Particiones discretas de m en r coeficientes polinomiales y su cadena de valor

PARTICIONES DISCRETAS DE m EN r
COEFICIENTES POLINOMIALES Y SU CADENA
DE VALOR
m y r
𝑟 𝑚
Enrique R. Acosta R. 2017
Particiones Discretas ordenadas
Permutaciones con repetición
Coeficientes de Polinomios
potenciados
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición y sus
valores suma
y sus
Valores suma
Número total de veces en el desarrollo

Particiones discretas de un entero positivo m en r cifras enteras [ 𝑷 𝒓(𝒎) ], donde la suma de los
elementos de cada grupo sea igual a m, y su relación biunívoca con los coeficientes del
polinomio (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
Partición y composición de enteros.
La partición de un número entero es la forma de descomponerlo en forma de suma, con uno o
más sumandos positivos (a los que se les conoce como partes). La permutación de los sumandos
se considera como la misma partición. Por ejemplo, el número 4 tiene particiones: 4, 3+1, 2+2,
2+1+1 y 1+1+1+1.
A la función que da como resultado la cantidad de particiones para un número m se le conoce
como función partición y está representado por P(m). Por convención, P(0) = 1 y P(m) = 0, para
m< 0.
Esta función es muy similar a la del cambio, sólo que podemos considerar que tenemos monedas
de denominaciones entre 1 y m. Entonces, utilizando la función P(m, k) como la función partición.
Utilizando particiones menores o iguales a k, podemos calcular P(m, k) obteniendo primero
P(m, k-1) y sumándole P(m –k, k).
Cuando a la permutación de los sumandos se les considera como un resultado distinto, en lugar de
particiones, hablamos de composición de enteros, y cuando se permite utilizar el número cero en
la composición, a veces se le llama composición débil. Por ejemplo, el número 4 tiene 8
composiciones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+3, 1+2+1, 1+1+2, 1+1+1+1. La cantidad de composiciones
para un número está dada por 2 𝑚−1
para m ≥ 1; y al igual que con la partición, por convención
existe una composición para el cero y ninguna para números negativos.
Particiones discretas 𝑷 𝒓(𝒎), de un número entero m
Denominaremos así a aquellas particiones de m, (m≥0), limitadas a un máximo de r cifras enteras,
que sumen m, y donde si el número de cifras que lo verifican es menor que r, los lugares vacios se
completan con ceros, para que los grupos siempre consten de r elementos.
En este trabajo, trataremos de determinar las secuencias de formación de los grupos de
particiones discretas de m en r
Valores Suma (VS), y Número de Grupos ordenados por cada caso de m y r ( N⁰𝑮 𝒓
𝒎
)
Se trata en este caso de obtener métodos y expresiones matemáticas que nos permitan
determinar cuáles, y calcular cuántos grupos (N⁰𝐺𝑟
𝑚
) de r ≤ 𝑚 elementos c/u, pueden formarse
con los números del conjunto de los m primeros números naturales (𝑈 𝑚).donde dos grupos

básicos se diferencian al menos en un elemento y cada grupo, se caracteriza por el igual valor
suma (VS) de sus elementos.
Para cada valor de 𝑟 ≤ 𝑚 , los [(𝑚 − 1)𝑟 + 1] valores suma diferente y posible de cada caso
considerado de r y m, podrán variar entre un VS mínimo igual a r, y un VS máximo igual a mxr.
Inicialmente para su estudio, consideraremos el conjunto 𝑈9 = {1,2,3, … ,9}, entonces r podrá
tomar los valores r=1,2,3,...,9, y se tendrá: N⁰𝐺1
9
= 9, y N⁰𝐺9
9
= 1
Para sistematizar la obtención directa de resultados, hemos desarrollado un conjunto de cuadros o
tablas correspondientes a los grupos básicos ordenados y clasificados según sea la cantidad de sus
elementos constituyentes iguales o diferentes. Estos grupos básicos se originan a partir de todas
las permutaciones posibles o permutaciones con repetición de m elementos tomados r a r.
Tablas de Grupos, sus Valores Suma (VS), y Número de Grupos por cada caso (N⁰𝑮 𝒓
𝒎
)
CASO: m=9 ,y r=2
Valores suma posibles: (m-1)r+1= 8x2 +1 = 17 casos
𝑉𝑆 𝑚í𝑛 = 2 , 𝑉𝑆 𝑚á𝑥 = 18 ,
𝑉𝑆 𝑚á𝑥
𝑉𝑆 𝑚í𝑛
= 9
9 grupos con dos elementos iguales y sus valores suma (VS)
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO
2 1,1 4 2,2 6 3,3 8 4,4 10 5,5 12 6,6 14 7,7 16 8,8 18 9,9
Resumen
VS 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (9)
N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)
36 grupos con dos elementos diferentes entre sí y sus valores suma (VS)
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
3 1,2 1
4 1,3 5 2,3 2
5 1,4 6 2,4 7 3,4 3
6 1,5 7 2,5 8 3,5 9 4,5 4
7 1,6 8 2,6 9 3,6 10 4,6 11 5,6 5
8 1,7 9 2,7 10 3,7 11 4,7 12 5,7 13 6,7 6
9 1,8 10 2,8 11 3,8 12 4,8 13 5,8 14 6,8 15 7,8 7
10 1,9 11 2,9 12 3,9 13 4,9 14 5,9 15 6,9 16 7,9 17 8,9 8
Resumen Total de grupos : 𝑛(𝑛 − 1) 2⁄ = 36
VS 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (15)
N⁰ Grupos 1 1 2 2 3 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 (36)
El total de grupos del caso corresponde a: 𝑪 𝒓,𝟗,𝟐 = (
𝟗 + 𝟐 − 𝟏
𝟐
) = (
𝟏𝟎
𝟐
) = 𝟒𝟓 = 𝟗 + 𝟑𝟔 = (
𝟗
𝟏
) + (
𝟗
𝟐
) *En
𝐶𝑟 , o en 𝑃𝑟, la r es solo inicial de repetición
CASO: m=9 , y r=3
Valores suma posibles: (m-1)r + 1 =8x3 +1=25 casos
𝑉𝑆 𝑚í𝑛 = 3 , 𝑉𝑆 𝑚á𝑥 = 27 ,
𝑉𝑆 𝑚á𝑥
𝑉𝑆 𝑚í𝑛
= 9
9 grupos con tres elementos iguales y sus valores suma (VS)

3 1,1,1 6 2,2,2 9 3,3,3 12 4,4,4 15 5,5,5 18 6,6,6 21 7,7,7 24 8,8,8 27 9,9,9
Resumen
VS 3 6 9 12 15 18 21 24 27 (9)
N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)
72 grupos con dos elementos iguales y uno diferente y sus valores suma (VS)
4 1,1,2 5 2,2,1 7 3,3,1 9 4,4,1 11 5,5,1 13 6,6,1 15 7,7,1 17 8,8,1 19 9,9,1
5 1,1,3 7 2,2,3 8 3,3,2 10 4,4,2 12 5,5,2 14 6,6,2 16 7,7,2 18 8,8,2 20 9,9,2
6 1,1,4 8 2,2,4 10 3,3,4 11 4,4,3 13 5,5,3 15 6,6,3 17 7,7,3 19 8,8,3 21 9,9,3
7 1,1,5 9 2,2,5 11 3,3,5 13 4,4,5 14 5,5,4 16 6,6,4 18 7,7,4 20 8,8,4 22 9,9,4
8 1,1,6 10 2,2,6 12 3,3,6 14 4,4,6 16 5,5,6 17 6,6,5 19 7,7,5 21 8,8,5 23 9,9,5
9 1,1,7 11 2,2,7 13 3,3,7 15 4,4,7 17 5,5,7 19 6,6,7 20 7,7,6 22 8,8,6 24 9,9,6
10 1,1,8 12 2,2,8 14 3,3,8 16 4,4,8 18 5,5,8 20 6,6,8 22 7,7,8 23 8,8,7 25 9,9,7
11 1,1,9 13 2,2,9 15 3,3,9 17 4,4,9 19 5,5,9 21 6,6,9 23 7,7,9 25 8,8,9 26 9,9,8
Resumen
VS 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 (23)
N⁰G 1 2 1 3 3 3 4 5 3 5 4 4 4 5 3 5 4 3 3 3 1 2 1 (72)
84 grupos con tres elementos, al menos con un elemento diferente, y sus valores suma (VS)
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
6 1,2,3 1
7 1,2,4 8 1,3,4 2
8 1,2,5 9 1,3,5 10 1,4,5 3
9 1,2,6 10 1,3,6 11 1,4,6 12 1,5,6 4
10 1,2,7 11 1,3,7 12 1,4,7 13 1,5,7 14 1,6,7 5
11 1,2,8 12 1,3,8 13 1,4,8 14 1,5,8 15 1,6,8 16 1,7,8 6
12 1,2,9 13 1,3,9 14 1,4,9 15 1,5,9 16 1,6,9 17 1,7,9 18 1,8,9 7 28
9 2,3,4 1
10 2,3,5 11 2,4,5 2
11 2,3,6 12 2,4,6 13 2,5,6 3
12 2,3,7 13 2,4,7 14 2,5,7 15 2,6,7 4
13 2,3,8 14 2,4,8 15 2,5,8 16 2,6,8 17 2,7,8 5
14 2,3,9 15 2,4,9 16 2,5,9 17 2,6,9 18 2,7,9 19 2,8,9 6 21
12 3,4,5 1
13 3,4,6 14 3,5,6 2
14 3,4,7 15 3,5,7 16 3,6,7 3
15 3,4,8 16 3,5,8 17 3,6,8 18 3,7,8 4
16 3,4,9 17 3,5,9 18 3,6,9 19 3,7,9 20 3,8,9 5 15
15 4,5,6 1
16 4,5,7 17 4,6,7 2
17 4,5,8 18 4,6,8 19 4,7,8 3
18 4,5,9 19 4,6,9 20 4,7,9 21 4,8,9 4 10
18 5,6,7 1
19 5,6,8 20 5,7,8 2
20 5,6,9 21 5,7,9 22 5,8,9 3 6
21 6,7,8 1
22 6,7,9 23 6,8,9 2 3
24 7,8,9 1 1
Total de grupos : 84
Resumen
VS 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (19)
N⁰G 1 1 2 3 4 5 7 7 8 8 8 7 7 5 4 3 2 1 1 (84)

El total de grupos del caso corresponde a: 𝑪 𝒓,𝟗,𝟑 = (
𝟗 + 𝟑 − 𝟏
𝟑
) = (
𝟏𝟏
𝟑
) = 𝟏𝟔𝟓 = 𝟗 + 𝟕𝟐 + 𝟖𝟒 =
(
𝟗
𝟏
) + 𝟐 (
𝟗
𝟐
) + (
𝟗
𝟑
)
CASO: m=9 , y r=4
Valores suma posibles: (m-1)r + 1=8x4 +1=33
𝑉𝑆 𝑚í𝑛 = 4 , 𝑉𝑆 𝑚á𝑥 = 36 ,
𝑉𝑆 𝑚á𝑥
𝑉𝑆 𝑚í𝑛
= 9
9 grupos con cuatro elementos iguales y sus valores suma (VS)
4 1,1,1,1 8 2,2,2,2 12 3,3,3,3 16 4,4,4,4 20 5,5,5,5 24 6,6,6,6 28 7,7,7,7 32 8,8,8,8 36 9,9,9,9
Resumen
VS 4 8 12 16 20 24 28 32 36 (9)
N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)
36 grupos con dos pares de elementos iguales y sus valores suma (VS)
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
6 1,1,2,2 1
8 1,1,3,3 10 2,2,3,3 2
10 1,1,4,4 12 2,2,4,4 14 3,3,4,4 3
12 1,1,5,5 14 2,2,5,5 16 3,3,5,5 18 4,4,5,5 4
14 1,1,6,6 16 2,2,6,6 18 3,3,6,6 20 4,4,6,6 22 5,5,6,6 5
16 1,1,7,7 18 2,2,7,7 20 3,3,7,7 22 4,4,7,7 24 5,5,7,7 26 6,6,7,7 6
18 1,1,8,8 20 2,2,8,8 22 3,3,8,8 24 4,4,8,8 26 5,5,8,8 28 6,6,8,8 30 7,7,8,8 7
20 1,1,9,9 22 2,2,9,9 24 3,3,9,9 26 4,4,9,9 28 5,5,9,9 30 6,6,9,9 32 7,7,9,9 34 8,8,9,9 8
Total de grupos : 𝑛(𝑛 − 1) 2⁄ = 36
Resumen
VS 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 (15)
N⁰G 1 1 2 2 3 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 (36)
72 grupos con tres elementos iguales y uno diferente, y sus valores suma (VS)
5 1,1,1,2 7 2,2,2,1 10 3,3,3,1 13 4,4,4,1 16 5,5,5,1 19 6,6,6,1 22 7,7,7,1 25 8,8,8,1 28 9,9,9,1
6 1,1,1,3 9 2,2,2,3 11 3,3,3,2 14 4,4,4,2 17 5,5,5,2 20 6,6,6,2 23 7,7,7,2 26 8,8,8,2 29 9,9,9,2
7 1,1,1,4 10 2,2,2,4 13 3,3,3,4 15 4,4,4,3 18 5,5,5,3 21 6,6,6,3 24 7,7,7,3 27 8,8,8,3 30 9,9,9,3
8 1,1,1,5 11 2,2,2,5 14 3,3,3,5 17 4,4,4,5 19 5,5,5,4 22 6,6,6,4 25 7,7,7,4 28 8,8,8,4 31 9,9,9,4
9 1,1,1,6 12 2,2,2,6 15 3,3,3,6 18 4,4,4,6 21 5,5,5,6 23 6,6,6,5 26 7,7,7,5 29 8,8,8,5 32 9,9,9,5
10 1,1,1,7 13 2,2,2,7 16 3,3,3,7 19 4,4,4,7 22 5,5,5,7 25 6,6,6,7 27 7,7,7,6 30 8,8,8,6 33 9,9,9,6
11 1,1,1,8 14 2,2,2,8 17 3,3,3,8 20 4,4,4,8 23 5,5,5,8 26 6,6,6,8 29 7,7,7,8 31 8,8,8,7 34 9,9,9,7
12 1,1,1,9 15 2,2,2,9 18 3,3,3,9 21 4,4,4,9 24 5,5,5,9 27 6,6,6,9 30 7,7,7,9 33 8,8,8,9 35 9,9,9,8
Resumen
VS 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 (31)
N⁰G 1 1 2 1 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 1 2 1 1 (72)

