Trabajo y energía

Trabajo y energía.
Claudia González Cuervo Ph. D.
Universidad Pontificia Bolivariana
Seccional Bucaramanga

Producto escalar o producto punto entre de vectores:
Supongamos dos vectores: A y B A
B
: ángulo entre A y B 
El producto escalar se puede definir como:
cosABBA 

A y B son las magnitudes de los vectores A y B respectivamente.
Seccional Bucaramanga Claudia González Cuervo. Ph. D

Debe cumplirse que: 2
AAA 

Usando la representación cartesiana: zyx AAAA 

2222
zyx AAAA 
De la definición:
cosABBA 

AB
BA
cos



El producto escalar en coordenadas cartesianas:
    zzyyxxzyxzyx BABABABBBAAABA 


Propiedades del producto escalar:
Conmutativa: ABBA


)Bn(AB)An()BA(n

Asociativa:
n es un número real
Distributiva:
)CA()BA()CB(A


Si los vectores son ortogonales su producto escalar es nulo (cos90º=0)

Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el
vector desplazamiento
Concepto de trabajo: W
dsFcosFdsdrFdW t 
Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento,
ds es el módulo del vector desplazamiento dr
 el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

Ejemplo:
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación
se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del
desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Jcos))((W 840712 
Jcos))((W 4260712 
Jcos))((W 090712 
J.cos))((W 459135712 
Jcos))((W 84180712 

Fuerza en un resorte:
Ley de Hooke: F = -kx

El trabajo total a lo largo de la
trayectoria entre los puntos A y B es la
suma de todos los trabajos
infinitesimales
 
B
A
B
A
tdsFdrFW
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que
relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.

Ejemplo:
Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del
muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F =1000·x N, donde x es
la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integra
El área del triángulo de la figura es
(0.05·50)/2=1.25 J
J.
.x
dxxW
. .
251
2
050
1000
2
10001000
2050
0
050
0
2
 

Energía cinética:
Cuando se hace trabajo contra el rozamiento, se observa que la
superficie de los cuerpos en contacto se produce un aumento de
temperatura.
debido a: transformación desde el movimiento al calor o sea
se ha producido una transferencia de energía de
movimiento a energía calórica.
En otras transformaciones se produce energía en forma de luz,
sonido, eléctrica, nuclear, etc.
En estas transformaciones se miden cambios de energía cuando
se realiza trabajo.
El concepto de energía se puede generalizar para incluir distintas
formas de energía conocidas como cinética, potencial, calórica,
electromagnética etc.

Energía cinética y teorema del trabajo:

𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2

Ejercicios.
1. Se empuja un trineo de masa m sobre un estanque
congelado, con lo que se le imparte una rapidez inicial de
2,0m/s. el coeficiente de fricción entre el trineo y el hielo es
0,1. Encuentre la distancia que se mueve el trineo antes de
detenerse.
2. Una maquina de Atwood soporta masas de 0,2kg y 3,0kg. Las
masas se mantiene en reposo una al lado de la otra y
después se sueltan. Si se ignora la fricción, ¿cuál es la
rapidez de cada masa en el instante en el que ambas se han
movido 0,4m?
3. Una bala de 5,0 g de masa y una rapidez de 600m/s penetra
en un árbol hasta una profundidad de 4,0cm. a) Encuentre la
fricción promedio que detiene la bala. b)suponga que la
fuerza de fricción es constante y determine cuánto tiempo
transcurre entre el momento en que la bala entra al árbol y el
momento en que se detiene.

4. Un bloque de 2,0kg está unido a un resorte de 500N/m de
constante de fuerza. El bloque se jala 5cm a la derecha del
equilibrio y se suelta desde el reposo. Encuentre la rapidez
del bloque cuando pasa por el equilibrio si:
a. La superficie horizontal es sin fricción
b. El coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es
0,35

potencia:
Se define como la rapidez de transferencia de energía.
Si se aplica una fuerza externa a un cuerpo se realiza trabajo dW en
un intervalo de tiempo dt, la potencia instantánea P se define como:

Ejercicios:
1. Un marino de 70kg de masa en un entrenamiento básico
sube por una cuerda vertical de 10,0m con una rapidez
constante en 8,0s ¿cuál es su potencia de salida?
2. Un esquiador de 70kg de masa se jala hacia arriba de una
pendiente por un cable impulsado por un motor. a) ¿cuánto
trabajo se necesita para que sea jalado una distancia de
60,0m hacia arriba por una pendiente de 30° (suponga que
no hay fricción) con una rapidez constante de 2,0m/s? b)
¿de qué potencia se requiere el motor para realizar esta
tarea?

