Economía del Bienestar - Funciones de utilidad agregadas

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Equidad
Bienestar
An´alisis de Bienestar
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
gutierrez mauro@hotmail.com
abril 2019
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez Bienestar

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Equidad
Contenido
1 Equidad
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez Bienestar

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Equidad
Contenido
1 Equidad
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Equidad
´Optimo de Pareto y equidad
La eficiencia en el sentido de
Pareto no es relevante sobre
la distribuci´on del bienestar
entre los individuos; dar todo
a una persona es, por lo
general, eficiente en el
sentido de Pareto, y, sin
embargo, al resto de la gente
puede no parecerle una
asignaci´on razonable.
Varian
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Equidad
Agregaci´on de preferencias
Un consumidor racional presenta preferencias:
1 Completas
2 Reflexivas
3 Transitivas
En el caso convencional, las preferencias estaban definidas en
relaci´on con su propia cesta de bienes, pero se amplia el con-
cepto, considerando que las preferencias de cada consumidor
est´an definidas en relaci´on con la totalidad de las combina-
ciones de bienes de los consumidores.
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Equidad
Agregaci´on de preferencias
Dadas las preferencias de todos los agentes, nos gustar´ıa tener
un instrumento para “agregarlas” y hallar la preferencia social
”ordenaci´on social”.
Asumamos que Sea x una determinada asignaci´on, es decir,
una descripci´on de la cantidad que obtiene cada individuo de
cada bien. En ese caso, dadas dos asignaciones, x e y, cada
individuo i puede decir si prefiere o no x a y.
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Equidad
El sistema de votaci´on: esquema 1
Regla de votaci´on: x se “prefiere socialmente” a y si lo prefiere la mayor´ıa
de los individuos.
El resultado puede no generar una ordenaci´on transitiva de las preferencias
sociales.
Figura 1: Preferencias
Una mayor´ıa prefiere x a y, una mayor´ıa prefiere y a z y una mayor´ıa
prefiere z a x. ¿es transitiva?
¿Qu´e pasa si se elige entre x e y, y luego z? ¿Qu´e pasa si se elige entre x
e z, y luego y?
La agregaci´on de las preferencias de los individuos mediante la votaci´on por
mayor´ıa no funciona, ya que, en general, las preferencias sociales suelen ser
no transitivas.
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Equidad
El sistema de votaci´on: esquema 2
Cada una de las personas ordena los bienes de acuerdo con
sus preferencias y asigna un n´umero que indica el puesto que
ocupan en su ordenaci´on.
Regla: se suman las puntuaciones que ha obtenido cada opci´on
para hallar la puntuaci´on agregada de cada una y se dice que un
resultado se prefiere socialmente a otro si tiene una puntuaci´on
m´as baja.
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Equidad
El sistema de votaci´on: esquema 2
Supongamos que s´olo hubiera dos: la x y la y.
La persona A dar´ıa a x una puntuaci´on de 1 y la B le dar´ıa una puntuaci´on
de 2. La opci´on y recibir´ıa exactamente la puntuaci´on inversa.
El resultado de la votaci´on ser´ıa un empate (puntuaci´on de 3).
Supongamos que se introduce la opci´on z.
La persona, A dar´ıa a x una puntuaci´on de 1, y a y una puntuaci´on
de 2 y a z una puntuaci´on de 3.
La B dar´ıa a y una puntuaci´on de 1, a z una puntuaci´on de 2 y a x
una puntuaci´on de 3.
x tendr´ıa una puntuaci´on total de 4 e y tendr´ıa una puntuaci´on total
de 3. En este caso, se preferir´ıa y a x.
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Equidad
El sistema de votaci´on: problemas
Los resultados pueden ser manipulados por agentes astutos; la
primera puede manipularse alterando el orden en que se realizan
las votaciones para conseguir el resultado deseado, y
la segunda introduciendo nuevas opciones que alteren la orde-
naci´on final de las relevantes.
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Equidad
Propiedades deseadas de un sistema de decisi´on social
1 Dado un conjunto cualquiera de preferencias individuales com-
pletas, reflexivas y transitivas, el sistema de decisi´on social debe
dar lugar a unas preferencias sociales que cumplan las mismas
propiedades.
