Dinámica

1. Worksheet 1: Cinemática de la Partícula
1. Una partícula de masa 𝑚 y ubicada en 𝑥0 > 0 se mueve desde el reposo un campo de fuerzas
atractivo de la forma 𝑓 = −𝑘/𝑥3
, donde 𝑘 es una constante positiva. Muestre que el tiempo que le
toma a la partícula alcanzar el origen es
𝑡0 = √
𝑚𝑥0
4
𝑘
2. Una fuerza 𝑓 = −𝑓0 𝑒−𝑥/𝜆
, (con 𝑓0 y 𝜆 constantes positivas) actúa sobre una partícula que está
inicialmente en 𝑥0 = 0 y se mueve con velocidad 𝑣0 > 0. Determine su velocidad 𝑣 = 𝑣(𝑥) y
dibuje las tres posibles gráficas de 𝑣 = 𝑣(𝑥).
3. Hallar la posición 𝑥(𝑡) y la velocidad 𝑣(𝑡) de una partícula de masa 𝑚 que está sujeta a una fuerza
de fricción (una fuerza de arrastre o retardante) proporcional a la velocidad.
4. Hallar la posición 𝑥(𝑡) y la velocidad 𝑣(𝑡) de una partícula de masa 𝑚 que está sujeta a una fuerza
de fricción (una fuerza de arrastre o retardante) proporcional al cuadrado de la velocidad.
5. Determinar la posición 𝑥(𝑡) y la velocidad 𝑣(𝑡) de una partícula de masa 𝑚 que es proyectada
verticalmente hacia arriba con velocidad inicial 𝑣0 en un campo gravitacional uniforme y sujeta a
una fuerza de fricción proporcional a la velocidad.
6. Una partícula de masa 𝑚 está sujeta a una fuerza de restitución unidimensional 𝑓𝑟 = −𝑘𝑥 (𝑘 es una
constante positiva), y a una fuerza de fricción proporcional a la velocidad 𝑓𝑓 = −𝛼𝑣 (𝛼 es una
constante positiva). Determine la posición 𝑥(𝑡) en términos de 𝑚, 𝑘,
y las condiciones iniciales 𝑥0 y 𝑣0.
7. Considere una partícula de masa 𝑚 cuyo movimiento comienza desde el reposo en un campo
gravitacional constante. Si una fuerza resistiva proporcional a la masa por el cuadrado de la
velocidad (i.e., 𝑘𝑚𝑣2
) está presente, muestre que la distancia s que recorre la partícula cuando esta
se acelera de 𝑣0 a 𝑣1 está dada por
𝑠 =
1
2𝑘
ln [
𝑔 − 𝑘𝑣0
2
𝑔 − 𝑘𝑣1
2]
8. Un bote con velocidad inicial 𝑣0 es lanzado sobre un lago. El bote se desacelera en el agua debido
a una fuerza de la forma 𝑓 = −𝛼𝑒 𝛽𝑣
. Halle las ecuaciones de movimiento y una expresión para
𝑣(𝑡). Calcule el tiempo transcurrido y la distancia recorrida por el bote hasta que este se detiene.

2. 9. Un proyectil es disparado con una velocidad 𝑣0 tal que pasa por dos puntos ambos a una altura ℎ
arriba de la horizontal. Mostrar que, si el arma es ajustada para obtener máximo alcance, la
separación de los puntos es
𝑑 =
𝑣0
𝑔
√𝑣0
2
− 4𝑔ℎ
10. Un proyectil es lanzado con velocidad inicial 𝑣0 con un ángulo de elevación 𝛼
sobre una colina con ángulo 𝛽 (𝛼 > 𝛽). Muestre que el proyectil colisionará con la colina a una
distancia
𝑑 =
2𝑣0
2
cos 𝛼 sin(𝛼 − 𝛽)
𝑔 cos2 𝛽
11. Considere una partícula de masa 𝑚, la cual se encuentra suspendida verticalmente de un resorte de
constante elástica 𝑘. Asuma que la masa está restringida a moverse únicamente de forma vertical y
que está sujeta a la fuerza de gravedad. Halle las ecuaciones de movimiento de la masa 𝑚.
12. Considere un collar de masa 𝑚 deslizándose sobre un eje sin fricción, como se muestra en la figura.
El collar está conectado a un resorte de constante 𝑘, que a su vez está unido por el otro extremo en
punto pivote 𝑂 a una distancia 𝑙 del eje. La longitud sin estirar del resorte es 𝑙. Hallar la ecuación
de movimiento del collar
13. Para simular las condiciones de gravedad cero del espacio, la NASA normalmente realiza vuelos
en un avión sobre una trayectoria parabólica. En la cima de la trayectoria, la gravedad parece
desaparecer y todo en la cabina flota por alrededor de 30𝑠. Considere tal trayectoria parabólica
dada por 𝑦 = −𝑐𝑥2
. Mientras el avión está volando en la trayectoria parabólica, un observador en
el avión está estacionario, es decir, el observador siente que la fuerza normal 𝑁 se cancela con el
peso. En la parte superior de la parábola, cuando el observador comienza a flotar, la fuerza normal
desaparece y el observador (y el avión) están en caída libre como si estuvieran en órbita. Hallar la

