1. 1.5 INTEGRAL DE LA POTENCIA DE UNA SUMA
La integral de la potencia de una función se obtiene aplicando:
1
; 1
1
n
n v
v dv c n
n

  

Ejercicios propuestos
3
2
2 2
3 3 2
2
1
2 22
1
2 2
2
3
( )
2) ( ) ( )
3
;
6 1
4) 6 (5 3 )
( 8) 5 3
5 3 ; 6
2
6) 2 ( ) 2
( )
; 2
1 1
8) ( ) ( )
2 2 3
;
10
a bx
a bx b dx c
v a bx dv bdx
xdx
x x dx c
x x
v x dv xdx
xdx
x a x dx a x c
a x
v a x dv xdx
a bt
bdt a bt bdt a bt c
v a bt dv bdt



   
   
   
 
  

     

   

    
  

 
 
 
1
2 22
2
(2 3) 1 1
(2 3)(s 3 ) 3
4 24 3
s ds
s s ds s s c
s s

     

 

2. Casos especiales
2 3 2 4
2 3 2 3
2
2 2
2 2
2
1 1
3 2 3 2 3 32 2
3 2
1
2
(7 1) 1 1 (7 1)
2) (7 1) (7 1) 14
2 2 28 112
7 1; 14
1 (2 )
4) (2 ) 2 (2 )
2 4
2 ; 2
1 2
6) ( 2) ( 2) 3 ( 2)
3 9
2; 3
8) (4 ) 2
x x
xdx x xdx x xdx c
v x dv xdx
x
x x dx x x dx c
v x dv xdx
x x dx x x dx x c
v x dv x dx
x d
 
     
  

    
  
     
  
 
  
 
 
1
32
1
2 2 2 32
2
2 2 2 2
2 2 2
2
12
2 3 2
3
4
2 (4 ) (4 )
3
4 ;
1 1
10 3 2 4 (3 2 ) (3 2 )
4 6
3 2 ; 4
3 3 3
12 3 ( 3) 2 ( 3)
( 3) 2 2( 3)
3; 2
2 2
14) 2 ( )
3
x x dx x
v x dv dx
u u du u u du u c
v u dv udu
xdx
x dx x x dx c
x x
v x dv xdx
x dx
x a bx dx
a bx


      
   
        
   

     
 
  
  

 
 
  
 
1
2 3 32
3 2
1 1
2 2
2
2
4 2
4
3 ( )
3
: 3
1
16) (1 ) 2 (1 ) 4 1
2 2 2 2
1
2
1
1 ;
2 2
4
18)
( 2)
20
bx a bx dx a bx c
b b
v a bx dv bx dx
dv v v v
dv dv c
v
v
v dv dv
x x
dx
x
x x dx

 
   
  
         

   


 

  



3. 1.6 INTEGRAL DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Una función exponencial es una potencia cuyo exponente es variable. En el
presente curso nos referimos a dos tipos de funciones:
Cuando la base es constante y el exponente es variable. Se expresa de manera
general
u
a y su integral queda definida por la expresión:
lna
v
v a
a dv c 
Cuando la base es la constante e (cuyo equivalente es el número 2.7182…) y el
exponente es variable; se expresa de manera general
v
e y su integral queda
definida por la siguiente expresión:
v v
e dv e c 

4. Ejercicios propuestos
2
2 2
2
2 2
2
2
5
5
2
2
4 4
4 4
1 8
2) 8
2 ln8
3
4) 3 5
ln
1
6) 2
2 2ln
; 2
1 10
8) 10 10 2
2 2ln10
; 2
1 1
10 7 7 4
7 4 7 (4ln 7)
4 ; 4
12) 5
x
x
x
x
x
x x
x H
x H x H
x x
x x
dx c
a
a dx c
a
ba
ba xdx ba xdx c
a
v x dv xdx
xdx xdx c
v x H dv xdx
dx
dx dx c
v x dv dx
e

 
 
 

  
  
 
  
  
     
   


 
 
  
2
2 2
1 1
2 2
1
2
1 1
2 2
1
2
1 5
5 2
2 2
2 ; 2
1 5
14) 5 5
;
1
16) ( ) 2 ( ) 2
2
1
;
2
1
18) 2 2
2
1 1
;
2 2
2
20) (2 )
t
t t
ay
ay ay
x
x x x
x x
x x
x x
x
e
dt e dt c
v t dt dt
e
e dy e ady c
a a
v ay dv ady
e
dx e x dx e x dx e c
x
x x dv x dx
e dx e dx e dx e c
v x dv dx
e
dx e
x
 

  
 
  
 
     
  
   
 

 
 
  
  

1 1
2 2
1
2
2 2 4 2 4 2
2
2 2 2
1 2(2 )
( ) 2 (2 )
2 ln(2 )
1
;
2
1
22) ( 3) 6 9 3 9
4
4 1 2 4
24) 4 4 2 4
2
x
x
x x x x x
x
x x x
x x x x
x xx
e
x dx e x dx c
e
v x dv x dx
e dx e dx e dx dx e e x c
e
dx e e dx e dx e e dx e dx e dx c
e ee
 

 
   
  
 
       

           
 
   
      

5. 1 1
2 2
1
2
2 2 2
1
2) 2 2ln sec
2 2 2 2
1
;
2 2
3 3
4) 3 2 3 2 2 2 ln 2
2 2
2 ; 2
1
6) (x) 2 ( ) 2ln
2
1
;
2
3 2 3
8) sec sec ln sec
3 2 3 3 2 3
x x x
tg dx tg dx c
x
v dv dx
ctg xdx ctg xdx ctg xdx sen x c
v x dv dx
ctg x
dx ctg x dx ctg x x dx sen x c
x
v x dv x
x x x
xdx xdx
 

