Este documento describe un estudio sobre los efectos no lineales de la adsorción de humedad en el chocolate. Se encontró que un modelo no lineal que permite que el coeficiente de difusión varíe con la concentración de humedad describe mejor los datos experimentales que un modelo de difusión lineal. Los parámetros del modelo no lineal se ajustaron de manera independiente para diferentes niveles de humedad relativa atmosférica, proporcionando una buena descripción de los datos de adsorción de humedad publicados.

1. Universidad de Sonora
Departamento de ingeniería química y metalurgia
“Efectos no lineales de la
adsorción de humedad del
chocolate”
Yaneli Cristina Covarrubias Martínez
a 22 de Agosto de 2012

2. Non-linear effects in moisture
adsorption by chocolate
Antonio C. B. Antunes & Leila J.
Antunes
Instituto de fisica da Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Engenharia Nuclear-CNEN

3. Índice

4. Índice
o Resumen.
o Introducción.
o Métodos.
o Solución a la ecuación de difusión lineal para el experimento de
adsorción.
o Aproximación a la solución de una ecuación no lineal de difusión.
o Resultados.
o Conclusiones.

5. Resumen

6. Se muestra que la adsorción de humedad por una película de
chocolate se describe mejor por una ecuación no lineal de
difusión.
Se encontró una solución analítica aproximada y se
determinaron los parámetros al ajustar esta solución a los
datos experimentales.
Un solo experimento de adsorción puede ser utilizado para
determinar las propiedades de transmisión de humedad del
material, reduciendo significativamente el esfuerzo requerido
para obtener resultados.

7. Introducción

8. Introducción
o Las propiedades de transferencia de humedad en materiales
comestibles generalmente son determinados por un
experimento de copa.
o Para obtener el coeficiente de difusión del vapor de agua a
través de la película, la solución de la ecuación de difusión
se compara con los valores obtenidos por la transferencia de
humedad de la película. (Rumsey & Krochta, 1994).

9. Introducción
Para resolver la ecuación diferencial parcial de difusión son
necesarias las condiciones iniciales y las limite.
o Inicial: es la concentración de humedad inicial de la
película, esta determinada por el proceso de fabricación
de la película.
o Limite: valores de concentración de humedad de ambas
superficies de la película.
Experimento de adsorción.
Se demostrara que el experimento de adsorción es suficiente.

10. Introducción
Experimento de adsorción:
Consiste en medir el contenido de humedad de una película
del mismo material expuesto a una atmósfera húmeda hasta
que se alcanza un equilibrio. La solución de estado
estacionario de la ecuación difusión se puede aplicar al estado
de equilibrio del sistema. La concentración de humedad en la
superficie del material se determina entonces para varios
valores de la humedad relativa del aire circundante.

11. Métodos

12. Métodos
La solución de la ecuación de difusión para la concentración
de humedad a través de la película es ajustada por las
condiciones iniciales y limite del experimento de copa.
Podemos calcular:
El rango de transmisión de vapor de agua, que es el flujo
de humedad a traves de la película.
Cantidad total de humedad por unidad de área que se
difunde a traves de la película.
Esta cantidad puede ser medida y el resultado teórico es
ajustado a los datos para dar el coeficiente de difusión.

13. Métodos
En lugar del experimento de copa, los datos de un
experimento de adsorción se pueden utilizar para determinar
las propiedades de transmisión. Para ello debemos resolver la
ecuación de difusión dejando el coeficiente de difusión y los
valores de límite como parámetros libres. La humedad
adsorbida puede ser calculada como una función del
tiempo, que debe entonces ser ajustado a los datos
experimentales para determinar los parámetros. Este
procedimiento se aplicó a los datos de un experimento
adsorción reportado por Biquet y Labuza (1988).

14. Métodos
1. Resolver la ecuación lineal de difusión.
2. Calculamos el contenido de humedad partiendo de la
distribución de la concentración dependiendo del tiempo.
3. El resultado analítico se compara con 3 conjuntos de
datos de adsorción de humedad calculados a diferentes
humedades relativas. Biquet y Labuza (1988).
Se busca una ecuación no lineal ya que las curvas obtenidas
presentan comportamientos que no pueden ser descritos por
una ecuación lineal de difusión.