2 Si todo el mundo prefiere la opci´on x a la y, las preferencias
sociales deben colocar la x por delante de la y.
3 Las preferencias entre x e y s´olo dependen de la forma en que
los individuos ordenan estas opciones y no de la forma en que
ordenan otras.
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Equidad
Funciones sociales de bienestar
Dadas las preferencias del individuo i sobre las asignaciones,
es posible construir una funci´on de utilidad, ui (x), que resuma
sus juicios de valor: la persona i prefiere x a y si y s´olo si
ui (x) > ui (y).
Est´an sujetas a transformaciones monot´onicas.
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Equidad
Funciones sociales de bienestar
Funci´on social de bienestar.
Es una funci´on de las funciones de utilidad de los individuos:
W (u1(x), . . . , un(x)).
Es un instrumento para ordenar asignaciones diferentes que depende
solamente de las preferencias de los individuos y que es una funci´on
creciente con respecto a la utilidad de cada uno.
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Equidad
Funci´on utilitarista
Funci´on utilitarista o Benthamita.
W (u1, . . . , un) = n
i=1 ai ui
Donde ai son n´umeros que indican la importancia que tiene la
utilidad de cada agente para el bienestar social global.
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Equidad
Funci´on Rawlsiana
Funci´on minimax o ralwsiana.
W (u1, . . . , un) = min {u1, ..., un}
El bienestar social de una asignaci´on depende solamente del bienes-
tar del agente que se encuentre en peor situaci´on, de la persona que
tenga la menor utilidad .
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Equidad
Maximizaci´on del Bienestar
Si tenemos una cantidad total X1, . . . , Xk de los bienes 1, . . . , k para
distribuir entre los consumidores, el problema de maximizaci´on del
bienestar queda expresado como:
max W (u1(x), . . . , un(x)) (1)
sujeta a
n
i=1 x1
i = X1
...
n
i=1 xk
i = Xk
Por lo tanto, el objetivo es hallar la asignaci´on viable que
maximice el bienestar social.
Una asignaci´on maximizadora del bienestar debe ser eficiente
en el sentido de Pareto ¿demuestre?.
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Equidad
Isobienestar y funci´on de posibilidades de utilidad
El conjunto U es el conjunto de utilidades posibles de dos individuos, que
se denomina conjunto de posibilidades de utilidad conformadas por asigna-
ciones eficientes en el sentido de Pareto. .
Si una asignaci´on se encuentra en la frontera del conjunto de posibilidades
de utilidad, no existe ninguna otra asignaci´on viable que reporte una mayor
utilidad a ambos agentes.
Las “curvas de indiferencia” del gr´afico se denominan l´ıneas isobienestar.
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Equidad
Isobienestar y funci´on de posibilidades de utilidad
Si el conjunto de posibilidades de utilidad es convexo, todos los
puntos eficientes en el sentido de Pareto constituyen un m´aximo de
una funci´on de bienestar en la suma ponderada de las utilidades
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Equidad
Funciones sociales de bienestar individualistas
Funci´on de bienestar individualista o de Bergson-Samuelson.
W = W (u1(x1), . . . , un(xn)).
Donde:
xi representar la cesta de consumo del individuo i.
La utilidad de cada agente s´olo depende de su propio
consumo, por tanto ´este no genera externalidades.
Todos los equilibrios competitivos son eficientes en el sentido
de Pareto y, bajo los supuestos apropiados de convexidad,
todas las asignaciones eficientes en el sentido de Pareto son
equilibrios competitivos.
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Equidad
Asignaciones justas
¿Es eficiente entregar asignaciones id´enticas a cada quien?
Si cada agente tiene las mismas cestas de bienes; ninguno
prefiere la cesta de otro a la suya, ya que todos tienen
exactamente la misma.
Una divisi´on igualitaria no tiene por qu´e ser necesariamente
eficiente en el sentido de Pareto.