252 grupos con dos elementos iguales y dos diferentes y sus valores suma (VS)
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
7 1,1,2,3 1
8 1,1,2,4 9 1,1,3,4 2
9 1,1,2,5 10 1,1,3,5 11 1,1,4,5 3
10 1,1,2,6 11 1,1,3,6 12 1,1,4,6 13 1,1,5,6 4
11 1,1,2,7 12 1,1,3,7 13 1,1,4,7 14 1,1,5,7 15 1,1,6,7 5
12 1,1,2,8 13 1,1,3,8 14 1,1,4,8 15 1,1,5,8 16 1,1,6,8 17 1,1,7,8 6
13 1,1,2,9 14 1,1,3,9 15 1,1,4,9 16 1,1,5,9 17 1,1,6,9 18 1,1,7,9 19 1,1,8,9 7 28
8 2,2,1,3 1
9 2,2,1,4 11 2,2,3,4 2
10 2,2,1,5 12 2,2,3,5 13 2,2,4,5 3
11 2,2,1,6 13 2,2,3,6 14 2,2,4,6 15 2,2,5,6 4
12 2,2,1,7 14 2,2,3,7 15 2,2,4,7 16 2,2,5,7 17 2,2,6,7 5
13 2,2,1,8 15 2,2,3,8 16 2,2,4,8 17 2,2,5,8 18 2,2,6,8 19 2,2,7,8 6
14 2,2,1,9 16 2,2,3,9 17 2,2,4,9 18 2,2,5,9 19 2,2,6,9 20 2,2,7,9 21 2,2,8,9 7 28
9 3,3,1,2 1
11 3,3,1,4 12 3,3,2,4 2
12 3,3,1,5 13 3,3,2,5 15 3,3,4,5 3
13 3,3,1,6 14 3,3,2,6 16 3,3,4,6 17 3,3,5,6 4
14 3,3,1,7 15 3,3,2,7 17 3,3,4,7 18 3,3,5,7 19 3,3,6,7 5
15 3,3,1,8 16 3,3,2,8 18 3,3,4,8 19 3,3,5,8 20 3,3,6,8 21 3,3,7,8 6
16 3,3,1,9 17 3,3,2,9 19 3,3,4,9 20 3,3,5,9 21 3,3,6,9 22 3,3,7,9 23 3,3,8,9 7 28
11 4,4,1,2 1
12 4,4,1,3 13 4,4,2,3 2
14 4,4,1,5 15 4,4,2,5 16 4,4,3,5 3
15 4,4,1,6 16 4,4,2,6 17 4,4,3,6 19 4,4,5,6 4
16 4,4,1,7 17 4,4,2,7 18 4,4,3,7 20 4,4,5,7 21 4,4,6, 5
17 4,4,1,8 18 4,4,2,8 19 4,4,3,8 21 4,4,5,8 22 4,4,6, 23 4,4,7,8 6
18 4,4,1,9 19 4,4,2,9 20 4,4,3,9 22 4,4,5,9 23 4,4,6, 24 4,4,7,9 25 4,4,8,9 7 28
13 5,5,1,2 1
14 5,5,1,3 15 5,5,2,3 2
15 5,5,1,4 16 5,5,2,4 17 5,5,3,4 3
17 5,5,1,6 18 5,5,2,6 19 5,5,3,6 20 5,5,4,6 4
18 5,5,1,7 19 5,5,2,7 20 5,5,3,7 21 5,5,4,7 23 5,5,6,7 5
19 5,5,1,8 20 5,5,2,8 21 5,5,3,8 22 5,5,4,8 24 5,5,6,8 25 5,5,7,8 6
20 5,5,1,9 21 5,5,2,9 22 5,5,3,9 23 5,5,4,9 25 5,5,6,9 26 5,5,7,9 27 5,5,8,9 7 28
15 6,6,1,2 1
16 6,6,1,3 17 6,6,2,3 2
17 6,6,1,4 18 6,6,2,4 19 6,6,3,4 3
18 6,6,1,5 19 6,6,2,5 20 6,6,3,5 21 6,6,4,5 4
20 6,6,1,7 21 6,6,2,7 22 6,6,3,7 23 6,6,4,7 24 6,6,5,7 5
21 6,6,1,8 22 6,6,2,8 23 6,6,3,8 24 6,6,4,8 25 6,6,5,8 27 6,6,7,8 6
22 6,6,1,9 23 6,6,2,9 24 6,6,3,9 25 6,6,4,9 26 6,6,5,9 28 6,6,7,9 29 6,6,8,9 7 28
17 7,7,1,2 1
18 7,7,1,3 19 7,7,2,3 2
19 7,7,1,4 20 7,7,2,4 21 7,7,3,4 3
20 7,7,1,5 21 7,7,2,5 22 7,7,3,5 23 7,7,4,5 4
21 7,7,1,6 22 7,7,2,6 23 7,7,3,6 24 7,7,4,6 25 7,7,5,6 5
23 7,7,1,8 24 7,7,2,8 25 7,7,3,8 26 7,7,4,8 27 7,7,5,8 28 7,7,6,8 6
24 7,7,1,9 25 7,7,2,9 26 7,7,3,9 27 7,7,4,9 28 7,7,5,9 29 7,7,6,9 31 7,7,8,9 7 28
19 8,8,1,2 1
20 8,8,1,3 21 8,8,2,3 2
21 8,8,1,4 22 8,8,2,4 23 8,8,3,4 3
22 8,8,1,5 23 8,8,2,5 24 8,8,3,5 25 8,8,4,5 4
23 8,8,1,6 24 8,8,2,6 25 8,8,3,6 26 8,8,4,6 27 8,8,5,6 5
24 8,8,1,7 25 8,8,2,7 26 8,8,3,7 27 8,8,4,7 28 8,8,5,7 29 8,8,6,7 6
26 8,8,1,9 27 8,8,2,9 28 8,8,3,9 29 8,8,4,9 30 8,8,5,9 31 8,8,6,9 32 8,8,7,9 7 28
21 9,9,1,2 1
22 9,9,1,3 23 9,9,2,3 2
23 9,9,1,4 24 9,9,2,4 25 9,9,3,4 3
24 9,9,1,5 25 9,9,2,5 26 9,9,3,5 27 9,9,4,5 4
25 9,9,1,6 26 9,9,2,6 27 9,9,3,6 28 9,9,4,6 29 9,9,5,6 5
26 9,9,1,7 27 9,9,2,7 28 9,9,3,7 29 9,9,4,7 30 9,9,5,7 31 9,9,6,7 6

27 9,9,1,8 28 9,9,2,8 29 9,9,3,8 30 9,9,4,8 31 9,9,5,8 32 9,9,6,8 33 9,9,7,8 7 28
Total de grupos: 9x28= 252
126 grupos con sus cuatro elementos diferentes y sus valores suma (VS)
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
10 1,2,3,4 1
11 1,2,3,5 12 1,2,4,5 2
12 1,2,3,6 13 1,2,4,6 14 1,2,5,6 3
13 1,2,3,7 14 1,2,4,7 15 1,2,5,7 16 1,2,6,7 4
14 1,2,3,8 15 1,2,4,8 16 1,2,5,8 17 1,2,6,8 18 1,2,7,8 5
15 1,2,3,9 16 1,2,4,9 17 1,2,5,9 18 1,2,6,9 19 1,2,7,9 20 1,2,8,9 6 21
13 1,3,4,5 1
14 1,3,4,6 15 1,3,5,6 2
15 1,3,4,7 16 1,3,5,7 17 1,3,6,7 3
16 1,3,4,8 17 1,3,5,8 18 1,3,6,8 19 1,3,7,8 4
17 1,3,4,9 18 1,3,5,9 19 1,3,6,9 20 1,3,7,9 21 1,3,8,9 5 15
16 1,4,5,6 1
17 1,4,5,7 18 1,4,6,7 2
18 1,4,5,8 19 1,4,6,8 20 1,4,7,8 3
19 1,4,5,9 20 1,4,6,9 21 1,4,7,9 22 1,4,8,9 4 10
19 1,5,6,7 1
20 1,5,6,8 21 1,5,7,8 2
21 1,5,6,9 22 1,5,7,9 23 1,5,8,9 3 6
22 1,6,7,8 1
23 1,6,7,9 24 1,6,8,9 2 3
25 1,7,8,9 1 1 56
14 2,3,4,5 1
15 2,3,4,6 16 2,3,5,6 2
16 2,3,4,7 17 2,3,5,7 18 2,3,6,7 3
17 2,3,4,8 18 2,3,5,8 19 2,3,6,8 20 2,3,7,8 4
18 2,3,4,9 19 2,3,5,9 20 2,3,6,9 21 2,3,7,9 22 2,3,8,9 5 15
17 2,4,5,6 1
18 2,4,5,7 19 2,4,6,7 2
19 2,4,5,8 20 2,4,6,8 21 2,4,7,8 3
20 2,4,5,9 21 2,4,6,9 22 2,4,7,9 23 2,4,8,9 4 10
20 2,5,6,7 1
21 2,5,6,8 22 2,5,7,8 2
22 2,5,6,9 23 2,5,7,9 24 2,5,8,9 3 6
23 2,6,7,8 1
24 2,6,7,9 25 2,6,8,9 2 3
26 2,7,8,9 1 1 35
18 3,4,5,6 1
19 3,4,5,7 20 3,4,6,7 2
20 3,4,5,8 21 3,4,6,8 22 3,4,7,8 3
21 3,4,5,9 22 3,4,6,9 23 3,4,7,9 24 3,4,8,9 4 10
21 3,5,6,7 1
22 3,5,6,8 23 3,5,7,8 2
23 3,5,6,9 24 3,5,7,9 25 3,5,8,9 3 6
Resumen
VS 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 (27)
N⁰G 1 2 4 3 7 8 11 10 14 13 16 13 17 14 17 13 16 13 14 10 11 8 7 3 4 2 1 (252)

24 3,6,7,8 1
25 3,6,7,9 26 3,6,8,9 2 3
27 3,7,8,9 1 1 20
22 4,5,6,7 1
23 4,5,6,8 24 4,5,7,8 2
24 4,5,6,9 25 4,5,7,9 26 4,5,8,9 3 6
25 4,6,7,8 1
26 4,6,7,9 27 4,6,8,9 2 3
28 4,7,8,9 1 1 10
26 5,6,7,8 1
27 5,6,7,9 28 5,6,8,9 2 3
29 5,7,8,9 1 1 4
30 6,7,8,9 1 1 1
Total de grupos: 126
Resumen
VS 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (21)
N⁰G 1 1 2 3 5 6 8 9 11 11 12 11 11 9 8 6 5 3 2 1 1 (126)
El total de grupos del caso corresponde a: 𝑪 𝒓,𝟗,𝟒 = (
𝟗 + 𝟒 − 𝟏
𝟒
) = (
𝟏𝟐
𝟒
) = 𝟒𝟗𝟓 = 𝟗 + (𝟑𝟔 + 𝟕𝟐) + 𝟐𝟓𝟐 +
𝟏𝟐𝟔 = (
𝟗
𝟏
) + 𝟑 (
𝟗
𝟐
) + 𝟑 (
𝟗
𝟑
) + (
𝟗
𝟒
)
En general se cumple que: 𝑪 𝒓, 𝒎, 𝒓 = ∑ (
𝒓 − 𝟏
𝒊
) (
𝒎
𝒊 + 𝟏
) = (
𝒎 + 𝒓 − 𝟏
𝒓
)𝒓−𝟏
𝒊=𝟎 , será el total general
de cada caso
Las casillas sombreadas en los cuadros resumen, corresponden a la simetría encontrada:
• Los valores suma equidistantes siempre suman el doble que el valor central.
• Los n⁰s de grupos equidistantes del valor central siempre tienen igual valor
Tablas de Particiones discretas 𝑷 𝒓(𝒎), de un número entero m
El estudio de las secuencias de formación de los grupos de particiones discretas de m en r, nos
llevaría a determinar no sólo el número de particiones correspondiente a un caso específico de r y
m, sino que además, nos permite desarrollar cada una de las particiones posibles del caso, en sus
elementos constitutivos. Para ello y a partir de los cuadros de valores suma ya presentados en
apartado anterior, hemos elaborado la tabla de Particiones discretas de 𝒎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝟏𝟓, en
grupos de r=1,2,3,4,5 , cifras que sumen m.
Luego hemos intentado realizar el análisis de la forma estructurada (ordenada) de las columnas de
cada ciclo característico de dichas tablas. Y seguidamente el de la secuencia horizontal de los
grupos de particiones discretas correspondientes a un determinado valor de m para dichos casos
de r

TABLAS DE PARTICIONES DISCRETAS PARA r=1, DESDE m=0, HASTA m=15
m r=1
0 0
1 1
2 3
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
m r=2
0 0,0
1 0,1
2 0,2 1,1
3 0,3 1,2
4 0,4 1,3 2,2
5 0,5 1,4 2,3
6 0,6 1,5 2,4 3,3
7 0,7 1,6 2,5 3,4
8 0,8 1,7 2,6 3,5 4,4
9 0,9 1,8 2,7 3,6 4,5
10 0,10 1,9 2,8 3,7 4,6 5,5
11 0,11 1,10 2,9 3,8 4,7 5,6
12 0,12 1,11 2,10 3,9 4,8 5,7 6,6
13 0,13 1,12 2,11 3,10 4,9 5,8 6,7
14 0,14 1,13 2,12 3,11 4,10 5,9 6,8 7,7
15 0,15 1,14 2,13 3,12 4,11 5,10 6,9 7,8

m r=3
0 0,0,0 - -
1 0,0,1 - -
2 0,0,2 0,1,1 - -
3 0,0,3 0,1,2 - 1,1,1 -
4 0,0,4 0,1,3 0,2,2 - 1,1,2 -
5 0,0,5 0,1,4 0,2,3 - 1,1,3 1,2,2 -
6 0,0,6 0,1,5 0,2,4 0,3,3 - 1,1,4 1,2,3 -
7 0,0,7 0,1,6 0,2,5 0,3,4 - 1,1,5 1,2,4 1,3,3 -
8 0,0,8 0,1,7 0,2,6 0,3,5 0,4,4 - 1,1,6 1,2,5 1,3,4 -
9 0,0,9 0,1,8 0,2,7 0,3,6 0,4,5 - 1,1,7 1,2,6 1,3,5 1,4,4 -
10 0,0,10 0,1,9 0,2,8 0,3,7 0,4,6 0,5,5 - 1,1,8 1,2,7 1,3,6 1,4,5 -
11 0,0,11 0,1,10 0,2,9 0,3,8 0,4,7 0,5,6 - 1,1,9 1,2,8 1,3,7 1,4,6 1,5,5 -
12 0,0,12 0,1,11 0,2,10 0,3,9 0,4,8 0,5,7 0,6,6 - 1,1,10 1,2,9 1,3,8 1,4,7 1,5,6 -
13 0,0,13 0,1,12 0,2,11 0,3,10 0,4,9 0,5,8 0,6,7 - 1,1,11 1,2,10 1,3,9 1,4,8 1,5,7 1,6,6 -
14 0,0,14 0,1,13 0,2,12 0,3,11 0,4,10 0,5,9 0,6,8 0,7,7 - 1,1,12 1,2,11 1,3,10 1,4,9 1,5,8 1,6,7 -
15 0,0,15 0,1,14 0,2,13 0,3,12 0,4,11 0,5,10 0,6,9 0,7,8 - 1,1,13 1,2,12 1,3,11 1,4,10 1,5,9 1,6,8 1,7,7 -
m r=3
0 - - -
1 - - -
2 - - -
3 - - -
4 - - -
5 - - -
6 2,2,2 - - -
7 2,2,3 - - -
8 2,2,4 2,3,3 - - -
9 2,2,5 2,3,4 - 3,3,3 - -
10 2,2,6 2,3,5 2,4,4 - 3,3,4 - -
11 2,2,7 2,3,6 2,4,5 - 3,3,5 3,4,4 - -
12 2,2,8 2,3,7 2,4,6 2,5,5 - 3,3,6 3,4,5 - 4,4,4 -
13 2,2,9 2,3,8 2,4,7 2,5,6 - 3,3,7 3,4,6 3,5,5 - 4,4,5 -
14 2,2,10 2,3,9 2,4,8 2,5,7 2,6,6 - 3,3,8 3,4,7 3,5,6 - 4,4,6 4,5,5 -
15 2,2,11 2,3,10 2,4,9 2,5,8 2,6,7 - 3,3,9 3,4,8 3,5,7 3,6,6 - 4,4,7 4,5,6 - 5,5,5

m r=4
0 0,0,0,0 - -
1 0,0,0,1 - -
2 0,0,0,2 0,0,1,1 - -
3 0,0,0,3 0,0,1,2 - 0,1,1,1 -
4 0,0,0,4 0,0,1,3 0,0,2,2 - 0,1,1,2 -
5 0,0,0,5 0,0,1,4 0,0,2,3 - 0,1,1,3 0,1,2,2 -
6 0,0,0,6 0,0,1,5 0,0,2,4 0,0,3,3 - 0,1,1,4 0,1,2,3 -
7 0,0,0,7 0 ,0,1,6 0,0,2,5 0,0,3,4 - 0,1,1,5 0,1,2,4 0,1,3,3 -
8 0,0,0,8 0,0,1,7 0,0,2,6 0,0,3,5 0,0,4,4 - 0,1,1,6 0,1,2,5 0,1,3,4 -
9 0,0,0,9 0,0,1,8 0,0,2,7 0,0,3,6 0,0,4,5 - 0,1,1,7 0,1,2,6 0,1,3,5 0,1,4,4 -
10 0,0,0,10 0,0,1,9 0,0,2,8 0,0,3,7 0,0,4,6 0,0,5,5 - 0,1,1,8 0,1,2,7 0,1,3,6 0,1,4,5 -
11 0,0,0,11 0,0,1,10 0,0,2,9 0,0,3,8 0,0,4,7 0,0,5,6 - 0,1,1,9 0,1,2,8 0,1,3,7 0,1,4,6 0,1,5,5 -
12 0,0,0,12 0,0,1,11 0,0,2,10 0,0,3,9 0,0,4,8 0,0,5,7 0,0,6,6 - 0,1,1,10 0,1,2,9 0,1,3,8 0,1,4,7 0,1,5,6 -
13 0,0,0,13 0,0,1,12 0 ,0,2,11 0,0,3,10 0,0,4,9 0,0,5,8 0,0,6,7 - 0,1,1,11 0,1,2,10 0,1,3,9 0,1,4,8 0,1,5,7 0,1,6,6 -
14 0,0,0,14 0 ,0,1,13 0,0,2,12 0,0,3,11 0,0,4,10 0,0,5,9 0 ,0,6,8 0,0,7,7 - 0,1,1,12 0,1,2,11 0,1,3,10 0,1,4,9 0,1,5,8 0,1,6,7 -
15 0,0,0,15 0,0,1,14 0,0,2,13 0,0,3,12 0,0,4,11 0,0,5,10 0,0,6,9 0,0,7,8 - 0,1,1,13 0,1,2,12 0,1,3,11 0,1,4,10 0,1,5,9 0,1,6,8 0,1,7,7 -
m r=4
0 - - - -
1 - - - -
2 - - - -
3 - - - -
4 - - - -
5 - - - -
6 0,2,2,2 - - - -
7 0,2,2,3 - - - -
8 0,2,2,4 0,2,3,3 - - - -
9 0,2,2,5 0,2,3,4 - 0,3,3,3 - - -
10 0,2,2,6 0,2,3,5 0,2,4,4 - 0,3,3,4 - - -
11 0,2,2,7 0,2,3,6 0,2,4,5 - 0,3,3,5 0,3,4,4 - - -
12 0,2,2,8 0,2,3,7 0,2,4,6 0,2,5,5 - 0,3,3,6 0,3,4,5 - 0,4,4,4 - -
13 0,2,2,9 0,2,3,8 0,2,4,7 0,2,5,6 - 0,3,3,7 0,3,4,6 0,3,5,5 - 0,4,4,5 - -
14 0,2,2,10 0,2,3,9 0,2,4,8 0,2,5,7 0,2,6,6 - 0,3,3,8 0,3,4,7 0,3,5,6 - 0,4,4,6 0,4,5,5 - -
15 0,2,2,11 0,2,3,10 0,2,4,9 0,2,5,8 0,2,6,7 - 0,3,3,9 0,3,4,8 0,3,5,7 0,3,6,6 - 0,4,4,7 0,4,5,6 - 0,5,5,5 -

