Los métodos numéricos proporcionan alternativas para cálculos complejos mediante el uso de computadoras. Estos métodos resuelven problemas de ingeniería aproximando cantidades y funciones. Los errores numéricos surgen debido a la representación binaria de números y al redondeo. Es importante que los métodos sean lo suficientemente precisos para cumplir los requisitos de cada problema.

1. Los métodos numéricos
Los métodos numéricos han proporcionado alternativas para cálculos
sumamente complicados que la actualidad comparten al menos características
en común, tampoco es raro que con el desarrollo de computadoras digitales
eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos es la solución de los
problemas en la ingeniería, puesto que ha aumentado en los últimos años de
forma considerable. Sin embargo cabe destacar que el análisis numérico
consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos
puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los
instrumentos de cálculos (como calculadoras, computadoras) las cuales nos
ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular
o aproximar alguna cantidad o función para el estudio de errores de cálculos.
Por otra parte en la definición de números de maquinas, el sistema numérico
consta de 2 dígitos ceros y unos de base 2 y esta representación binaria
significa que es de base 2, la más pequeña posible.
Al respecto con los métodos numéricos, son capaces de implementar
condiciones ideales, que en algunos casos no se han tomado en cuenta que al
realizar procedimientos de forma numéricas en computadoras se generan
situaciones de error, y esta a su vez se denominan errores numéricos.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a que tan cercano
esta un valor individual medido o calculado, de tal manera que los métodos
numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que
cumplan los requisitos de un problema particular. En efecto el error absoluto es
la diferencia entre el valor exacto y su valor calculado o redondeado ósea el
valor exacto menos el valor calculado, debido a que la ecuación se dio en
términos del valor absoluto, y por tanto el error absoluto es negativo.
En las cotas de errores absolutos es un numero €a≤ε, lo cual indica que en una
aproximación cualquiera una cota de error absoluto es una unidad del orden n
de la última cifra significativa.

2. De acuerdo a las fuentes de errores existen dos causas principales de errores
en los cálculos numéricos es decir, por error de truncamiento y error de
redondeo. El error de redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con
que se representan los números en una PC mientras que el error de
truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática
del modelo. Sin embargo en los errores de suma y restas se puede denotar que
al sumar y restar muchos números en computadoras ocurren problemas; es
decir, como cada suma introduce un error proporcional al épsilon de la
maquina, El análisis se representan generalizaciones al problema del cálculo
de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán
operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números
de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten
que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben
evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar
cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un
número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores
de errores relativos y absolutos poco relevantes.
Al finalizar se puede decir que la condición de un problema matemático
relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse
que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores
de entrada aumenta considerablemente por el método numérico. Un proceso
numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna
de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la
exactitud del cálculo en su conjunto.