Cálculo de Particiones Discretas de un entero m, en otros r enteros Formulas sumatorias y tabla universal

1. PARTICIONES DISCRETAS DE m EN r,
FORMULACIONES MATEMÁTICAS
Exploración complementaria
NOVIEMBRE DE 2017
ENRIQUE R. ACOSTA> R.

2. Particiones Discretas de m en r, Formulaciones matemáticas:
Particiones discretas 𝑷 𝒓(𝒎), de un número entero m en r cifras ( 𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎)
Denominaremos así a aquellas particiones de un entero m, (m≥0), en grupos de r cifras c/u, cuyos
valores pueden variar entre 0 y m, pero que en conjunto en cada grupo suman m, y donde si el
número de cifras significativas que lo verifican es menor que r, los lugares vacíos se completan con
ceros, para que así los grupos siempre consten de r elementos. Por ejemplo: las particiones de 6 en
4, la conforman los siguientes grupos de 4 cifras (incluyendo los ceros de completación necesarios)
Con una cifra significativa: 0, 0, 0,6
Con dos cifras significativas: 0, 0, 1,5 0, 0, 2 ,4 0, 0, 3, 3
Con tres cifras significativas: 0, 1, 1,4 0, 1, 2, 3 0, 2, 2 ,2
Con cuatro cifras significativas: 1, 1, 1,3 1, 1 ,2 ,2
En este trabajo, trataremos de dar una formulación matemática que permita calcular directamente
el número de particiones discretas de un entero m, en grupos de r cifras incluyendo los ceros de
completación. Para indicar la repetición de una cifra en una partición o grupo, utilizaremos esta
misma cifra, acompañada de un subíndice que indica el número de veces que dicha cifra se repite,
así p.ej. 𝟎 𝟑, significa que en dichos grupos, el cero se repite tres veces, antes de la siguiente cifra del
grupo.
Para ello partiremos del análisis vertical (por columnas) de la tabla ya elaborada anteriormente, para
el caso de r=5, y valores de m desde cero, hasta 15 (m=0, 1,2,…,15)
El análisis realizado, nos permite, conocida la amplitud o número de ciclos de cada secuencia
interna, calcular de manera inmediata, el número de columnas, correspondiente a cada ciclo (n⁰c
c), para un valor dado de m, y r, como se observa en los cuadros correspondientes.
Como el n⁰ de columnas por ciclo es igual al número de particiones discretas, contenidas en ese
ciclo (n⁰PC) , para dicho par de valores m, y r, si determinamos una manera práctica de obtener
previamente el n⁰ de ciclos de cada secuencia interna, tendríamos como corolario, resuelto el
problema de calcular el número de particiones por ciclo y su total, para un par de valores dados
m y r.
Es evidente que por la estructura matemática interna de las tablas y la regularidad en la
distribución de los grupos, obtendremos resultados similares para el análisis de cualquier otro caso
de r y m.
A continuación Presentamos las tablas de Particiones Discretas de m en r, para el caso de r=5, y
valores de m desde cero, hasta 15 (m=0, 1,2,…,15)

3. TABLAS DE PARTICIONES DISCRETAS ORDENADAS, PARA r=5, DESDE m=0, HASTA m=15
SECUENCIA PRINCIPAL (S.P.) DEL 0-3 : Secuencia Interna (S.I.) : 3x5
Consta de 6 ciclos, o ciclos que agrupan ordenadamente, las particiones discretas (P.D.) del caso, que contienen los valores de la forma 𝟎 𝟑 𝒊 ,
con i=0,1,...,7, y los valores de la forma 𝟎 𝟐 𝒊 con i= 1,2,...,5 .Se caracteriza porque cada grupo de columnas o ciclo comienza con una columna
que se inicia en un valor de m, tres unidades mayor que el anterior, así las m de inicio ( 𝒎𝒊), de estos 6 ciclos serán : 0,3,6,9.12,15
m r=5
Ciclos de S. I. 0-3
1⁰ 2⁰
0 0,0,0,0,0 - -
1 0,0,0,0,1 - -
2 0,0,0,0,2 0,0,0,1,1 - -
3 0,0,0,0,3 0,0,0,1,2 - 0,0,1,1,1 -
4 0,0,0,0,4 0,0,0,1,3 0,0,0,2,2 - 0,0,1,1,2 -
5 0,0,0,0,5 0,0,0,1,4 0,0,0,2,3 - 0,0,1,1,3 0,0,1,2,2 -
6 0,0,0,0,6 0,0,0,1,5 0,0,0,2,4 0,0,0,3,3 - 0,0,1,1,4 0,0,1,2,3 -
7 0,0,0,0,7 0,0,0,1,6 0,0,0,2,5 0,0,0,3,4 - 0,0,1,1,5 0,0,1,2,4 0,0,1,3,3 -
8 0,0,0,0,8 0,0,0,1,7 0,0,0,2,6 0,0,0,3,5 0,0,0,4,4 - 0,0,1,1,6 0,0,1,2,5 0,0,1,3,4 -
9 0,0,0,0,9 0,0,0,1,8 0,0,0,2,7 0,0,0,3,6 0,0,0,4,5 - 0,0,1,1,7 0,0,1,2,6 0,0,1,3,5 0,0,1,4,4 -
10 0,0,0,0,10 0,0,0,1,9 0,0,0,2,8 0,0,0,3,7 0,0,0,4,6 0,0,0,5,5 - 0,0,1,1,8 0,0,1,2,7 0,0,1,3,6 0,0,1,4,5 -
11 0,0,0,0,11 0,0,0,1,10 0,0,0,2,9 0,0,0,3,8 0,0,0,4,7 0,0,0,5,6 - 0,0,1,1,9 0,0,1,2,8 0,0,1,3,7 0,0,1,4,6 0,0,1,5,5 -
12 0,0,0,0,12 0,0,0,1,11 0,0,0,2,10 0,0,0,3,9 0,0,0,4,8 0,0,0,5,7 0,0,0,6,6 - 0,0,1,1,10 0,0,1,2,9 0,0,1,3,8 0,0,1,4,7 0,0,1,5,6 -
13 0,0,0,0,13 0,0,0,1,12 0,0,0,2,11 0,0,0,3,10 0,0,0,4,9 0,0,0,5,8 0,0,0,6,7 - 0,0,1,1,11 0,0,1,2,10 0,0,1,3,9 0,0,1,4,8 0,0,1,5,7 0,0,1,6,6 -
14 0,0,0,0,14 0,0,0,1,13 0,0,0,2,12 0,0,0,3,11 0,0,0,4,10 0,0,0,5,9 0,0,0,6,8 0,0,0,7,7 - 0,0,1,1,12 0,0,1,2,11 0,0,1,3,10 0,0,1,4,9 0,0,1,5,8 0,0,1,6,7 -
15 0,0,0,0,15 0,0,0,1,14 0,0,0,2,13 0,0,0,3,12 0,0,0,4,11 0,0,0,5,10 0,0,0,6,9 0,0,0,7,8 - 0,0,1,1,13 0,0,1,2,12 0,0,1,3,11 0,0,1,4,10 0,0,1,5,9 0,0,1,6,8 0,0,1,7,7 -

