Vectores

Vectores
Universidad Pontificia Bolivariana
Seccional Bucaramanga
Claudia González Cuervo. Ph. D

Seccional Bucaramanga Claudia González Cuervo. Ph. D.
Escalares y Vectores.
Los sistemas físicos pueden estar descritos matemáticamente por dos
tipos de cantidades:
-Una es una cantidad algebraica, sin dirección asociada, y se llama
escalar. Ejemplo: la masa de una bola de billar es de 500 gramos, esta
cantidad especifica todo lo que se necesita conocer acerca de la masa.
- Hay cantidades físicas que no se pueden describir completamente por
medio de escalares. Las cantidades que se deben describir con una
magnitud y una dirección se llaman vectores.

Supongamos: un cuerpo se mueve desde un punto inicial f hasta un
punto final g que se encuentra 10 metros hacia el noreste de f,
el desplazamiento de f a g pueden representarse como una flecha
grafica del vector de desplazamiento de f a g
vector A. tiene dos
atributos
una longitud, o magnitud ( en este caso: 10 m. )
dirección (en este caso: hacia el noreste).
Llamaremos cola del vector al punto donde comienza,
y punta al lugar donde termina, es decir donde esta la
punta de la flecha
Claudia González Cuervo. Ph. D.

Igualdad de dos vectores
Dos vectores A y B pueden definirse como iguales si tienen la misma magnitud y
apuntan en la misma dirección.
Es decir, A = B, sólo si A = B y, los dos actúan a lo largo de direcciones paralelas.

Adición
Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades
Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores, entre los
cuales se tienen los siguientes:
El método de adición del triángulo
Cuando el vector A se suma al vector B
la resultante R es el vector que va desde
el origen de A hasta la punta de B

El vector que completa el polígono
Cuando se suman más de dos
vectores, por ejemplo
R = A + B + C + D
la resultante R,es el vector que va
desde el origen del primer vector
hasta la punta del último vector, en
este caso de A hasta la punta de D

La regla de adición de paralelogramo
En este construcción los orígenes
de los dos vectores A y B están
juntos y el vector resultante R es la
diagonal de un paralelogramo con
lados A y B

leyes que se utilizan en la suma de vectores son las siguientes:
La ley conmutativa y la asociativa.
Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo cual
le da origen a la ley conmutativa de la suma, esta se puede observar a
continuación:
A + B = B + A

Cuando tres o más vectores se suman, y su total es independiente de
la forma en la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes
mencionado recibe el nombre de la ley asociativa de la suma.
A + (B + C) = (A + B) + C

Negativo de un vector
Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con
diferente sentido, lo cuál ocasiona que el resultado de la operación
sea cero, como un ejemplo tenemos A + (-A) = 0.
Sustracción
Es la sustracción de vectores se usa la definición del negativo de un vector.
Esta operación se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector - B
sumado al vector A.
( A – B) = A + (-B) )

Multiplicación de un vector por un escalar
Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva m, el
producto mA es un vector que tiene la misma dirección
pero la magnitud es mA.
Si es m una cantidad escalar negativa, el vector mA está dirigido
opuesto a A.

Componentes de un vector
En dos dimensiones se pueden emplear coordenadas polares o
cartesianas para describir las componentes de un vector.
Un punto P se puede ubicar en un plano: mediante sus coordenadas
- cartesianas (x1, y1); la distancia a la que se
encuentre, en la dirección x y en
la dirección y, del origen O

el mismo punto P mediante sus coordenadas (r, ϕ ) en donde:
r es la coordenada radial (la distancia que hay del punto P al origen O) y
ϕ es la coordenada angular (ángulo medido desde el eje +x hasta el
vector cuyo punto inicial es el origen y punto final P).
las componentes del vector resultante de sumar dos
vectores v y w, sumamos algebraicamente las
componentes en X y en Y de cada vector de la
siguiente manera:
v = (x1, y1)
w = (x2, y2)
v + w = (x1+x2, y1+y2)

componentes cartesianas de un vector en el plano, expresado en
coordenadas polares, utilizamos las siguientes ecuaciones
x = r * cos θ
y = r * sen θ

La magnitud de un vector en términos de sus componentes
Por el teorema de Pitágoras
Sea A = (a1, a2,a3), entonces | A| = ( a1
2
+ a2
2
+ a3
2
)1/2
Ejemplo: | A| = ( 42
+ 32
+ 22
)1/2
= 5.38 unidades

Los vectores unitarios
cualquier vector se puede escribir en la forma:
= A = <a1, a2, a3>
= a1
<1, 0, 0> + a2
<0, 1, 0> + a3
<0, 0, 1>
Se puede escribir:
Definición:
Definimos los vectores unitarios
î = <1,0,0>
ĵ = <0,1,0>
k = <0,0,1>
^
^
^

Entonces, por lo anterior, cualquier vector se puede expresar en la forma
= a1
+ a2
+ a3
A los a1
, a2
, a3
se les llama vectores componentes
Vectores unitarios

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