Suponer que una partícula se mueve, por la acción de una fuerza, desde una
posición inicial P hasta otra posición final Q, por trayectorias arbitrarias 1 y 2,
el trabajo para mover la partícula desde P a Q sólo depende de las coordenadas
inicial y final de la partícula así
Entonces: la fuerza que actúa es conservativa,

Si ahora la partícula se mueve desde P hasta Q por la trayectoria 1 y luego
regresa desde Q hasta P por la trayectoria 2, entonces se observa que el regreso
Entonces: la fuerza que actúa es conservativa,

Ejercicios.
3. Una partícula de 4,0kg se mueve desde el origen hasta una posición
C, cuyas coordenadas son x = 5,0m y y = 5,0m. La fuerza de gravedad
actúa sobre ella en la dirección y (-). Calcular el trabajo realizado por la
gravedad al ir de 0 a C a lo largo de a) OAC, b) OBC c) OC.
C
O
B C
A

Fuerzas
Conservativas:
No conservativas
son aquellas para las cuales el trabajo
realizado por las fuerzas para mover un
cuerpo entre dos puntos por cualquier
trayectoria arbitraria, NO DEPENDE DE LA
TRAYECTORIA SEGUIDA POR LA PARTÍCULA.
Ejemplo la gravitacional, la elástica,
electromagnética, etc.
No conservativas o disipativas son aquellas
para las cuales el trabajo realizado por las
fuerzas para mover una partícula entre dos
puntos, depende de la trayectoria. Ejemplo:
fuerza de rozamiento: como se opone al
movimiento, en el trabajo se pierde energía
en el sistema.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria
y de la rapidez con la que se mueve la partícula. Aquí el trabajo es sólo función de
las coordenadas, solo se puede asociar con una variación de energía función de la
posición.
Las fuerzas que son función de la posición generan energía de posición, lo que es
llamado energía potencial.
La energía potencial U, se define como aquella que puede obtenerse en virtud de
la posición del cuerpo, tal que el trabajo realizado por la fuerza conservativa entre
dos posiciones, es igual a la disminución de la energía potencial o sea, el trabajo
realizado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio de
energía potencial asociada con la fuerza.
Energía potencial:
𝑊 =
𝑟 𝑖
𝑟 𝑓
𝐹. 𝑑𝑟 = −∆𝑈 = −(𝑈𝑓 − 𝑈𝑖)

Energía potencial gravitacional:
La energía potencial para una partícula que se deja caer
libremente desde una posición inicial yi a otra posición final yf.
∆𝑈 = −𝑊 = −(𝑚𝑔𝑦𝑓- 𝑚𝑔𝑦𝑖)= 𝑚𝑔𝑦𝑖- 𝑚𝑔𝑦𝑓

Energía potencial elástica.
Otra fuerza conservativa es la que ejerce un resorte deformado sobre
un cuerpo fijo a él. El trabajo realizado por la fuerza elástica del
resorte sobre el cuerpo es:
𝑊 =
𝑥 𝑖
𝑥 𝑓
−𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑘𝑥𝑖
2
−
1
2
𝑘𝑥 𝑓
2
= −(𝑈𝑓 − 𝑈𝑖)
Esto permite definir la energía potencial elástica Ue almacenada
en un resorte como:
U 𝑒 =
1
2
𝑘 𝑋2

Conservación de la energía mecánica E.
Cuando una partícula se mueve por la acción de una fuerza
conservativa y por el teorema del trabajo y la energía se tiene
que el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de la
energía cinética:

Ejercicios:
7. Una fuerza conservativa Fx =(2x +4)N actúa sobre una partícula
de 5,0kg, donde x esta en metros. Cuando la partícula se mueve a
lo largo del eje x desde x = 1,0m hasta 5,0m calcule: a) el trabajo
efectuado por esta fuerza, b) el cambio del la energía potencial del
sistema y c) la energía cinética de la partícula en x = 5,0m si su
rapidez en x = 1,0m es 3,0m/s

10. Una partícula de 0,5kg de masa se dispara desde P (fig) con una
velocidad inicial vi que tiene una componente horizontal de 30,0m/s. La
partícula asciende hasta una altura máxima de 20,0m sobre P. Con la ley
de la conservación de la energía determine a) la componente vertical vi
b)el trabajo efectuado por la fuerza gravitacional sobre la partícula
durante su movimiento de P a B y c) las componentes horizontal y
vertical del vector velocidad cuando llega a B.

Si las fuerzas presentes en un sistema mecánica no son
conservativas. Existirá una transformación de la energía; por
ejemplo la fuerza de roce se dice que se disipa porque disipa
energía, que se transforma en calor en la superficie de contacto
entre los cuerpos y se puede aplicar el teorema del trabajo y la
energía tomando en cuenta el trabajo realizado por las fuerzas
conservativas WC y el realizado por las fuerzas no conservativas,
WNC

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