4. m r=5
Ciclos de S. I. 0-3
3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰
0 - - - -
1 - - - -
2 - - - -
3 - - - -
4 - - - -
5 - - - -
6 0,0,2,2,2 - - - -
7 0,0,2,2,3 - - - -
8 0,0,2,2,4 0,0,2,3,3 - - - -
9 0,0,2,2,5 0,0,2,3,4 - 0,0,3,3,3 - - -
10 0,0,2,2,6 0,0,2,3,5 0,0,2,4,4 - 0,0,3,3,4 - - -
11 0,0,2,2,7 0,0,2,3,6 0,0,2,4,5 - 0,0,3,3,5 0,0,3,4,4 - - -
12 0,0,2,2,8 0,0,2,3,7 0,0,2,4,6 0,0,2,5,5 - 0,0,3,3,6 0,0,3,4,5 - 0,0,4,4,4 - -
13 0,0,2,2,9 0,0,2,3,8 0,0,2,4,7 0,0,2,5,6 - 0,0,3,3,7 0,0,3,4,6 0,0,3,5,5 - 0,0,4,4,5 - -
14 0,0,2,2,10 0,0,2,3,9 0,0,2,4,8 0,0,2,5,7 0,0,2,6,6 - 0,0,3,3,8 0,0,3,4,7 0,0,3,5,6 - 0,0,4,4,6 0,0,4,5,5 - -
15 0,0,2,2,11 0,0,2,3,10 0,0,2,4,9 0,0,2,5,8 0,0,2,6,7 - 0,0,3,3,9 0,0,3,4,8 0,0,3,5,7 0,0,3,6,6 - 0,0,4,4,7 0,0,4,5,6 - 0,0,5,5,5 -
SECUENCIA PRINCIPAL DEL 4: Secuencias internas: 4x1, 4x2, y 4x3
La secuencia interna del 4x1, está constituida por 4 Ciclos que agrupan ordenadamente las particiones discretas del caso que contienen los
valores de la forma 0,1,i con i=1,2,3,4 .Se caracteriza porque cada grupo de columnas o ciclo comienza con una columna que se inicia en un
valor de m, que puede expresarse como: 4x1+ 3j, con j=0,1,2,3
La secuencia interna del 4x2, está constituida por 3 Ciclos que agrupan ordenadamente las particiones discretas del caso que contienen los
valores de la forma 0,2,i con i=2,3,4 .Se caracteriza porque cada grupo de columnas o ciclo comienza con una columna que se inicia en un
valor de m, que puede expresarse como: 4x2+ 3j, con j=0,1,2

5. La secuencia interna del 4x3, está constituida por 2 Ciclos que agrupan ordenadamente las particiones discretas del caso que contienen los
valores de la forma 0,3,i con i=3,4 .Se caracteriza porque cada grupo de columnas o ciclo comienza con una columna que se inicia en un valor
de m, que puede expresarse como: 4x3+ 3j, con j=0,1
m r=5
Ciclos de S.I. 4x1
1⁰ 2⁰
0 - -
1 - -
2 - -
3 - -
4 0,1,1,1,1 - -
5 0,1,1,1,2 - -
6 0,1,1,1,3 0,1,1,2,2 - -
7 0,1,1,1,4 0,1,1,2,3 - 0,1,2,2,2 -
8 0,1,1,1,5 0,1,1,2,4 0,1,1,3,3 - 0,1,2,2,3 -
9 0,1,1,1,6 0,1,1,2,5 0,1,1,3,4 - 0,1,2,2,4 0,1,2,3,3 -
10 0,1,1,1,7 0,1,1,2,6 0,1,1,3,5 0,1,1,4,4 - 0,1,2,2,5 0,1,2,3,4 -
11 0,1,1,1,8 0,1,1,2,7 0,1,1,3,6 0,1,1,4,5 - 0,1,2,2,6 0,1,2,3,5 0,1,2,4,4 -
12 0,1,1,1,9 0,1,1,2,8 0,1,1,3,7 0,1,1,4,6 0,1,1,5,5 - 0,1,2,2,7 0,1,2,3,6 0,1,2,4,5 -
13 0,1,1,1,10 0,1,1,2,9 0,1,1,3,8 0,1,1,4,7 0,1,1,5,6 - 0,1,2,2,8 0,1,2,3,7 0,1,2,4,6 0,1,2,5,5 -
14 0,1,1,1,11 0,1,1,2,10 0,1,1,3,9 0,1,1,4,8 0,1,1,5,7 0,1,1,6,6 - 0,1,2,2,9 0,1,2,3,8 0,1,2,4,7 0,1,2,5,6 -
15 0,1,1,1,12 0,1,1,2,11 0,1,1,3,10 0,1,1,4,9 0,1,1,5,8 0,1,1,6,7 - 0,1,2,2,10 0,1,2,3,9 0,1,2,4,8 0,1,2,5,7 0,1,2,6,6 -

6. m r=5
Ciclos S. I. 4x1 Ciclos S. I. 4x2
3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰
0 - - - - -
1 - - - - -
2 - - - - -
3 - - - - -
4 - - - - -
5 - - - - -
6 - - - - -
7 - - - - -
8 - - 0,2,2,2,2 - - -
9 - - 0,2,2,2,3 - - -
10 0,1,3,3,3 - - 0,2,2,2,4 0,2,2,3,3 - - -
11 0,1,3,3,4 - - 0,2,2,2,5 0,2,2,3,4 - 0,2,3,3,3 - -
12 0,1,3,3,5 0,1,3,4,4 - - 0,2,2,2,6 0,2,2,3,5 0,2,2,4,4 - 0,2,3,3,4 - -
13 0,1,3,3,6 0,1,3,4,5 - 0,1,4,4,4 - 0,2,2,2,7 0,2,2,3,6 0,2,2,4,5 - 0,2,3,3,5 0,2,3,4,4 - -
14 0,1,3,3,7 0,1,3,4,6 0,1,3,5,5 - 0,1,4,4,5 - 0,2,2,2,8 0,2,2,3,7 0,2,2,4,6 0,2,2,5,5 - 0,2,3,3,6 0,2,3,4,5 - 0,2,4,4,4 -
15 0,1,3,3,8 0,1,3,4,7 0,1,3,5,6 - 0,1,4,4,6 0,1,4,5,5 - 0,2,2,2,9 0,2,2,3,8 0,2,2,4,7 0,2,2,5,6 - 0,2,3,3,7 0,2,3,4,6 0,2,3,5,5 - 0,2,4,4,5 -
SECUENCIA PRINCIPAL DEL 5: Secuencias internas: 5x1, 5x2, y 5x3
La secuencia interna del 5x1, puede dividirse a su vez en tres subsecuencias, la primera constituida por 4 ciclos que agrupan ordenadamente
las particiones discretas que contienen los valores de la forma 𝟏 𝟑 , en un primer ciclo y 3 ciclos que contienen los valores de la forma 𝟏 𝟐, 𝒊
, con i=2,3,4. Se caracteriza porque cada grupo de columnas o ciclo, comienza con una columna que se inicia en un valor de m, que puede
expresarse como: 5x1+3j, con j=0, 1, 2,3