  
 
   
 
   
 
 
 
  
  

2
2
3
2
;
3 3
1 1
10) sec sec ln ln sec
ln ln
; ln
12) 2csc(3 2 ) ln csc(3 2 ) ctg(3 2 ) c
3 2 ; 2
1 1
14) (sec ) 2 sec 2 2ln sec 2ln c
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x x
x
tg c
x
v dv xdx
a a dx a a adx a tga c
a a
v a dv a a
x dx x x
v x dv dx
x x x x x x
tg dx dx tg dx tg
 
 
   
 
      
   
     

 

  os
2
1
;
2 2
x
c
x
v dv dx

 

1.7 INTEGRALES EN QUE INTERVIENES LA TANGENTE, COTAGENTE,
SECANTE Y COSECANTE.
Las integrales a las que nos referiremos en este capítulo están dadas por las
siguientes expresiones:
ln ;ln sec
ln
sec ln sec
csc ln csc
tgvdv cosv c v c
ctgvdv senv c
vdv v tgv c
vdv v ctgv c
   
 
  
  




Ejercicios propuestos

6. 2do caso Cuando el integrando es una fracción que tiene la forma
dv
v
Ejercicios propuestos
2
2
2 1
2) ln 3 cos2
3 cos2 2
3 cos2 ; 2 2
csc
4) ln 3
3
3 ;dv csc
sen xdx
x c
x
v x dv sen xdx
u
du ctgu c
ctgu
v ctgu udu
   

   
  

  


3er caso
Algunas veces para integrar fracciones que contienen en su denominador la
función trigonométrica de una variable y en su numerador el diferencial de la
variable, para integrarse deberá primeramente factorizarse, enseguida sustituirla
por su identidad recíproca y después aplicar la fórmula de integración
correspondiente.
Ejercicios propuestos
2
2 2 2
2
2
1 1
2 2
1
2
2) ( ) ln cos( )
( )
;
1
4) csc ( ) 2 csc ( ) 2 ln csc cot
2
1
;
2
1 1
6) 2 ln cos
2 2
; 2
x
x x x
x
x
b
dt btg a bt dt a bt c
ctg a bt
v a bt dv bdt
a
dx a x x dx a x x dx a x x c
xsen x
v x dv x
xe
dx xtge dx xtge dx e c
ctge
v e dv xdx
 

       

   
    
 
    
 
 
  
  
1.8 INTEGTALES QUE CONDUCEN A LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En este apartado nos referiremos a las integrales que conducen a las funciones
trigonométricas, principalmente a las integrales de los diferenciales de las
funciones trigonométricas que están dadas por las siguientes expresiones y que
se obtienen a partir de sus derivadas.

7. 2
2
cosv
cos
sec
csc
sec sec
csc csc
dv senv c
senvdv v c
vdv tgv c
vdv ctgv c
vtgvdv v c
vctgvdv v c
 
  
 
  
 
  






Ejercicios propuestos
2 2 2
2
12
2 2
1
2) cos 2 cos 2
2 2 2 2
1
;
2 2
1 1
4) cos(1 ) 2cos(1 ) xdx (1 ) c
2 2
1 ; 2
2 4 1 4
6) ( ) ( ) cos( )
3 2 3 2 2 3 2
1 1
;
2 2
csc (1 )
8) csc (1 )( )
x x x
dx dx sen c
x
v dv dx
x xdx x sen x
v x dv xdx
x x x
sen a dx sen a dx a c
v dv dx
x
dx x x dx
x

   
 
      
  
       
 

  
 
 
 

1
2 2
1
2
2 2
1
2 csc (1 )( ) 2 (1 )
2
1
;
2
10) sec
;
1
12) ( 4 sec ) 4 sec cos4 2ln sec
2 2 4 2
2 2 2
14) 3 3 3
3csc3 3 9
x x x x
x x
x x dx ctg x
v x dv x dx
sene tge e dx e c
v e dv e dx
y y y
sen y tg y dy sen ydy tg dy ydy y tgy c
du
sen udu sen
u


   
 
    
 
  
  
         
 
 

   
 
2
cos3
9
udu u c  
Caso especial
Para la integración de algunas expresiones racionales trigonométricas, cuyo
denominador es un binomio que no admite alguna sustitución, deberá multiplicarse
tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador y
enseguida hacer las operaciones y sustituciones necesarias.

8. Ejercicios propuestos
2
2 2 2
2 2
2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1
2) 2 2 2 cos2 ( 2 )
1 cos2 1 cos2 1 cos 2 2 2
1 1 1
2 2csc 2 2cos2 ( 2 ) cot 2 cot 2 csc2
2 2 2
5 1 2
4)
1 2 1
dx x x x dx
dx dx x sen x dx
x x x sen x sen x
xdx x sen x dx x c x x c
sen x
dx sen x
sen x


     
           
 
           


    
 

2
2 2
2 2
1 2 1
5 5 2 ( 2 )
2 cos 2 cos 2
1 1 5 5 1 5 5
5 sec 2 2 2 ( 2 ) 2 2 2
2 2 2 2 cos2 2 2
sen x dx
dx sen x cos x dx
sen x x x
xdx sen x cos x dx tg x c tg x sen x c
x


   
        
 
          
  
 