Matemática

1. Las operaciones, los cálculos y los
problemas
AJR
Bibliografía: Apuntes de Taller “Las operaciones matemáticas”. Espacio
abierto “Matemática para todos”. Prof. Mónica Capone.
Material de las jornadas del Programa “Todos pueden Aprender” 2011

2. Los pasos para presentar nuevos
conocimientos son:
• Presentación de la situación
• Estrategia de base
• Salto informacional
• Democratización del conocimiento

3. • Este es el modelo de cómo presentar los
contenidos a nuestros alumnos, es decir,
debemos partir de una situación que permita a
los niños poner en juego sus conocimientos
previos, pero que estos sean insuficientes y
necesiten utilizar nuevas herramientas para
resolverlos (aquí es donde debe aparecer el
nuevo concepto) y luego de que se haya aplicado
esta herramienta en distintas situaciones y el
alumno la conozca se la define.
• Desde este enfoque, el trabajo con las
operaciones debe enfocarse de la siguiente
manera:

4. OPERACIÓN
CONCEPTUALIZACIÓN
SITUACIONESS
PROBLEMA
FORMALIZACIÓN
ALGORITMO
CÁLCULO MENTAL
VARIADAS
SECUENCIADAS
CDO SE HA APLICADO EN
MÚLTIPLES OCASIONES
DEFINE, ABREVIA, SIMBOLIZA
CÁLCULO PENSADO. CONTROL
SOBRE LA SITUACIÓN
ESTRATEGIA ECONÓMICA
PROCESO REPETITIVO

5. • Tradicionalmente se han presentado primero
los cálculos y luego problemas de aplicación
similares.
• No es necesario conocer el algoritmo para
saber cuándo utilizarlo.
• Reconocer el campo de utilización de una
operación es un aprendizaje que ha quedado
a cargo del alumno, es decir, no forma parte
de lo que se consideraba aprender una
operación.

6. • Desde esta nueva perspectiva, el objetivo es
favorecer la construcción de diferentes
significados posibles para las “operaciones”.
• Para ello es necesario que los niños resuelvan
y conozcan diferentes tipos de problemas, ya
que una “operación” no sirve para resolver los
de un solo tipo.
• Los niños reconocen algunas operaciones más
fácilmente en algunos tipos de problemas que
en otros y será necesario abordar en la
enseñanza aquellas situaciones donde
experimenten más dificultad.

7. Algunas situaciones que permiten
conceptualizar la suma y la resta
• Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 6. ¿Cuántas figuritas tienen entre las
dos?
• Laura y Malena tienen juntas 11 figuritas. Si Laura tiene 5, ¿cuántas tiene
Malena?
• Laura y Malena tienen juntas $ 159. Si Laura tiene $ 56, ¿cuándo tiene
Malena?
• Laura tenía 5 figuritas, ganó 6. ¿Cuántas tiene ahora?
• Laura ganó 6 figuritas, ahora tiene 11. ¿Cuántas tenía antes de jugar?
• Laura tenía 6 figuritas. Después de ganar se quedó con 11. ¿ Cuántas
ganó?
• Laura tiene 7 figuritas. Malena tiene 13. ¿Cuántas más tiene que Laura?
• Laura perdió 6 figuritas en el primer partido y en el segundo perdió 9.
¿Cuántas figuritas y perdió hoy?
• Laura ganó seis figuritas en el primer partido. Entre el primero y el
segundo partidos ganó 9 figuritas. ¿Qué pasó en el segundo partido?

8. Análisis didáctico de los problemas
• ¿Hay complejización en la secuencia de situaciones?
• ¿El tamaño de los números es una variable en los
problemas? ¿por qué?
• ¿Por qué creen que hay problemas de ganar que se
resuelven con sustracciones y problemas de perder que
se resuelven con adiciones?
• ¿Es necesario saber hacer “las cuentas” para resolver
los problemas?
• ¿Hay problemas que los familiarizan con los números
enteros (negativos)? ¿Es necesario esperar a séptimo
año para trabajados?