7. m r=5
Ciclos S. I. 4x3 Ciclos S.I. 5x1+3j
1⁰ 2⁰ 1⁰ 2⁰
0 - - - -
1 - - - -
2 - - - -
3 - - - -
4 - - - -
5 - - 1,1,1,1,1 - -
6 - - 1,1,1,1,2 - -
7 - - 1,1,1,1,3 1,1,1,2,2 - -
8 - - 1,1,1,1,4 1,1,1,2,3 - 1,1,2,2,2 -
9 - - 1,1,1,1,5 1,1,1,2,4 1,1,1,3,3 - 1,1,2,2,3 -
10 - - 1,1,1,1,6 1,1,1,2,5 1,1,1,3,4 - 1,1,2,2,4 1,1,2,3,3 -
11 - - 1,1,1,1,7 1,1,1,2,6 1,1,1,3,5 1,1,1,4,4 - 1,1,2,2,5 1,1,2,3,4 -
12 0,3,3,3,3 - - 1,1,1,1,8 1,1,1,2,7 1,1,1,3,6 1,1,1,4,5 - 1,1,2,2,6 1,1,2,3,5 1,1,2,4,4 -
13 0,3,3,3,4 - - 1,1,1,1,9 1,1,1,2,8 1,1,1,3,7 1,1,1,4,6 1,1,1,5,5 - 1,1,2,2,7 1,1,2,3,6 1,1,2,4,5 -
14 0,3,3,3,5 0,3,3,4,4 - - 1,1,1,1,10 1,1,1,2,9 1,1,1,3,8 1,1,1,4,7 1,1,1,5,6 - 1,1,2,2,8 1,1,2,3,7 1,1,2,4,6 1,1,2,5,5 -
15 0,3,3,3,6 0,3,3,4,5 - 0,3,4,4,4 - 1,1,1,1,11 1,1,1,2,10 1,1,1,3,9 1,1,1,4,8 1,1,1,5,7 1,1,1,6,6 - 1,1,2,2,9 1,1,2,3,8 1,1,2,4,7 1,1,2,5,6 -
La segunda constituida por 3 ciclos que agrupan ordenadamente las particiones discretas que contienen los valores de la forma 1,2,i , con
i=2,3,4. Se caracteriza porque cada grupo de columnas o ciclo, comienza con una columna que se inicia en un valor de m, que puede
expresarse como: 5x1+4x1+3j, con j=0, 1, 2
La tercera constituida por 1 ciclo que agrupa ordenadamente las particiones discretas que contienen los valores de la forma 1,3,i , con i=3. Se
caracteriza porque cada grupo de columnas o ciclo, comienza con una columna que se inicia en un valor de m, que puede expresarse como:
5x1+4x2+3j, con j=0

8. m r=5
Ciclos S.I. 5x1+4x1+3j Ciclo S.I. 5x1+4x2+3j
3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰
0 - - - - - -
1 - - - - - -
2 - - - - - -
3 - - - - - -
4 - - - - - -
5 - - - - - -
6 - - - - - -
7 - - - - - -
8 - - - - - -
9 - - 1,2,2,2,2 - - - -
10 - - 1,2,2,2,3 - - - -
11 1,1,3,3,3 - - 1,2,2,2,4 1,2,2,3,3 - - - -
12 1,1,3,3,4 - - 1,2,2,2,5 1,2,2,3,4 - 1,2,3,3,3 - - -
13 1,1,3,3,5 1,1,3,4,4 - - 1,2,2,2,6 1,2,2,3,5 1,2,2,4,4 - 1,2,3,3,4 - - 1,3,3,3,3 -
14 1,1,3,3,6 1,1,3,4,5 - 1,1,4,4,4 - 1,2,2,2,7 1,2,2,3,6 1,2,2,4,5 - 1,2,3,3,5 1,2,3,4,4 - - 1,3,3,3,4 -
15 1,1,3,3,7 1,1,3,4,6 1,1,3,5,5 - 1,1,4,4,5 - 1,2,2,2,8 1,2,2,3,7 1,2,2,4,6 1,2,2,5,5 - 1,2,3,3,6 1,2,3,4,5 - 1.2,4,4,4 - 1,3,3,3,5 1,3,3,4,4 -
La secuencia interna del 5x2, puede dividirse a su vez en dos subsecuencias, la primera constituida por 2 ciclos que agrupan ordenadamente
las particiones discretas que contienen los valores de la forma 2,2,i , con i=2,3. Se caracteriza porque cada grupo de columnas o ciclo,
comienza con una columna que se inicia en un valor de m, que puede expresarse como: 5x2+3j, con j=0, 1
La segunda constituida por 1 ciclo de una sola columna, que agrupa ordenadamente las particiones discretas que contienen los valores de la
forma 2,3,i , con i=3. Se caracteriza porque la columna o ciclo de este caso, se inicia en un valor de m, que puede expresarse como:
5x2+4x1+3j, con j=0
Por último la secuencia interna del 5x3 está constituida por un ciclo de una sola columna, que agrupa ordenadamente las particiones discretas
que contienen los valores de la forma 3,3,i, con i=3. Se caracteriza porque la columna o ciclo de este caso, se inicia en un valor de m, que se
puede expresar como: 5x3+3j, con j=0

9. m r=5
Ciclos 5x2+3j 5x2+4x1+3j 5x3+3j
1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰
0 - - - -
1 - - - -
2 - - - -
3 - - - -
4 - - - -
5 - - - -
6 - - - -
7 - - - -
8 - - - -
9 - - - -
10 2,2,2,2,2 - - - -
11 2,2,2,2,3 - - - -
12 2,2,2,2,4 2,2,2,3,3 - - - -
13 2,2,2,2,5 2,2,2,3,4 - 2,2,3,3,3 - - -
14 2,2,2,2,6 2,2,2,3,5 2,2,2,4,4 - 2,2,3,3,4 - 2,3,3,3,3 - -
15 2,2,2,2,7 2,2,2,3,6 2,2,2,4,5 - 2,2,3,3,5 2,2,3,4,4 - 2,3,3,3,4 - 3,3,3,3,3 -

10. Análisis de la estructura ordenada por columnas, de los grupos de 𝑷 𝒓(𝒎) , para nuestros caso de
estudio: r=5 y m=0,1,2,...,15
SECUENCIA PRINCIPAL (S.P.) DEL 0-3 : Secuencia Interna (S.I.) : 3x5 ( 6 ciclos)
𝟏 𝒆𝒓
Ciclo
Los grupos de la 1 𝑟𝑎
columna del 1 𝑒𝑟
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟑, 𝟎, 𝒎
Con 𝑚 = 0,1,2, … , 15 , lo cual nos da 16 grupos diferentes en dicha columna
Los grupos de la 2 𝑑𝑎
columna del 1 𝑒𝑟
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟑, 𝟏, 𝒎 − 𝟏
Con 𝑚 = 2,3, … , 15 , lo cual nos da 14 grupos diferentes en dicha columna
Los grupos de la 3 𝑟𝑎
columna del 1 𝑒𝑟
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟑, 𝟐, 𝒎 − 𝟐
Con 𝑚 = 4,5, … , 15 , lo cual nos da 12 grupos diferentes en dicha columna
Así, podemos continuar hasta la última columna del ciclo.
m
0 03,0,0
1 03,0,1
2 03,0,2
3 03,0,3
. .
. .
. .
. .
15 03,0,15
m
0 -
1 -
2 03, 1,1
3 03, 1,2
4 03, 1,3
. .
. .
. .
15 03, 1,14
m
0 -
1 -
2 -
3 -
4 03, 2,2
5 03, 2,3
6 03, 2,4
. .
. .
. .
15 03, 2,13

11. Notamos en primer lugar que la cantidad de grupos de cada columna en el 1er
ciclo , es siempre un
n⁰ par, que va disminuyendo en dos unidades al pasar de una columna a la siguiente, luego podemos
inferir que el número de grupos de la última columna del ciclo debe ser dos, como podemos verificar
en la tabla correspondiente. Por otra parte el número de columnas de un ciclo desde m=0, hasta
m=15 (16 casos), que siga esta regla será:
15+1
2
= 8 , la primera con 16 grupos , y la octava con
2 grupos o particiones discretas.
La expresión para simbolizar la última columna de este ciclo será: 03, 7, 𝑚 − 7, válida para 𝑚 =
14,15, lo cual nos da sólo dos grupos posibles.
𝟐 𝒅𝒐
Ciclo
Los grupos de la 1 𝑟𝑎
columna del 𝟐 𝒅𝒐
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟐, 𝟏, 𝟏, 𝒎 − 𝟐
Con 𝑚 = 3,4, … ,15, lo cual nos da 13 grupos diferentes en dicha columna
Los grupos de la 2 𝑑𝑎
columna del 𝟐 𝒅𝒐
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟐, 𝟏, 𝟐, 𝒎 − 𝟑
Con 𝑚 = 5,6, … ,15 lo cual nos da 11 grupos diferentes en dicha columna
m
0 -
1 -
2 -
3 02, 1,1,1
4 02, 1,1,2
. .
. .
. .
15 02, 1,1,13
m
0 -
1 -
2 -
3 -
4 -
5 02, 1,2,2
6 02, 1,2,3
. .
. .
. .
15 02, 1,2,12