m r=4
0 - - -
1 - - -
2 - - -
3 - - -
4 1,1,1,1 - - -
5 1,1,1,2 - - -
6 1,1,1,3 1,1,2,2 - - -
7 1,1,1,4 1,1,2,3 - 1,2,2,2 - -
8 1,1,1,5 1,1,2,4 1,1,3,3 - 1,2,2,3 - -
9 1,1,1,6 1,1,2,5 1,1,3,4 - 1,2,2,4 1,2,3,3 - -
10 1,1,1,7 1,1,2,6 1,1,3,5 1,1,4,4 - 1,2,2,5 1,2,3,4 - 1,3,3,3 -
11 1,1,1,8 1,1,2,7 1,1,3,6 1,1,4,5 - 1,2,2,6 1,2,3,5 1,2,4,4 - 1,3,3,4 -
12 1,1,1,9 1,1,2,8 1,1,3,7 1,1,4,6 1,1,5,5 - 1,2,2,7 1,2,3,6 1,2,4,5 - 1,3,3,5 1,3,4,4 -
13 1,1,1,10 1,1,2,9 1,1,3,8 1,1,4,7 1,1,5,6 - 1,2,2,8 1,2,3,7 1,2,4,6 1,2,5,5 - 1,3,3,6 1,3,4,4 -
14 1,1,1,11 1,1,2,10 1,1,3,9 1,1,4,8 1,1,5,7 1,1,6,6 - 1,2,2,9 1,2,3,8 1,2,4,7 1,2,5,6 - 1,3,3,7 1,3,4,4 1,3,5,5 -
15 1,1,1,12 1,1,2,11 1,1,3,10 1,1,4,9 1,1,5,8 1,1,6,7 - 1,2,2,10 1,2,3,9 1,2,4,8 1,2,5,7 1,2,6,6 - 1,3,3,8 1,3,4,4 1,3,5,6 -
m r=4
0 - - - - - -
1 - - - - - -
2 - - - - - -
3 - - - - - -
4 - - - - - -
5 - - - - - -
6 - - - - - -
7 - - - - - -
8 - 2,2,2,2 - - - - -
9 - 2,2,2,3 - - - - -
10 - 2,2,2,4 2,2,3,3 - - - - -
11 - 2,2,2,5 2,2,3,4 - 2,3,3,3 - - - -
12 - 2,2,2,6 2,2,3,5 2,2,4,4 - 2,3,3,4 - - 3,3,3,3 - -
13 1,4,4,4 - 2,2,2,7 2,2,3,6 2,2,4,5 - 2,3,3,5 2,3,4,4 - - 3,3,3,4 - -
14 1,4,4,5 - 2,2,2,8 2,2,3,7 2,2,4,6 2,2,5,5 - 2,3,3,6 2,3,4,5 - 2,4,4,4 - 3,3,3,5 3,3,4,4 - -
15 1,4,4,6 1,4,5,5 - 2,2,2,9 2,2,3,8 2,2,4,7 2,2,5,6 - 2,3,3,7 2,3,4,6 2,3,5,5 - 2,4,4,5 - 3,3,3,6 3,3,4,5 - 3,4,4,4 -

m r=5
0 0,0,0,0,0 -
1 0,0,0,0,1 - -
2 0,0,0,0,2 0,0,0,1,1 - -
3 0,0,0,0,3 0,0,0,1,2 - 0,0,1,1,1 -
4 0,0,0,0,4 0,0,0,1,3 0,0,0,2,2 - 0,0,1,1,2 -
5 0,0,0,0,5 0,0,0,1,4 0,0,0,2,3 - 0,0,1,1,3 0,0,1,2,2 -
6 0,0,0,0,6 0,0,0,1,5 0,0,0,2,4 0,0,0,3,3 - 0,0,1,1,4 0,0,1,2,3 -
7 0,0,0,0,7 0,0,0,1,6 0,0,0,2,5 0,0,0,3,4 - 0,0,1,1,5 0,0,1,2,4 0,0,1,3,3 -
8 0,0,0,0,8 0,0,0,1,7 0,0,0,2,6 0,0,0,3,5 0,0,0,4,4 - 0,0,1,1,6 0,0,1,2,5 0,0,1,3,4 -
9 0,0,0,0,9 0,0,0,1,8 0,0,0,2,7 0,0,0,3,6 0,0,0,4,5 - 0,0,1,1,7 0,0,1,2,6 0,0,1,3,5 0,0,1,4,4 -
10 0,0,0,0,10 0,0,0,1,9 0,0,0,2,8 0,0,0,3,7 0,0,0,4,6 0,0,0,5,5 - 0,0,1,1,8 0,0,1,2,7 0,0,1,3,6 0,0,1,4,5 -
11 0,0,0,0,11 0,0,0,1,10 0,0,0,2,9 0,0,0,3,8 0,0,0,4,7 0,0,0,5,6 - 0,0,1,1,9 0,0,1,2,8 0,0,1,3,7 0,0,1,4,6 0,0,1,5,5 -
12 0,0,0,0,12 0,0,0,1,11 0,0,0,2,10 0,0,0,3,9 0,0,0,4,8 0,0,0,5,7 0,0,0,6,6 - 0,0,1,1,10 0,0,1,2,9 0,0,1,3,8 0,0,1,4,7 0,0,1,5,6 -
13 0,0,0,0,13 0,0,0,1,12 0,0,0,2,11 0,0,0,3,10 0,0,0,4,9 0,0,0,5,8 0,0,0,6,7 - 0,0,1,1,11 0,0,1,2,10 0,0,1,3,9 0,0,1,4,8 0,0,1,5,7 0,0,1,6,6 -
14 0,0,0,0,14 0,0,0,1,13 0,0,0,2,12 0,0,0,3,11 0,0,0,4,10 0,0,0,5,9 0,0,0,6,8 0,0,0,7,7 - 0,0,1,1,12 0,0,1,2,11 0,0,1,3,10 0,0,1,4,9 0,0,1,5,8 0,0,1,6,7 -
15 0,0,0,0,15 0,0,0,1,14 0,0,0,2,13 0,0,0,3,12 0,0,0,4,11 0,0,0,5,10 0,0,0,6,9 0,0,0,7,8 - 0,0,1,1,13 0,0,1,2,12 0,0,1,3,11 0,0,1,4,10 0,0,1,5,9 0,0,1,6,8 0,0,1,7,7 -
m r=5
0 - - - -
1 - - - -
2 - - - -
3 - - - -
4 - - - -
5 - - - -
6 0,0,2,2,2 - - - -
7 0,0,2,2,3 - - - -
8 0,0,2,2,4 0,0,2,3,3 - - - -
9 0,0,2,2,5 0,0,2,3,4 - 0,0,3,3,3 - - -
10 0,0,2,2,6 0,0,2,3,5 0,0,2,4,4 - 0,0,3,3,4 - - -
11 0,0,2,2,7 0,0,2,3,6 0,0,2,4,5 - 0,0,3,3,5 0,0,3,4,4 - - -
12 0,0,2,2,8 0,0,2,3,7 0,0,2,4,6 0,0,2,5,5 - 0,0,3,3,6 0,0,3,4,5 - 0,0,4,4,4 - -
13 0,0,2,2,9 0,0,2,3,8 0,0,2,4,7 0,0,2,5,6 - 0,0,3,3,7 0,0,3,4,6 0,0,3,5,5 - 0,0,4,4,5 - -
14 0,0,2,2,10 0,0,2,3,9 0,0,2,4,8 0,0,2,5,7 0,0,2,6,6 - 0,0,3,3,8 0,0,3,4,7 0,0,3,5,6 - 0,0,4,4,6 0,0,4,5,5 - -
15 0,0,2,2,11 0,0,2,3,10 0,0,2,4,9 0,0,2,5,8 0,0,2,6,7 - 0,0,3,3,9 0,0,3,4,8 0,0,3,5,7 0,0,3,6,6 - 0,0,4,4,7 0,0,4,5,6 - 0,0,5,5,5 -

m r=5
0 - -
1 - -
2 - -
3 - -
4 0,1,1,1,1 - -
5 0,1,1,1,2 - -
6 0,1,1,1,3 0,1,1,2,2 - -
7 0,1,1,1,4 0,1,1,2,3 - 0,1,2,2,2 -
8 0,1,1,1,5 0,1,1,2,4 0,1,1,3,3 - 0,1,2,2,3 -
9 0,1,1,1,6 0,1,1,2,5 0,1,1,3,4 - 0,1,2,2,4 0,1,2,3,3 -
10 0,1,1,1,7 0,1,1,2,6 0,1,1,3,5 0,1,1,4,4 - 0,1,2,2,5 0,1,2,3,4 -
11 0,1,1,1,8 0,1,1,2,7 0,1,1,3,6 0,1,1,4,5 - 0,1,2,2,6 0,1,2,3,5 0,1,2,4,4 -
12 0,1,1,1,9 0,1,1,2,8 0,1,1,3,7 0,1,1,4,6 0,1,1,5,5 - 0,1,2,2,7 0,1,2,3,6 0,1,2,4,5 -
13 0,1,1,1,10 0,1,1,2,9 0,1,1,3,8 0,1,1,4,7 0,1,1,5,6 - 0,1,2,2,8 0,1,2,3,7 0,1,2,4,6 0,1,2,5,5 -
14 0,1,1,1,11 0,1,1,2,10 0,1,1,3,9 0,1,1,4,8 0,1,1,5,7 0,1,1,6,6 - 0,1,2,2,9 0,1,2,3,8 0,1,2,4,7 0,1,2,5,6 -
15 0,1,1,1,12 0,1,1,2,11 0,1,1,3,10 0,1,1,4,9 0,1,1,5,8 0,1,1,6,7 - 0,1,2,2,10 0,1,2,3,9 0,1,2,4,8 0,1,2,5,7 0,1,2,6,6 -
m r=5
0 - - - - -
1 - - - - -
2 - - - - -
3 - - - - -
4 - - - - -
5 - - - - -
6 - - - - -
7 - - - - -
8 - - 0,2,2,2,2 - - -
9 - - 0,2,2,2,3 - - -
10 0,1,3,3,3 - - 0,2,2,2,4 0,2,2,3,3 - - -
11 0,1,3,3,4 - - 0,2,2,2,5 0,2,2,3,4 - 0,2,3,3,3 - -
12 0,1,3,3,5 0,1,3,4,4 - - 0,2,2,2,6 0,2,2,3,5 0,2,2,4,4 - 0,2,3,3,4 - -
13 0,1,3,3,6 0,1,3,4,5 - 0,1,4,4,4 - 0,2,2,2,7 0,2,2,3,6 0,2,2,4,5 - 0,2,3,3,5 0,2,3,4,4 - -
14 0,1,3,3,7 0,1,3,4,6 0,1,3,5,5 - 0,1,4,4,5 - 0,2,2,2,8 0,2,2,3,7 0,2,2,4,6 0,2,2,5,5 - 0,2,3,3,6 0,2,3,4,5 - 0,2,4,4,4 -
15 0,1,3,3,8 0,1,3,4,7 0,1,3,5,6 - 0,1,4,4,6 0,1,4,5,5 - 0,2,2,2,9 0,2,2,3,8 0,2,2,4,7 0,2,2,5,6 - 0,2,3,3,7 0,2,3,4,6 0,2,3,5,5 - 0,2,4,4,5 -

m r=5
0 - - - -
1 - - - -
2 - - - -
3 - - - -
4 - - - -
5 - - 1,1,1,1,1 - -
6 - - 1,1,1,1,2 - -
7 - - 1,1,1,1,3 1,1,1,2,2 - -
8 - - 1,1,1,1,4 1,1,1,2,3 - 1,1,2,2,2 -
9 - - 1,1,1,1,5 1,1,1,2,4 1,1,1,3,3 - 1,1,2,2,3 -
10 - - 1,1,1,1,6 1,1,1,2,5 1,1,1,3,4 - 1,1,2,2,4 1,1,2,3,3 -
11 - - 1,1,1,1,7 1,1,1,2,6 1,1,1,3,5 1,1,1,4,4 - 1,1,2,2,5 1,1,2,3,4 -
12 0,3,3,3,3 - - 1,1,1,1,8 1,1,1,2,7 1,1,1,3,6 1,1,1,4,5 - 1,1,2,2,6 1,1,2,3,5 1,1,2,4,4 -
13 0,3,3,3,4 - - 1,1,1,1,9 1,1,1,2,8 1,1,1,3,7 1,1,1,4,6 1,1,1,5,5 - 1,1,2,2,7 1,1,2,3,6 1,1,2,4,5 -
14 0,3,3,3,5 0,3,3,4,4 - - 1,1,1,1,10 1,1,1,2,9 1,1,1,3,8 1,1,1,4,7 1,1,1,5,6 - 1,1,2,2,8 1,1,2,3,7 1,1,2,4,6 1,1,2,5,5 -
15 0,3,3,3,6 0,3,3,4,5 - 0,3,4,4,4 - 1,1,1,1,11 1,1,1,2,10 1,1,1,3,9 1,1,1,4,8 1,1,1,5,7 1,1,1,6,6 - 1,1,2,2,9 1,1,2,3,8 1,1,2,4,7 1,1,2,5,6 -
m r=5
0 - - - - - -
1 - - - - - -
2 - - - - - -
3 - - - - - -
4 - - - - - -
5 - - - - - -
6 - - - - - -
7 - - - - - -
8 - - - - - -
9 - - 1,2,2,2,2 - - - -
10 - - 1,2,2,2,3 - - - -
11 1,1,3,3,3 - - 1,2,2,2,4 1,2,2,3,3 - - - -
12 1,1,3,3,4 - - 1,2,2,2,5 1,2,2,3,4 - 1,2,3,3,3 - - -
13 1,1,3,3,5 1,1,3,4,4 - - 1,2,2,2,6 1,2,2,3,5 1,2,2,4,4 - 1,2,3,3,4 - - 1,3,3,3,3 -
14 1,1,3,3,6 1,1,3,4,5 - 1,1,4,4,4 - 1,2,2,2,7 1,2,2,3,6 1,2,2,4,5 - 1,2,3,3,5 1,2,3,4,4 - - 1,3,3,3,4 -
15 1,1,3,3,7 1,1,3,4,6 1,1,3,5,5 - 1,1,4,4,5 - 1,2,2,2,8 1,2,2,3,7 1,2,2,4,6 1,2,2,5,5 - 1,2,3,3,6 1,2,3,4,5 - 1.2,4,4,4 - 1,3,3,3,5 1,3,3,4,4 -

m r=5
0 - - - -
1 - - - -
2 - - - -
3 - - - -
4 - - - -
5 - - - -
6 - - - -
7 - - - -
8 - - - -
9 - - - -
10 2,2,2,2,2 - - - -
11 2,2,2,2,3 - - - -
12 2,2,2,2,4 2,2,2,3,3 - - - -
13 2,2,2,2,5 2,2,2,3,4 - 2,2,3,3,3 - - -
14 2,2,2,2,6 2,2,2,3,5 2,2,2,4,4 - 2,2,3,3,4 - 2,3,3,3,3 - -
15 2,2,2,2,7 2,2,2,3,6 2,2,2,4,5 - 2,2,3,3,5 2,2,3,4,4 - 2,3,3,3,4 - 3,3,3,3,3 -
Aunque la partición constituida por puros valores ceros, que corresponde a 𝑃𝑟(0) = 1, constituye el caso trivial de las particiones discretas aquí
definidas, se ha incluido para sistematizar la presentación y contabilidad de los grupos contenidos en las tablas
Para valores de r menores que 5, con excepción de r=1, para el cual solo se presenta un ciclo de una sola columna, el número de columnas de
cada ciclo se mantiene constante si la tabla se extiende hasta el mismo valor de m. Así p.ej. para la tabla correspondiente a r=5, y m=15,
tenemos 27 ciclos, mientras que para la tabla de r=4 y m=15, existen sólo 15 ciclos pero c/u, con el mismo n⁰ de columnas de los primeros 15
ciclos de la tabla para r=5, mientras que para r=3 y m=15, hay sólo 6 ciclos pero c/u con el mismo n⁰ de columnas de los primeros 6 ciclos de la
tabla para r=5, o para r=4.
Por otra parte es fácil percibir que la formación de los grupos de igual posición relativa en c/u de las tablas siguen patrones o secuencias que
pretendemos determinar.