9. Información didáctica
• Clásicamente se ha definido la adición y la
sustracción como las acciones de “agregar” y de
“quitar” elementos de una colección. La didáctica
de la matemática actualmente propone un
amplio espectro de situaciones aditivas que
deben abordarse para establecer el “campo
conceptual” de la adición. La propuesta de
Vergnaud es hacer una clasificación de problemas
según estén involucradas medidas, estados
relativos o transformaciones.

10. • Aunque las situaciones puedan expresarse con el
mismo cálculo (5 + 3 = 8), las relaciones entre los
números son diferentes. Aunque desde nuestro punto
de vista matemático sean problemas equivalentes, no
lo son desde el punto de vista de los niños.
• El tamaño de los números que aparecen en las
situaciones también es un condicionante importante.
El campo numérico utilizado para el cálculo debe ser
significativamente menor al campo numérico que se
está estudiando.
• Cuando los niños dominen la situación que se plantea
en el problema será conveniente ampliar el campo
numérico para que el procedimiento de contar ya no
sea efectivo y deba ser sustituido por el cálculo.

11. • Es importante que el debate sobre la resolución de las
situaciones en que nace y el análisis de las mismas, con
el tiempo, permita a los niños categorizar los
problemas que se resuelven más económicamente
mediante la adición o los que presentan más economía
utilizando la sustracción.
• El abordaje de la definición de la resta podrá ser
abordado en algunos casos a fines del primer año y en
otros en segundo año, ya que para acceder a la misma
debe haberse asumido plenamente la operación
directa.
• Esto no significa que la conceptualización de la
operaciones equivale a la formalización de la misma, la
conceptualización de los cuatro cálculos básicos
(adición, sustracción, multiplicación y división), se
comienza en el nivel inicial y se continuará durante
toda la escolaridad.

14. Los problemas de estructura aditiva
pertenecen a una familia y no se estudian
por separado.
Se sugiere:
En 1° año: se abordan problemas de composición de medidas,
transformación positiva.
En 2° año: se enseñan problemas abordados en 1° año y se
agregan transformación negativa con la incógnita en los
diferentes lugares.
En 3° año: se agregan la composición de dos transformaciones
positivas y,
En 4° año se aborda dos transformaciones (perder en ambas,
ganar en ambas, perder y ganar en un juego) y las
propuestas de trabajo con relaciones.

15. PROBLEMAS DE TRANSFORMACIÓN DE
MEDIDAS
Transformación Incógnita Estado
Final
Mf
Incógnita
Transformación
T
Incógnita Estado
Inicial
Mi
T ( + )
Juan tenía 8
figuritas y ganó 15
,¿cuántas figuritas
tiene ahora?
Juan tenía 8
figuritas y ahora
tiene 23, ¿cuántas
figuritas ganó?
Juan tiene 23
figuritas. Si ganó
15, ¿cuántas tenía
al principio?
T ( - )
Marta salió de
compras con $ 25 y
ha gastado $ 18,
¿Con cuánto
dinero regresó?
Marta salió de
compras. Tenía $
25 y ahora tiene
$ 7, ¿Cuánto
dinero gastó?
Marta tiene $ 7
luego de ir de
compras. Si gastó
$ 18, ¿con cuánto
dinero salió?

20. Situaciones que permiten conceptualizar
la multiplicación y la división
• Una araña tiene 8 patas. ¿Cuántas patas tendrán 7 arañas?
• ¿Cuánto pagó Leonardo por 9 lápices si cada uno le costó $
3?
• En dos paquetes iguales hay diez pastillas en total.
¿Cuántas habrá en cuatro paquetes?
• Viviana ha repartido los 30 globos de su cumpleaños entre
los ocho equipos que asistieron. ¿Cuántos le habrá dado a
cada uno?
• Viviana quiere repartir la mayor cantidad de globos de su
cumpleaños entre los ocho chicos que asistieron, dándoles
lo mismo a cada uno. Si los globos son 30, ¿cuántos le
habrá dado a cada uno?
• Ana quiere darle a cada una de sus amigas 5 semillas de
girasol. Si tiene 45 semillas, ¿a cuántas amigas podrá darle?

21. • ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir
todo el piso de este patio?
• ¿Cuántos departamentos hay en este edificio?