12. Los grupos de la 3 𝑟𝑎
columna del 𝟐 𝒅𝒐
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟐, 𝟏, 𝟑, 𝒎 − 𝟒
Con 𝑚 = 7,8, … ,15 lo cual nos da 9 grupos diferentes en dicha columna
Así, podemos continuar hasta la última columna del ciclo.
Notamos que la cantidad de grupos de cada columna de este ciclo, es siempre un n⁰ impar, que va
disminuyendo en dos unidades, al pasar de una columna a la siguiente. Podemos inferir que el
número de grupos de la última columna de este ciclo debe ser uno, como podemos verificar en la
tabla correspondiente. Por otra parte el número de columnas de un ciclo como este, desde m=0,
hasta m=15 (16 casos), será:
15−1
2
= 7, la primera con 13 grupos , y la séptima con 1 grupo.
En forma general para los primeros 6 ciclos de la secuencia 𝟎 − 𝟑, o ciclos de los 𝟎 𝟑 𝒊 , con
i=0,1,...,7, y los 𝟎 𝟐 𝒊 con i= 1,2,...,5 , tendremos:
Ciclo m de inicio ( 𝑚𝑖) de cada columna en su ciclo
1⁰: 03 │ 0,2,4,..., 14
2⁰: 02, 1 │ 3,5,7,...,15
3⁰: 02, 2 │ 6,8,... .. 14
4⁰: 02, 3 │ 9,11,...,15
5⁰: 02, 4 │ 12,14
6⁰: 02, 5 │ 15
Notamos que la sucesión de 𝒎𝒊, es una progresión aritmética de inicio en 0, y razón 3, cuyo
término de valor máximo debe ser igual a 𝒎 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓, es decir 𝒎𝒊 ∈ {0,3,6,9,12,15}
Entonces para generalizar la determinación del número de columnas de cada uno de estos 6 ciclos,
si llamamos 𝒎 𝒎𝒂𝒙, al valor máximo de m de la tabla (m=15) y ∆ 𝒎 a la diferencia ( 𝒎 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏) −
m
0 -
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 02, 1,3,3.
8 02, 1,3,4
. .
. .
. .
15 02, 1,3,11

13. 𝒎𝒊 , podemos calcular el n⁰ de columnas de cada ciclo en función de la paridad de ∆ 𝒎, mediante
las expresiones:
Para ∆ 𝒎 par, el n⁰ de columnas del ciclo es:
∆ 𝒎
𝟐
Para ∆ 𝒎 impar, el n⁰ de columnas del ciclo es:
(∆ 𝒎+𝟏)
𝟐
Los resultados para obtenidos, se muestran en el cuadro siguiente:
1.) Secuencias del 0-3. Ciclos que comienzan con 0
𝑚𝑖 iciclo= 3j, con j= 0, 1, 2, 3, 4, 5
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclo de los 𝟎 𝟑 𝒊,(𝒊 = 𝟎, 𝟏, … , 𝟕) y de los 𝟎 𝟐 𝒊 ,(𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟓) totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰ 6
𝑚𝑖 𝑖ciclo 0 3 6 9 12 15 -
∆ 𝑚 16 13 10 7 4 1 -
n⁰c c 8 7 5 4 2 1 27
n⁰PC 72 49 30 16 6 1 174
mi fciclo 14 15 14 15 14 15 -
Donde:
 ∆ 𝑚= ( 𝑚 𝑀 + 1) − 𝑚𝑖
 n⁰c c, representa el n⁰ de columnas del ciclo
 n⁰PC, representa el n⁰ de grupos o particiones discretas del ciclo
 𝑚𝑖 iciclo, representa el valor de m con que inicia la 1 𝑟𝑎
columna del ciclo
 mi fciclo, representa el valor de m con que inicia la última columna del ciclo
correspondiente
Cálculo del n⁰ de grupos (n⁰P C), o particiones discretas por ciclo y columna del caso 𝟎 𝟑 𝒊 , con
i=0,1,...,7, y los 𝟎 𝟐 𝒊 con i= 1,2,...,5 ,(Secuencia 0-3)
Grupos de Particiones por Columnas
totalesCiclos 1 𝑟𝑎
2 𝑑𝑎 3 𝑟𝑎
4𝑡𝑎
5𝑡𝑎
6𝑡𝑎
7 𝑚𝑎
8 𝑣𝑎
1⁰ 16 14 12 10 8 6 4 2 72
2⁰ 13 11 9 7 5 3 1 49
3⁰ 10 8 6 4 2 - 30
4⁰ 7 5 3 1 16
5⁰ 4 2 - 6
6⁰ 1 1
TOTAL 174
Notamos que los valores en líneas horizontales del cuadro anterior, corresponden a progresiones
aritméticas de razón 2 y que alternativamente comienzan en 2 , o en 1 (de derecha a izquierda),
mientras que los valores en líneas verticales, corresponden a progresiones aritméticas de razón 3, y

14. que alternativamente comienzan 1,2, o en 3, (de abajo hacia arriba).Ello nos permite sistematizar el
cálculo del n⁰ de grupos de particiones, para cualquier otro caso. Los resultados obtenidos, para los
valores de n⁰P C, se incluyen en los cuadros elaborados para cada secuencia.
El análisis de los ciclos correspondientes a las secuencias siguientes, del 4 y del 5, obedecen a las
mismas reglas y nos conduce a resultados análogos, que se recogen en la serie de cuadros que
mostramos a continuación:
2.) Secuencias del 4. Ciclos que inician con 01, 02, 03
𝑚𝑖 iciclo= 4x1 + 3j, con j= 0, 1, 2, 3
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 0,1,i con i=1,2,3,4 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 4
m i iciclo 4 7 10 13 -
∆ 𝑚 12 9 6 3 -
n⁰c c 6 5 3 2 16
n⁰PC 42 25 12 4 83
mi fciclo 14 15 14 15 -
𝑚𝑖 iciclo= 4x2 + 3j, con j= 0, 1, 2
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 0,2,i con i=2,3,4 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 3
m i iciclo 8 11 14 -
∆ 𝑚 8 5 2 -
n⁰c c 4 3 1 8
n⁰PC 20 9 2 31
mi fciclo 14 15 14 -
𝑚𝑖 iciclo= 4x3 + 3j, con j= 0, 1
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 0,3,i con i=3,4 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 2
m i iciclo 12 15 -
∆ 𝑚 4 1 -
n⁰c c 2 1 3
n⁰PC 6 1 7
mi fciclo 14 15 -