Análisis de la estructura ordenada de los grupos de 𝑷 𝒓(𝒎) , para nuestros caso de estudio: r=5
y m=0,1,2,...,15
Para indicar la repetición de una cifra en una partición o grupo, utilizaremos esta misma cifra,
acompañada de un subíndice que indica el número de veces que dicha cifra se repite, así p.ej. 𝟎 𝟑,
significa que en dichos grupos, el cero se repite tres veces, antes de la siguiente cifra del grupo.
𝟏 𝒆𝒓
Ciclo
Los grupos de la 1 𝑟𝑎
columna del 1 𝑒𝑟
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟑, 𝟎, 𝒎
Con 𝑚 = 0,1,2, … , 15 , lo cual nos da 16 grupos diferentes en dicha columna
Los grupos de la 2 𝑑𝑎
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟑, 𝟏, 𝒎 − 𝟏
Con 𝑚 = 2,3, … , 15 , lo cual nos da 14 grupos diferentes en dicha columna
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟑, 𝟐, 𝒎 − 𝟐
Con 𝑚 = 4,5, … , 15 , lo cual nos da 12 grupos diferentes en dicha columna
Así, podemos continuar hasta la última columna del ciclo.
m
0 03,0,0
1 03,0,1
2 03,0,2
3 03,0,3
. .
. .
. .
. .
15 03,0,15
m
0 -
1 -
2 03, 1,1
3 03, 1,2
4 03, 1,3
. .
. .
. .
15 03, 1,14
m
0 -
1 -
2 -
3 -
4 03, 2,2
5 03, 2,3
6 03, 2,4
. .
. .
. .
15 03, 2,13

Notamos en primer lugar que la cantidad de grupos de cada columna en el 1er
ciclo , es siempre
un n⁰ par, que va disminuyendo en dos unidades al pasar de una columna a la siguiente, luego
podemos inferir que el número de grupos de la última columna del ciclo debe ser dos, como
podemos verificar en la tabla correspondiente. Por otra parte el número de columnas de un ciclo
desde m=0, hasta m=15 (16 casos), que siga esta regla será:
15+1
2
= 8 , la primera con 16 grupos ,
y la octava con 2 grupos o particiones discretas.
La expresión para simbolizar la última columna de este ciclo será: 03, 7, 𝑚 − 7, válida para 𝑚 =
14,15, lo cual nos da sólo dos grupos posibles.
𝟐 𝒅𝒐
Ciclo
columna del 𝟐 𝒅𝒐
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟐, 𝟏, 𝟏, 𝒎 − 𝟐
Con 𝑚 = 3,4, … ,15, lo cual nos da 13 grupos diferentes en dicha columna
Los grupos de la 2 𝑑𝑎
Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟐, 𝟏, 𝟐, 𝒎 − 𝟑
Con 𝑚 = 5,6, … ,15 lo cual nos da 11 grupos diferentes en dicha columna
m
0 -
1 -
2 -
3 02, 1,1,1
4 02, 1,1,2
. .
. .
. .
15 02, 1,1,13
m
0 -
1 -
2 -
3 -
4 -
5 02, 1,2,2
6 02, 1,2,3
. .
. .
. .
15 02, 1,2,12

Ciclo
Se pueden representar mediante la expresión: 𝟎 𝟐, 𝟏, 𝟑, 𝒎 − 𝟒
Con 𝑚 = 7,8, … ,15 lo cual nos da 9 grupos diferentes en dicha columna
Así, podemos continuar hasta la última columna del ciclo.
Notamos que la cantidad de grupos de cada columna de este ciclo, es siempre un n⁰ impar, que va
disminuyendo en dos unidades, al pasar de una columna a la siguiente. Podemos inferir que el
número de grupos de la última columna de este ciclo debe ser uno, como podemos verificar en la
tabla correspondiente. Por otra parte el número de columnas de un ciclo como este, desde m=0,
hasta m=15 (16 casos), será:
15−1
2
= 7, la primera con 13 grupos , y la séptima con 1 grupo.
En forma general para los primeros 6 ciclos de la secuencia 𝟎 − 𝟑, o ciclos de los 𝟎 𝟑 𝒊 , con
i=0,1,...,7, y los 𝟎 𝟐 𝒊 con i= 1,2,...,5 , tendremos:
Ciclo m de inicio (𝑚𝑖) de cada columna en su ciclo
1⁰: 03 │ 0,2,4,..., 14
2⁰: 02, 1 │ 3,5,7,...,15
3⁰: 02, 2 │ 6,8,... .. 14
4⁰: 02, 3 │ 9,11,...,15
5⁰: 02, 4 │ 12,14
6⁰: 02, 5 │ 15
Notamos que la sucesión de 𝒎𝒊, es una progresión aritmética de inicio en 0, y razón 3, cuyo
término de valor máximo debe ser igual a 𝒎 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓, es decir 𝒎𝒊 ∈ {0,3,6,9,12,15}
Entonces para generalizar la determinación del número de columnas de cada uno de estos 6 ciclos,
si llamamos 𝑚 𝑚𝑎𝑥, al valor máximo de m de la tabla (m=15) y ∆ 𝑚 a la diferencia (𝑚 𝑚𝑎𝑥 + 1) −
𝑚𝑖 , podemos calcular el n⁰ de columnas de cada ciclo en función de la paridad de ∆ 𝑚, mediante
las expresiones:
m
0 -
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 02, 1,3,3.
8 02, 1,3,4
. .
. .
. .
15 02, 1,3,11

Para ∆ 𝒎 par, el n⁰ de columnas del ciclo es:
∆ 𝒎
𝟐
Para ∆ 𝒎 impar, el n⁰ de columnas del ciclo es:
(∆ 𝒎+𝟏)
𝟐
Los resultados para obtenidos, se muestran en el cuadro siguiente:
1.) Secuencias del 0-3. Ciclos que comienzan con 0
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclo de los 𝟎 𝟑 𝒊, (𝒊 = 𝟎, 𝟏, … , 𝟕) y de los 𝟎 𝟐 𝒊 , (𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟓) totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰ 6
𝑚𝑖 𝑖ciclo 0 3 6 9 12 15 -
∆ 𝑚 16 13 10 7 4 1 -
n⁰c c 8 7 5 4 2 1 27
n⁰PC 72 49 30 16 6 1 174
mi fciclo 14 15 14 15 14 15 -
Donde:
• ∆ 𝑚= (𝑚 𝑀 + 1) − 𝑚𝑖
• n⁰c c, representa el n⁰ de columnas del ciclo
• n⁰PC, representa el n⁰ de grupos o particiones discretas del ciclo
• 𝑚𝑖 iciclo, representa el valor de m con que inicia la 1 𝑟𝑎
columna del ciclo
• mi fciclo, representa el valor de m con que inicia la última columna del ciclo
correspondiente
Cálculo del n⁰ de grupos (n⁰P C), o particiones discretas por ciclo y columna del caso 𝟎 𝟑 𝒊 , con
i=0,1,...,7, y los 𝟎 𝟐 𝒊 con i= 1,2,...,5 ,(Secuencia 0-3)
Grupos de Particiones por Columnas
totalesCiclos 1 𝑟𝑎
2 𝑑𝑎 3 𝑟𝑎
4 𝑡𝑎
5 𝑡𝑎
6 𝑡𝑎
7 𝑚𝑎
8 𝑣𝑎
1⁰ 16 14 12 10 8 6 4 2 72
2⁰ 13 11 9 7 5 3 1 49
3⁰ 10 8 6 4 2 - 30
4⁰ 7 5 3 1 16
5⁰ 4 2 - 6
6⁰ 1 1
TOTAL 174
Notamos que los valores en líneas horizontales del cuadro anterior, corresponden a progresiones
aritméticas de razón 2 y que alternativamente comienzan en 2 , o en 1 (de derecha a izquierda),
mientras que los valores en líneas verticales, corresponden a progresiones aritméticas de razón 3,
y que alternativamente comienzan 1,2, o en 3, (de abajo hacia arriba).Ello nos permite sistematizar
el cálculo del n⁰ de grupos de particiones, para cualquier otro caso. Los resultados obtenidos, para
los valores de n⁰P C, se incluyen en los cuadros elaborados para cada secuencia.

El análisis de los ciclos correspondientes a las secuencias siguientes, del 4 y del 5, , obedecen a
las mismas reglas y nos conduce a resultados análogos, que se recogen en la serie de cuadros
que mostramos a continuación:
2.) Secuencias del 4. Ciclos que inician con 01, 02, 03
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 0,1,i con i=1,2,3,4 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 4
m i iciclo 4 7 10 13 -
∆ 𝑚 12 9 6 3 -
n⁰c c 6 5 3 2 16
n⁰PC 42 25 12 4 83
mi fciclo 14 15 14 15 -
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 0,2,i con i=2,3,4 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 3
m i iciclo 8 11 14 -
∆ 𝑚 8 5 2 -
n⁰c c 4 3 1 8
n⁰PC 20 9 2 31
mi fciclo 14 15 14 -
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 0,3,i con i=3,4 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 2
m i iciclo 12 15 -
∆ 𝑚 4 1 -
n⁰c c 2 1 3
n⁰PC 6 1 7
mi fciclo 14 15 -

3.) Secuencias del 5. Ciclos que comienzan con 1 :
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclo de los 𝟏 𝟑, y ciclos de los 𝟏 𝟐, 𝒊(𝒊 = 𝟐, 𝟑, 𝟒) Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 4
m i iciclo 5 8 11 14 -
∆ 𝑚 11 8 5 2 -
n⁰c c 6 4 3 1 14
n⁰PC 36 20 9 2 67
mi fciclo 15 14 15 14 -
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 1,2,i con i=2,3,4 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 3⁰ 3
m i iciclo 9 12 15 -
∆ 𝑚 7 4 1 -
n⁰c c 4 2 1 7
n⁰PC 16 6 1 23
mi fciclo 15 14 15 -
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclo de los 1,3,i (i=3) Totales
ciclo 1⁰ 1
m i iciclo 13 -
∆ 𝑚 3 -
n⁰c c 2 2
n⁰PC 4 4
mi fciclo 15 -

3.1 ) Secuencias del 5. Ciclos que comienzan con 2 :
r=5 y m=0,1,...,15
Ciclos de los 2,2,i con i=2,3 Totales
ciclo 1⁰ 2⁰ 2
m i iciclo 10 13 -
∆ 𝑚 6 3 -
n⁰c c 3 2 5
n⁰PC 12 4 16
mi fciclo 14 15 -
r=5 y m=0,1,...,15
ciclo 1⁰ 1
m i iciclo 14 -
∆ 𝑚 2 -
n⁰c c 1 1
n⁰PC 2 2
mi fciclo 15 -
3.2 ) Secuencias del 5. Ciclos que comienzan con 3 :
Ciclo con 𝟑, 𝟑, 𝒊, con 𝒊 = 𝟑
r=5 y m=0,1,...,15
ciclo 1⁰ 1
m i iciclo 15 -
∆ 𝑚 1 -
n⁰c c 1 1
n⁰PC 1 1
mi fciclo 15 -

El análisis realizado, nos permite, conocida la amplitud o número de ciclos de cada secuencia
interna, calcular de manera inmediata, el número de columnas, correspondiente a cada ciclo
(n⁰c c) , para un valor dado de m, y r, como se observa en los cuadros anteriores.
Como el n⁰ de columnas por ciclo es igual al número de particiones discretas, contenidas en ese
ciclo (n⁰PC) , para dicho par de valores m, y r, si determinamos una manera práctica de obtener
previamente el n⁰ de ciclos de cada secuencia interna, tendríamos como corolario, resuelto el
problema de calcular el número de particiones por ciclo y su total, para un par de valores dados
m y r.
Es evidente que por la estructura matemática interna de las tablas y la regularidad en la
distribución de los grupos, obtendremos resultados similares para el análisis de cualquier otro
caso de r y m.
Hasta ahora hemos realizado lo que podríamos denominar un “análisis vertical de relaciones”, del
cual podemos deducir numerosas conclusiones sobre la existencia o no de un determinado grupo
o partición discreta, en una columna de un ciclo determinado correspondiente a un caso de r y m,
pero por razones prácticas, de uso, y lógica común, intentaremos realizar un “análisis horizontal
de relaciones”, es decir estudiaremos como obtener las particiones discretas para un determinado
valor de m, desplazándonos horizontalmente a través de las distintas columnas y ciclos de un
determinado caso de r.
Para ello, hemos elaborado un cuadro que muestra el número de particiones discretas de m en r
para cada uno de los ciclos de los diferentes casos de secuencias desde el 0, hasta el 5, para r=5,
y m=0, 1,2,..., 15, en el cual hemos indicado con diversos colores la estructura interna de su
distribución de valores.

NÚMERO DE GRUPOS O PARTICIONES DISCRETAS POR CICLO Y SECUENCIAS PARA r= 5 y m=0, 1,2,...,15
Secuencia Del 0 − 3 Del 4 𝐷𝑒𝑙 5
m
ciclos
03 𝑦 02 0,1 0,2 0,3 13 𝑦 12 1,2 1,3 2,2 2,3 3,3 n⁰P
por
ciclo
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰
0 1 1
1 1 3 1
2 2 4 5 2
3 2 1 3
4 3 1 3 1 5
5 3 2 1 3 1 7
6 4 2 1 2 4 1 3 10
7 4 3 1 3 2 1 2 4 5 13
8 5 3 2 3 1 3 1 2 1 18
9 5 4 2 1 3 2 1 3 3 1 3 1 23
10 6 4 3 1 3 4 2 1 2 4 3 2 1 3 1 30
11 6 5 3 2 4 3 1 3 2 1 4 2 1 2 4 1 3 37
12 7 5 4 2 1 5 3 2 3 1 3 1 4 3 1 3 2 1 2 4 5 47
13 7 6 4 3 1 3 5 4 2 1 3 2 1 3 5 3 2 3 1 3 1 2 1 57
14 8 6 5 3 2 6 4 3 1 4 2 1 2 5 4 2 1 3 2 1 3 1 1 70
15 8 7 5 4 2 1 6 5 3 2 4 3 1 2 1 6 4 3 1 4 2 1 2 3 2 1 1 84
Total de Grupos o Particiones del caso 408
Ciclos/grup 6 4 3 2 4 3 1 2 1 1 (27)
Podemos observar que para r=4, la distribución y cantidad de grupos es idéntica a la de la tabla anterior, pero limitada hasta el 15 𝑎𝑣𝑜
ciclo,
análogamente, para r=3, es idéntica hasta el 6 𝑡𝑜
ciclo, y para r=2, hasta el 1 𝑒𝑟
ciclo, que son los ciclos constitutivos de cada uno de estos casos,
siempre que mantengamos a m=15 como límite de m. Así mismo, los grupos en cada ciclo, correspondientes a la fila m=15, también indican el
número de columnas de cada ciclo del caso.

