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Las operaciones, los cálculos y los
problemas
AJR
Bibliografía: Apuntes de Taller “Las operaciones matemáticas”. Espacio
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Los pasos para presentar nuevos
conocimientos son:
• Presentación de la situación
• Estrategia de base
• Salto informacion...
• Este es el modelo de cómo presentar los
contenidos a nuestros alumnos, es decir,
debemos partir de una situación que per...
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• Tradicionalmente se han presentado primero
los cálculos y luego problemas de aplicación
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• No es necesario con...
• Desde esta nueva perspectiva, el objetivo es
favorecer la construcción de diferentes
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Algunas situaciones que permiten
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• Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 6. ¿Cuántas fi...
Análisis didáctico de los problemas
• ¿Hay complejización en la secuencia de situaciones?
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Información didáctica
• Clásicamente se ha definido la adición y la
sustracción como las acciones de “agregar” y de
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• Aunque las situaciones puedan expresarse con el
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• Es importante que el debate sobre la resolución de las
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Los problemas de estructura aditiva
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Situaciones que permiten conceptualizar
la multiplicación y la división
• Una araña tiene 8 patas. ¿Cuántas patas tendrán ...
• ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir
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• ¿Cuántos departamentos hay en este edificio?
• Una señora tenía 24 caramelos y los repartió
entre unos chicos, de tal manera que a todos les
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• ¿Hay complejización en la secuencia de situaciones?
• ¿Cuándo deben aparecer los pro...
Información didáctica
• Se plantean problemas multiplicativos a niños
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• En 2° año el trabajo en clase permitirá que los
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• Habitualmente los problemas de
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• Los problemas de organizaciones rectangulares
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• Los niños de 2° o 3° año, reconocen situaciones
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• Será interesante discutir con los niños el tema
de los restos, qué se hace con lo que sobra,
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• Otro aspecto importante a considerar es que no es lo
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• Es importante tomar conciencia de que es necesario
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Diferentes caminos….
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En el campo de problemas multiplicativos
encontramos según G.Vergnaud problemas en
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- Dos espacios ...
• Un espacio de medida: caramelos
• Relación entre dos cantidades: 4 y 12 ( medida en caramelos)
• Operador – escalar: 3
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¿Cuánto tendré que pagar por 4 ramos
de flores si cada uno cuesta $3?
 PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD
Relación entre serie...
 PROBLEMAS DE ORGANIZACIONES
RECTANGULARES
Las cantidades se presentan organizadas en filas y columnas
Este es el piso re...
 PROBLEMAS DE COMBINATORIA
Determinar la cantidad que resulta de combinar elementos de distintas
colecciones por medio de...
Bufanda blanca
Bufanda azul
Bufanda celeste
Guante blanco
Guante azul
3 pares de bufandas x 2 guantes = 6 combinaciones
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¿CÓMO Y CUÁNDO TRABAJAR LOS PROBLEMAS DE
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1º MOMENTO
¿QUÉ SIGNIFICA
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Un punto de partida para la
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En los dos días siguientes, las cantidades de bizcochitos horneados fueron 20 y 27.