15. 3.) Secuencias del 5. Ciclos que comienzan con 1 :
𝑚𝑖 iciclo= 5x1 + 3j, con j= 0, 1, 2, 3
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclo de los 𝟏 𝟑, y ciclos de los 𝟏 𝟐, 𝒊(𝒊 = 𝟐, 𝟑, 𝟒) Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 4
m i iciclo 5 8 11 14 -
∆ 𝑚 11 8 5 2 -
n⁰c c 6 4 3 1 14
n⁰PC 36 20 9 2 67
mi fciclo 15 14 15 14 -
𝑚𝑖 iciclo= 5x1 + 4x1 + 3j, con j= 0, 1, 2
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 1,2,i con i=2,3,4 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 3
m i iciclo 9 12 15 -
∆ 𝑚 7 4 1 -
n⁰c c 4 2 1 7
n⁰PC 16 6 1 23
mi fciclo 15 14 15 -
𝑚𝑖 iciclo= 5x1 + 4x2 + 3j, con j= 0
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclo de los 1,3,i (i=3) Totales
ciclo 1⁰ 1
m i iciclo 13 -
∆ 𝑚 3 -
n⁰c c 2 2
n⁰PC 4 4
mi fciclo 15 -

16. 3.1 ) Secuencias del 5. Ciclos que comienzan con 2 :
𝑚𝑖 iciclo= 5x2 + 3j, con j= 0, 1
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 2,2,i con i=2,3 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 2
m i iciclo 10 13 -
∆ 𝑚 6 3 -
n⁰c c 3 2 5
n⁰PC 12 4 16
mi fciclo 14 15 -
𝑚𝑖 iciclo= 5x2 + 4x1 + 3j, con j= 0
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclo de los 2,3,i (i=3) Totales
ciclo 1⁰ 1
m i iciclo 14 -
∆ 𝑚 2 -
n⁰c c 1 1
n⁰PC 2 2
mi fciclo 15 -
3.2 ) Secuencias del 5. Ciclos que comienzan con 3 :
𝑚𝑖 iciclo= 5x3 + 3j, con j= 0
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclo de los 3,3,i (i=3) Totales
ciclo 1⁰ 1
m i iciclo 15 -
∆ 𝑚 1 -
n⁰c c 1 1
n⁰PC 1 1
mi fciclo 15 -
En nuestro análisis, hemos encontrado que para cada secuencia interna de una secuencia principal,
podemos calcular el n⁰ de columnas de cada ciclo (n⁰c c), en función de la paridad de ∆ 𝒎,
mediante las expresiones:

17. Para ∆ 𝒎 par, el n⁰ de columnas del ciclo es: n⁰c c=
∆ 𝒎
𝟐
Para ∆ 𝒎 impar, el n⁰ de columnas del ciclo es: n⁰c c=
(∆ 𝒎+𝟏)
𝟐
Siendo ∆ 𝒎, la diferencia ( 𝒎 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏) − 𝒎𝒊, donde 𝒎 𝒎𝒂𝒙, corresponde al valor máximo de m,
considerado (en nuestro caso 𝒎 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓 ), y 𝒎𝒊, es el valor con el que inicia la primera columna
de cada ciclo de la secuencia.
Los 𝒎𝒊 de cualquier secuencia interna, representan progresiones aritméticas de razón igual a 3
unidades, y siempre pueden dividirse en valores pares y valores impares. Llamemos 𝒎𝒊,𝒑 a un
valor genérico par de las 𝒎𝒊 de la secuencia interna considerada, y 𝒎𝒊,𝒊, a un valor genérico impar
de la secuencia considerada. Sea a su vez, 𝒏 𝒑 el n⁰ de los elementos 𝒎𝒊,𝒑, y 𝒏𝒊, el n⁰ de los 𝒎𝒊,𝒊,
de dicha secuencia.
Si 𝑨 = ∑ 𝒎𝒊,𝒑 (suma de todos los 𝒎𝒊 pares de la S.I. considerada)
𝑩 = ∑ 𝒎𝒊,𝒊 (Suma de todos los 𝒎𝒊 impares de la S.I. considerada)
Será 𝑨 + 𝑩 = ∑ 𝒎𝒊, (Suma total de los 𝒎𝒊 de la S.I. considerada)
Y 𝑵 = 𝒏 𝒑 + 𝒏𝒊 ( N⁰ total de los 𝒎𝒊 pares e impares del caso, igual a su vez al n⁰ de ciclos de la
S.I. considerada )
Como el n⁰ de columnas por ciclo (n⁰c c), es igual al número de particiones discretas (n⁰PD),
contenidas en ese ciclo, para dicho par de valores m, y r, Podemos sustituir n⁰c c, por n⁰PD, en
las expresiones determinadas para ∆ 𝒎 par e impar.
Entonces como en nuestro caso de ejemplo*, ( 𝒎 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏) − 𝒎𝒊,𝒑, resulta siempre un valor par, y
( 𝒎 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏) − 𝒎𝒊,𝒊, resulta un valor impar, podemos escribir:
n⁰PD, del ciclo para 𝒎𝒊 pares =
[(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟏)−𝒎𝒊,𝒑]
𝟐
n⁰PD, del ciclo para 𝒎𝒊 impares =
[(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟏)−𝒎𝒊,𝒊+𝟏]
𝟐
Y para la S.I. considerada, Resulta:
n⁰PD S.I. =
𝒏 𝒑(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟏)−𝑨
𝟐
+
𝒏𝒊(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟏)−𝑩+𝒏𝒊
𝟐
=
(𝒏 𝒑+ 𝒏𝒊)(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟏)−(𝑨+𝑩)+ 𝒏𝒊
𝟐
=
𝑵(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟏)−∑ 𝒎𝒊+ 𝒏𝒊
𝟐
=
𝑵(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟐)−∑ 𝒎𝒊−𝒏 𝒑
𝟐

18. Expresiones que nos permiten calcular el número de particiones discretas de cada una de las
secuencias internas de un caso considerado de m y r
Ejemplo, Cálculo de las Particiones Discretas Para el caso m=15, y r=5
1.) Secuencias del 0-3, 𝒎𝒊 = 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟔 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝒎𝒊=0, 3, 6, 9, 12, 15 , y ∑ 𝒎𝒊 =
(𝟎+𝟏𝟓)𝟔
𝟐
= 𝟒𝟓
𝒏 𝒑 = 𝟑
𝒏𝒊 = 𝟑
𝑵 = 𝟔
Entonces: N⁰PD. S.I (0-3) =
𝟔(𝟏𝟓+𝟏)−𝟒𝟓+𝟑
𝟐
=
𝟔(𝟏𝟓+𝟐)−𝟒𝟓−𝟑
𝟐
= 𝟐𝟕
2.) Secuencias del 4:
2.1) Secuencia Interna 4x1, 𝒎𝒊 = 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟒 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝒎𝒊 = 𝟒, 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑 , y ∑ 𝒎𝒊 =
(𝟒+𝟏𝟑)𝟒
𝟐
= 𝟑𝟒
𝒏 𝒑 = 𝟐
𝒏𝒊 = 𝟐
𝑵 = 𝟒
Entonces: N⁰PD.S.I.(4x1)=
𝟒(𝟏𝟓+𝟏)−𝟑𝟒+𝟐
𝟐
=
𝟒(𝟏𝟓+𝟐)−𝟑𝟒−𝟐
𝟐
= 𝟏𝟔
2.2) Secuencia Interna 4x2, 𝒎𝒊 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟑 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝒎𝒊 = 𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒 , y ∑ 𝒎𝒊 =
(𝟖+𝟏𝟒)𝟑
𝟐
= 𝟑𝟑
𝒏 𝒑 = 𝟐
𝒏𝒊 = 𝟏
𝑵 = 𝟑
Entonces: N⁰PD.S.I.(4x2)=
𝟑(𝟏𝟓+𝟏)−𝟑𝟑+𝟏
𝟐
=
𝟑(𝟏𝟓+𝟐)−𝟑𝟑−𝟐
𝟐
= 𝟖