Hemos encontrado las siguientes secuencias gráficas al construir la tabla de ciclos y secuencias
vs grupos o particiones discretas para el caso de r=5 y m máxima 15.
Explicación:
1. las secuencias verticales 1,1 2,2 3,3, ...de grupos o particiones, se repiten en cada
columna de cada uno de los ciclos correspondientes a cada una de las secuencias del 0,
al 5, pero desde las distintas m de inicio.
2. Los 6 ciclos de la secuencia 0-3, comienzan desde el 0, y entre un ciclo y el siguiente,
siempre, hay un desplazamiento constante de 3 unidades, hasta donde sea posible
siempre que el valor total acumulado sea menor que 16 , lo cual se señala en color
crema.
3. En los siguientes 3 grupos de ciclos de la secuencia del 4, los ciclos comienzan con
desplazamientos acumulativos de 4 unidades, lo cual se señala en verde, que luego van
desarrollando sus propios desplazamientos internos de 3 unidades siguiendo la
secuencia 1,1,2,2,3,3,...para cada columna del caso, hasta donde sea posible, siempre
que el valor total acumulado sea menor que 16.
4. Una vez agotadas las posibilidades de desarrollo de de estos ciclos de 4, cuando se
avanza hacia los casos que comienzan con la unidad, el inicio de secuencia se desplaza 5
lugares, pero con respecto al inicio o 0 de la tabla, lo cual se señala en azul y luego la
distribución sigue las mismas reglas que el caso precedente, desarrollando internamente
ciclos acumulativos de 3,4,y 5 lugares, como puede verse en el gráfico siguiendo
siempre la secuencia 1,1,2,2,3,3,...para cada columna del caso, hasta donde sea posible,
siempre que el valor total acumulado sea menor que 16.
5. Este esquema de distribución interna de ciclos, es válido para cualquier otro valor de r,
siempre que se mantenga como valor máximo m=15.Así p.ej. para r=6, habrá que
agregar los ciclos que se desarrollan siguiendo secuencias análogas, pero a partir del
desplazamiento de 6 lugares desde el 0, en el ciclo 28.
ESQUEMA DE LA DISTRIBUCIÓN GRÁFICA POR CICLOS Y SECUENCIAS, CASO r=5 y m=15
Secuencias 0- 3-4-5 para r=5 y 𝑚 𝑚𝑎𝑥=15
Ciclos por secuencia interna
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰
Sec. del 0-3 Sec. del 4 Sec. del 5
0
3 4 5
3 3 4 3 4 5
3 3 3 4 3 3 4 3 4 5
3 3 3 3 3 3
3
6 4 3 2 4 3 1 2 1 1

Las relaciones gráficas secuenciales encontradas en la distribución de los grupos de particiones
discretas en esta tabla, se pueden expresar mediante las siguientes relaciones analíticas sencillas
y directas:
1.) Secuencias del 0-3- Casos de los Ciclos que comienzan con 0. Válida para 𝒎 ≥ 𝟎
1.1) Grupo de ciclos contenidos en 𝟎 𝟑 𝒊 y en 𝟎 𝟐 𝒊 (Ciclos de 1 hasta 6 de la secuencia 0-3)
La secuencia de variación de las expresiones analíticas encontradas, puede resumirse en la tabla
que se muestra a continuación, donde se refleja como los numeradores cambia de un valor impar
a par, o viceversa, mediante un incremento negativo de 3 unidades, al pasar de un caso al
siguiente.
TABLA DE SECUENCIAS PAR-IMPAR
Ciclos Incremento
(constante)1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰
𝑚 + 1 𝑚 − 2 𝑚 − 5 𝑚 − 8 𝑚 − 11 (𝑚 − 14) ∗ −3
impar par impar par impar par -------------
𝑚 + 2 𝑚 − 1 𝑚 − 4 𝑚 − 7 𝑚 − 10 𝑚 − 13 −3
par impar par impar par impar -------------
* Este caso no se verifica para el límite m=15 (impar)
Entonces las secuencias del 3, horizontales (cruzadas) para un valor par o impar de m en r=5, y
𝑚 𝑀𝑎𝑥 = 15, estarán das por:
m Expresión de cálculo según ciclo
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰
Par (𝑚 + 2) 2⁄ (𝑚 − 2) 2⁄ (𝑚 − 4) 2⁄ (𝑚 − 8) 2⁄ (𝑚 − 10) 2⁄ (𝑚 − 14) 2 ∗⁄
Δnum. −4 −2 −4 −2 −4
Impar (𝑚 + 1) 2⁄ (𝑚 − 1) 2⁄ (𝑚 − 5) 2⁄ (𝑚 − 7) 2⁄ (𝑚 − 11) 2⁄ (𝑚 − 13) 2⁄ *
Δnum. −2 −4 −2 −4 −2
Donde Δnum., representa el incremento del numerador
*Los resultados negativos, se asumen como 0
Así por ejemplo, el número de particiones discretas de m en r=5, correspondientes a los primeros
6 ciclos de los casos de 03 𝑦 02 para 𝒎 = 𝟖, y 𝒎 = 𝟏𝟑, se obtienen de:
Para m=8 (par) Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
(8+2)
2
= 5
(8−2)
2
= 3
(8−4)
2
= 2
(8−8)
2
= 0 , este sería el límite para valores
válidos, ya que para resultados negativos, no tiene sentido la expresión y los valores
correspondientes se asumen nulos. Así pues, no hay valores (son 0) para los ciclos 4,5,y 6
Para m=13 (impar)
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰
(13+1)
2
= 7
(13−1)
2
= 6
(13−5)
2
= 4
(13−7)
2
= 3
(13−11)
2
= 1
(13−13)
2
= 0

Observamos que el valor límite 0 para m=13, corresponde al ciclo 6⁰ del caso, como podemos
constatar en la tabla del número de particiones para r=5 (valores resaltados en negritas)
Estos resultados serán válidos para los primeros 6 ciclos del caso, cuyos inicios son
respectivamente: 0, 3, 6, 9,12, y 15
2.) Secuencias del 4
2.1) Secuencias del 4x1- Caso de los ciclos 1⁰, 2⁰, 3⁰,4⁰ de esta secuencia internas, contenidos en
𝟎, 𝟏 . Válida para 𝒎 ≥ 𝟒
Notamos que al comienzo de este caso, el inicio del ciclo 1⁰ se desplaza 4 lugares respecto al 0, o
inicio de la tabla, para luego comenzar la secuencia 1,1 2,2 3,3...., y posteriormente, continuar
con los desplazamientos internos de 3 lugares, al pasar de un ciclo del grupo, al siguiente. Los
resultados que a continuación se expresan serán válidos para los siguientes 4 ciclos, 1⁰, 2⁰, 3⁰,4⁰,
de esta secuencia interna del 4, que inician respectivamente en 4, 7,10, y 13.
m Expresión de cálculo según ciclo
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
Par (𝑚 − 2) 2⁄ (𝑚 − 6) 2⁄ (𝑚 − 8) 2⁄ (𝑚 − 12) 2⁄ *
Δnum. −4 −2 −4
Impar (𝑚 − 3) 2⁄ (𝑚 − 5) 2⁄ (𝑚 − 9) 2⁄ (𝑚 − 11) 2⁄ *
Δnum. −2 −4 −2
Notamos que las expresiones siguen las mismas secuencias de variación que las del caso
anterior, pero donde los inicios de las secuencias se han desplazados 4 lugares (Δnum.=−4)
Continuamos con los ejemplos para m=8, y m=13, para este caso:
1⁰ 2⁰ 3⁰
(8−2)
2
= 3
(8−6)
2
= 1
(8−8)
2
= 0 , este sería el límite para valores válidos, ya
que para resultados negativos, no tiene sentido la expresión y los valores correspondientes se
asumen nulos. Así pues, no hay valores (son 0) para los ciclos internos 3⁰,y 4⁰
Para m=13 (impar)
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
(13−3)
2
= 5
(13−5)
2
= 4
(13−9)
2
= 2
(13−11)
2
= 1
En este caso hay valores significativos para c/u de los ciclos internos 1⁰, 2⁰, 3⁰, 4⁰, si m=13

2.2) Secuencia del 4x2-Caso de los ciclos de secuencias internas contenidos en 𝟎, 𝟐 (ciclos 1⁰,
2⁰, 3⁰) .Válida para 𝒎 ≥ 𝟖
Notamos que al comienzo de este caso, el inicio del ciclo interno 1⁰ se desplaza 4 lugares
respecto al inicio del caso precedente ( m=4), es decir que comienza en m=8, para luego seguir
la secuencia 1,1 2,2 3,3...., y posteriormente, continuar con los desplazamientos internos de 3
lugares, al pasar de un ciclo interno del grupo, al siguiente. Los resultados que a continuación se
expresan serán válidos para los 3 ciclos internos de la secuencia 4x2, ciclos 1⁰, 2⁰, y 3⁰, que inician
respectivamente en 8, 11, y 14.
m
Expresión de cálculo según ciclo
1⁰ 2⁰ 3⁰
Par (𝑚 − 6) 2⁄ (𝑚 − 10) 2⁄ (𝑚 − 12) 2⁄ *
Δnum. −4 −2
Impar (𝑚 − 7) 2⁄ (𝑚 − 9) 2⁄ (𝑚 − 13) 2⁄ *
Δnum. −2 −4
1⁰ 2⁰
(8−6)
2
= 1
(8−10)
2
= −1 , este sería el límite para valores válidos, ya que para
resultados negativos, no tiene sentido la expresión y los valores correspondientes se asumen
nulos. Así pues, no hay valores (son 0) para los ciclos 1⁰, y 2⁰ de esta secuencia interna, si m=8
Para m=13 (impar)
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰
(13−7)
2
= 3
(13−9)
2
= 2
(13−13)
2
= 0 , este sería el límite para valores válidos, ya que
para resultados negativos, no tiene sentido la expresión y los valores correspondientes se
asumen nulos. Así pues, no hay valores (son 0) para el ciclo interno 3⁰, si m=13

2.3) Secuencias del 4x3- Caso de los ciclos de secuencias internas contenidos en 𝟎, 𝟑 (ciclos 1⁰,
2⁰). Válida para 𝒎 ≥ 𝟏𝟐
Notamos que al comienzo de este caso, el inicio del ciclo 1⁰ se desplaza 4 lugares respecto al
inicio del caso precedente ( m=8), es decir que comienza en m=12, para luego seguir la secuencia
1,1 2,2 3,3...., y posteriormente, continuar con los desplazamientos internos de 3 lugares, al
pasar de un ciclo interno del grupo, al siguiente. Los resultados que a continuación se expresan
serán válidos para los 2 ciclos internos, 1⁰, y 2⁰, que inician respectivamente en 12, y 15.
m
1⁰ 2⁰
Par (𝑚 − 10) 2⁄ (𝑚 − 14) 2⁄ *
Δnum. −4
Impar (𝑚 − 11) 2⁄ (𝑚 − 13) 2⁄ *
Δnum. −2
Para m=8, no habrán valores ,ya que 8 ≤ 12
Para m=13 (impar)
Ciclos
1⁰ 2⁰
(13−11)
2
= 1
(13−13)
2
= 0 , este sería el límite para valores válidos, ya que para resultados
negativos, no tiene sentido la expresión y los valores correspondientes se asumen nulos. Así
pues, no hay valores (son 0) para el ciclo 2⁰ de esta secuencia interna, si m=13
Es evidente que no existen valores para las secuencia s del 4x4, ni mayores, ya que 4x4 =16 ≥ 15,
valor que alcanza el límite de lugares disponibles, si m=15
3.1) Secuencias del 5x1-Grupo de ciclos de secuencias internas del 5 contenidos en 𝟏 𝟑 𝒊 𝒚 𝟏 𝟐, 𝒊
(ciclos 1⁰, 2⁰, 3⁰,4⁰). Válida para 𝒎 ≥ 𝟓
Notamos que al comenzar este caso de los grupos que inician con 1, el primero de los ciclos
contenidos en estas secuencias internas, ciclo 1⁰, sufre un desplazamiento de 5 lugares con
respecto al inicio 0 de la tabla, es decir de los grupos que comienzan en 0. Este ciclo 1⁰, comienza
a partir de m=5, a desarrollar la secuencia 1,1, 2,2, 3,3,..., para luego continuar con los
desplazamientos internos de 3 lugares, al pasar de un ciclo del grupo, al siguiente. Los resultados
que a continuación se expresan serán válidos para los siguientes 4 ciclos de esta secuencia
interna, 1⁰,2⁰ 3⁰, y 4⁰, que inician respectivamente en 5, 8,11 y 14.

Aquí, cruzamos otra vez las secuencias par e impar del inicio de la tabla de Secuencias Par- Impar
(ciclo 1⁰) incrementándolas en – 𝟓, Así resultan, para m par : (𝒎 + 𝟐 − 𝟓) 𝟐⁄ = (𝒎 − 𝟑) 𝟐⁄ ,
que pasa a ser inicio de los m impares. Y para m Impar: (𝒎 + 𝟏 − 𝟓) 𝟐⁄ = (𝒎 − 𝟒) 𝟐⁄ , que
pasa a ser inicio de los m pares, esto sucederá cada vez que el incremento negativo, sea una
cantidad impar.
Igualmente se intercambian las secuencias de Δnum. que siguen los ciclos de pares o impares,
entonces para la secuencia 5x1,del 5, resulta:
m
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
Par (𝑚 − 4) 2⁄ (𝑚 − 6) 2⁄ (𝑚 − 10) 2⁄ (𝑚 − 12) 2⁄ *
Δnum. −2 −4 −2
Impar (𝑚 − 3) 2⁄ (𝑚 − 7) 2⁄ (𝑚 − 9) 2⁄ (𝑚 − 13) 2⁄ *
Δnum. −4 −2 −4
1⁰ 2⁰ 3⁰
(8−4)
2
= 2
(8−6)
2
= 1
(8−10)
2
= −1 , este sería el límite para valores válidos,
ya que para resultados negativos, no tiene sentido la expresión y los valores correspondientes se
asumen nulos. Así pues, no hay valores (son 0) para los ciclos 3⁰,y 4⁰ , si m=8
Para m=13 (impar)
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
(13−3)
2
= 5
(13−7)
2
= 3
(13−9)
2
= 2
(13−13)
2
= 0 , este sería el límite para valores
válidos, ya que para resultados negativos, no tiene sentido la expresión y los valores
correspondientes se asumen nulos. Así pues, no hay valores (son 0) para el ciclo 4⁰ , si m=13
3.2 ) Secuencias del 5x1+4-Grupo de ciclos de secuencias internas contenidos en 𝟏, 𝟐 (ciclos 1⁰,
2⁰,3⁰). Válida para 𝒎 ≥ 𝟗
Notamos que al comienzo de este caso, el inicio del ciclo 1⁰ se desplaza 4 lugares respecto al
inicio en m=5, del caso precedente de los grupos que inician con 1 , es decir que comienza en
m=9, para luego seguir la secuencia 1,1 2,2 3,3...., y posteriormente, continuar con los
desplazamientos internos de 3 lugares, al pasar de un ciclo del grupo, al siguiente. Los resultados
que a continuación se expresan serán válidos para los 3 ciclos de esta secuencia interna del 5,
ciclos 1⁰,2⁰, y 3⁰, que inician respectivamente en 9, 12, y 15.

m
1⁰ 2⁰ 3⁰
Par (𝑚 − 8) 2⁄ (𝑚 − 10) 2⁄ (𝑚 − 14) 2⁄ *
Δnum. −2 −4
Impar (𝑚 − 7) 2⁄ (𝑚 − 11) 2⁄ (𝑚 − 13) 2⁄ *
Δnum. −4 −2
Para m=8, no habrán valores, ya que 8 ≤ 9
Para m=13 (impar)
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰
(13−7)
2
= 3
(13−11)
2
= 1
(13−14)
2
= −1 , este sería el límite para valores válidos,
ya que para resultados negativos, no tiene sentido la expresión y los valores correspondientes se
asumen nulos. Así pues, no hay valores (son 0) para el ciclo 3⁰ de esta secuencia interna , si
m=13
3.3.) Secuencias del 5x1+4x2-Grupo de ciclos de secuencias internas contenidos en 𝟏, 𝟑
(ciclo 1⁰). Válida para 𝒎 ≥ 𝟏𝟑
Notamos que al comienzo de este caso, el inicio del ciclo 1⁰ único ciclo posible del caso, se
desplaza 4 lugares respecto al inicio m=9, del caso precedente (caso 1,2), es decir que comienza
en m=13, para luego seguir la secuencia 1,1 2,2 3,3...., y posteriormente, continuar con los
desplazamientos internos de 3 lugares ( en este caso no es posible), al pasar de un ciclo del grupo,
al siguiente. Los resultados que a continuación se expresan serán válidos para el ciclo (ciclo 1⁰),
que inicia en m=13
Expresión de cálculo para el único ciclo (ciclo 1⁰) de esta secuencia interna del 5
Para m par: (𝒎 − 𝟏𝟐) 𝟐⁄
Para m impar: (𝒎 − 𝟏𝟏) 𝟐⁄

Para m=8, no habrá valores, ya que 8 ≤ 13
Para m=13 (impar)
Ciclos
1⁰
(13−11)
2
= 1 , en este caso si hay un valor significativo para el ciclo 1⁰, si m=13
Es evidente que no existen valores para las secuencia s del 5x1+4x3, ni mayores, ya que
5+4x3=17 ≥ 16, valor que sobrepasa el límite de lugares disponibles, si m=15
3.4.) Secuencias del 5x2-Grupos de ciclos de secuencias internas contenidos en 𝟐, 𝟐
(ciclos 1⁰ y 2⁰). Válida para m ≥ 10
Notamos que el primer ciclo de este grupo, inicia en 10=2x5. Regresamos al primer ciclo de inicio
en 5 a partir del 0, y cruzamos (intercambiamos) las expresiones correspondientes a par o impar,
pero incrementando en −5 los numeradores, para obtener:
m
1⁰ 2⁰
Par (𝑚 − 8) 2⁄ (𝑚 − 12) 2⁄ *
Δnum. −4
Impar (𝑚 − 9) 2⁄ (𝑚 − 11) 2⁄ *
Δnum. −2
Este ciclo 1⁰ de esta secuencia interna del 5, ,comienza en m=10, para luego seguir la secuencia
1,1 2,2 3,3...., hasta m=15, y posteriormente, continuar hacia el siguiente ciclo (2⁰), con los
desplazamientos internos de 3, en este caso una sola vez , para no sobrepasar el valor limite
(2𝑥5 + 1𝑥3 = 10 + 3 = 13 < 16). Los resultados que aquí se expresan serán válidos para los
ciclos, 1⁰ y 2⁰ de esta secuencia interna, que inician en m=10 y 13 respectivamente.
Para m=8, no habrán valores, ya que 8 ≤ 10
Para m=13 (impar)
Ciclos
1⁰ 2⁰
(13−9)
2
= 2
(13−11)
2
= 1 , en este caso hay valores significativos para ambos ciclos 1⁰
y 2⁰, si m=13