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• Dominio progresivo de variados recursos de cálculo que
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Broitman e Itzcovich, proponen la siguiente secuencia de actividades
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Debemos recordar:
Abordar la construcción de los sentidos de la división a través de la resolución de
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1º MOMENTO
¿QUÉ SIGNIFICA
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LA DIVISIÓN EN EL PRIMER CICLO DE LA EGB
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CONCLUSIONES
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Las operaciones, los cálculos y los problemas

  1. 1. Las operaciones, los cálculos y los problemas AJR Bibliografía: Apuntes de Taller “Las operaciones matemáticas”. Espacio abierto “Matemática para todos”. Prof. Mónica Capone. Material de las jornadas del Programa “Todos pueden Aprender” 2011
  2. 2. Los pasos para presentar nuevos conocimientos son: • Presentación de la situación • Estrategia de base • Salto informacional • Democratización del conocimiento
  3. 3. • Este es el modelo de cómo presentar los contenidos a nuestros alumnos, es decir, debemos partir de una situación que permita a los niños poner en juego sus conocimientos previos, pero que estos sean insuficientes y necesiten utilizar nuevas herramientas para resolverlos (aquí es donde debe aparecer el nuevo concepto) y luego de que se haya aplicado esta herramienta en distintas situaciones y el alumno la conozca se la define. • Desde este enfoque, el trabajo con las operaciones debe enfocarse de la siguiente manera:
  4. 4. OPERACIÓN CONCEPTUALIZACIÓN SITUACIONESS PROBLEMA FORMALIZACIÓN ALGORITMO CÁLCULO MENTAL VARIADAS SECUENCIADAS CDO SE HA APLICADO EN MÚLTIPLES OCASIONES DEFINE, ABREVIA, SIMBOLIZA CÁLCULO PENSADO. CONTROL SOBRE LA SITUACIÓN ESTRATEGIA ECONÓMICA PROCESO REPETITIVO
  5. 5. • Tradicionalmente se han presentado primero los cálculos y luego problemas de aplicación similares. • No es necesario conocer el algoritmo para saber cuándo utilizarlo. • Reconocer el campo de utilización de una operación es un aprendizaje que ha quedado a cargo del alumno, es decir, no forma parte de lo que se consideraba aprender una operación.
  6. 6. • Desde esta nueva perspectiva, el objetivo es favorecer la construcción de diferentes significados posibles para las “operaciones”. • Para ello es necesario que los niños resuelvan y conozcan diferentes tipos de problemas, ya que una “operación” no sirve para resolver los de un solo tipo. • Los niños reconocen algunas operaciones más fácilmente en algunos tipos de problemas que en otros y será necesario abordar en la enseñanza aquellas situaciones donde experimenten más dificultad.
  7. 7. Algunas situaciones que permiten conceptualizar la suma y la resta • Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 6. ¿Cuántas figuritas tienen entre las dos? • Laura y Malena tienen juntas 11 figuritas. Si Laura tiene 5, ¿cuántas tiene Malena? • Laura y Malena tienen juntas $ 159. Si Laura tiene $ 56, ¿cuándo tiene Malena? • Laura tenía 5 figuritas, ganó 6. ¿Cuántas tiene ahora? • Laura ganó 6 figuritas, ahora tiene 11. ¿Cuántas tenía antes de jugar? • Laura tenía 6 figuritas. Después de ganar se quedó con 11. ¿ Cuántas ganó? • Laura tiene 7 figuritas. Malena tiene 13. ¿Cuántas más tiene que Laura? • Laura perdió 6 figuritas en el primer partido y en el segundo perdió 9. ¿Cuántas figuritas y perdió hoy? • Laura ganó seis figuritas en el primer partido. Entre el primero y el segundo partidos ganó 9 figuritas. ¿Qué pasó en el segundo partido?
  8. 8. Análisis didáctico de los problemas • ¿Hay complejización en la secuencia de situaciones? • ¿El tamaño de los números es una variable en los problemas? ¿por qué? • ¿Por qué creen que hay problemas de ganar que se resuelven con sustracciones y problemas de perder que se resuelven con adiciones? • ¿Es necesario saber hacer “las cuentas” para resolver los problemas? • ¿Hay problemas que los familiarizan con los números enteros (negativos)? ¿Es necesario esperar a séptimo año para trabajados?
  9. 9. Información didáctica • Clásicamente se ha definido la adición y la sustracción como las acciones de “agregar” y de “quitar” elementos de una colección. La didáctica de la matemática actualmente propone un amplio espectro de situaciones aditivas que deben abordarse para establecer el “campo conceptual” de la adición. La propuesta de Vergnaud es hacer una clasificación de problemas según estén involucradas medidas, estados relativos o transformaciones.