22. • Una señora tenía 24 caramelos y los repartió
entre unos chicos, de tal manera que a todos les
dio la misma cantidad. ¿A cuántos chicos pudo
haberles dado caramelos? ¿Cuántos a cada uno?
• Quiero alquilar motos para 9 personas. En cada
moto pueden subir hasta 2 personas. ¿Cuántas
motos tengo que alquilar?
• Voy a comprar un helado de dos gustos. Si quiero
combinar una fruta y un dulce, ¿cuántos helados
diferentes puedo elegir?
FRUTAS DULCES
LIMÓN
FRUTILLA
DURAZNO
DULCE DE LECHE
CHOCOLATE

23. Análisis didáctico de los problemas
• ¿Hay complejización en la secuencia de situaciones?
• ¿Cuándo deben aparecer los problemas que implican
dividir?
• ¿Qué problemas implican combinaciones?
• ¿Qué problemas implican organizaciones rectangulares?,
¿qué futuro concepto permiten abordar?
• ¿Qué problemas que implican dividir se responden con el
cociente?
• ¿En qué problemas el contexto determina que la respuesta
sea un número entero? ¿y un número racional?
• ¿Qué variable didáctica hay que aplicar para que los niños
no recurran al conteo?

24. Información didáctica
• Se plantean problemas multiplicativos a niños
que aún no saben multiplicar, con el fin de que
establezcan puntos de contacto con la adición
y las diferencias con ella.
• Es importante proponer la resolución de
problemas multiplicativos, que a pesar de ser
situaciones novedosas para los niños, pueden
ser resueltas con los recursos que cuentan
hasta el momento.

25. • En 2° año el trabajo en clase permitirá que los
niños puedan hacer evolucionar sus
procedimientos de conteo a procedimientos de
cálculo por medio de sumas. También podrán
avanzar en la diferenciación de aquellos
problemas de suma que no pueden ser resueltos
por una multiplicación.
• El tamaño de los números y la “redondez” de los
mismos será una herramienta a utilizar por el
docente para provocar el uso de procedimientos
de cálculo en lugar de los procedimientos de
conteo.

26. • Habitualmente los problemas de
multiplicación remiten a problemas de
proporcionalidad. Los problemas de
proporcionalidad no corresponden al primer
ciclo de la primaria, ni el momento para que
los niños conozcan las propiedades de las
proporciones, pero sí que las utilicen
intuitivamente para resolver problemas, para
que la formalización de las mismas cuando sea
el momento sea a partir de algo que ellos ya
utilizan.

27. • Los problemas de organizaciones rectangulares
permiten que los niños reconozcan que en todas las
líneas y columnas hay la misma cantidad de
elementos. Esto permitirá mayor economía porque
los niños pasarán del conteo a la suma de los
elementos de las filas o las columnas.
• En cuanto a los problemas en que hay que combinar
diferentes colecciones, será necesario explicar el
enunciado para que comprendan que significa
“combinar todos con todos”. No tener un método
que garantice la exhaustividad de la lista, provoca
que encuentren varios de los casos, pero no la
totalidad. Se podrá trabajar en la clase “cómo hacer
para estar seguros de que pusieron todas las
opciones”.

28. • Los niños de 2° o 3° año, reconocen situaciones
de proporcionalidad o problemas de cuadriculado
como un producto, pero no podrán hacerlo en el
caso de la combinación de colecciones, en donde
seguirán utilizando el conteo o la suma, y
reconocerán a la multiplicación a posteriori de la
resolución.
• La presentación de problemas que impliquen
dividir será desde el nivel inicial y a pesar de que
a los niños les sean de alta complejidad, ya que
deben comprender la información, tratar la
información, organizar los datos, idear estrategias
de resolución, etc.; con el tiempo podrán
relacionarlos con los de multiplicación y
comprenderlos como lo contrario de multiplicar.

29. • Será interesante discutir con los niños el tema
de los restos, qué se hace con lo que sobra,
trabajar sobre el significado de reparto
equitativo.
• Se debe promover la discusión acerca de si
pueden o no partir la totalidad de los
elementos y reflexionar sobre el carácter
fraccionable de los objetos involucrados en la
situación. A pesar de que los niños aún no
hayan abordado sistemáticamente el tema de
fracciones, están en condiciones de utilizar las
nociones que poseen de las mismas.