3.5.) Secuencias del 5x2+4x1-Grupos de ciclos de secuencias internas contenidos en 2,3 (Ciclo 1⁰
de inicio en m=14). Válidas para m ≥ 14
Para este único ciclo de esta secuencia interna (ciclo 1⁰ ), son válidas las expresiones:
Para m par: (𝒎 − 𝟏𝟐) 𝟐⁄
Para m impar: (𝒎 − 𝟏𝟑) 𝟐⁄
Para ambos valores, m=8, y m=13, no existen valores, ya que 8 y 13 son menores que 14
Es evidente que no existen valores para las secuencia s del 5x2+4x2, ni mayores, ya que
5x2+4x2=18 ≥ 16, valor que sobrepasa el límite de lugares disponibles, si m=15
3.6) Secuencias del 5x3-Grupos de ciclos de secuencias internas contenidos en 3,3 (Ciclo 1⁰ de
inicio en m=15). Válida para m ≥ 15.
Este último del caso para r=5 y m=15, con secuencia 5x3, no tendrá tampoco posibilidad de
desarrollo interno de 3 en 3, ya que 5𝑥3 + 3 = 18 > 16, no lo permite. De nuevo como el valor
de inicio es un múltiplo de 5 (m=15), invertimos las secuencias par-impar del ciclo 1⁰, de inicio en
10, y las incrementamos en −5, para obtener la expresión de inicio del ciclo.
Para este único ciclo (ciclo1⁰) de esta secuencia interna, de inicio (y fin) en m=15, es válida la
expresión: m impar: (𝒎 − 𝟏𝟑) 𝟐⁄
Para ambos valores, m=8, y m=13, no existen valores, ya que 8 y 13 son menores que 15
Con esta última expresión, consideramos que hemos cubierto el aspecto que nos permite el
cálculo del n⁰ de grupos de particiones para cualquier valor par o impar de m, de un
determinado ciclo y columna del caso r=5 , y m máximo m=15.
Ahora, intentaremos comprobar con algunos ejemplos, si es posible extender la validez de
nuestras expresiones del cálculo de grupos o particiones discretas, cuando mantenemos fijo el
valor de r (en este caso r=5), pero aumentamos el valor del límite para m

1.) Secuencias internas del 0-3 para r=5. Casos de los Ciclos que comienzan con 0 para m=17 y
m=18
Ciclos
m 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰ 7⁰
1 2 3 4 5 6 7
17(impar) (m+1)/2=9 (m-1)/2=8 (m-5)/2=6 (m-11)/2=3 (m-13)/2=2 (m-17)/2=0
18(par) (m+2)/2=10 (m-2)/2=8 (m-4)/2=7 (m-8)/2=5 (m-10)/2=4 (m-14)/2=2 (m-16)/2=1
Para m=17, hay 6 ciclos con cifras significativas (igual que para el caso correspondiente de m=15)
Para m=18, hay 7 ciclos con cifras significativas (uno más que para el caso correspondiente de
m=15), y hemos extendido en un término la validez de nuestras expresiones, con respecto al caso
correspondiente para m=15
2.1) Secuencias internas 4x1 del 4- Caso de los ciclos del 0,1
Entonces para m=17 y m=18, para las secuencias del 4 que inician con 0,1, podemos resumirlas
en el cuadro siguiente:
Ciclos
m 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰
17(impar) (m-3)/2=7 (m-5)/2=6 (m-9)/2=4 (m-11)/2=3 (m-15)/2=1 (m-17)/2=0
18(par) (m-2)/2=8 (m-6)/2=6 (m-8)/2=5 (m-12)/2=3 (m-14)/2=2 (m-18)/2=0
Como podemos observar, para ambos valores de m, solo hay cifras significativas en los primeros 5
ciclos del caso, es decir que para la primera secuencia interna del 4, y para ambos valores de m el
número de ciclos es 5 (uno más que para m=15).Así mismo hemos extendido en un término la
validez de nuestras expresiones con respecto al caso correspondiente para m=15.
2.4) Secuencias internas 4x4 del 4- Caso de los ciclos del 0,4
Esta secuencia interna del 4, no es posible para m=15, ya que alcanzaría el límite de lugares o
espacios, dado por m+1=16, y por ello en ese caso, no habíamos deducido las expresiones de

cálculo para aplicar a casos de m > 15. Pero podemos deducirlas inmediatamente, tomando en
cuenta la estructura interna de las tablas de los casos anteriores, y tendrá la forma:
Expresiones de cálculo según ciclo
m 1⁰ 2⁰ 3⁰
par (m-14)/2 (m-18)/2 (m-20)/2
∆ 𝑛𝑢𝑚. -4 -2
impar (m-15)/2 (m-17)/2 (m-21)/2
∆ 𝑛𝑢𝑚. -2 -4
Donde el inicio de los numeradores para el caso m par, decrece en 4 unidades con respecto al de
la tabla del caso anterior 4x3 (caso del 0,3), y luego sigue la secuencia incremental −4, −2, … , y
donde el inicio de los numeradores para el caso de m impar, decrece también en 4 unidades con
respecto al de la tabla del caso anterior (caso del 0,3), y luego sigue la secuencia incremental
−2, −4, …
Entonces, para la secuencia interna 4x4 de la secuencia principal del 4, para m=17 y m=18,
tendremos:
Ciclos
m 1⁰ 2⁰
17(impar) (m-15)/2=1 (m-17)/2=0
18(par) (m-14)/2=2 (m-18)/2=0
Notamos que para ambos valores de m, solo hay cifras significativas para el primer ciclo de esta
secuencia interna del 4, ciclo que es adicional, ya que no era posible para el caso de m=15 como
límite, y representa la última expansión posible para las secuencias del 4 sin sobrepasar los
nuevos límites que corresponden a estos valores de m.
Con estos ejemplos para alguna secuencias internas, hemos podido comprobar que nuestras
expresiones permiten calcular el número de grupos o particiones discretas para un caso
determinado de r (en este caso para r=5) , independientemente del valor de m como límite .Así
mismo, permiten calcular de manera indirecta el número de ciclos que corresponden a cada
secuencia interna, que queda delimitado cuando el valor de número de particiones para el ciclo
considerado se hace cero, o negativo para el valor de m considerado.
Al analizar el cuadro denominado Número de grupos de particiones discretas por ciclo y por
secuencia para r=5 y m=0, 1,2,..., 15, como ya hemos señalado, podemos observar que los

grupos siguen el desarrollo de las secuencias 3-4-5. Y que la distribución de grupos y secuencias
para los únicos 6 ciclos correspondientes a r=3, es idéntica a la distribución de grupos y
secuencias de los primeros 6 ciclos de cualquier otro caso de r>3, análogamente la distribución
de grupos y secuencias de los 15 ciclos correspondientes a r=4, es idéntica a la distribución de
grupos y secuencias de los primeros 15 ciclos de cualquier caso de r>4, es decir que la distribución
de grupos y secuencias de un caso dado de r=n, está siempre contenida en cualquier otro caso
de r > n, siempre que mantengamos el mismo valor máximo para m.
Por esta propiedad, si quisiéramos elaborar un cuadro análogo para r=6, y m=15, al que hemos
elaborado para r=5, solo tendríamos que agregar el desarrollo de las secuencias correspondientes
a 6 , como se muestra esquemáticamente en la tabla siguiente:
Tabla de secuencias adicionales para r=6, y 𝑚 𝑀 = 15
Secuencias 6, 6+4, 6+4x2,6+5,6+5+4, y 6x2, para m=15
Ciclos de cada secuencia interna
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰
6
3 4 5 6
3 3 4 3 4 3
3
4 2 1 2 1 2
Este desarrollo, implica la aparición de doce ciclos adicionales para el caso de r=6
Entonces podemos inferir que para un caso genérico de r (pero manteniendo 𝒎 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓), los
grupos, seguirían el desarrollo y límites de las secuencias correspondientes a 0-3-4-5-...-r (Si
aumentamos el límite de m=15, las secuencias pueden seguir desarrollándose y por ende
aumentará el n⁰ de ciclos posibles por caso).
Por otra parte, notamos que como los valores de n⁰PC, siguen el desarrollo de estas secuencias
0-3-4-5-...-r, entonces no existirán particiones, en los ciclos donde la suma de las secuencias
correspondientes, superen el valor de m.
Así, p. ej. para m=8, solo existirán grupos o particiones discretas para los ciclos correspondientes a:
𝑚 = 8
𝑟 ≥ 3 4 5 6 7 8
Secuencias 0-3 4x1 4x2 5x1 6x1 7x1 8x1
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 1⁰
n⁰PC 5 3 2 3 1 1 2 1 2 1 1
Ʃ n⁰PC 10 5 3 2 1 1

Como ya hemos indicado, la relación biunívoca que existe entre el n⁰ de particiones discretas de m
en r, y el n⁰ de coeficientes del polinomio (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑟) 𝑚
, nos permite establecer cuál es el
número de coeficientes básicos para cada uno de los casos de r, cuando m=8, lo cual puede
resumirse en la tabla siguiente:
𝑟 n⁰ de coeficientes básicos para m=8
1 1
2 5
3 10
4 15
5 18
6 20
7 21
8 22
Y podemos asegurar, que no existirán más casos de secuencias adicionales posibles para ningún
valor de 𝒓 > 8, y por ende no habrán más coeficientes básicos para 𝒓 > 8, (solo se repetirán)
Hablamos de coeficientes básicos (y no de diferentes), porque aunque existe una correspondencia
biunívoca entre los coeficientes y las particiones discretas para un mismo m y r, los coeficientes
del polinomio (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑟) 𝑚
, se obtienen al calcular las permutaciones con repetición de
m con respecto a los r elementos de cada partición originaria, que en c/u, suman m, y aunque
dichas particiones serán siempre diferentes entre sí, en algunos pocos casos, pueden dar a origen
a permutaciones (coeficientes) con un mismo valor numérico, pero de origen diferente.
Por otra parte, notamos que si mantenemos r fijo, y cambiamos el valor de m establecido como
máximo al elaborar los cuadros o tablas de particiones, el número de ciclos en cada secuencia,
puede contraerse (disminuir), o ampliarse (aumentar), dependiendo de las posibilidades de
desarrollo de las secuencias internas en el grupo. Por ello la única línea de dichas tablas que
resulta con todos sus lugares o ciclos con valores que corresponden a cifras significativas (no
nulas), será la del valor de m escogido como máximo o valor límite.
Así p.ej. si el valor límite escogido para m, fuera 𝒎 = 𝟏𝟖, entonces todo desarrollo de
secuencias internas, debe mantenerse por debajo de 19 lugares (partiendo del cero). Como
podemos observar en el esquema de la distribución gráfica por ciclos y secuencias para el caso de
r=5 y m=18 como límite que presentamos a continuación.

ESQUEMA DE LA DISTRIBUCIÓN GRÁFICA POR CICLOS Y SECUENCIAS, CASO r=5 y m=18 como límite
Ciclos , secuencias y n⁰ de particiones para r=5 y m=0,1,2,...,18 T
Ciclos
1⁰ 2⁰ 2⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰ 7⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 40
Secuenciasposibles
Del 0-3 Del 4 Del 5 3
4x1 4x2 4x3 4x4 5x1 5+4x1 5+4x2 5+4x3 5x2 5x2+4 5x2+4x2 5x3
3 4 5
3 3 4 3 4 5
3 3 3 4 3 3 4 3 4 5
3 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 4 3
3 3 3 3 3 3
3
n⁰CSI
7 5 4 3 1 5 4 2 1 3 2 1 2 40
n⁰PC
m=18
10 8 7 5 4 2 1 8 6 5 3 2 6 4 3 1 4 2 1 2 7 6 4 3 1 5 4 2 1 3 2 1 5 3 2 3 1 1 2 1 1
4
0
Como podemos observar en dicho esquema, todos los valores para grupos de particiones contenidas en cada uno de los ciclos de m=18, resultan
con una cifra significativa, y los respectivos totales de números de ciclos por secuencias internas (n⁰CSI), se han ampliado, al comparar sus
valores con los correspondientes a la tabla para m=15 como límite. Así, el primer grupo (secuencia 0-3), pasa de 6 a 7, para las secuencias del 4,
el primer grupo pasa de 4 a 5, el segundo grupo de 3 a 4, el tercer grupo de 2 a 3, y aparece un grupo adicional de un ciclo, correspondiente a la
secuencia 4x4. Para las secuencias del 5, el primer grupo pasa de 4 a 5, el segundo grupo, de 3 a 4, el tercer grupo pasa de 1 a 2, y aparece un
grupo adicional de un solo ciclo, correspondiente a 5+4x3 . El siguiente o quinto grupo, se expande de 2 a 3, el sexto grupo crece de 1 a 2, luego
aparece un nuevo grupo, correspondiente a 5x2+4x2, con un solo ciclo, y por último otro grupo adicional de 2 ciclos para 5x3.

Y así p.ej. si el valor límite escogido para m, fuera 𝒎 = 𝟖, entonces todo desarrollo de
secuencias internas, debe mantenerse por debajo de 9 lugares (partiendo del cero).
El resultado se puede obtener de manera inmediata, del esquema que ya hemos elaborado para
𝑟 = 5 𝑦 𝑚 = 15, al trazar una línea horizontal paralela a la línea del nivel cero (0) u origen, por el
segundo salto de tres lugares, máximo posible de desarrollar en esta secuencia (3 + 3 = 6 < 9), y
detenernos en la vertical al inicio del desarrollo de la secuencia 5-4 (5+4=9), es decir en el inicio
del ciclo 1⁰ de dicha secuencia interna de la tabla correspondiente.
El resultado obtenido, se muestra en el nuevo esquema a continuación:
ESQUEMA DE LA DISTRIBUCIÓN GRÁFICA POR CICLOS Y SECUENCIAS, CASO r=5 y m=8 como
límite
Ciclos , secuencias y n⁰ de particiones para r=5 y m=0,1,2,...,8 Total
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ (8)
Secuencias
posibles
0 Del 3 Del 4x1 Del 4x2 Del 5x1 3
3 4 5 --
3 3 4 3 --
n⁰CSI 3 2 1 2 (8)
n⁰PC(m=8) 5 3 2 3 1 1 2 1 (18)
Como podemos observar en dicho esquema, todos los valores para grupos de particiones
contenidas en cada uno de los ciclos de m=8, resulta con una cifra significativa, y los respectivos
totales de números de ciclos por secuencias internas (n⁰CSI), se han reducido, al comparar sus
valores con los correspondientes a la tabla para m=15 como límite. Así, el primer grupo pasa de 6 a
3, el segundo de 4 a 2, el tercer grupo de 3 a 1, el grupo siguiente, correspondiente a la secuencia
4x3=12 > 9, desaparece, y el siguiente y último posible, solo puede desarrollarse en 2 ciclos, ya
que 5+3=8<9, y no habrá más posibilidades. Y así mismo podemos notar que el n⁰ de grupos o
particiones por ciclo (n⁰PC) para m=8, coinciden con los que ya habíamos determinado
anteriormente, pero aparecen en forma continuada, sin lugares vacios.
Generalización de los casos posibles de Secuencias y Ciclos
Para facilitar el cálculo del n⁰ de particiones o grupos por ciclo, deberemos conocer hasta donde
y como se expanden las secuencias internas (el n⁰ de ciclos de cada secuencia interna),
correspondientes a las secuencias principales 0-3, 4, 5, etc.
Para ello, hemos desarrollado un método sencillo que nos permite calcular el n⁰ de ciclos de cada
secuencia interna (n⁰CSI), para un m dado, lo cual posibilita establecer de manera inmediata,
hasta donde se expanden los grupos de ciclos de cada secuencia interna de las secuencias
principales del 3,4,5,..., etc.