  10. 10. • Aunque las situaciones puedan expresarse con el mismo cálculo (5 + 3 = 8), las relaciones entre los números son diferentes. Aunque desde nuestro punto de vista matemático sean problemas equivalentes, no lo son desde el punto de vista de los niños. • El tamaño de los números que aparecen en las situaciones también es un condicionante importante. El campo numérico utilizado para el cálculo debe ser significativamente menor al campo numérico que se está estudiando. • Cuando los niños dominen la situación que se plantea en el problema será conveniente ampliar el campo numérico para que el procedimiento de contar ya no sea efectivo y deba ser sustituido por el cálculo.
  11. 11. • Es importante que el debate sobre la resolución de las situaciones en que nace y el análisis de las mismas, con el tiempo, permita a los niños categorizar los problemas que se resuelven más económicamente mediante la adición o los que presentan más economía utilizando la sustracción. • El abordaje de la definición de la resta podrá ser abordado en algunos casos a fines del primer año y en otros en segundo año, ya que para acceder a la misma debe haberse asumido plenamente la operación directa. • Esto no significa que la conceptualización de la operaciones equivale a la formalización de la misma, la conceptualización de los cuatro cálculos básicos (adición, sustracción, multiplicación y división), se comienza en el nivel inicial y se continuará durante toda la escolaridad.
  12. 12. Los problemas de estructura aditiva pertenecen a una familia y no se estudian por separado. Se sugiere: En 1° año: se abordan problemas de composición de medidas, transformación positiva. En 2° año: se enseñan problemas abordados en 1° año y se agregan transformación negativa con la incógnita en los diferentes lugares. En 3° año: se agregan la composición de dos transformaciones positivas y, En 4° año se aborda dos transformaciones (perder en ambas, ganar en ambas, perder y ganar en un juego) y las propuestas de trabajo con relaciones.
  13. 13. PROBLEMAS DE TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS Transformación Incógnita Estado Final Mf Incógnita Transformación T Incógnita Estado Inicial Mi T ( + ) Juan tenía 8 figuritas y ganó 15 ,¿cuántas figuritas tiene ahora? Juan tenía 8 figuritas y ahora tiene 23, ¿cuántas figuritas ganó? Juan tiene 23 figuritas. Si ganó 15, ¿cuántas tenía al principio? T ( - ) Marta salió de compras con $ 25 y ha gastado $ 18, ¿Con cuánto dinero regresó? Marta salió de compras. Tenía $ 25 y ahora tiene $ 7, ¿Cuánto dinero gastó? Marta tiene $ 7 luego de ir de compras. Si gastó $ 18, ¿con cuánto dinero salió?
  14. 14. Situaciones que permiten conceptualizar la multiplicación y la división • Una araña tiene 8 patas. ¿Cuántas patas tendrán 7 arañas? • ¿Cuánto pagó Leonardo por 9 lápices si cada uno le costó $ 3? • En dos paquetes iguales hay diez pastillas en total. ¿Cuántas habrá en cuatro paquetes? • Viviana ha repartido los 30 globos de su cumpleaños entre los ocho equipos que asistieron. ¿Cuántos le habrá dado a cada uno? • Viviana quiere repartir la mayor cantidad de globos de su cumpleaños entre los ocho chicos que asistieron, dándoles lo mismo a cada uno. Si los globos son 30, ¿cuántos le habrá dado a cada uno? • Ana quiere darle a cada una de sus amigas 5 semillas de girasol. Si tiene 45 semillas, ¿a cuántas amigas podrá darle?
  15. 15. • ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el piso de este patio? • ¿Cuántos departamentos hay en este edificio?