30. • Otro aspecto importante a considerar es que no es lo
mismo repartir que averiguar partes (problema del
reparto de globos/ las semillas).
• Es preciso que los niños tomen conciencia de la
diversidad de soluciones posibles, como en el
problema de reparto de caramelos. Es importante
además de debatir sobre todas las respuestas, resaltar
los mecanismos más económicos, para establecer que
si multiplican no será necesario seguir haciendo
reparticiones, pero sólo en 3° año podrán dejar de
depender de las reparticiones y utilizar la
multiplicación.
• Es también importante señalar que este tipo de
situaciones permitirá introducir los conceptos de
múltiplos y divisores y luego también la presentación
de la proporcionalidad inversa.

31. • A veces lo que sobra cambia todo el problema, como
en el de alquiler de las motos. Y es necesario luego de
la resolución individual, confrontar los resultados y
permitir a los niños defender sus ideas, ya que es
posible que algunos niños no se den cuenta de que es
necesaria otra moto, o crean que no es posible alquilar
una moto para otra persona.
• Cuando los niños dominen el algoritmo de la división,
será necesario volver sobre estas situaciones, para que
tomen conciencia de que no alcanza “con hacer la
cuenta” para resolverlo. Es necesario un paso más:
analizar qué sucede con el resto. Este tipo de
problemas se empieza a proponer en 3°año, pero cobra
su sentido pleno en el segundo ciclo, cuando los niños
operan con racionales y tienen que tomar decisiones
vinculadas con el resto, según el contexto del
problema.

32. • Es importante tomar conciencia de que es necesario
dividir en problemas de proporcionalidad, como por
ejemplo: “Compré 7 remeras iguales y todas costaron
$84. Calcular el precio de una remera”. Estos
problemas permiten analizar series proporcionales, y a
diferencia de los de reparto no tienen resto.
• También es importante plantear divisiones en
organizaciones rectangulares, por ejemplo: “En un
portero eléctrico hay 27 botones. Si hay tres
departamentos por piso, ¿cuántos pisos hay en el
edificio?”. En las primeras instancias seguramente los
niños dibujarán los porteros agrupando los botones de
a 3 y luego contando los pisos, luego de los
tratamientos colectivos, es esperable que al final de 3°
año comiencen a reconocerlo como un problema de
multiplicación o de división.

33. De la adición a la multiplicación
Diferentes caminos….
Calcular cuántas figuritas hay en 8 paquetes si en
cada paquete hay 4 figuritas.

34. En el campo de problemas multiplicativos
encontramos según G.Vergnaud problemas en
- Un espacio de medidas
- Dos espacios de medidas
- Tres espacios de medidas

35. • Un espacio de medida: caramelos
• Relación entre dos cantidades: 4 y 12 ( medida en caramelos)
• Operador – escalar: 3
B1
X .....
B2
Andrés tiene 4 caramelos y Juan tiene el
triple. ¿Cuántos caramelos tiene Juan?
Andrés 4
Juan 12
x 3
UN SOLO ESPACIO DE MEDIDAS

36. ¿Cuánto tendré que pagar por 4 ramos
de flores si cada uno cuesta $3?
 PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD
Relación entre series de cantidades organizadas en tablas
Dos espacio de medidas: flores – dinero
Cuatro cantidades:
1 y 4 ( del espacio de medida: flores)
3 y x= 12 (del otro espacio de medida: dinero)
Ramos de
flores
Dinero ($)
1 3
4 x= 3.4
DOS ESPACIOS DE MEDIDAS

37.  PROBLEMAS DE ORGANIZACIONES
RECTANGULARES
Las cantidades se presentan organizadas en filas y columnas
Este es el piso rectangular
de un patio. ¿Cuántas
baldosas se necesitan para
cubrir todo el piso?
6 baldosas por fila x 4 baldosas por columna = 24 baldosas
Dos espacio de medidas se combinan para dar lugar a un
tercer espacio
TRES ESPACIOS DE MEDIDAS