Si los agentes tienen gustos distintos, desear´an realizar alg´un
intercambio que entra˜ne un alejamiento de esa divisi´on
igualitaria.
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Equidad
Envidia y equidad
Asignaci´on equitativa, envidia y asignaci´on justa.
Una asignaci´on es equitativa si ning´un agente prefiere la
cesta de otro a la suya propia.
Si el agente i prefiere la cesta de bienes del j, decimos que i
envidia a j.
Si una asignaci´on es equitativa y eficiente en el sentido de
Pareto, esta es una asignaci´on justa.
Una asignaci´on basada en una divisi´on igualitaria tiene la propiedad
de que ning´un agente envidia a ning´un otro ¿pero es justa?
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Equidad
Asignaci´on justa
Si la asignaci´on resultante del trueque de canastas se encuentra “por
debajo” de la curva de indiferencia de cada agente que pasa por la
asignaci´on original, esta ´ultima es una asignaci´on equitativa.
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Equidad
Asignaci´on justa
¿Una situaci´on de reparto igualitario m´as asignaci´on de mercado
genera una asignaci´on equitativa?
Supongamos que no. Supongamos que el consumidor A envidia al B. Eso
significa que A prefiere la cesta que tiene B a la suya.
(x1
A, x2
A) A (x1
B , x2
B )
Pero si A prefiere la cesta de B a la suya propia y ´esta es la mejor cesta
que A tiene a su alcance a los precios (p1, p2), eso significa que la cesta
de B debe costar m´as de lo que puede pagar A.
p1w1
A + p2w2
A < p1x1
B + p2x2
B
Contradicci´on. Por hip´otesis, A y B comenzaron teniendo exactamente la
misma cesta, ya que el punto de partida era un reparto igualitario.
Si A no puede comprar la cesta de B, B tampoco puede comprarla.
Por lo tanto, el mecanismo del mercado conserva determinados tipos
de equidad: si la asignaci´on inicial se divide igualitariamente, la
asignaci´on final debe ser justa.
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Equidad
Asignaci´on justa
¿Una situaci´on de reparto igualitario m´as asignaci´on de mercado
genera una asignaci´on equitativa?
Por lo tanto, el mecanismo del mercado conserva
determinados tipos de equidad: si la asignaci´on inicial se
divide igualitariamente, la asignaci´on final debe ser justa.
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Equidad
´Algebra de la Econom´ıa del Bienestar (1)
max
x1
A,x2
A,x1
B ,x2
B
W (uA(x1
A, x2
A), uB(x1
B, x2
B)) (2)
Sujeta a:
T(X1
, X2
) = 0
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Equidad
´Algebra de la Econom´ıa del Bienestar (2)
L = W (uA(x1
A, x2
A), uB(x1
B, x2
B)) − λ(T(X1
, X2
)) (3)
foc:
∂L
∂x1
A
=
∂W
∂uA
∂uA(x1
A, x2
A)
∂x1
A
− λ
∂T(X1, X2)
∂X1
= 0
∂L
∂x2
A
=
∂W
∂uA
∂uA(x1
A, x2
A)
∂x2
A
− λ
∂T(X1, X2)
∂X2
= 0
∂L
∂x1
B
=
∂W
∂uB
∂uB(x1
B, x2
B)
∂x1
B
− λ
∂T(X1, X2)
∂X1
= 0
∂L
∂x2
B
=
∂W
∂uB
∂uB(x1
B, x2
B)
∂x2
B
− λ
∂T(X1, X2)
∂X2
= 0
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27. [opacity=1]
Equidad
´Algebra de la Econom´ıa del Bienestar (3)
∂uA
∂x1
A
∂uA
∂x2
A
=
∂uB
∂x1
B
∂uB
∂x2
B
=
∂T(X1,X2)
∂X1
∂T(X1,X2)
∂X2
El problema de maximizaci´on del bienestar tiene las mismas condi-
ciones de primer orden que el problema de eficiencia en el sentido
de Pareto.
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Equidad
Referencias
Hal Varian (2003)
Microeconom´ıa intermedia, 7 ed. Antoni Bosch Editor, S.A.; 2006. Cap 34.
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