  16. 16. • Una señora tenía 24 caramelos y los repartió entre unos chicos, de tal manera que a todos les dio la misma cantidad. ¿A cuántos chicos pudo haberles dado caramelos? ¿Cuántos a cada uno? • Quiero alquilar motos para 9 personas. En cada moto pueden subir hasta 2 personas. ¿Cuántas motos tengo que alquilar? • Voy a comprar un helado de dos gustos. Si quiero combinar una fruta y un dulce, ¿cuántos helados diferentes puedo elegir? FRUTAS DULCES LIMÓN FRUTILLA DURAZNO DULCE DE LECHE CHOCOLATE
  17. 17. Análisis didáctico de los problemas • ¿Hay complejización en la secuencia de situaciones? • ¿Cuándo deben aparecer los problemas que implican dividir? • ¿Qué problemas implican combinaciones? • ¿Qué problemas implican organizaciones rectangulares?, ¿qué futuro concepto permiten abordar? • ¿Qué problemas que implican dividir se responden con el cociente? • ¿En qué problemas el contexto determina que la respuesta sea un número entero? ¿y un número racional? • ¿Qué variable didáctica hay que aplicar para que los niños no recurran al conteo?
  18. 18. Información didáctica • Se plantean problemas multiplicativos a niños que aún no saben multiplicar, con el fin de que establezcan puntos de contacto con la adición y las diferencias con ella. • Es importante proponer la resolución de problemas multiplicativos, que a pesar de ser situaciones novedosas para los niños, pueden ser resueltas con los recursos que cuentan hasta el momento.
  19. 19. • En 2° año el trabajo en clase permitirá que los niños puedan hacer evolucionar sus procedimientos de conteo a procedimientos de cálculo por medio de sumas. También podrán avanzar en la diferenciación de aquellos problemas de suma que no pueden ser resueltos por una multiplicación. • El tamaño de los números y la “redondez” de los mismos será una herramienta a utilizar por el docente para provocar el uso de procedimientos de cálculo en lugar de los procedimientos de conteo.
  20. 20. • Habitualmente los problemas de multiplicación remiten a problemas de proporcionalidad. Los problemas de proporcionalidad no corresponden al primer ciclo de la primaria, ni el momento para que los niños conozcan las propiedades de las proporciones, pero sí que las utilicen intuitivamente para resolver problemas, para que la formalización de las mismas cuando sea el momento sea a partir de algo que ellos ya utilizan.
  21. 21. • Los problemas de organizaciones rectangulares permiten que los niños reconozcan que en todas las líneas y columnas hay la misma cantidad de elementos. Esto permitirá mayor economía porque los niños pasarán del conteo a la suma de los elementos de las filas o las columnas. • En cuanto a los problemas en que hay que combinar diferentes colecciones, será necesario explicar el enunciado para que comprendan que significa “combinar todos con todos”. No tener un método que garantice la exhaustividad de la lista, provoca que encuentren varios de los casos, pero no la totalidad. Se podrá trabajar en la clase “cómo hacer para estar seguros de que pusieron todas las opciones”.
  22. 22. • Los niños de 2° o 3° año, reconocen situaciones de proporcionalidad o problemas de cuadriculado como un producto, pero no podrán hacerlo en el caso de la combinación de colecciones, en donde seguirán utilizando el conteo o la suma, y reconocerán a la multiplicación a posteriori de la resolución. • La presentación de problemas que impliquen dividir será desde el nivel inicial y a pesar de que a los niños les sean de alta complejidad, ya que deben comprender la información, tratar la información, organizar los datos, idear estrategias de resolución, etc.; con el tiempo podrán relacionarlos con los de multiplicación y comprenderlos como lo contrario de multiplicar.
  23. 23. • Será interesante discutir con los niños el tema de los restos, qué se hace con lo que sobra, trabajar sobre el significado de reparto equitativo. • Se debe promover la discusión acerca de si pueden o no partir la totalidad de los elementos y reflexionar sobre el carácter fraccionable de los objetos involucrados en la situación. A pesar de que los niños aún no hayan abordado sistemáticamente el tema de fracciones, están en condiciones de utilizar las nociones que poseen de las mismas.
