo.
Los técnicos soviéticos se mues-
tran muy optimistas con los resulta-
dos obtenidos, y están ya proyectan-
do una nueva máquina gigantesca, el
Tokamak-10, que alcanzaría las con-
diciones óptimas buscadas, de tempe-
ratura, densidad del plasma y dura-
ción del mismo. Por su parte, los
ingleses y los norteamericanos, alen-
tados por los logros del Tokamak,
están también diseñando reactores
experimentales similares, prestando
sobre todo atención a lo que parece
ser el punto débil del reactor sovié-
tico: el sistema de calentamiento
eléctrico.
Desarmando y armando
amebas
Aunque pocos de nosotros han
visto alguna vez una,, ameba, este
simpático ser unicelular nos resulta
extraordinariamente familiar, desde
la época en que lo dibujábamos en
los cuadernos escolares y aprendía-
mos las primeras palabras difíciles
de nuestro bagaje científico, como
pseudopodios y fagocitosis. Pero
nunca hubiéramos llegado a imaginar
que las amebas pueden desarmarse y
volverse a armar como los juegos de
construcciones infantiles. Quienes se
han dedicado a este novedoso entre-
tenimiento han sido K. W. Jeon, I.
J. Lorch y J. F. Danielli, de la Uni-
versidad de Nueva York, quienes
han contado para ello con un equipo
de micromanipulación extraordina-
riamente preciso, y, naturalmente,
con una gran dosis de paciencia. En
un artículo publicado en Science
(vol. 167, pág. 1626), los investiga-
dores mencionados describen cómo
pudieron desmembrar una colonia de
amebas en sus tres componentes bá-
sicos: núcleo, citoplasma y membra-
na, y luego reunirlos para formar
nuevas amebas que se desarrollaron
y reprodujeron perfectamente. Con
un micromanipulador acoplado a un
microscopio, primero extrajeron los
núcleos y luego separaron la mem-
brana del protoplasma. E n u n mé-
todo alternativo, utilizaron la centri-
fugación en dos etapas para separar
los tres componentes. L u e g o , por
micromanipulación, volvieron a re-
llenar las membranas con material
citoplasmático e implantaron los nú-
cleos.
Partiendo de amebas d e u n a mis-
ma colonia, el 80 por ciento de las
células reconstruidas se c o m p o r t ó co-
mo amebas normales, prácticamente
indistinguibles de las a m e b a s de h
misma colonia no sometidas al tra-
tamiento. Cuando partían d e mate-
riales mezclados de varias colonias
las amebas reconstruidas, si bien apa
rentaban comportarse normalmente
no alcanzaban a subdividirse más d<
cuatro veces, hecho que los autorei
atribuyen a un denominado "factoi
letal" característico de cada colonia
Sin embargo, controlando cuidadosa
mente las condiciones, consiguieroi
que las amebas provenientes de do:
colonias mixtas sobrevivieran y »
reprodujeran perfectamente.
Aparte de su gran importanci
desde el punto de vista d e las técni
cas utilizadas, el trabajo d e Jeon
Lorch y Danielli posee u n a gran sig
nificación para la biología moderna
ya que permite el estudio de cad
parte de la célula por separadc
abriendo así nuevos caminos para 1
bioquímica celular.
4
Un tren tubular que s e
divide por la mitad
Los trenes subterráneos represe
tan el método práctico m á s rápií
para transportar grandes cantidad
de pasajeros en ciudades populosí
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20

Un grupo de ingenieros franceses ha
propuesto una forma para lograr que
el subterráneo sea aún más rápido. El
plan es un tres subterráneo que corra
continuamente, servido con vagones
desde las estaciones para tomar y
dejar pasajeros. Las autoridades fran-
cesas planificadoras urbanas y rura-
les han pedido a la Societé Automa-
tisme et Technique que produzca un
modelo en escala de trabajo, y parece
que las autoridades de la municipa-
lidad de Marsella están interesadas.
Básicamente el "AT2000", como
se llama el nuevo sistema, parece un
subterráneo común que se divide a lo
largo por la mitad. La sección iz-
quierda está provista con asientos
en forma normal, pero nunca para en
las estaciones. El lado derecho no
tiene asientos. En cambio actúa co-
mo una plataforma cargadora y des-
cargadora y para en todas las esta-
ciones.
