definiciones

2. El Análisis Numérico es una rama de las matemáticas que,
mediante el uso de algoritmos itera- tivos, obtiene soluciones
numéricas a problemas en los cuales la matemática simbólica (o
analítica) resulta poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer
una solución.
En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un
procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un
problema mediante un número de pasos finitos que pueden
ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre
de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.
De aquí las siguientes
definiciones:

3. Numero de maquina: Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y
unos (1) de base 2. El término "representación máquina" o "representación binaria"
significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere
de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se
relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales
usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada
Numero de maquina decimal: Son aquellos números cuya representación viene dada
de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4,
..., k"; De lo antes descrito, se indica que las maxi computadoras IBM (mainframes)
tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
Error Absoluto: Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por
ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor
calculado; debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error
absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se
incrementan juntos, sin reducirse.
Error Relativo: Son errores que afectan la precisión de una medición. Ocasiona que los
datos se distribuyan más o menos con simetrías alrededor de un valor promedio. (Se
refleja por su grado de precisión).

4. Fuentes Básicas de Errores: Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos:
El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los
números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas
en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC)
El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del
modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos
numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento
es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).
Redondeo y Truncamiento: Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los
resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores
de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto,
y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.
En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor
verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev =
valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La deficiencia del
truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la representación decimal
completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un
error bajo en comparación con el truncamiento o cortado. Para que obtengas información, esta es la
conexión: Aritmética de Punto Flotante
Error de Redondeo: Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un
numero finito de cifras significativas durante un calculo.
Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los
primeros siete términos se llamó “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia se
llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos
restantes de la representación decimal completa.

5. Error de truncamiento: Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar
una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.
Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor.
Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la
función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi.
Siendo el termino final:
Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1
Errores de suma y resta: En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar
muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional
al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el
proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos
interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales.
Estabilidad: la estabilidad numérica es una propiedad de los algoritmos numéricos.
Describe cómo los errores en los datos de entrada se propagan a través del algoritmo.
En un método estable, los errores debidos a las aproximaciones se atenúan a medida
que la computación procede.
Inestabilidad; En un método inestable, cualquier error en el procesamiento se magnifica
conforme el cálculo procede. Métodos inestables generan rápidamente basura y son
inútiles para el procesamiento numérico.

6. Condicionamiento: es un procedimiento que consiste en establecer ciertas condiciones
de control de estímulos. En sentido amplio significa la asociación de patrones bastante
específicos de comportamiento en presencia de estímulos bien definidos.
Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal
condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de
condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado,
para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de
condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la
incertidumbre aumenta.