  24. 24. • Otro aspecto importante a considerar es que no es lo mismo repartir que averiguar partes (problema del reparto de globos/ las semillas). • Es preciso que los niños tomen conciencia de la diversidad de soluciones posibles, como en el problema de reparto de caramelos. Es importante además de debatir sobre todas las respuestas, resaltar los mecanismos más económicos, para establecer que si multiplican no será necesario seguir haciendo reparticiones, pero sólo en 3° año podrán dejar de depender de las reparticiones y utilizar la multiplicación. • Es también importante señalar que este tipo de situaciones permitirá introducir los conceptos de múltiplos y divisores y luego también la presentación de la proporcionalidad inversa.
  25. 25. • A veces lo que sobra cambia todo el problema, como en el de alquiler de las motos. Y es necesario luego de la resolución individual, confrontar los resultados y permitir a los niños defender sus ideas, ya que es posible que algunos niños no se den cuenta de que es necesaria otra moto, o crean que no es posible alquilar una moto para otra persona. • Cuando los niños dominen el algoritmo de la división, será necesario volver sobre estas situaciones, para que tomen conciencia de que no alcanza “con hacer la cuenta” para resolverlo. Es necesario un paso más: analizar qué sucede con el resto. Este tipo de problemas se empieza a proponer en 3°año, pero cobra su sentido pleno en el segundo ciclo, cuando los niños operan con racionales y tienen que tomar decisiones vinculadas con el resto, según el contexto del problema.
  26. 26. • Es importante tomar conciencia de que es necesario dividir en problemas de proporcionalidad, como por ejemplo: “Compré 7 remeras iguales y todas costaron $84. Calcular el precio de una remera”. Estos problemas permiten analizar series proporcionales, y a diferencia de los de reparto no tienen resto. • También es importante plantear divisiones en organizaciones rectangulares, por ejemplo: “En un portero eléctrico hay 27 botones. Si hay tres departamentos por piso, ¿cuántos pisos hay en el edificio?”. En las primeras instancias seguramente los niños dibujarán los porteros agrupando los botones de a 3 y luego contando los pisos, luego de los tratamientos colectivos, es esperable que al final de 3° año comiencen a reconocerlo como un problema de multiplicación o de división.
  27. 27. De la adición a la multiplicación Diferentes caminos…. Calcular cuántas figuritas hay en 8 paquetes si en cada paquete hay 4 figuritas.
  28. 28. En el campo de problemas multiplicativos encontramos según G.Vergnaud problemas en - Un espacio de medidas - Dos espacios de medidas - Tres espacios de medidas
  29. 29. • Un espacio de medida: caramelos • Relación entre dos cantidades: 4 y 12 ( medida en caramelos) • Operador – escalar: 3 B1 X ..... B2 Andrés tiene 4 caramelos y Juan tiene el triple. ¿Cuántos caramelos tiene Juan? Andrés 4 Juan 12 x 3 UN SOLO ESPACIO DE MEDIDAS
  30. 30. ¿Cuánto tendré que pagar por 4 ramos de flores si cada uno cuesta $3?  PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Relación entre series de cantidades organizadas en tablas Dos espacio de medidas: flores – dinero Cuatro cantidades: 1 y 4 ( del espacio de medida: flores) 3 y x= 12 (del otro espacio de medida: dinero) Ramos de flores Dinero ($) 1 3 4 x= 3.4 DOS ESPACIOS DE MEDIDAS
  31. 31.  PROBLEMAS DE ORGANIZACIONES RECTANGULARES Las cantidades se presentan organizadas en filas y columnas Este es el piso rectangular de un patio. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el piso? 6 baldosas por fila x 4 baldosas por columna = 24 baldosas Dos espacio de medidas se combinan para dar lugar a un tercer espacio TRES ESPACIOS DE MEDIDAS