38.  PROBLEMAS DE COMBINATORIA
Determinar la cantidad que resulta de combinar elementos de distintas
colecciones por medio de diversas estrategias
Si Natalia tiene una bufanda blanca, otra azul y otra celeste y un
par de guantes blanco y otro par azul, ¿ de cuántas maneras
diferentes puede combinarlos?
Bufanda blanca
Guantes blanco
Bufanda Celeste
Guantes azul
Bufanda azul
Guantes azul
Bufanda blanca
Guantes azul
Guantes azul
Bufanda Celeste
Guantes blanco
Bufanda azul
Guantes blanco
Guantes blanco
bufanda Celestebufanda azulbufanda blanca
bufanda
guante
3 bufandas x 2 pares de guantes = 6 combinaciones

39. Bufanda blanca
Bufanda azul
Bufanda celeste
Guante blanco
Guante azul
3 pares de bufandas x 2 guantes = 6 combinaciones
3
+
3
6
2 + 2 + 2 = 6
DIAGRAMA DE ÁRBOL

40. ¿CÓMO Y CUÁNDO TRABAJAR LOS PROBLEMAS DE
MULTIPLICACIÓN EN EL PRIMER CICLO?
1° 2° 3°
Resolución de problemas que involucran series
proporcionales y organizaciones rectangulares
mediante diferentes procedimientos: dibujos, conteo,
sumas reiteradas, etc. Explicitación y comparación de
las estrategias utilizadas
Resolución de problemas correspondientes a diferentes
significados de la multiplicación (series proporcionales,
organizaciones rectangulares, combinatoria) por medio
de variados procedimientos inicialmente y luego por
medio de escrituras multiplicativas.
Interpretación de los significados y usos de la
multiplicación con números naturales, elaborando e
implementando estrategias de cálculo en forma exacta y
aproximada, produciendo y resolviendo situaciones
problemáticas.

41. ¿Cuándo trabajar
con el algoritmo de
la
multiplicación????

42. Analizamos
recursos de
cálculos para
obtener resultados
de los productos..
Discutimos
procedimientos.
.
Mis alumnos utilizan
intuitivamente la
propiedad distributiva
de la multiplicación
con respecto a la
suma…
Trabajamos la
resolución de
problemas…
Multiplican
por la unidad
seguida de
ceros!!!
Solo lo podrán entender si……

43. 1º MOMENTO
¿QUÉ SIGNIFICA
APRENDER A DIVIDIR?
¿CÓMO PODEMOS
INTRODUCIR LA
DIVISIÓN?
¿¿¿¡¡¡NO ERA QUE TENÍAMOS
QUE SER UNIDOS!!!???

44. Un punto de partida para la
enseñanza de la noción de
división
• “La enseñanza de la división como
noción puede iniciarse desde
primer año de la EGB.”
• “Los problemas de división pueden ser
resueltos por una variedad de procedimientos
y operaciones.”
• “La división es una operación que permite
resolver una gran variedad de problemas.”

45. • “El dominio del algoritmo no garantiza
reconocer sus ocasiones de empleo en
distintos tipos de problemas.”
• “El algoritmo es solamente un recurso de
cálculo – y no necesariamente el principal –
que los niños deben aprender en la EGB.”
• “El estudio de la división es de tal complejidad
que exige muchos años de la escolaridad”.

46. Se puede comenzar a trabajar con la noción de división desde primer
grado, haciendo uso de variedad de estrategias de resolución.
¿CUÁNDO SE DEBE INICIAR EL ESTUDIO
DE LA NOCIÓN DE DIVISIÓN?
Un Sr. Tiene 8 caramelos y se los da a dos niños.
¿Cuántos les da a cada uno?

47. El estudio sistemático de la división puede iniciarse a fines de segundo
grado, y desarrollarse a lo largo de tercero e incluso cuarto grado.
¿ EMPEZAR
A
TRABAJAR
CON LA
DIVISIÓN?

48. Realmente es importante el dominio del
cálculo mental y de las propiedades del
sistema de numeración…
EVOLUCIÓN DE LOS PROCEDIMIENTOS
Debo trabajarlos
simultáneamente
Si mis alumnos disponen de ciertos
resultados memorizados y de los
recursos para usarlos ayudará a que
le den importancia al cálculo mental,
y a la utilidad de seguir
incorporando nuevos resultados y
nuevos recursos.