Con este fin, hemos elaborado un cuadro que recoge los valores de grupos de las secuencias
internas del 3, 4, y 5 para r=5, y para m, desde m=0, hasta m=18
Al construir el cuadro con los valores de secuencias internas o grupos de ciclos de las secuencias
principales 0-3,4, y 5 para m=18, hemos observado que sus valores siguen la secuencia vertical
en cada columna, 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,...., desde las distintas m de inicio, análoga a la
secuencia 1,1,2,2,3,3,...que siguen las columnas, en el caso de los grupos de particiones por ciclo
para los mismos valores de m como se muestra en la tabla del NÚMERO DE GRUPOS O
PARTICIONES DISCRETAS POR CICLO Y SECUENCIAS PARA r= 5 y m=0, 1,2,...,15
Tabla de n⁰ de grupos de ciclos de las Secuencias internas del 3, 4, y
5 para r=5, y valores de 𝒎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝟏𝟖
m 0+3 4x1 4x2 4X3 4X4 5x1 5x1+4x1 5x1+4x2 5x1+4x3 5x2 5x2+4x1 5x2+4x2 5x3 Total
0 1 1
1 1 1
2 1 1
3 2 0 2
4 2 1 0 3
5 2 1 1 4
6 3 1 1 5
7 3 2 0 1 6
8 3 2 1 2 0 8
9 4 2 1 2 1 0 10
10 4 3 1 2 1 1 12
11 4 3 2 0 3 1 1 14
12 5 3 2 1 3 2 0 1 17
13 5 4 2 1 3 2 1 2 0 20
14 5 4 3 1 4 2 1 2 1 0 23
15 6 4 3 2 0 4 3 1 2 1 1 27
16 6 5 3 2 1 4 3 2 0 3 1 1 31
17 6 5 4 2 1 5 3 2 1 3 2 0 1 35
18 7 5 4 3 1 5 4 2 1 3 2 1 2 40

Las secuencias de variación de los grupos de ciclos de las secuencias internas de cada secuencia
principal, del 3, 4, 5, etc. ,se corresponden con las secuencias gráficas del cuadro anterior , donde
el escalón mínimo de avance es de 4 unidades, en lugar de 3, y el máximo sigue siendo igual a r
(en este caso r=5), siempre limitado su desarrollo interno por el límite no alcanzable igual a 𝑚 + 1,
que en este caso particular (m=18), será igual a 19. Por ello, las secuencias gráficas posibles en
este cuadro, son las correspondientes a : 0-4, que se desarrolla internamente hasta 4x4=16, la del
5x1, que se desarrolla hasta internamente hasta 5x1+4x3=17, la del 5x2, que se desarrolla
internamente hasta 5x2+4x2=18, y la del 5x3=15, que no tiene posibilidades de desarrollo.
Esto se muestra en el esquema a continuación:
ESQUEMA DE LA DISTRIBUCION DE SECUENCIAS GRAFICAS INTERNAS DE LA
TABLA DE n⁰ DE GRUPOS DE CICLOS DE LAS SECUENCIAS INTERNAS DEL 3, 4, y 5
PARA r=5, Y VALORES DE 𝒎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝟏𝟖
Sec.
Del 4
0
Sec.Del
5x1
Sec.Del
5x2
Sec.Del
5x3
4 5
4 4 5
4 4 4 5
4 4 4
5 4 3 1
Cuando analizamos la primera columna del cuadro correspondiente a la variación del n⁰ de ciclos
de la secuencia 0-3, con m, encontramos que la relación entre el valor de m, y el n⁰ de ciclos de la
secuencia interna (𝑛°𝐶𝑆𝐼) para esta columna, puede expresarse mediante tres relaciones
lineales diferentes, según cada grupo de valores de m considerado. Aunque cada uno de estos tres
grupos constituyen progresiones aritméticas de razón 3. Estas expresiones pueden resumirse en la
fórmula: 𝑛°𝐶𝑆𝐼 =
(𝑚+𝑖)
3
, con 𝑖 = 1,2,3
El resultado puede reflejarse en el siguiente cuadro:
Secuencias del 0-3
m 2, 5, 8, 11, 14, 17,...
n⁰CSI=(𝑚 + 1) 3⁄ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
m 1, 4, 7, 10, 13, 16,...
n⁰CSI=(𝑚 + 2) 3⁄ 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
m 0, 3, 6, 9, 12, 15,...
n⁰CSI=(𝑚 + 3) 3⁄ 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

La validez de estas expresiones para este caso pueden extenderse, para cualquier 𝒎 ≥ 𝟎
Para obtener el valor del n⁰ de ciclos correspondiente a la secuencia 0-3, para un determinado
valor de m, procedemos a calcular los 3 valores consecutivos 𝒎 + 𝟏, 𝒎 + 𝟐, 𝒚 𝒎 + 𝟑 , y el
valor obtenido que resulte múltiplo de 3, nos indicará la expresión que deberemos utilizar.
Así p. ej. para m=17, tendremos: y para m=21, tendremos:
m+1= 18, entonces 𝑛°𝐶𝑆𝐼 =
(𝑚+1)
3
= 6 m+1= 22
m+2=19 m+2= 23
m+3=20 m+3=24, entonces 𝑛°𝐶𝑆𝐼 =
(𝑚+3)
3
= 8
Este método es aplicable a cada una de las columnas del cuadro que hemos elaborado para r=5, y
m=18, que representan la variación de los grupos de ciclos para cada secuencia interna posible, y
donde los numeradores de las expresiones encontradas para el cálculo, deberán ser disminuidos
en los múltiplos de 4, y 5 que correspondan en el desarrollo de la secuencia.
Así para la segunda columna del cuadro (secuencia 4x1), los numeradores de las expresiones a
utilizar serán:
1) 𝑚 + 1 − 4 = 𝒎 − 𝟑 aplicable a la sucesión de valores de 𝑚 = 6,9,12,15,18, …, que
corresponden a los de la primera sucesión anterior 2, 5, 8, 11,1 5, …, incrementados c/u en 4
unidades.
2) 𝑚 + 2 − 4 = 𝒎 − 𝟐, aplicable a la sucesión de valores de 𝑚 = 5, 8, 11, 14, 17, …, que
corresponden a los de la segunda sucesión anterior 1, 4, 7, 10, 13, …, incrementados c/u en 4
unidades.
3) 𝑚 + 3 − 4 = 𝒎 − 𝟏, aplicable a la sucesión de valores de 𝑚 = 4, 7, 10, 13, 16, …, que
corresponden a los de la tercera sucesión anterior 0, 3, 6, 9, 12, 15, ..., incrementados c/u en 4
unidades.
Estos resultados serán válidos para 𝒎 ≥ 𝟒 , y se pueden recoger en el cuadro siguiente:
Secuencias del 4x1
m 6, 9, 12, 15, 18, 21,...
n⁰CSI=(𝑚 − 3) 3⁄ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
m 5, 8, 11, 14, 17, 20,...
n⁰CSI=(𝑚 − 2) 3⁄ 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
m 4, 7, 10, 13, 16, 19,...
n⁰CSI=(𝑚 − 1) 3⁄ 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Análogamente al caso anterior, para obtener el valor del n⁰ de ciclos correspondiente a la
secuencia 4x1, para un determinado valor de m, procedemos a calcular los 3 valores consecutivos
𝑚 − 1, 𝑚 − 2, 𝑦 𝑚 − 3 , y el valor obtenido que resulte múltiplo de 3, nos indicará la expresión
que deberemos utilizar.
Así p. ej. para m=17, tendremos: y para m=21, tendremos:
m-1= 16 m-1=20
m-2=15 , entonces 𝑛°𝐶𝑆𝐼 =
(𝑚−2)
3
= 5 m-2= 19
m-3=14 m-3=18, entonces 𝑛°𝐶𝑆𝐼 =
(𝑚−3)
3
= 6
Para el resto de casos, podríamos elaborar cuadros similares adicionales, pero para nuestros
fines, ello no es necesario, ya que el método de cálculo, nos permite obviar tal paso. Así, si
quisiéramos determinar cuántos ciclos corresponden a la secuencia 5x1+4x2=13, para un valor
de m, p. ej. m=17, tendríamos que proceder de la siguiente manera:
1⁰) Verificamos que la secuencia considerada, pueda ser desarrollada para m=17, para ello,
comprobamos que la suma de los elementos de la secuencia, sea menor que el límite m+1, cosa
que ocurre en este caso, ya que 5x1+4x2=13 < 18
2⁰) Determinamos los numeradores de las expresiones de cálculo del caso, que serán:
𝑚 + 1 − 13 = 𝑚 − 12
𝑚 + 2 − 13 = 𝑚 − 11
𝑚 + 3 − 13 = 𝑚 − 10
3⁰) Comprobamos cuál de estos valores es un múltiplo de 3, para m=17
𝑚 − 12 = 5
𝑚 − 11 = 6, entonces 𝑛°𝐶𝑆𝐼 =
(𝑚−11)
3
= 2
𝑚 − 10 = 7
Este procedimiento es extensible para cualquier otro valor de r, por ejemplo para r=6 y m=15, las
secuencias internas posibles serán: del 6, del 6+4x1=10, del 6+4x2=14, del 6+5x1=11, del 6+
5+4x1=15, y del 6x2=12, todas con desarrollo de bloques de3 lugares, o no, pero siempre por
debajo del límite m+1=16. Entonces por ejemplo, para hallar el número de los ciclos
correspondientes a la secuencia interna 6+ 5+4x1=15 < 16, para m=15, tendremos:

Los numeradores serán: 𝑚 + 1 − 15 = 𝑚 − 14
𝑚 + 2 − 15 = 𝑚 − 13
m + 3 − 15 = m − 12
El múltiplo de 3, si m=17: 𝑚 − 14 = 3, entonces 𝑛°𝐶𝑆𝐼 =
(𝑚−14)
3
= 1 *
m − 13 = 4
m − 12 = 5
*valor que podemos verificar en la Tabla de secuencias adicionales para r=6, y 𝑚 𝑀 = 15
Como conocemos como se desarrollan las secuencias internas, y el límite de sus posibilidades de
desarrollo, para cualquier valor de r y m, entonces este método nos permite calcular el número
de ciclos de cada una de las secuencias internas posibles, para cualquier valor de r y m. Una vez
determinada la amplitud en número de ciclos de todas las secuencias posibles de un caso de r y m,
podemos proceder al cálculo del número de particiones correspondientes a cada ciclo de la
secuencia, utilizando en este caso en lugar del método de los ∆ 𝒎 que ya desarrollamos en el
análisis vertical, el método de los numeradores de inicio.
Para ello, hemos creído procedente desarrollar el total de secuencias internas posibles con sus
n⁰ de ciclos correspondientes, desde r=3, hasta r=m, para un caso determinado de m, en este
caso m=15, y posteriormente, determinar los numeradores de inicio del cálculo del número de
particiones para cada una de estas secuencias posibles. Los resultados obtenidos, se muestran en
los cuadros siguientes:
TOTAL DE SECUENCIAS INTERNAS POSIBLES CON SU N⁰ DE CICLOS PARA m=15, DESDE r=3,
HASTA r=15
r 3 4 5
Secuencia 3x5 4x1 4x2 4x3 5x1 5+4 5+4x2 5x2 5x2+4 5x3
n⁰ Ciclos 6 4 3 2 4 3 1 2 1 1
r 6 7
Secuencia 6x1 6+4 6+4x2 6+5 6+5+4 6x2 7x1 7+4 7+4x2 7+5 7+6 7+7
n⁰ Ciclos 4 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1
r 8 9 10
Secuencia 8x1 8+4 8+5 8+6 8+7 9x1 9+4 9+5 9+6 10x1 10+4 10+5
n⁰ Ciclos 3 2 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1

r 11 12 13 14 15
Secuencia 11x1 11+4 12x1 13x1 14x1 15x1
n⁰ Ciclos 2 1 2 1 1 1
NUMERADORES DE INICIO DE SECUENCIA PARA EL CÁLCULO DEL N⁰DE PARTICIONES POR CICLO
SI 𝒎 = 𝟏𝟓, y 𝒓 = 𝟑, 𝟒, … , 𝟏𝟓
r 3 4 5
Secuencia 3x5 4x1 4x2 4x3 5x1* 5+4* 5+4x2* 5x2 5x2+4 5x3*
m ( par) m+2 m-2 m-6 m-10 m-4 m-8 m-12 m-8 m-12 m-14
m (impar) m+1 m-3 m-7 m-11 m-3 m-7 m-11 m-9 m-13 m-13
V.I. A A A A B B B A A B
*Explicación:
Para calcular el valor del numerador al inicio de una secuencia, siempre partimos del valor
inicial, correspondiente a la secuencia del 3 partiendo del 0, es decir de los valores m+2, para el
caso de m par y de m+1 para el caso de m impar, pero cuando la suma de los elementos de una
secuencia, que representan el valor, que debemos restar al numerador inicial, m+2, es un valor
impar, y por ende el resultado es de la forma m - n⁰impar, hay que cambiar o cruzar, el
resultado de inicio de pares a impares, y viceversa. (Una regla análoga, pero a la inversa,
podríamos establecer para el caso de inicio de impares para m+1 ) .
La variación incremental (V.I.), de los numeradores de inicio, al pasar de un ciclo al siguiente,
dentro de cada secuencia interna, puede seguir una de dos alternativas, que hemos
denominado A, o B, siendo:
𝑨 = {
𝒎 𝒑𝒂𝒓 = {−𝟒, −𝟐, −𝟒, −𝟐, … }
𝒎 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 = {−𝟐, −𝟒, −𝟐, −𝟒, … }
𝑩 = {
𝒎 𝒑𝒂𝒓 = {−𝟐, −𝟒, −𝟐, −𝟒, … }
𝒎 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 = {−𝟒, −𝟐, −𝟒, −𝟐, … }
De manera análoga, si al restar de m+2, la suma de los elementos de una secuencia interna, el
resultado es un número par, la variación incremental (V.I), es del tipo B, y si es un número
impar, la variación incremental, es del tipo A
Así p.ej.
Para el la secuencia 5x1, tendremos:
Par: m+2-5=m-3, pasa a inicio de impar

Impar: m+1-5=m-4, pasa a inicio de par
Para las otras 2 secuencias siguientes que comienzan con 5 a pesar de ser de suma impar, como
resultan de agregar múltiplos de 4, sus numeradores decrecen de 4 en 4, con respecto a los de la
secuencia inicial del 5
Para la secuencia 5x3, tendremos:
El tipo de variación incremental por ciclo, para los numeradores de las secuencias del 5, será:
V.I. de los numeradores de las secuencias internas del 5
m=15, y m+2=17
Secuencia Suma m+2-Suma Tipo de V.I.
5 5 12 B
5+4 9 8 B
5+4x2 13 4 B
5x2 10 7 A
5x2+4 14 3 A
5x3 15 2 B
r 6 7
Secuencia 6x1 6+4 6+4x2 6+5* 6+5+4* 6x2 7x1* 7+4* 7+4x2* 7+5 7+6* 7x2
m (par) m-4 m-8 m-12 m-10 m-14 m-10 m-6 m-10 m-14 m-10 m-12 m-12
m (impar) m-5 m-9 m-13 m-9 m-13 m-11 m-5 m-9 m-13 m-11 m-11 m-13
V.I. A A A B B A B B B A B A
Para la secuencia 6+5, tendremos:
Luego para la secuencia siguiente que comienza en 6+5 y múltiplo de 4, los numeradores
decrecen en 4 unidades

m=15, y m+2=17
6 6 11 A
6+4 10 7 A
6+4x2 14 3 A
6+5 11 6 B
6+5+4 15 2 B
6x2 12 5 A
Luego para las otras 2 secuencias siguientes que comienzan con 7 y múltiplos de 4, sus
numeradores decrecen de 4 en 4
m=15, y m+2=17
7 7 10 B
7+4 11 6 B
7+4x2 15 2 B
7+5 12 5 A
7+6 13 4 B
7x2 14 3 A

r 8 9
Secuencia 8x1 8+4 8+5* 8+6 8+7* 9x1* 9+4* 9+5 9+6*
m (par) m-6 m-10 m-12 m-12 m-14 m-8 m-12 m-12 m-14
m (impar) m-7 m-11 m-11 m-13 m-13 m-7 m-11 m-13 m-13
V.I. A A B A B B B A B
m=15, y m+2=17
8 8 9 A
8+4 12 5 A
8+5 13 4 B
8+6 14 3 A
8+7 15 2 B
Luego para la secuencia siguiente que comienza en 9 y múltiplo de 4, los numeradores decrecen
en 4 unidades

m=15, y m+2=17
9 9 8 B
9+4 13 4 B
9+5 14 3 A
9+6 15 2 B
r 10 11 12 13 14 15
Secuencia 10x1 10+4 10+5* 11x1* 11+4* 12x1 13x1* 14x1 15x1*
m (par) m-8 m-12 m-14 m-10 m-14 m-10 m-12 m-12 m-14
m (impar) m-9 m-13 m-13 m-9 m-13 m-11 m-11 m-13 m-13
V.I. A A B B B A B A B
m=15, y m+2=17
10 10 7 A
10+4 14 3 A
10+5 15 2 B

Luego para la secuencia siguiente que comienza en 11 y múltiplo de 4, los numeradores decrecen
en 4 unidades
m=15, y m+2=17
11 11 6 B
11+4 15 2 B
m=15, y m+2=17
12 12 5 A
m=15, y m+2=17
13 13 4 B

m=15, y m+2=17
14 14 3 A
m=15, y m+2=17
15 15 2 B
RECAPITULACIÓN:
Todo este trabajo, nos ha permitido hasta este punto, desarrollar una serie de métodos y
expresiones matemáticas sencillas, que podemos utilizar para obtener el número particiones
discretas de m en r por cada ciclo, de cada secuencia interna , y su total, para cualesquiera par
de valores enteros positivos de m y r, y en consecuencia, en base a la relación biunívoca entre
dichas particiones y los coeficientes, obtener así “A priori”, el n⁰ total de coeficientes básicos de
un polinomio de la forma (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
.
Reconociendo que para valores de cierta magnitud, y para la facilidad y rapidez en la obtención
de resultados, se hace necesaria la utilización de un programa de computación, desarrollado en
base a toda la serie de reglas ya establecidas en este estudio, para su determinación.
En la segunda parte de este trabajo, ya definido y calculado el número total de particiones
discretas para un caso dado de m y r, es decir, conocidas cuantas son, intentaremos determinar
cuáles son dichas particiones, en base a sus propias secuencias de formación en cada columna y
ciclo de las secuencias internas correspondientes a ese par de valores m y r
Una vez determinadas cuantas y cuáles son, nos queda aplicar la definición combinatoria de los
coeficientes multinomiales como permutaciones con repetición, a cada una de dichas
particiones discretas de m en r, para obtener cada uno de los coeficientes básicos del polinomio
potenciado (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, permutando (con repetición) a m, con respecto a cada uno de
los r elementos numéricos de cada partición (que deben sumar m).