  32. 32.  PROBLEMAS DE COMBINATORIA Determinar la cantidad que resulta de combinar elementos de distintas colecciones por medio de diversas estrategias Si Natalia tiene una bufanda blanca, otra azul y otra celeste y un par de guantes blanco y otro par azul, ¿ de cuántas maneras diferentes puede combinarlos? Bufanda blanca Guantes blanco Bufanda Celeste Guantes azul Bufanda azul Guantes azul Bufanda blanca Guantes azul Guantes azul Bufanda Celeste Guantes blanco Bufanda azul Guantes blanco Guantes blanco bufanda Celestebufanda azulbufanda blanca bufanda guante 3 bufandas x 2 pares de guantes = 6 combinaciones
  33. 33. Bufanda blanca Bufanda azul Bufanda celeste Guante blanco Guante azul 3 pares de bufandas x 2 guantes = 6 combinaciones 3 + 3 6 2 + 2 + 2 = 6 DIAGRAMA DE ÁRBOL
  34. 34. ¿CÓMO Y CUÁNDO TRABAJAR LOS PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN EN EL PRIMER CICLO? 1° 2° 3° Resolución de problemas que involucran series proporcionales y organizaciones rectangulares mediante diferentes procedimientos: dibujos, conteo, sumas reiteradas, etc. Explicitación y comparación de las estrategias utilizadas Resolución de problemas correspondientes a diferentes significados de la multiplicación (series proporcionales, organizaciones rectangulares, combinatoria) por medio de variados procedimientos inicialmente y luego por medio de escrituras multiplicativas. Interpretación de los significados y usos de la multiplicación con números naturales, elaborando e implementando estrategias de cálculo en forma exacta y aproximada, produciendo y resolviendo situaciones problemáticas.
  35. 35. ¿Cuándo trabajar con el algoritmo de la multiplicación????
  36. 36. Analizamos recursos de cálculos para obtener resultados de los productos.. Discutimos procedimientos. . Mis alumnos utilizan intuitivamente la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma… Trabajamos la resolución de problemas… Multiplican por la unidad seguida de ceros!!! Solo lo podrán entender si……
  37. 37. 1º MOMENTO ¿QUÉ SIGNIFICA APRENDER A DIVIDIR? ¿CÓMO PODEMOS INTRODUCIR LA DIVISIÓN? ¿¿¿¡¡¡NO ERA QUE TENÍAMOS QUE SER UNIDOS!!!???
  38. 38. Un punto de partida para la enseñanza de la noción de división • “La enseñanza de la división como noción puede iniciarse desde primer año de la EGB.” • “Los problemas de división pueden ser resueltos por una variedad de procedimientos y operaciones.” • “La división es una operación que permite resolver una gran variedad de problemas.”
  39. 39. • “El dominio del algoritmo no garantiza reconocer sus ocasiones de empleo en distintos tipos de problemas.” • “El algoritmo es solamente un recurso de cálculo – y no necesariamente el principal – que los niños deben aprender en la EGB.” • “El estudio de la división es de tal complejidad que exige muchos años de la escolaridad”.
  40. 40. Se puede comenzar a trabajar con la noción de división desde primer grado, haciendo uso de variedad de estrategias de resolución. ¿CUÁNDO SE DEBE INICIAR EL ESTUDIO DE LA NOCIÓN DE DIVISIÓN? Un Sr. Tiene 8 caramelos y se los da a dos niños. ¿Cuántos les da a cada uno?
  41. 41. El estudio sistemático de la división puede iniciarse a fines de segundo grado, y desarrollarse a lo largo de tercero e incluso cuarto grado. ¿ EMPEZAR A TRABAJAR CON LA DIVISIÓN?
  42. 42. Realmente es importante el dominio del cálculo mental y de las propiedades del sistema de numeración… EVOLUCIÓN DE LOS PROCEDIMIENTOS Debo trabajarlos simultáneamente Si mis alumnos disponen de ciertos resultados memorizados y de los recursos para usarlos ayudará a que le den importancia al cálculo mental, y a la utilidad de seguir incorporando nuevos resultados y nuevos recursos.