Las dos secciones viajan juntas
como un coche de subterráneo co-
mún con un pasillo. Entre las esta-
ciones, las puertas que unen las dos
secciones se abren por poco tiempo
para permitir que los pasajeros se
muevan de una sección a otra. Los
pasajeros que desean bajar en la
próxima estación se mueven a la sec-
ción-pasillo. Aquellos que recién han
subido se sientan en la sección que
no para. Cuando el vehículo se acer-
ca a la estación, la sección pasillo se
separa y se detiene para el descenso
y ascenso de los pasajeros. La otra
sección continúa sin parar y se en-
gancha con otra sección-pasillo ya
cargada con pasajeros.
Cada pasajero tiene un viaje sin
paradas entre su punto de partida y
su destino. La velocidad depende en
parte de la distancia entre las esta-
ciones ya que las dos secciones deben
viajar juntas por lo menos 15 segun-
dos más o menos para permitir que
los pasajeros se muevan de una sec-
ción a la otra.
Automatisme et Technique consi-
dera que la velocidad del pasajero
es de unos 50 km/hora con estacio-
nes espaciadas cada 300 metros si fue-
ra necesario. Los vagones o series
de vagones deberán estar espaciados
por intervalos de 30 segundos, y en
las estaciones el período de espera
entre la salida de una sección pasillo
y la llegada de la próxima sería de
unos 5 segundos. El "AT2000" se-
ría probablemente impulsado por
motores eléctricos lineales y casi se-
guro correría sobre rieles convencio-
nales.
5
Elemento N" 105:
¿Ekatantalio o Hahnio?
En el Congreso de la American Phy-
sical Society (Sociedad Americana
de Física), realizado durante la pri-
mera semana de mayo en Washing-
ton, Albert Ghiorso, director del
Lawrence Radiation Laboratory de
Berkeley, California, anunció que su
grupo había logrado crear el elemen-
to n° 105, demostrándolo con prue-
bas irrefutables. Hace alrededor de un
año, el equipo soviético del Instituto
de Investigación Nuclear de Dubna
había anunciado la síntesis del ele-
mento 105, el ekatantalio según la
nomenclatura de Mendelejeef, pero
las pruebas presentadas no fueron
concluyentes y fuero refutadas por
Ghiorso.
La competencia entre ambos gru-
pos americanos y soviéticos es inten-
sa, ya que la creación de un nuevo
elemento no solo añade prestigio al
laboratorio que la logra, sino que le
da el derecho de bautizarlo. Con el
elemento 104 aún sigue la polémica:
el grupo de Dubna, dirigido por Flé-
rov, anunció su creación y lo deno-
minó kurchatovio (en homenaje a
Igor Kurchatov, pionero del progra-
ma nuclear soviético); el grupo de
Ghiorso proclamó su obtención por
otra vía y lo denominó rutherfordio
(por Lord Rutherford). Sin embar-
go, en este caso del elemento 104
(el elcahafnio, según la denomina-
ción de Mendelejeef) parece ser que
el reclamo de los americanos no se
asienta sobre bases muy sólidas, al
contrario de lo que sucede con el
105.
El nuevo elemento, denominado
hahnio en homenaje a Otto Hahn,
fue obtenido en el Lawrence Radia-
tion Laboratory de Berkeley, bom-
bardeando el isótopo californio-249
21

con átomos ele nitrógeno 15, en el
acelerador lineal de iones pesados
con que cuenta dicho instituto. La
presencia de varios cientos de áto-
mos de hahnio-260 fue demostrada
por el estudio de su decaimiento
radiactivo: el isótopo tiene una vida
media de unos 1,6 segundos, y decae
emitiendo partículas alfa y originan-
do el isótopo lawrencio-256.
El grupo dirigido por Ghiorso
anuncia que ya está próxima la ob-
tención de los elementos 106 y 107,
y que por lo tanto nos estamos acer-
cando a la "isla de estabilidad" pre-
decida por los físicos para la zona
de la tabla periódica comprendida
entre los elementos 112 y 1.16. Se-
gún dichas teorías, el elemento arti-
ficial más estable sería el n-' 114 (el
ekaplomo) pero su obtención pre-
senta enormes dificultades técnicas:
habría que bombardear uranio-238
con iones urania de energía del or-
den de mil quinientos millones de
electrón-volts, cosa que no puede
hacerse con ninguno de los reactores
existentes en la actualidad.
