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2. En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto
una representación explícita de la función, es decir,
hemos supuesto que
y
f x
que la variable dependiente, y, está escrita en términos
explicitos de la variable independiente x.
*y
x sin x
3
2x
2
*y
x
*y
xe x sin x
8x 3

3. Sin embargo, no siempre es posible tener la
representación explicita de una función y se
tiene una representación implícita de la forma
x, y
x, y
que determina a y como función de x.
* x
2
y
2
1
* x
y sin xy
* xye
xy
ln x
cos xy

4. Si tenemos una representación implícita de la forma
x, y
x, y
lo que se hace para derivarla es:
1).- Diferenciar ambos lados de la ecuación para
obtener una nueva ecuación
d
x, y
dx
d
x, y
dx
dy
2).- Resolver la ecuación anterior para
.
dx
La respuesta usualmente involucra a y y a x.

5. dy
Dada la ecuación x xy 2 y, encontrar
dx
d x xy
d 2y
1).dx
dx
dx d xy
dy
2
dx
dx
dx
dy
dx
dy
1 x
y
2
dx
dx
dx
dy
dy
1 x
y 2
dx
dx

6. dy
Dada la ecuación x xy 2 y, encontrar
dx
dy
dy
2).- De la ecuación nueva 1 x
y 2
dx
dx
dy
despejamos
,
dx
dy 1 y
dx 2 x

7. Dada la ecuación x cos y
y
d x cos y y
dx3
1).dx
dx
dx
d cos y dy
cos y x
3x 2
dx
dx
dx
dy dy
2
cos y x sin y
3x
dx dx
dy
x , encontrar
dx
3

8. Dada la ecuación x cos y
2).- De la ecuación nueva
dy dy
cos y x sin y
dx dx
dy
despejamos
,
dx
2
dy 3x cos y
dx 1 x sin y
3x 2
y
dy
x , encontrar
dx
3

9. Se deriva una función
Lo que se obtiene es otra función,
la función derivada
La función derivada puede ser evaluada
en cualquier punto de su dominio

10. La derivada de una combinación lineal de
funciones es la combinación lineal de las
derivadas
d af g
dx
df
a
dx
dg
dx

11. La derivada de un producto es el primer factor
por la derivada del segundo más el segundo
factor por la derivada del primero
d fg
dx
dg
f
dx
df
g
dx

12. d
x sin x
dx
d 2 x
xe
dx
d
dx
x ln x
d
dx
x sin x
sin x x cos x sin x
dx
dx
2 d x
x
e
dx
dx 2 x
e
dx
x 2e x 2 xe x
d
d x
x ln x
ln x
dx
dx
1
x
xe x x 2
1 ln x
2 x
1
1
1 ln x
2
x

13. f
df
dg
d
g f
g
dx
dx
2
dx
g
siempre que
g x
0

14. d f
dx g
d sin x
dx x
df
g
dx
dg
f
dx
g2
d sin x
d
x sin x x
dx
dx
x2
x cos x sin x
x2
cos x
x
sin x
x2

15. d f g
dx
ó
f g
df dg
dg dx
x
f g g x

16. d
dx
x2
d
sin x 2
dx
d
exp
dx
1
1
d 2
x
2
2 x 3 x 2 dx
3x 2
cos x
x
2
exp
d 2
x
dx
3x 2
2 x cos x 2
d
x
x
dx
1 exp x
2
x
1
2x 3
2 x 2 3x 2

17. Dado que la derivada de una función
es a su vez una función, entonces
podemos derivarla nuevamente.
Esto da origen a las "derivadas de
orden superior".
D
f x
df
x
dx
D
d2 f
x
3
dx
D
d3 f
x ...
3
dx
D
dn f
x
n
dx

18. x5 :
f x
d x5
dx
d 2 x5
5x4
d 5x4
dx 2
d 3 x5
dx
d 2 5x4
dx3
d 4 x5
dx 2
d 3 5x4
4
dx
d 5 x5
5
dx
d 6 x5
dx
.....
6
3
dx
d 4 5x4
4
dx
d 5 5x4
dx
5
20 x3
d 20 x 3
dx
d 2 20 x 3
2
dx
d 3 20 x 3
3
dx
d 4 20 x 3
dx
4
60 x 2
d 60 x 2
dx
d 2 60 x 2
120 x
2
dx
d 3 60 x 2
dx
3
todas las derivadas que siguen son cero
d 120 x
dx
d 2 120 x
dx 2
120
d 120
dx
0

19. f x
sin x
0 : sin x
1: cos x
2 : sin x
3 : cos x
4 : sin x
5 : cos x
6 : sin x
7 : cos x
8 : sin x

20. f x
sin x
0 : sin x
1: cos x
2 : sin x
3 : cos x
4 : sin x
5 : cos x
6 : sin x
7 : cos x
8 : sin x
f x
sin x
Para n
dn
sin x
n
dx
0,1, 2,...
n
2
1 sin x
1
n 1
2
n par
cos x n impar

21. exp x : R
R
n
d x
e
n
dx
e
x
para todo n entero con n 0