  43. 43. ¿Si se quiere quedar 2 días más, cuántas monedas necesitará? Ya pasaron 3 días desde que llegó al puerto, ¿Cuántas monedas tiene que entregar? El pirata Barbanegra se refugia en el puerto y tiene que pagar 8 monedas de oro por día. Tiene 50 monedas, ¿cuántos días podrá quedarse? Un problema ejemplificador
  44. 44. ¿QUÉ RELACIÓN EXISTE ENTRE DIVIDENDO, DIVISOR, COCIENTE Y RESTO? Una de las características específicas de la división, es que, el resultado está compuesto por dos números: el cociente y el resto. Una mejor comprensión de estos elementos y de las relaciones que se establecen entre ellos y el dividendo y el divisor, permitirá un mayor dominio por parte de los alumnos y control de sus producciones.
  45. 45. En la panadería de Doña Mercedes, embolsan los bizcochitos de queso de a 6. Todos los días, la empleada anota cuántos bizcochitos se hornearon, cuántas bolsitas armó y cuántos bizcochitos sobraron. Completá las anotaciones de la empleada: Cantidad de bizcochitos horneados Cantidad de bolsitas Cantidad de bizcochitos que sobraron 25 18 28 34
  46. 46. En los dos días siguientes, las cantidades de bizcochitos horneados fueron 20 y 27. ¿Podrá la empleada usar los datos que ya tiene en la tabla para encontrar los nuevos sin necesidad de hacer nuevamente los cálculos? ¿Cuál es el máximo de bizcochitos que pueden sobrar?
  47. 47. Estas anotaciones están incompletas. Averiguá lo que corresponde y completá los lugares vacíos: Cantidad de bizcochitos horneados Cantidad de bolsitas Cantidad de bizcochitos que sobraron 6 2 4 3 42 0 5 ¿Todos dieron las mismas respuestas?
  48. 48. Contenidos sobre la división en 1º ciclo • Resolución de problemas de reparto y partición mediante diferentes procedimientos (dibujos, conteo, sumas o restas reiteradas) en primero y segundo año. • Resolución de problemas correspondientes a diferentes significados de la división (partición, reparto, organizaciones rectangulares, series proporcionales, iteración, etc.) por medio de variados procedimientos (sumas o restas reiteradas, multiplicaciones) en segundo y tercer año.
  49. 49. • Dominio progresivo de variados recursos de cálculo que permitan realizar divisiones: sumas sucesivas, restas sucesivas, aproximaciones mediante productos, uso de resultados multiplicativos en combinación con restas, etc., entre segundo y tercer año. • Utilización de resultados numéricos conocidos y de las propiedades de los números y las operaciones para resolver otros cálculos. Explicitación, por parte de los alumnos, de las estrategias utilizadas. Comparación posterior de las mismas, en los tres primeros años. • Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones apoyándose en resultados conocidos, en propiedades del sistema de numeración o de las operaciones, en segundo y tercer año.
  50. 50. Broitman e Itzcovich, proponen la siguiente secuencia de actividades para trabajar la división en 3º grado: • Resolución de problemas de división y comparación y análisis de las estrategias utilizadas. Difundir la idea de que todos estos problemas se pueden resolver sumando, restando, multiplicando, etc. Análisis de escrituras diversas para registrar los cálculos. • Dominio de un conjunto de cálculos multiplicativos (todos los relativos a la tabla pitagórica y multiplicaciones por la unidad seguida de ceros: 8x20; 45x1.000; 6x50, etc.) • Resolución de cálculos mentales “horizontales” de divisiones con y sin resto (1.000 : 4; 3.000 : 6; 4.500 : 9; etc. y 51: 10 = 5 y sobra 1; 43 : 4 =10 y sobra 3). • Presentación de un algoritmo “desplegado” (con multiplicaciones, restas y tratando globalmente el número, sin descomponerlo).