6
Un reflector para advertir
rutas heladas
El Battelle Institute de Frankfurt
creó un nuevo sistema de seguridad
para el tránsito por rutas heladas. Se
trata de un reflector de luz, simple
y barato, que cambia de color con
temperaturas próximas al punto de
congelación del agua. Montado so-
bre postes al costado de la ruta, o
aún mejor en su superficie, en lugar
de "ojos de gato", advertiría a los
conductores sobre la proximidad de
un tramo helado.
El nuevo reflector es un disco
redondo de unos 70 mm de diáme-
tro y 25 mm de grosor. Refleja la
luz cíe los focos del coche y se mues-
tra verde con una temperatura de
7°C y amarilla con 3°C, mientras
que con temperaturas más bajas
cambia pasando por el anaranjado,
hasta el rojo vivo a —1°C.
El elemento clave del nuevo dis-
positivo es un filtro óptico sensible
a la temperatura, que consiste en
una lámina de acrílico de 6 mm de
espesor dentro de la cual hay vidrio
granulado. A temperaturas próximas
al punto de congelación, el índice
de refracción del acrílico varía apre-
ciablemente con la temperatura,
mientras que el del vidrio común
cambia muy poco. A una tempera-
tura ciada, la luz que pasa a través
del filtro corresponde a una banda
de color determinado, mientras que
cualquier otra longitud de onda es
absorbida por los granos de vidrio.
Un simple prisma de buena calidad
refleja la luz coloreada transmitida
que pasa a través del filtro hasta el
conductor. Una lente especial mon-
tada delante del filtro concentra la
luz reflejada en un haz cónico que
puede ser visto por los conductores
desde una distancia de 40 a 100 me-
tros del reflector.
Los ingenieros alemanes conside-
ran que estos reflectores marcarían
temperaturas con una precisión de
1°C si son colocados al costado de
las rutas. Se ha calculado que el hie-
lo y la nieve son responsables de al-
rededor del 5 % de todos los acci-
dentes en las rutas de la República
Federal, y que en 1967 el daño re-
sultante de tales accidentes alcanzó
a unos 100 millones de dólares. Bat-
telle considera que podrían fabricar-
se reflectores sensibles a la tempera-
tura por menos de 1 dólar cada uno.
Basándose en esto, costaría entre 9
y 10 millones de dólares proveer de
reflectores a todas las rutas princi-
pales de Alemania Occidental fuera
de las áreas edificadas —sólo una
décima parte del monto de los daños
anuales debidos a las rutas cubiertas
de hielo.
7
Información sobre la
"anomalía magnética
sudatl á u l i c a "
El 6 de mayo de este año, desde
el Centro de Experimentación y
Lanzamiento de Proyectiles Auto-
propulsados, CELPA, ubicado en
Mar Chiquita, Provincia de Buenos
Aires, fué lanzado a las 19.28 hs.
un cohete sonda de origen francés
destinado a la medición de los com-
ponentes del campo geomagnético,
del flujo y del espectro de distribu-
ción angular de protones y electro-
nes entre los 100 y los 540 km de
altura, hacia un objetivo primario:
enviar información sobre la zona de-
nominada "anomalía magnética sud-
atlántica".
La Comisión Nacional de Investi-
gaciones Espaciales (CNIE) patro-
cinó, subvencionó y coordinó la ex-
periencia, tanto con los organismos
nacionales (Laboratorio de Radia-
ción Cósmica, Instituto de Física de
la Universidad de Tucumán, Insti-
tuto de Investigaciones Aeronáuti-
cas y Espaciales, Area Material de
Córdoba, Instituto de Investigacio-
nes Científicas y Técnicas de las
Fuerzas Armadas (CITEFA), La-
boratorio de Electrónica Espacial
de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Buenos Aires) como
con los extranjeros (Centro Nacional
de Estudios Espaciales de Francia
y Departamento de Ciencias Espa-
ciales de la Universidad de Rice, de
EE.UU.). La experiencia científica
Dragón 70 tenía que estudiar el
campo magnético terrestre, respon-
sable del atrapamiento de partículas
cargadas, electrones y protones, pro-
venientes del espacio exterior (rayos
cósmicos primarios y solares) y de
la atmósfera terrestre. El análisis de
las partículas atrapadas brinda valió-

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