Por último, para completar esta cadena de valor, ya obtenidos los coeficientes básicos del
polinomio potenciado, podremos calcular fácilmente el número de veces en que aparecen (se
repiten), en el desarrollo del mismo, Todo ello, sin desarrollar dicho polinomio. Estos dos
últimos puntos y sus métodos de cálculo, ya los hemos expuesto en el trabajo titulado
“COEFICIENTES MULTINOMIALES Y DESARROLLO DE UN POLINOMIO ELEVADO A LA m:
TEOREMA MULTINOMIAL Y OTROS TÓPICOS COMPLEMENTARIOS”.
Para culminar esta primera parte del estudio, y aunque los resultados del ejemplo que vamos a
exponer, ya los hayamos determinado parcialmente, y de manera dispersa en las diferentes
deducciones y ejemplos previos, esta presentación cubre todos los pasos necesarios de ejecutar,
en el proceso de su obtención.
Supongamos que queremos determinar el número de particiones discretas de 15, en 6,
es decir:
m=15, y r=6
1.) Determinamos las secuencias internas del 3, 4, 5, y 6 (las posibles para r=6), siempre
acotadas por el límite no alcanzable m+1=16.
Las secuencias posibles serán:
S.P Del 3 Del 4 Del 5 Del 6
S.I 3x5 4x1 4x2 4x3 5x1 5+4 5+4x2 5x2 5x2+4 5x3 6x1 6+4 6+4x2 6+5 6+5+4 6x2
Donde S.P. representa la Secuencia Principal, y S.I la Secuencia Interna
2.) Calculamos el número de ciclos correspondiente a cada secuencia interna (n⁰CSI ) de las
secuencias principales para m=15 y r=6
Secuencias del 3
3x5=15<16
Para m=15:
m+1=16
m+2=17
m+3=18= 𝟑̇
Entonces:
n⁰CSI=𝟏𝟖 𝟑⁄ =6

Secuencias del 4
4x1=4<16 4x2=8<16 4x3=12<16
Para m=15 Para m=15 Para m=15
16-4=12 =𝟑̇ 16-8=8 16-12=4
17-4=13 17-8=9 =𝟑̇ 17-12=5
18-4=14 18-8=10 18-12=6 =𝟑̇
Entonces: Entonces: Entonces:
n⁰CSI=𝟏𝟐 𝟑⁄ =4 n⁰CSI=𝟗 𝟑⁄ =3 n⁰CSI=𝟔 𝟑⁄ =2
Secuencias del 5
5x1=5<16 5+4=9<16 5+4x2=13<16 5x2=10<16 5x2+4=14<16 5x3=15<16
Para m=15 Para m=15 Para m=15 Para m=15 Para m=15 Para m=15
16-5=11 16-9=7 16-13=3 =𝟑̇ 16-10=6=𝟑̇ 16-14=2 16-15=1
17-5=12 =𝟑̇ 17-9=8 17-13=4 17-10=7 17-14=3=𝟑̇ 17-15=2
18-5=13 18-9=9 =𝟑̇ 18-13=5 18-10=8 18-14=4 18-15=3=𝟑̇
Entonces: Entonces: Entonces: Entonces: Entonces: Entonces:
n⁰CSI=𝟏𝟐 𝟑⁄ =4 n⁰CSI=𝟗 𝟑⁄ =3 n⁰CSI=𝟑 𝟑⁄ =1 n⁰CSI=𝟔 𝟑⁄ =2 n⁰CSI=𝟑 𝟑⁄ =1 n⁰CSI=𝟑 𝟑⁄ =1
Secuencias del 6
6x1=6<16 6+4=10<16 6+4x2=14<16 6+5=11<16 6+5+4=15<16 6x2=12<16
Para m=15 Para m=15 Para m=15 Para m=15 Para m=15 Para m=15
16-6=10 16-10=6=𝟑̇ 16-14=2 16-11=5 16-15=1 16-12=4
17-6=11 17-10=7 17-14=3=𝟑̇ 17-11=6=𝟑̇ 17-15=2 17-12=5
18-6=12=𝟑̇ 18-10=8 18-14=4 18-11=7 18-15=3=𝟑̇ 18-12=6=𝟑̇
Entonces: Entonces: Entonces: Entonces: Entonces: Entonces:
n⁰CSI=𝟏𝟐 𝟑⁄ =4 n⁰CSI=𝟔 𝟑⁄ =2 n⁰CSI=𝟑 𝟑⁄ =1 n⁰CSI=𝟔 𝟑⁄ =2 n⁰CSI=𝟑 𝟑⁄ =1 n⁰CSI=𝟔 𝟑⁄ =2
Resumiendo:
S.P Del 3 Del 4 Del 5 Del 6
S.I 3x5 4x1 4x2 4x3 5x1 5+4 5+4x2 5x2 5x2+4 5x3 6x1 6+4 6+4x2 6+5 6+5+4 6x2
n⁰CSI 6 4 3 2 4 3 1 2 1 1 4 2 1 2 1 2
3.) Determinamos los numeradores de inicio para cada secuencia interna y su tipo de Variación
Incremental (V.I.)

En este caso, obviamos el cálculo detallado, porque consideramos que ello se realizó
recientemente en la parte del estudio inmediatamente anterior a esta.
Numeradores de inicio de secuencia y su V.I.
S.P. 3 4 5
S.I 3x5 4x1 4x2 4x3 5x1* 5+4* 5+4x2* 5x2 5x2+4 5x3*
m ( par) m+2 m-2 m-6 m-10 m-4 m-8 m-12 m-8 m-12 m-14
m (impar) m+1 m-3 m-7 m-11 m-3 m-7 m-11 m-9 m-13 m-13
V.I. A A A A B B B A A B
S.P. 6
S.I. 6x1 6+4 6+4x2 6+5* 6+5+4* 6x2
m (par) m-4 m-8 m-12 m-10 m-14 m-10
m (impar) m-5 m-9 m-13 m-9 m-13 m-11
V.I. A A A B B A
4.) Una vez obtenidos los datos de Secuencias Internas, Número de ciclos de cada una de dichas
secuencias, y los numeradores de inicio de secuencia, con su tipo de variación incremental,
estaremos en condiciones de calcular el número de particiones discretas por cada ciclo de las
secuencias internas posibles, y por ende el total de ellas para el caso dado de r=6 y m=15.
Para las Secuencias del 3
m=15 (impar) y m+1=16 , 6 ciclos V.I= -2,-4,-2,-4,...
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰
16
2
= 8
14
2
= 7
10
2
= 5
8
2
= 4
4
2
= 2
2
2
= 1
S.I. : 4x1, m=15(impar) y m-3=12 , 4 ciclos V.I= -2,-4,-2,-4,...
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
12
2
= 6
10
2
= 5
6
2
= 3
4
2
= 2

S.I.: 4x2 , m=15(impar) y m-7=8 , 3 ciclos V.I= -2,-4,-2,-4,...
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰
8
2
= 4
6
2
= 3
2
2
= 1
Ciclos
1⁰ 2⁰
4
2
= 2
2
2
= 1
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
12
2
= 6
8
2
= 4
6
2
= 3
2
2
= 1
S.I. : 5+4, m=15(impar) y m-7=8 , 3 ciclos V.I= -4,-2,-4,-2,...
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰
8
2
= 4
4
2
= 2
2
2
= 1
S.I. : 5+4x2, m=15(impar) y m-11=4 , 1 ciclo V.I= -4,-2,-4,-2,...
Ciclo
1⁰
4
2
= 2

1⁰ 2⁰
6
2
= 3
4
2
= 2
S.I. : 5x2+4, m=15(impar) y m-13=2 , 1 ciclo V.I= -2,-4,-2,-4,...
Ciclo
1⁰
2
2
= 1
S.I. : 5x3, m=15(impar) y m-13=2 , 1 ciclo V.I= -4,-2,-4,-2,...
Ciclo
1⁰
2
2
= 1
Ciclos
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
10
2
= 5
8
2
= 4
4
2
= 2
2
2
= 1
1⁰ 2⁰
6
2
= 3
4
2
= 2
S.I. : 6+4x2, m=15(impar) y m-13=2 , 1 ciclo V.I= -2,-4,-2,-4,...
Ciclo
1⁰
2
2
= 1

1⁰ 2⁰
6
2
= 3
2
2
= 1
S.I. : 6+5+4, m=15(impar) y m-13=2 , 1 ciclo V.I= -4,-2,-4,-2,...
Ciclo
1⁰
2
2
= 1
1⁰ 2⁰
4
2
= 3
2
2
= 1
Resumiendo:
S.P. Del 3 Total
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰ 6
n⁰PC 8 7 5 4 2 1 27
S.P. Del 4 Total
S.I. 4x1 4x2 4x3 3
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 2⁰ 9
n⁰PC 6 5 3 2 4 3 1 2 1 27
S.P. Del 5 Total
S.I. 5x1 5+4 5+4x2 5x2 5x2+4 5x3 6
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 3⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 12
n⁰PC 6 4 3 1 4 2 1 2 3 2 1 1 30
S.P. Del 6 Total
S.I. 6x1 6+4 6+4x2 6+5 6+5+4 6x2 6
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 1⁰ 1⁰ 2⁰ 12
n⁰PC 5 4 2 1 3 2 1 3 1 1 2 1 26

Esto, nos da un total general de 110 Particiones discretas de 15 en 6, lo cual equivale a calcular
el número de columnas de cada ciclo de la tabla y su total para dichos valores de m =15 y r=6,
pero sin necesidad de construir ni depender para ello, de la tabla correspondiente. Pero más
importante aún, es que dicho cálculo, nos permite afirmar que un polinomio tal como
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝟔) 𝟏𝟓
, tiene 110 coeficientes básicos sin necesidad de desarrollarlo.
La determinación del desarrollo interno de las particiones discretas de m en r, también nos
proporciona un método alternativo para el cálculo de su número, pero también exige, al igual que
el anterior, haber desarrollado un método para el cálculo del número de ciclos de cada secuencia
interna.
Si determinamos todas las secuencias posibles para un caso de m y r, siempre acotadas por el
límite no alcanzable m+1, y luego calculamos el número de ciclos de cada secuencia interna
(𝑛°𝐶𝑆𝐼), podremos elaborar cuadros para cada una de estas secuencias internas, donde
formulamos la expresión abreviada del desarrollo de cada grupo de particiones, correspondientes
a cada ciclo de dichas secuencias internas, que al desarrollarlas, nos permitirán obtener para un m
y r dados tanto las particiones de cada ciclo, como su número . Este método tiene la ventaja de
permitirnos obtener todas las particiones de cada ciclo, y simultáneamente su número por ciclo.
Para un ejemplo aclaratorio, transcribimos a continuación la serie de cuadros por secuencias
internas, correspondientes al caso r=5, y m=15
Para indicar la repetición de una cifra en una partición o grupo, utilizaremos esta misma cifra,
acompañada de un subíndice que indica el número de veces que dicha cifra se repite, así p.ej. 𝟎 𝟑,
significa que en dichos grupos, el cero se repite tres veces, antes de la siguiente cifra del grupo.
Algo que ya utilizamos al comienzo de este estudio, en lo que denominamos análisis vertical de
relaciones (por columnas), y creemos que no es necesario indicar que las cifras secuenciales de la
partición, no implican ningún producto de ellas.
Secuencias del 3
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 6⁰
𝑚 ≥ 0 3 6 9 12 15
Particiones
Por ciclo
020𝑖[𝑚 − (𝑖 + 0)] 021𝑖[𝑚 − (𝑖 + 1)] 022𝑖[𝑚 − (𝑖 + 2)] 023𝑖[𝑚 − (𝑖 + 3)] 024𝑖[𝑚 − (𝑖 + 4)] 025𝑖[𝑚 − (𝑖 + 5)]
𝑖, 𝑚 𝑝𝑎𝑟 0, … , (𝑚 − 0) 2⁄ 1, … , (𝑚 − 2) 2⁄ 2, … , (𝑚 − 2) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 4) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 4) 2⁄ 5, … , (𝑚 − 6) 2⁄
𝑖, 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 0, … , (𝑚 − 1) 2⁄ 1, … , (𝑚 − 1) 2⁄ 2, … , (𝑚 − 3) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 3) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 5) 2⁄ 5, … , (𝑚 − 5) 2⁄
Secuencias del 4: 4x1
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
𝑚 ≥ 4 7 10 13
Particiones
por ciclo
011𝑖[𝑚 − (𝑖 + 2)] 012𝑖[𝑚 − (𝑖 + 3)] 013𝑖[𝑚 − (𝑖 + 4)] 014𝑖[𝑚 − (𝑖 + 5)]
𝑖, 𝑚 𝑝𝑎𝑟 1, … , (𝑚 − 2) 2⁄ 2, … , (𝑚 − 4) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 4) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 6) 2⁄
𝑖, 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 1, … , (𝑚 − 3) 2⁄ 2, … , (𝑚 − 3) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 5) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 5) 2⁄

Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰
𝑚 ≥ 8 11 14
Particiones
por ciclo
022𝑖[𝑚 − (𝑖 + 4)] 023𝑖[𝑚 − (𝑖 + 5)] 024𝑖[𝑚 − (𝑖 + 6)]
𝑖, 𝑚 𝑝𝑎𝑟 2, … , (𝑚 − 4) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 6) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 6) 2⁄
𝑖, 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 2, … , (𝑚 − 5) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 5) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 7) 2⁄
Ciclos 1⁰ 2⁰
𝑚 ≥ 12 15
Particiones
por ciclo
033𝑖[𝑚 − (𝑖 + 6)] 034𝑖[𝑚 − (𝑖 + 7)]
𝑖, 𝑚 𝑝𝑎𝑟 3, … , (𝑚 − 6) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 8) 2⁄
𝑖, 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 3, … , (𝑚 − 7) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 7) 2⁄
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰
𝑚 ≥ 5 8 11 14
Particiones
por ciclo
121𝑖[𝑚 − (𝑖 + 3)] 122𝑖[𝑚 − (𝑖 + 4)] 123𝑖[𝑚 − (𝑖 + 5)] 124𝑖[𝑚 − (𝑖 + 6)]
𝑖, 𝑚 𝑝𝑎𝑟 1, … , (𝑚 − 4) 2⁄ 2, … , (𝑚 − 4) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 6) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 6) 2⁄
𝑖, 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 1, … , (𝑚 − 3) 2⁄ 2, … , (𝑚 − 5) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 5) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 7) 2⁄
Secuencias del 5: 5+4
Ciclos 1⁰ 2⁰ 3⁰
𝑚 ≥ 9 12 15
Particiones
por ciclo
122𝑖[𝑚 − (𝑖 + 5)] 123𝑖[𝑚 − (𝑖 + 6)] 124𝑖[𝑚 − (𝑖 + 7)]
𝑖, 𝑚 𝑝𝑎𝑟 2, … , (𝑚 − 6) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 6) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 8) 2⁄
𝑖, 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 2, … , (𝑚 − 5) 2⁄ 3, … , (𝑚 − 7) 2⁄ 4, … , (𝑚 − 7) 2⁄

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