  51. 51. Debemos recordar: Abordar la construcción de los sentidos de la división a través de la resolución de problemas y la reflexión en torno a los mismos. Instalar como objeto de estudio los problemas de la división aún cuando los niños no dispongan todavía de procedimientos expertos para resolverlos. Presentar variedad de problemas, pues la división es un recurso que sirve para resolver diferentes tipos de situaciones. Proponer luego de una instancia de resolución individual la comunicación y el debate sobre los resultados y los procedimientos incluyendo errores y procedimientos poco económicos. Trabajar posteriormente a la resolución de problemas en forma colectiva, enfatizando las conclusiones a partir de lo realizado, para que dicho conocimiento empiece a tornarse disponible para nuevos problemas. Favorecer la difusión de estrategias producidas por los niños para que sean posibles de ser apropiadas por todos. Abordar la enseñanza de la división a lo largo de varios años. Enseñar diferentes recursos de cálculo algorítmico y mental.
  52. 52. 1º MOMENTO ¿QUÉ SIGNIFICA APRENDER A DIVIDIR?HACIA LA CONSTRUCCIÓN DEL ALGORITMO
  53. 53. UN ALGORITMO INTERMEDIO propuesto por BROUSSEAU Para promover recursos de cálculo más “transparentes” ¿Por qué un algoritmo intermedio??
  54. 54.  trabaja con la globalidad de los números ( no los separa en unidades, decenas y centenas), lo cual le permite al alumno tener una idea aproximada del cociente. los alumnos van repartiendo por partes. Al principio utilizan distintas multiplicaciones para la búsqueda del cociente; luego se les puede proponer que busquen el mayor factor posible para acortar la cuenta, por ejemplo, hacer 10 x 6 (para la cuenta anterior). Finalmente luego de haber trabajado con diversos procedimientos, se presenta el algoritmo convencional usando la escritura de la resta. Es requisito que los niños tengan disponibles cálculos mentales x10, x100, los productos hasta el 9, resta de números redondos,…
  55. 55. Los niños de tercero a cuarto año lo utilizan de este modo:
  56. 56. Luego se les puede proponer buscar el mayor número posible, tratando de acortar la cuenta:
  57. 57. En un momento posterior se les enseña a estimar la cantidad de cifras del cociente y a escribir los lugares del mismo Y por último se presenta el algoritmo convencional, manteniendo la escritura de la resta.
  58. 58. LA DIVISIÓN EN EL PRIMER CICLO DE LA EGB 1º 2º 3º Interpretación de los significados y usos de las cuatro operaciones básicas con números naturales, elaborando e implementando estrategias de cálculo en forma exacta y aproximada, produciendo y resolviendo situaciones problemáticas. Estimación e interpretación de resultados de cálculos en forma mental, por escrito y con uso de la calculadora, comprobando su razonabilidad y justificando los procedimientos empleados. Utilización de resultados numéricos conocidos y de las propiedades de los números y las operaciones para resolver otros cálculos. Explicitación, por parte de los alumnos, de las estrategias utilizadas. Resolución de problemas de reparto y partición mediante diferentes procedimientos. Resolución de problemas correspondientes a diferentes significados de la división (partición, reparto, organizaciones rectangulares, series proporcionales, etc.) Dominio progresivo de variados recursos de cálculo que permitan realizar divisiones: sumas sucesivas, restas sucesivas, aproximaciones mediante productos, uso de resultados multiplicativos en combinación con restas, etc. Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones apoyándose en resultados conocidos, en propiedades del sistema de numeración o de las operaciones. Construcción del algoritmo desplegado de la división a partir de los recursos elaborados por los alumnos.
  59. 59. CONCLUSIONES • Es preciso exponer a nuestros alumnos a variadas y numerosas situaciones en las secuencias didácticas que les permitan apropiarse de los CONCEPTOS. • El trabajo con los ALGORITMOS debe ser posterior a la adquisición de los conceptos. Ello permitirá a los alumnos apropiarse de ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS y no la mera memorización de una secuencia mecánica de pasos. • El CAMPO NUMÉRICO de la resolución de problemas debe ser inferior al trabajado en numeración, para que el niño no pierda el control de los números y pueda verificar, a través de la ESTIMACIÓN, la RACIONALIDAD de los resultados.

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