19. 2.3) Secuencia Interna 4x3, 𝒎𝒊 = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟐 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝒎𝒊 = 𝟏𝟐, 𝟏𝟓 , y ∑ 𝒎𝒊 =
(𝟏𝟐+𝟏𝟓)𝟐
𝟐
= 𝟐𝟕
𝒏 𝒑 = 𝟏
𝒏𝒊 = 𝟏
𝑵 = 𝟐
Entonces: N⁰PD.S.I.(4x3)=
𝟐(𝟏𝟓+𝟏)−𝟐𝟕+𝟏
𝟐
=
𝟐(𝟏𝟓+𝟐)−𝟐𝟕−𝟏
𝟐
= 𝟑
Nota: la S.I 4x4 no es posible, ya que 4x4=16>15
3.) Secuencias del 5:
3.1) Secuencia Interna 5x1, 𝒎𝒊 = 𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟒 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝒎𝒊 = 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒 , y ∑ 𝒎𝒊 =
(𝟓+𝟏𝟒)𝟒
𝟐
= 𝟑𝟖
𝒏 𝒑 = 𝟐
𝒏𝒊 = 𝟐
𝑵 = 𝟒
Entonces: N⁰PD.S.I.(5x1)=
𝟒(𝟏𝟓+𝟏)−𝟑𝟖+𝟐
𝟐
=
𝟒(𝟏𝟓+𝟐)−𝟑𝟖−𝟐
𝟐
= 𝟏𝟒
3.2) Secuencia Interna 5x1+4x1, 𝒎𝒊 = 𝟓𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 =
𝟑𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝒎𝒊 = 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓 , y ∑ 𝒎𝒊 =
(𝟗+𝟏𝟓)𝟑
𝟐
= 𝟑𝟔
𝒏 𝒑 = 𝟏
𝒏𝒊 = 𝟐
𝑵 = 𝟑
Entonces: N⁰PD.S.I.(5x1+4x1)=
𝟑(𝟏𝟓+𝟏)−𝟑𝟔+𝟐
𝟐
=
𝟑(𝟏𝟓+𝟐)−𝟑𝟔−𝟏
𝟐
= 𝟕

20. 3.3) Secuencia Interna 5x1+4x2, 𝒎𝒊 = 𝟓𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟏𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐
𝒎𝒊 = 𝟏𝟑 , y ∑ 𝒎𝒊 = 𝟏𝟑
𝒏 𝒑 = 𝟎
𝒏𝒊 = 𝟏
𝑵 = 𝟏
Entonces: N⁰PD.S.I.(5x1+4x2)=
𝟏(𝟏𝟓+𝟏)−𝟏𝟑+𝟏
𝟐
=
𝟏(𝟏𝟓+𝟐)−𝟏𝟑−𝟎
𝟐
= 𝟐
Nota: la S.I. 5x1+4x3 no es posible, ya que 5x1+4x3=17>15
3.4) Secuencia Interna 5x2, 𝒎𝒊 = 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟐𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
𝒎𝒊 = 𝟏𝟎, 𝟏𝟑 , y ∑ 𝒎𝒊 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟑 = 𝟐𝟑
𝒏 𝒑 = 𝟏
𝒏𝒊 = 𝟏
𝑵 = 𝟐
Entonces: N⁰PD.S.I.(5x2)=
𝟐(𝟏𝟓+𝟏)−𝟐𝟑+𝟏
𝟐
=
𝟐(𝟏𝟓+𝟐)−𝟐𝟑−𝟏
𝟐
= 𝟓
3.5) Secuencia Interna 5x2+4x1, 𝒎𝒊 = 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟏𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐
𝒎𝒊 = 𝟏𝟒 , y ∑ 𝒎𝒊 = 𝟏𝟒
𝒏 𝒑 = 𝟏
𝒏𝒊 = 𝟎
𝑵 = 𝟏
Entonces: N⁰PD.S.I.(5x2+4x1)=
𝟏(𝟏𝟓+𝟏)−𝟏𝟒+𝟎
𝟐
=
𝟏(𝟏𝟓+𝟐)−𝟏𝟒−𝟏
𝟐
= 𝟏
Nota: la S.I. 5x2+4x2, no es posible ya que 5x2+4x2=18>15

21. 3.6) Secuencia Interna 5x3, 𝒎𝒊 = 𝟓𝒙𝟑 + 𝟑𝒋 ≤ 𝟏𝟓 ⇒ 𝒋 = 𝟎, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 = 𝟏𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐
𝒎𝒊 = 𝟏𝟓 , y ∑ 𝒎𝒊 = 𝟏𝟓
𝒏 𝒑 = 𝟎
𝒏𝒊 = 𝟏
𝑵 = 𝟏
Entonces: N⁰PD.S.I.(5x3)=
𝟏(𝟏𝟓+𝟏)−𝟏𝟓+𝟏
𝟐
=
𝟏(𝟏𝟓+𝟐)−𝟏𝟓−𝟎
𝟐
= 𝟏
No habrá más S.P. ni S.I. posibles para este caso de r=5, y m=15
*En el caso de que 𝒎 𝒎𝒂𝒙 fuera un valor par, sería 𝒎 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏, un valor impar, entonces
( 𝒎 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏) − 𝒎𝒊,𝒑, resulta siempre un valor impar, y ( 𝒎 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏) − 𝒎𝒊,𝒊, resulta siempre un
valor par, por ello las expresiones para obtener el n⁰PD del ciclo, resultarían intercambiadas, pero
su suma, es decir la expresión de cálculo para las n⁰PD S.I. , nos conduce a un resultado correcto.
Es decir que para estos casos, aplicamos:
n⁰PD S.I. =
𝒏 𝒑(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟏)−𝑨+𝒏 𝒑
𝟐
+
𝒏𝒊(𝒎 𝑴𝒂𝒙+𝟏)−𝑩
𝟐
=
𝑵( 𝒎 𝑴𝒂𝒙 + 𝟏) − ∑ 𝒎𝒊 + 𝒏 𝒑
𝟐
=
𝑵( 𝒎 𝑴𝒂𝒙 + 𝟐) − ∑ 𝒎𝒊 − 𝒏𝒊
𝟐
El n⁰ total de Particiones Discretas para el caso considerado de m =15, y r =5, estará dado por la
suma de cada uno de los valores de N⁰PD.S.I, determinados anteriormente, es decir por la suma:
𝑷 𝟓( 𝟏𝟓) = ∑ 𝐍 𝟎
𝐏𝐃. 𝐒. 𝐈(𝟓, 𝟏𝟓).= 𝟐𝟕 + 𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟒 + 𝟕 + 𝟐 + 𝟓 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟖𝟒
Lo cual como ya hemos establecido anteriormente, se corresponde con el número de coeficientes
básicos (C.B.) del polinomio ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝟓) 𝟏𝟓
Para un caso específico de m, y r dados, no pueden haber secuencias principales con un valor
numérico mayor que el del r considerado, y la suma de los valores del desarrollo de cualquier
secuencia interna posible, no podrá alcanzar, y mucho menos sobrepasar el límite dado por el
valor m+1, que hemos denominado, límite no alcanzable (L.N.A.). Así, por ej. Para r=5, y m=15,
solo habrán secuencias principales del 0, 3, 4, y 5, y no habrán desarrollos de secuencias internas,
cuya suma sea mayor que 15.
Conocidas las S.P. para un caso de m, y r, dadas por la condición 𝑺. 𝑷.≤ 𝒓, y conocidas cada una
de las S.I. posibles, dadas por su limitación 𝑺. 𝑰. ≤ 𝒎, podemos fácilmente determinar el número
de elementos 𝒎𝒊 de cada una de estas S.I., o número de ciclos N, correspondiente a cada S.I.
posible del caso. Ello a su vez, nos permite calcular de forma inmediata los valores de ∑ 𝒎𝒊, ya
que siempre se trata de progresiones aritméticas de razón 3. Entonces para poder aplicar

