DFT

2. PROCESAMIENTO DIGITAL DE
SEÑALES
SEÑALES Y SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Quinto ‘A’
Carrera de Telecomunicaciones

3. TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
LA FAMILIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
JUNIO - 2020

4. TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
Señal x(t)
Sin(t)
Cos(t)
El Análisis de Fourier es una familia
de técnicas matemáticas, basada
en la descomposición de señales
en sinusoides.
La transformada discreta de
Fourier (DFT) es parte de esa
familia y se usa con señales
digitales.
“Cualquier señal periódica continua podía representarse como la suma
de ondas sinusoidales correctamente elegidas”
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

5. FAMILIA DE TRANSFORMADAS DE
FOURIER

6. FAMILIA DE TRANSFORMADAS DE
FOURIER

7. FAMILIA DE TRANSFORMADAS DE
FOURIER

8. FAMILIA DE TRANSFORMADAS DE
FOURIER
…
…
…
…
…
…
SEÑAL FINITA
SINUSOIDES
INFINITAS
………………

9. TRANSFORMADA
Las transformadas son muy utilizadas en DSP:
• Transformada de Fourier
• Transformada de Laplace
• Transformada de Z
• Transformada de Hilbert
• Transformada Discreta del Coseno
In Datos
Out Datos

Una transformación es cualquier
procedimiento fijo que cambia un
conjunto de datos en otro conjunto de
datos.

10. NOTACION Y FORMATO DE LA DFT
REAL
DFT
x[ ]
puntosN Im X[ ]
Señal que se
descompone
Re X[ ]
1 puntos
2
N
+
1 puntos
2
N
+

11. NOTACION Y FORMATO DE LA DFT
REAL
DFTx[ ]
Temporal Im X[ ]
Frecuencia
Re X[ ]
Frecuencia
INFORMACIÓNINFORMACIÓN
Descomposición
Análisis
Forward DFT
DFT
Síntesis
DFT inversa
N: # de muestras
Generalmente
potencia de 2
FFT→N=2n
0 – N-1

12. LA VARIABLE INDEPENDIENTE DEL
DOMINIO DE LA FRECUENCIA
La señal en el dominio del tiempo es un arreglo: x[0] a x[127]
Las señales en el dominio de la frecuencia están contenidas en
dos arreglos: Re X[0] a Re X[64] y Im X[0] a Im X[64]
puntosN
1 puntos
2
N
+
1 puntos
2
N
+

13. EJE HORIZONTAL
• El eje horizontal en el dominio de la frecuencia, se pude referir a 4
formas diferentes
1. Eje Horizontal etiquetado de 0 a 64, corresponde:
• Index en el dominio de la frecuencia de representado por0
2
N
a
2. Eje Horizontal etiquetado como una fracción de la tasa de
muestreo:
• Index en el dominio de la frecuencia de 0 a 0.5
• Los datos discretos solo pueden contener frecuencias entre DC y la mitad de
la tasa de muestreo. k
f
N
=
f

14. EJE HORIZONTAL
3. Eje Horizontal igual que el anterior, multiplicado por :
• Index se representa con con equi-espaciados entre 0 y
2
 1 puntos
2
N
+ 
 Frecuencia natural (radianes)
( )
( )
2
[ ] cos
[ ] cos 2
[ ] cos
kn
c n
N
c n fn
c n n



 
=  
 
=
=

15. EJE HORIZONTAL
4. Eje Horizontal en términos de la frecuencia analógica usada en
aplicaciones particulares:
• Si el sistema examinado tiene una tasa de muestreo de 10 kHz los gráficos en
el dominio de la frecuencia deberán ir de 0 a 5kHz.

16. FUNCIONES BÁSICAS DE LA DFT
FUNCIONES BÁSICAS
Conjunto de Funciones
Básicas Escaladas
 
 
2
cos
2
sin
k
k
kn
c n
N
kn
s n
N


 
=  
 
 
=  
 
 Re X k
 Im X k
k Determina la frecuencia
de la onda y toma valores
entre: 0
2
N
a

17. FUNCIONES BÁSICAS DE LA DFT

18. SÍNTESIS: INVERSA DE LA DFT
Conversión entre
amplitudes
sinusoidales y valores
del dominio de la
frecuencia
 
 
 
 
Re
Re
2
Im
Im
2
X k
X k
N
X k
X k
N
=
= −
 
 
 
Re
Re 0
Re
Re
2
X k
X
N
X kN
X
N
=
 
=  
Reuniendo todo lo dicho hasta ahora, podemos escribir la ecuación de síntesis:
     
2 2
0 0
2 2
Re cos Im sin
N N
k k
kn kn
x n X k X k
N N
 
= =
   
= +   
   
 

19. SÍNTESIS: INVERSA DE LA DFT

20. ANCHO DE BANDA DEL DOMINIO DE
LA FRECUENCIA
Cada muestra en el dominio de la
frecuencia está contenida en una banda
de frecuencia de ancho 2/N
La primera y la última muestra, tienen un
ancho de banda de sólo la mitad de este
ancho, 1/N.

21. PREGUNTAS

22. GRACIAS…