3. aceleración como función de la velocidad 𝑣 del avión, la cual se puede asumir que es constante, y
la forma 𝑐 de la parábola. Hallar una expresión para 𝑐 en términos de 𝑣, de tal manera que las
condiciones de gravedad cero se alcanzan en la cúspide de la parábola.
14. Considere el péndulo simple conectado con un resorte de constante 𝑘, como se muestra en la figura.
El resorte no se dobla ni se tuerce. Hallar las ecuaciones de movimiento
15. Suponga que un bateador batea una pelota de beisbol, la cual abandona el bate con una velocidad
𝑣0 con un ángulo 𝜃0 con la horizontal, como se muestra en la figura. Asumiendo que la bola
inicialmente está a una altura ℎ0 sobre el suelo y no hay resistencia del aire. ¿Cuán alto y cuán lejos
va la pelota?
16. Una masa 𝑚 está sobre un plano inclinado con un ángulo 𝜃, como se muestra en la Figura.
Conectada a la masa está un resorte de constante 𝑘, el cual está fijado en la parte superior del plano
como se muestra en la Figura. Asumiendo un coeficiente de fricción 𝜇, hallar la ecuación de
movimiento para este sistema usando coordenadas cartesianas en el marco de referencia 𝒜.
Resolver la ecuación de movimiento asumiendo que no hay fricción, con condiciones iniciales
𝑥(0) = 𝑥0 y 𝑥̇(0) = 𝑥̇0.

4. 17. Considere una masa 𝑚 atada al extremo de una cuerda de longitud 𝑙. Un extremo de la cuerda se
encuentra fijo. Si la masa viaja a velocidad constante 𝑣0 en un círculo centrado en el extremo fijo
de la cuerda (con la cuerda tensa), ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta de la masa?
18. La aceleración de la gravedad puede ser medida por medio de la proyección hacia arriba de un
cuerpo y midiendo el tiempo que le toma a este pasar a través de dos puntos en ambas direcciones.
Muestre que si el tiempo que le toma al cuerpo pasar la línea horizontal 𝐴 en ambas direcciones es
𝑇𝐴 y el tiempo que le toma pasar por una segunda línea 𝐵 en ambas direcciones es 𝑇𝐵, entonces,
asumiendo que la aceleración es constante, su magnitud es: 𝑔 =
8ℎ
𝑇 𝐴
2−𝑇 𝐵
2.
19. Un atleta está ubicado en la cima de una colina con pendiente hacia abajo formando un ángulo 𝜙.
¿A qué ángulo 𝜃 con respecto a la horizontal se debería arrojar una roca de tal manera que esta
tiene su máximo alcance?

5. 20. Un tejado puntiagudo es simétrico y subtiende un ángulo recto, como se muestra en la Figura.
Ubicado a una altura ℎ por debajo del pico, ¿con qué velocidad inicial debe arrojarse una bola de
tal manera que pasa justo sobre el pico y golpea el otro lado del tejado a la misma altura?
21. Una partícula de masa 𝑚 de desliza sin fricción sobre el lado interior de un cono. El eje del cono
es vertical, y la gravedad se dirige hacia abajo. El ángulo del vértice del cono es 𝜃, como se muestra
en la figura. La trayectoria de la partícula es circular en un plano horizontal. La velocidad de la
partícula es 𝑣0. Hallar el radio de la trayectoria circular en términos de 𝑣0, 𝑔 y 𝜃.

6. 22. Un disco rota con velocidad angular 𝜔, como se muestra en la figura. Dos masas, 𝑚 𝐴 y 𝑚 𝐵, se
deslizan sin fricción en una ranura que pasa a través del centro del disco. Las masas están
conectadas por medio de una cuerda ligera de longitud 𝑙 y son mantenidas en esa posición
inicialmente por un cerrojo, con la masa 𝑚 𝐴 a una distancia 𝑟𝐴 del centro. En 𝑡 = 0 el cerrojo es
removido y las masas son libres de deslizarse. Hallar 𝑟̈𝐴 inmediatamente después de que el cerrojo
es removido en términos de 𝑚 𝐴, 𝑚 𝐵, 𝑙, 𝑟𝐴 y 𝜔. Desprecie la fuerza de la gravedad.
23. Un bloque reposa sobre una cuña que está en una superficie horizontal. El coeficiente de fricción
estática del bloque sobre la cuña es 𝜇. La gravedad está dirigida hacia abajo. El ángulo 𝜃 de la cuña
es tal que tan 𝜃 < 𝜇. La cuña es acelerada horizontalmente a una tasa 𝑎. Hallar los valores máximo
y mínimo de a para que el bloque permanezca fijo sobre la cuña.
24. Una cuenta de masa 𝑚 es libre de deslizarse sobre una varilla delgada. La varilla rota en el plano
alrededor de un extremo con una velocidad angular constante 𝜔. Mostrar que el movimiento está
dado por 𝑟 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡
+ 𝐵𝑒 𝛾𝑡
, donde 𝛾 es una constante que debe ser calculada y 𝐴 y 𝐵 son
constantes que dependen de las condiciones iniciales. Mostrar que para una elección particular de
las condiciones iniciales es posible obtener una solución tal que 𝑟 decrece continuamente en el
tiempo, pero para cualquier otra elección, 𝑟 se incrementará eventualmente. Desprecie la
aceleración de la gravedad.

7. 25. Una masa 𝑚 atada a una cuerda gira alrededor del orificio de un anillo, como se muestra en la
figura. Inicialmente la masa está a una distancia 𝑟0 del centro y está girando con una velocidad
angular 𝜔0. La cuerda es jalada con velocidad constante 𝑣 en 𝑡 = 0 de tal manera que la distancia
radial de la masa decrece. Obtener una ecuación diferencial para 𝜔 y resolverla. Halle también la
fuerza necesaria para jalar la cuerda.