22. cualquiera de las 2 expresiones anteriormente deducidas para el cálculo de 𝑷 𝒓( 𝒎), deberemos
encontrar un método que nos permita determinar de una manera expedita, cualquiera de los
valores 𝒏 𝒑,o 𝒏𝒊, involucrados en la expresión.
Para ello, hemos elaborado una tabla nemotécnica de aplicación general para este tipo de
progresiones:
TABLA PARA LA DETERMINACIÓN DE 𝒏 𝒑, o 𝒏𝒊 DE CADA S.I.
Con esta última tabla, completamos los procedimientos previos de cálculo, necesarios para la
determinación del número de Particiones Discretas, de cualquier caso de m, y r dados,
mediante cualquiera de las 2 expresiones ya deducidas anteriormente, y que podemos resumir
como:
𝑷 𝒓( 𝒎) = 𝟏/𝟐∑ [𝑵(𝒎 + 𝟏) − ∑ 𝒎𝒊 + 𝒏𝒊]
𝑺.𝑰.
= 𝟏/𝟐∑ [𝑵(𝒎 + 𝟐) − ∑ 𝒎𝒊 − 𝒏 𝒑]
𝑺.𝑰.
S.I. , indica que la sumatoria debe calcularse sobre todas las secuencias internas de cada una de
las secuencias principales del caso considerado de m, y r .
Nota: si m es par, sustituimos 𝒏𝒊 por 𝒏 𝒑 y viceversa
La expresión n⁰PD S.I., puede simplificarse para cada caso particular de S.I. de una S.P., ya que
conocidos el primer término (𝑚1,𝑖) de la sucesión de 𝑚𝑖 correspondientes a dicha S.I. y el número
de elementos de la misma, o número de ciclos (N), de la secuencia, el término ∑ 𝑚𝑖 de la expresión,
CASOS 𝒎𝒊 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 N 𝒏𝒊 𝒏 𝒑 𝒎𝒊 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
1 PAR PAR 𝑵/𝟐 𝑵/𝟐 IMPAR
2 IMPAR PAR 𝑵/𝟐 𝑵/𝟐 PAR
3 PAR IMPAR (𝑵 − 𝟏)/𝟐 (𝑵 + 𝟏)/𝟐 PAR
4 IMPAR IMPAR (𝑵 + 𝟏)/𝟐 (𝑵 − 𝟏)/𝟐 IMPAR

23. puede obtenerse en función de esta primera 𝑚𝑖, y del número de elementos N, de la S.I.
considerada. Así mismo, el término 𝑛𝑖 , o el 𝑛 𝑝, pueden obtenerse como una función del N, de dicha
S.I. , respondiendo a la regla nemotécnica dada por la tabla anterior.
Entonces, podemos escribir: ∑ 𝑚𝑖 =
𝑁
2
[2𝑚1,𝑖 + 3( 𝑁 − 1)]
Y si por ej. 𝑚1,𝑖 y N son pares, resultarán 𝑛𝑖 = 𝑛 𝑝 = 𝑁/2
Si hacemos las sustituciones correspondientes, obtenemos:
n⁰PD S.I.=
𝑵
𝟐
[(𝒎 − 𝒎 𝟏,𝒊) − 𝟑 (
𝑵
𝟐
− 𝟏)]
Por ej. Para m=15, y r=5 y la S.I del 0-3, siendo 𝒎 𝟏,𝒊 = 𝟎 , y 𝑵 = 𝟔 , (𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔)será:
n⁰PD S.I=
𝟔
𝟐
[(𝟏𝟓 − 𝟎) − 𝟑(
𝟔
𝟐
− 𝟏)] = 𝟑[𝟏𝟓 − 𝟔] = 𝟑𝒙𝟗 = 𝟐𝟕, resultado ya obtenido
anteriormente, para las secuencias del 0-3, en el caso de ejemplo para m=15, y r=5
Evidentemente, estas particularizaciones, pueden extenderse a cada uno de los casos posibles
recogidos por la tabla nemotécnica de determinación de las 𝑛𝑖, y las 𝑛 𝑝.
OTRAS FORMAS PRÁCTICAS E INMEDIATAS PARA LA OBTENCIÓN DE LAS PARTICIONES DISCRETAS
DE UN ENTERO POSITIVO m EN OTROS r ENTEROS POSITIVOS ( 𝑷 𝒓( 𝒎) ), SIENDO 𝒓 ≤ 𝒎
Desarrollando nuestras expresiones para el cálculo de 𝑷 𝒓( 𝒎), hemos elaborado una tabla o
triángulo de valores correspondientes al número de Particiones Discretas (P.D.) con 1, 2,…, r=m,
cifras significativas para cada valor de m, desde 𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 15. Lo cual como ya conocemos,
coincide con el número de coeficientes básicos del polinomio ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, que será
máximo, cuando 𝒎 = 𝒓
Al construir esta tabla de valores, hemos encontrado diversas propiedades características, pero la
más importante de ellas es aquella que nos permite al aplicarla, construir de manera inmediata todo
el triángulo de valores de P.D. de m, en r, para cualquier valor entero positivo de m. A continuación
presentamos los resultados obtenidos ya tabulados.

24. TABLA DEL N⁰ DE P.D. DE m EN r, CON r CIFRAS SIGNIFICATIVAS PARA CADA CASO DE 𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎
PARA 𝒎 = 𝟎, 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒎 = 𝟏𝟓
r
m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 N⁰T
P.D.
0 1 1
1 1 1
2 1 1 2
3 1 1 1 3
4 1 2 1 1 5
5 1 2 2 1 1 7
6 1 3 3 2 1 1 11
7 1 3 4 3 2 1 1 15
8 1 4 5 5 3 2 1 1 22
9 1 4 7 6 5 3 2 1 1 30
10 1 5 8 9 7 5 3 2 1 1 42
11 1 5 10 11 10 7 5 3 2 1 1 56
12 1 6 12 15 13 11 7 5 3 2 1 1 77
13 1 6 14 18 18 14 11 7 5 3 2 1 1 101
14 1 7 16 23 23 20 15 11 7 5 3 2 1 1 135
15 1 7 19 27 30 26 21 15 11 7 5 3 2 1 1 176
Analizando la tabla, notamos las siguientes propiedades:

