DFT (2)

2. PROCESAMIENTO DIGITAL DE
SEÑALES
SEÑALES Y SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Quinto ‘A’
Carrera de Telecomunicaciones

3. TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
LA FAMILIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
JUNIO - 2020

4. ANÁLISIS CALCULANDO LA DFT
DFT
Ecuaciones
Simultáneas
Método Descriptivo
de la DFT.
Ineficiente en la
práctica
Correlación
Basado en detectar
una onda dentro de
otra señal
Transformada Rápida
de Fourier
Algoritmo simple que
descompone la DFT
con N puntos en N
DFT de 1 punto.
• Los 3 métodos producen una salida
idéntica.
• Correlación generalmente se utiliza si
se tiene secuencias de menos de 32
puntos.
• FFT es la técnica usada
preferentemente.

5. DFT POR ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Se dan N muestras en el
dominio del tiempo y se pide
calcular N valores en el
dominio de la frecuencia
(ignora los valores que deben
ser 0)
Para resolver las N incógnitas
se debe ser capaz de escribir N
ecuaciones linealmente
independientes
Se toma la primera muestra de
cada sinusoide y se las suma.
La suma debe ser igual a la
primera muestra en el dominio
del tiempo proporcionando la
ecuación 1.
Se puede escribir una
ecuación para cada uno de los
puntos restantes, resultando
en las N ecuaciones
requeridas.
Se puede utilizar cualquier
método para resolver el
sistema de ecuaciones, por
ejemplo la Eliminación
Gaussiana.

6. DFT POR CORRELACIÓN
• Supongamos que estamos tratando de calcular el DFT de una señal de
64 puntos.
• Esto significa que necesitamos calcular los 33 puntos en la parte real,
y los 33 puntos en la parte imaginaria del dominio de la frecuencia.
• En este ejemplo sólo mostraremos cómo calcular una sola muestra,
ImX[3], es decir, la amplitud de la onda sinusoidal que hace tres ciclos
completos entre el punto 0 y el punto 63.
• Todos los demás valores del dominio de la frecuencia se calculan de
manera similar

7. DFT POR CORRELACIÓN
• a) y b) dos ejemplos de señales en el dominio del tiempo.
• X1[ ] está compuesta de una onda seno que completa 3 ciclos entre 0 y
63
• x2[ ] varias ondas seno y coseno, ninguna de ellas cumple 3 ciclos entre 0
y 63.
• Estas dos señales ilustran lo que debe hacer el algoritmo de cálculo de Im
X[3]
• Cuando se alimenta x1[ ], el algoritmo debe producir uno de los 32
valores, la amplitud de la onda sinusoidal presente en la señal.
• En comparación, cuando se alimenta el algoritmo con la otra señal, x2[ ],
se debe producir un valor de cero, indicando que esta onda sinusoidal
particular no está presente en esta señal.
La Correlación
detecta una onda
contenida en otra
señal.
El resultado es una
medida de cuán
similares son las
dos señales.

8. FUNCIONES BÁSICAS ORTOGONALES
X
La suma de las
muestras resultantes
es igual a 0
• Ondas cuadradas.
• Ondas triangulares.
• Impulsos.

9. DUALIDAD
• Las ecuaciones de Síntesis y Análisis son similares.
     
2 2
0 0
2 2
Re cos Im sin
N N
k k
kn kn
x n X k X k
N N
 
= =
   
= +   
   
 
DUALIDAD FRECUENCIATIEMPO
SIMETRÍA
1 Sinusoide
1 Punto
Convolución
Producto
1 Punto
1 Sinusoide
Producto
Convolución

10. NOTACIÓN POLAR
DOMINIO DE LA FRECUENCIA
NOTACIÓN
RECTANGULAR
Conjunto de amplitudes
de ondas seno y coseno
Re X[ ]
Im X[ ]
FORMA POLAR
Magnitud de X[ ]: Mag X[ ]
Fase de X[ ]: Fase X[ ]

11. NOTACIÓN POLAR
En notación polar, Mag X[ ] mantiene la amplitud
de la onda coseno), mientras que la Fase X[ ]
mantiene el ángulo de fase de la onda coseno. Las
siguientes ecuaciones convierten el dominio de
frecuencia de notación rectangular a polar, y
viceversa.

12. NOTACIÓN POLAR
NOTACIÓN RECTANGULAR
La DFT descompone una señal de
N puntos en N/2 +1 ondas coseno
y N/2 +1 ondas seno, cada una
con una amplitud específica.
NOTACIÓN POLAR
La DFT descompone una señal de
N puntos en N/2 +1 ondas coseno
cada una con una amplitud
específica (Magnitud) y un
desplazamiento de Fase.
Las ondas sinusoidales no pueden representar la componente DC de una señal, ya que una onda sinusoidal de
frecuencia cero está compuesta por todos los ceros.

13. NOTACIÓN POLAR

14. MOLESTIAS EN LA FORMA POLAR
1. Radianes vs. Grados
2. Error al Dividir para cero.
3. arctan Incorrecta.
4. Fase de muy pequeñas magnitudes.

15. MOLESTIAS EN LA FORMA POLAR
5. Ambigüedad en la Fase (2𝜋)

16. MOLESTIAS EN LA FORMA POLAR
6. Magnitud es siempre positiva
7. Picos entre 𝜋 𝑦 − 𝜋

17. PREGUNTAS

18. GRACIAS…