49. ¿Si se quiere quedar 2 días más, cuántas monedas necesitará?
Ya pasaron 3 días desde que llegó al puerto, ¿Cuántas monedas tiene que entregar?
El pirata Barbanegra se refugia en el puerto y tiene que pagar 8
monedas de oro por día. Tiene 50 monedas, ¿cuántos días podrá
quedarse?
Un problema ejemplificador

50. ¿QUÉ RELACIÓN EXISTE ENTRE DIVIDENDO,
DIVISOR, COCIENTE Y RESTO?
Una de las características
específicas de la división, es que, el
resultado está compuesto por dos
números: el cociente y el resto.
Una mejor comprensión de estos
elementos y de las relaciones que
se establecen entre ellos y el
dividendo y el divisor, permitirá un
mayor dominio por parte de los
alumnos y control de sus
producciones.

51. En la panadería de Doña Mercedes, embolsan los bizcochitos de queso de
a 6.
Todos los días, la empleada anota cuántos bizcochitos se hornearon,
cuántas bolsitas armó y cuántos bizcochitos sobraron.
Completá las anotaciones de la empleada:
Cantidad de
bizcochitos horneados
Cantidad de bolsitas
Cantidad de
bizcochitos que
sobraron
25
18
28
34

52. En los dos días siguientes, las cantidades de bizcochitos horneados fueron 20 y 27.
¿Podrá la empleada usar los datos que ya tiene en la tabla para encontrar los nuevos sin
necesidad de hacer nuevamente los cálculos?
¿Cuál es el máximo de bizcochitos que pueden sobrar?

53. Estas anotaciones están incompletas. Averiguá lo que corresponde y completá los
lugares vacíos:
Cantidad de
bizcochitos horneados
Cantidad de bolsitas
Cantidad de
bizcochitos que
sobraron
6 2
4 3
42 0
5
¿Todos dieron las mismas respuestas?

54. Contenidos sobre la división en 1º ciclo
• Resolución de problemas de reparto y partición
mediante diferentes procedimientos (dibujos, conteo,
sumas o restas reiteradas) en primero y segundo año.
• Resolución de problemas correspondientes a
diferentes significados de la división (partición,
reparto, organizaciones rectangulares, series
proporcionales, iteración, etc.) por medio de
variados procedimientos (sumas o restas reiteradas,
multiplicaciones) en segundo y tercer año.

55. • Dominio progresivo de variados recursos de cálculo que
permitan realizar divisiones: sumas sucesivas, restas
sucesivas, aproximaciones mediante productos, uso de
resultados multiplicativos en combinación con restas, etc.,
entre segundo y tercer año.
• Utilización de resultados numéricos conocidos y de las
propiedades de los números y las operaciones para resolver
otros cálculos. Explicitación, por parte de los alumnos, de las
estrategias utilizadas. Comparación posterior de las mismas,
en los tres primeros años.
• Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones
apoyándose en resultados conocidos,
en propiedades del sistema de numeración
o de las operaciones, en segundo y tercer año.

56. Broitman e Itzcovich, proponen la siguiente secuencia de actividades
para trabajar la división en 3º grado:
• Resolución de problemas de división y comparación y análisis de las
estrategias utilizadas. Difundir la idea de que todos estos problemas se
pueden resolver sumando, restando, multiplicando, etc. Análisis de
escrituras diversas para registrar los cálculos.
• Dominio de un conjunto de cálculos multiplicativos (todos los relativos
a la tabla pitagórica y multiplicaciones por la unidad seguida de ceros:
8x20; 45x1.000; 6x50, etc.)
• Resolución de cálculos mentales “horizontales” de divisiones con y sin
resto (1.000 : 4; 3.000 : 6; 4.500 : 9; etc. y 51: 10 = 5 y sobra 1; 43 : 4
=10 y sobra 3).
• Presentación de un algoritmo “desplegado” (con multiplicaciones,
restas y tratando globalmente el número, sin descomponerlo).