25. 1. Los elementos de la primera columna, son todos iguales a la unidad
2. Los elementos de la segunda columna, aumentan secuencialmente una unidad cada dos
filas, siguiendo los valores de la sucesión natural 1,2,3, … , 𝑛, a partir de 𝑚 = 2
3. Los elementos de las 2 primeras diagonales son todos unitarios
4. Cada una de las diagonales siguientes comienzan con la unidad y contienen valores
constantes, que aparecen en ellas, al avanzar diagonalmente un número de lugares que
sigue la sucesión natural 1,2,3,… .Los dos valores que preceden en cada una de estas
diagonales al valor constante, forman con este, una sucesión aritmética de razón igual a la
unidad.
5. Los valores constantes en cada diagonal, forman una sucesión cuyos valores coinciden con
los valores correspondientes a la sucesión de valores totales de Particiones Discretas para
cada caso de 𝑟 = 𝑚, es decir: 1,1,2,3,5,7,11,15,22, …resaltados en verde en la tabla.
6. Como podemos comprobar de esta tabla se pueden obtener el total de P.D de los casos
donde 𝑟 ≤ 𝑚, así para el caso de nuestro ejemplo anterior, las Particiones Discretas de 15,
en 5, ( 𝑷 𝟓( 𝟏𝟓) ), se obtienen al sumar los primeros 5 valores de la fila correspondiente a
m=15, es decir: 𝑷 𝟓( 𝟏𝟓) = 𝟏 + 𝟕 + 𝟏𝟗 + 𝟐𝟕 + 𝟑𝟎 = 𝟖𝟒, como ya habíamos calculado
previamente al desarrollar nuestras expresiones de cálculo por secuencias internas.
7. La propiedad fundamental, que nos permite construir de manera inmediata la tabla, o
triángulo de valores de las Particiones Discretas de m, en r ( 𝑃𝑟( 𝑚)), es la siguiente:
La suma de los valores del número de P.D. de r cifras significativas contenidos en cada
fila horizontal correspondientes a cada valor de m, según el número de columnas que
consideremos, da como resultado una sucesión de valores que se corresponden con los
valores constitutivos de la columna de igual número o valor de r, siempre comenzando
dicha columna en 𝒎 = 𝒓
Esta última propiedad, permite desarrollar, o construir el triángulo de valores de P.D de m
en r, contenidos en la tabla, hasta cualquier valor entero de 𝑟 ≤ 𝑚, de manera sistemática
e inmediata. Siendo conveniente la utilización de un sencillo programa de computación “Ad
hoc” cuando se trate de números enteros de cierta envergadura.
Estos resultados además, nos permiten obtener el número de Coeficientes Básicos de un
Polinomio Potenciado, tal como ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, de una manera sencilla e inmediata, sin
necesidad de desarrollarlo.

26. ANEXO I
Explicación del contenido de la tabla y del procedimiento para la construcción del triángulo de
valores de P.D. de m en r ( 𝑷 𝒓( 𝒎) ), con r cifras significativas ( c.s ), para cada caso de 𝟎 < 𝒓 ≤
𝒎
Ejemplo de contenidos, para para los valores correspondientes a cada caso de r posible, para
𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5
( 𝑟, 𝑚) 𝑃. 𝐷. 𝑟 ( 𝑚) N⁰c.s 𝑁0
𝑃. 𝐷𝑟( 𝑚) Total 𝑑𝑒
𝑃. 𝐷. 𝑟 ( 𝑚)
(1,0) 1 1 1 1
(1,1) 1 1 1 1
(1,2)
(2,2)
2
1.1
1
2
1
1 2
(1,3)
(2,3)
(3,3)
3
1.2
1.1.1
1
2
3
1
1
1 3
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
4 1 1
5
1.3
2.2
2
22
1.1.1 3 1
1.1.1.1 4 1
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
5 1 1
7
1.4
2.3
2
22
1.1.3
1.2.2
3
23
1.1.1.2 4 1
1.1.1.1.1 5 1
La penúltima columna de esta tabla se corresponde con los valores contenidos en las primeras 6
filas del triángulo de valores de P.D. de m en r ( 𝑃𝑟( 𝑚) ), desde 𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5, y la última
columna, se corresponde con la última columna del triángulo o columna de valores totales de P.D
de cada caso de m, igualmente, desde 𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5

27. La construcción por columnas del triángulo de 𝑷 𝒓( 𝒎), se realiza de la
manera siguiente:
La primera columna, como ya hemos establecido, está constituida por valores todos iguales a la
unidad, independientemente del caso de 𝑚 ≥ 0. Pero por razones didácticas vamos a proceder a
su construcción solo partiendo del valor convenido 𝑷 𝟏( 𝟎) = 𝟏, correspondiente a r=1 y m=0.
Para calcular el valor que corresponde a la primera columna (r=1), para m=1, sumamos todos los
valores contenidos en la primera fila (m=0), hasta la 1ª columna, con lo cual obtenemos en este
caso, un solo valor igual a la unidad. Este valor será el primer valor que corresponde a la primera
columna para m=1
De manera similar, procedemos a sumar todos los valores contenidos en la 2ª fila (m=1), hasta la
1ª columna, con lo cual, de nuevo obtenemos un solo valor igual a la unidad. Este valor será el
segundo valor que corresponde a la 1ª columna, para m=2
Siguiendo este procedimiento, encontraremos que todos y c/u de los valores de la primera
columna son iguales a la unidad, para cualquier valor de 𝑚 ≥ 0.
Conocidos los valores de esta1ª columna, para construir la 2ª columna aplicamos un
procedimiento totalmente análogo:
Para ello, partimos de los valores contenidos en la1ª fila del triángulo (m=0), hasta la segunda
columna (r=2), cuya suma nos da de nuevo un valor igual a 1 + 0 = 1. Este valor, será el primer
valor de la 2ª columna, correspondiente a m=2, y r=2
A continuación, sumamos los valores contenidos en la 2ª fila del triángulo (m=1), hasta la 2ª
columna, con lo cual obtenemos un valor igual a 1 + 0 = 1. Este valor, será el segundo valor de la
2ª columna, correspondiente a m=3, y r=2
Ahora, sumamos los valores contenidos en la 3ª fila del triángulo (m=2), hasta la segunda columna,
con lo cual, obtenemos un valor igual a 1 + 1 = 2. Este valor, será el tercer valor de la 2ª columna,
correspondiente a m=4, y r=2
Aplicando este mismo procedimiento, podemos obtener todos los valores de la2ª columna, hasta
el m considerado, y conocidos los valores de la 1ª y 2ª columnas, podemos de manera recurrente,
aplicar el mismo procedimiento anterior para obtener los valores de la tercera columna.
Este método, puede aplicarse sucesivamente para obtener cada uno de los valores de las
columnas restantes de la tabla, y de este modo completar la construcción del triángulo de P.D. de
m en r , (𝑃𝑟( 𝑚) ), hasta el valor de m considerado.

28. La construcción de la tabla nos permite determinar “A priori”, cuantas Particiones Discretas de
1,2,…, r cifras significativas, corresponden al total de cada caso de m. Así p.ej. para m=5, tendremos:
r c.s P.D N⁰ P.D.
1 1 5 1
2 2 1.4
2.3 2
3 3 1.1.3
1.2.2 2
4 4 1.1.1.2 1
5 5 1.1.1.1.1 1
Total de P.D. para m=5 y r=5 7
Así mismo, nos permite determinar el n⁰ de P.D. de cualquier caso de m, donde 𝑟 ≤ 𝑚, por ejemplo,
para m=5, el número de P.D hasta r=3, será : 1+2+2=5, (ver tabla), lo cual se corresponde con el n⁰
de C.B. del polinomio potenciado ( 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)5
, cuyos 5 valores son: 1, 5, 10, 20, 30, dados por:
P.D. C.B.
0.0.5 5! 0! 0! 5!⁄ = 1
0.1.4 5! 0! 1! 4! = 5⁄
0.2.3 5! 0! 2! 3!⁄ = 10
1.1.3 5! 1! 1! 3!⁄ = 20
1.2.2 5! 1! 2! 2!⁄ = 30

29. Con estas expresiones generales, y este práctico triángulo de valores, damos por terminada, esta
breve exploración complementaria en el interesante campo de las Particiones Discretas de un
entero positivo m, en grupos siempre de r elementos, siendo estos, cifras significativas y ceros de
completación.
ENRIQUE R.ACOSTA R. NOVIEMBRE DE 2017
BIBLIOGRAFIA:
PARTICIONES DISCRETAS DE m EN r COEFICIENTES POLINOMIALES Y SU CADENA DE VALOR 2017
Enrique R. Acosta R. 2017