El documento describe las propiedades de los diferentes tipos de números, incluyendo: (1) los números naturales, enteros, racionales e irracionales; (2) las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división para estos números; y (3) conceptos como potencias, raíces y ecuaciones de primer y segundo grado. El documento explica que nos dedicaremos al estudio del conjunto de los números reales en esta asignatura.

1. UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
SEDE-LITORAL
FORMACIÓN GENERAL Y CIENCIAS BÁSICAS
PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS REALES
TEMA 1

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Números Naturales (N)
Conjunto de la forma:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
1.1 Consecutividad numérica
• Sucesor
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene
sumando 1 al número, es decir:
Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.

3. 1. Números Naturales (N)
• Antecesor:
Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un
antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es
decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1
Naturales Consecutivos
n-1
antecesor
n
n+1
sucesor

4. 1. Números Naturales (N)
1.2 Paridad e imparidad
• Números Pares
{2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Son de la forma 2n, con n en los naturales.
Sucesor par:
Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
antecesor es 2n-2.
2n - 2
Antecesor par
2n
2n + 2
Sucesor par

5. 1. Números Naturales (N)
• Números Impares
{1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}
Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.
Sucesor impar:
Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n-1, entonces
su sucesor es 2n+1.
Antecesor impar: Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n-1, entonces
su antecesor es 2n-3.
2n - 3
Antecesor impar
2n -1
2n + 1
Sucesor impar

6. 2. Números Cardinales ( N0)
Conjunto de la forma:
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
3. Números Enteros (Z)
Conjunto de la forma:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito.
Se puede representar como:
Z = Z- U IN0
Z = Z- U {0} U Z+
Recta numérica:
-3 -2 -1
Z-
0 1 2 3
Z+

7. 3. Números Enteros (Z)
Valor absoluto:
El valor absoluto de un número representa la distancia
del punto al origen (cero de la recta numérica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco
unidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5
-5
Luego,
5 unidades
|-20| = 20
0
5 unidades
|34| = 34
5
|-12| = 12…

8. 4.Números Racionales (Q)
Es el conjunto de todos aquellos números que
se pueden escribir como fracción, es decir:
Q=
a
b
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
a: numerador
y
b: denominador
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -1; 14; -2; 0,489; 2,18; -0,647
8
3 7
15,
0
NO es racional

9. Todo número entero es racional.
Por ejemplo:
3 es Natural
(3
3 es Cardinal (3
3=
3
IN),
IN0), y como
, 3 es racional
1
IN
IN0
Z
Q
(3
Q).

10. Diagrama representativo:

11. 5. Números Irracionales (Q*)
Son aquellos que NO se pueden escribir como
una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
.....
3,
Q
U
Q* =
2,
Q*=
,
,....

12. 6. Números Reales (IR)
Es el conjunto formado por la unión entre los números
racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
3, -89,
-2; 2,18;
7
Diagrama representativo:
2 ; 23,491002

13. 7. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son
imaginarios.
U
IR
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
4,
25,
6
2,
4
16

14. 8. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por la unión entre los números
reales y los números imaginarios.
Ejemplos: 5,
-68, -1;
8
Diagrama representativo:
6
2 , -0,647

15. EN ESTA ASIGNATURA NOS
DEDICAREMOS AL ESTUDIO
DEL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES (IR)

16. Propiedades de los números Reales
Suma
Propiedad
Multiplicación
Para todo número real a, b y c se satisface:
Clausura
a b c
a b c
Conmutativa
a b b a
a b b a
a (b c) (a b) c
a (b c) (a b) c
Asociativa
a 0 a
a ( a) 0
Identidad o Neutro
a 1 a
1
a ( ) 1 con a 0
Inverso
a
Distributiva de la mutiplicación con respecto a la suma
a (b c) (a b) (a c)

17. Sea
a, b
IR entonces
(i)
a 0 0
(ii)
a
Sea
a, b
entonces
IR
a b 0
a
Sea
(iii)
a
b
a b
a
b
0
b 0
entonces
IR
a b
(iv)
a, b, c
a
(ii)
a
a
1
1
(iii)
a b
(iv)
a
1
1
b
a b
1
a
(ii)
a b 0
a
b
(iv)
a
b c
a
b c
(vi)
a b
(vii)
a
b
a
1
a b
(v)
a1
(i)
(iii)
Sea a, b IR, a 0, b 0 entonces
(i)
a b
b
1
1
b
a b
1
1
1
a c
a c
c
d
b c
a b
a b
a b c
a b c
b c con a
a d
b c con b
0
0, d
0

18. Potencias
Sean a
IR y n IN . La potencia de base
a
n
y exponente
b
n
define como sigue:
a a  a
 a 
n factores
Propiedades
a0
a
1, a
1
an
n
a
Sean
n
m
0
,a
0
a
nm
a, b
n, m Z
y
an am
a
n
b
an
am
n
an
entonces
m
a b
an
a
b
m
n
a
b
n
m
n
an
bn
an m
,a
nm
b
0

19. Raíces
Sean
b
y
n
IN
La Raíz
n esima
de
b
es un número real, que se define como
n
Propiedades
n
b
n m
a
Sean a, b
m
n
b
n, m IN
b
entonces
n
m
nm
b
n
b
y
b
m
b
n
m
n
n
an b
n
a b
n
n
a
a
m
n
a
b
a
b
n
a b
n
nm
b
b
a m bn
b
n
a
0
n
b

20. Cuadrados de Binomios
a b
a b
2
a2
2
2ab b 2
a2
2ab b 2
Cubos de Binomios
Suma por su Diferencia
a b a b
a2 b2
a 2 b2 a 2 b2
a4 b4
Binomios por Trinomios
a b
3
a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
a b a 2 ab b 2
a b
3
a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
a b a2
ab b 2
a 3 b3
a 3 b3

21. Caso I
1
b
1
b
b
b
1
1
n
b
b
bm
n
n
bn
m
bm
n
bn
m
n
bn
b
m
Caso II
1
a
1
b
1
a
b
a
a
a
b
b
a
b
a b
b
a
a
b
b
a
b
a b
1
b
a

22. Caso III
1
3
3
a
b
3
a
3
a
1
3
3
1
b
3
1
3
b
3
a
3
3
b
3
a
a
3
a
a
3
3
3
a3 b
a3 b
3
a3 b
a3 b
3
3
3
b
b
3
b
b
3
a
3
a
3
3
a
3
a
a3 b
3
3
3
b
a3 b
3
3
3
a
3
b
3
a
3
3
3
b
b
3
a3 b
a b
3
b
a3 b
a b
3
b

23. Ecuación de 1º Grado
Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo ax b
Y su solución o raíz es
Ecuación de 2º Grado
x
0
b
a
Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo ax 2
Y su solución o raíz es
x1
b
b 2 4ac
2a
x2
b
b 2 4ac
2a
bx c 0

24. FORO I ¿ ¿QUÉ NECESIDAD LLEVÓ AL HOMBRE A LA
INVENCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES??
Elaborado por:
Profesora Dorenis Mota
(dorenismota@gmail.com)
Profesor Ricardo Valles
(revalles@usb.ve)
Departamento de Formación General y Ciencias
Básicas