15. Solución de la ecuación de
difusión lineal para el
experimento de adsorción

16. Ecuación lineal
De acuerdo con Biquet y Labuza (1988)
Figura: Dimensiones de los discos de chocolate y orientación del
eje x

17. Ecuación lineal
Ecuación diferencial parcial lineal de difusión unidimensional
de la humedad (Crank, 1956)
C = es la concentración de humedad
D0 = coeficiente de difusión lineal de la humedad a través del chocolate.
t = tiempo
Condiciones iniciales y limite

18. Ecuación lineal
Solución de la ecuación 1 con las condiciones (2 y 4)
Donde

19. Solución aproximada de una
ecuación no lineal de difusión

20. Ecuación no lineal
Corrección a la ecuación lineal:
Suponemos una dependencia lineal del coeficiente de difusión con
la concentración
D = coeficiente de difusión.
D0 = coeficiente de difusión lineal.
D1 = coeficiente dependiente de la concentración.
Obtenemos
Suponemos que D1C<<D0

21. Ecuación no lineal
La concentración se utiliza como:
C0(x,t) = solución de la ecuación lineal 1.
C1(x,t) = pequeña corrección a C0(x,t).
Sustituimos la ecuación 9 en la ecuación 8 utilizando la ecuación 1
Los términos no lineales en C1 no se toman en cuenta.
Los términos en C1 también dependen de C0 y sus derivados.
También se supone que las correcciones solo influyen cuando son
concentraciones muy altas. Con esto la ecuacion lineal se
aproxima con su valor estacionario, C0(x,t)≈ Ca. No se toman en
cuanta sus derivados

22. Ecuación no lineal
Obtenemos
Resolvemos con las condiciones iniciales y limite:
Solución aproximada de la ecuación 8

23. Ecuación no lineal
El flujo de vapor en la superficie externa esta dado por:
La cantidad total de vapor adsorbido a un tiempo t por unidad de
área externa de la película de chocolate esta dado por:
El vapor absorbido Q(t) por la película causa un aumento en la
humedad de esta.

24. Ecuación no lineal
El contenido de humedad se calcula con:
m0 = 100C0 es el contenido de humedad inicial en gH2O/100g solido

25. Resultados

26. Figura: adsorción de humedad calculada utilizando los modelos lineal y no lineal, así
como los datos experimentales con una humedad relativa de 55%.
Lineal: el coeficiente de difusión D0 se supone igual a cualquier humedad.
No lineal: se suponen iguales D0 y D1

27. Figura: adsorción de humedad calculada utilizando los modelos lineal y no lineal, así
como los datos experimentales con una humedad relativa de 75%.
Lineal: el coeficiente de difusión D0 se supone igual a cualquier humedad.
No lineal: se suponen iguales D0 y D1

28. Figura: adsorción de humedad calculada utilizando los modelos lineal y no lineal, así
como los datos experimentales con una humedad relativa de 81%.
Lineal: el coeficiente de difusión D0 se supone igual a cualquier humedad.
No lineal: se suponen iguales D0 y D1

29. Parámetros obtenidos por los modelos lineal (ecuación 5) y no lineal (ecuación 12)
Lineal: el coeficiente de difusión D0 se supone igual a cualquier humedad, así como
D1 y C’a iguales a cero.
No lineal: se suponen iguales D0 y D1

30. Figura: adsorción de humedad calculada utilizando los modelos lineal y no lineal, así
como los datos experimentales con una humedad relativa de 55%.
Diferencia: a los parámetros se les permite variar independientemente, no se supuso
que cualquiera de los coeficientes seria el mismo valor para cualquiera de las
humedades relativas.

31. Figura: adsorción de humedad calculada utilizando los modelos lineal y no lineal, así
como los datos experimentales con una humedad relativa de 75%.
Diferencia: a los parámetros se les permite variar independientemente, no se supuso
que cualquiera de los coeficientes seria el mismo valor para cualquiera de las
humedades relativas.

32. Figura: adsorción de humedad calculada utilizando los modelos lineal y no lineal, así
como los datos experimentales con una humedad relativa de 81%.
Diferencia: a los parámetros se les permite variar independientemente, no se supuso
que cualquiera de los coeficientes seria el mismo valor para cualquiera de las
humedades relativas.

33. Parámetros obtenidos por los modelos lineal (ecuación 5) y no lineal (ecuación 12).
Todos los parámetros varían, no hay constantes.

34. Figura: comparación de la adsorción de humedad calculada para los modelos lineal y
no lineal con los datos experimentales truncados(14 días), para una humedad relativa
de 55%.
A todos los parámetros se les permitió variar independientemente.

35. Figura: comparación de la adsorción de humedad calculada para los modelos lineal y
no lineal con los datos experimentales truncados(14 días), para una humedad relativa
de 75%.
A todos los parámetros se les permitió variar independientemente.

36. Parámetros obtenidos por los modelos lineal (ecuación 5) y no lineal (ecuación 12).
Las soluciones teóricas para los modelos, fueron ajustados independientemente para
cada valor de humedad relativa atmosférica.

37. Conclusiones

38. Conclusiones
o Se demostró que la cantidad de trabajo involucrado en la
determinación de las características de permeabilidad al vapor
de agua de cualquier material puede ser reducido
significativamente.
o El experimento de adsorción es suficiente, independientemente
del comportamiento lineal o no lineal del material.
o Se observaron los efectos no lineales en la adsorción de
humedad por el chocolate.
o Las curvas teóricas obtenidas dieron una buena descripción de
las características generales de los datos publicados por Biquet
& Labuza (1988).

39. Gracias por su atención