57. Debemos recordar:
Abordar la construcción de los sentidos de la división a través de la resolución de
problemas y la reflexión en torno a los mismos.
Instalar como objeto de estudio los problemas de la división aún cuando los niños no
dispongan todavía de procedimientos expertos para resolverlos.
Presentar variedad de problemas, pues la división es un recurso que sirve para resolver
diferentes tipos de situaciones.
Proponer luego de una instancia de resolución individual la comunicación y el debate
sobre los resultados y los procedimientos incluyendo errores y procedimientos poco
económicos.
Trabajar posteriormente a la resolución de problemas en forma colectiva, enfatizando
las conclusiones a partir de lo realizado, para que dicho conocimiento empiece a tornarse
disponible para nuevos problemas.
Favorecer la difusión de estrategias producidas por los niños para que sean posibles de
ser apropiadas por todos.
Abordar la enseñanza de la división a lo largo de varios años.
Enseñar diferentes recursos de cálculo algorítmico y mental.

58. 1º MOMENTO
¿QUÉ SIGNIFICA
APRENDER A DIVIDIR?HACIA LA
CONSTRUCCIÓN
DEL ALGORITMO

59. UN ALGORITMO INTERMEDIO propuesto por BROUSSEAU
Para promover recursos de cálculo
más “transparentes”
¿Por qué un algoritmo intermedio??

60.  trabaja con la globalidad de los
números ( no los separa en
unidades, decenas y centenas), lo
cual le permite al alumno tener una
idea aproximada del cociente.
los alumnos van repartiendo por
partes. Al principio utilizan distintas
multiplicaciones para la búsqueda
del cociente; luego se les puede
proponer que busquen el mayor
factor posible para acortar la
cuenta, por ejemplo, hacer 10 x 6
(para la cuenta anterior).
Finalmente luego de haber
trabajado con diversos
procedimientos, se presenta el
algoritmo convencional usando la
escritura de la resta.
Es requisito que los niños tengan
disponibles cálculos mentales x10, x100,
los productos hasta el 9, resta de números
redondos,…

61. Los niños de tercero a cuarto año lo utilizan de este modo:

62. Luego se les puede proponer
buscar el mayor número posible,
tratando de acortar la cuenta:

63. En un momento posterior se les enseña a
estimar la cantidad de cifras del cociente y a
escribir los lugares del mismo
Y por último se presenta el algoritmo convencional,
manteniendo la escritura de la resta.

64. LA DIVISIÓN EN EL PRIMER CICLO DE LA EGB
1º 2º 3º
Interpretación de los significados y usos de las cuatro operaciones básicas con
números naturales, elaborando e implementando estrategias de cálculo en forma
exacta y aproximada, produciendo y resolviendo situaciones problemáticas.
Estimación e interpretación de resultados de cálculos en forma mental, por escrito
y con uso de la calculadora, comprobando su razonabilidad y justificando los
procedimientos empleados.
Utilización de resultados numéricos conocidos y de las propiedades de los
números y las operaciones para resolver otros cálculos. Explicitación, por parte de
los alumnos, de las estrategias utilizadas.
Resolución de problemas de reparto y partición mediante diferentes
procedimientos.
Resolución de problemas correspondientes a diferentes significados de la división
(partición, reparto, organizaciones rectangulares, series proporcionales, etc.)
Dominio progresivo de variados recursos de cálculo que permitan realizar
divisiones: sumas sucesivas, restas sucesivas, aproximaciones mediante
productos, uso de resultados multiplicativos en combinación con restas, etc.
Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones apoyándose en resultados
conocidos, en propiedades del sistema de numeración o de las operaciones.
Construcción del algoritmo desplegado de la división a partir de los recursos
elaborados por los alumnos.

65. CONCLUSIONES
• Es preciso exponer a nuestros alumnos a variadas y
numerosas situaciones en las secuencias didácticas que
les permitan apropiarse de los CONCEPTOS.
• El trabajo con los ALGORITMOS debe ser posterior a la
adquisición de los conceptos. Ello permitirá a los
alumnos apropiarse de ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS y no la mera memorización de una
secuencia mecánica de pasos.
• El CAMPO NUMÉRICO de la resolución de problemas
debe ser inferior al trabajado en numeración, para que
el niño no pierda el control de los números y pueda
verificar, a través de la ESTIMACIÓN, la RACIONALIDAD
de los resultados.