Este documento describe las propiedades y relaciones matemáticas de los cuadrados mágicos 3x3 construidos con 9 números enteros sucesivos. Explica cómo determinar la distribución de los números en el cuadrado a partir de la constante mágica K, siguiendo un patrón de simetría. También describe las 7 variantes posibles de la solución obtenidas mediante rotaciones alrededor de los ejes de simetría.

1. CUADRADOS MAGICOS 3X3 ALGUNAS
RELACIONES GENERALES
Y EL CASO DE LOS ENTEROS
SUCESIVOS
TRÁFICO TOROIDAL DE RELACIONES
3K CAMINO UNIVERSAL AL EXITO
CENTRO Y EJES DE SIMETRÍA
Enrique R. Acosta R. 2017
4 9 2
3 5 7
8 1 6

2. CUADRADOS MÁGICOS SUMATIVOS DE ORDEN TRES, CONSTRUIDOS CON 9 N⁰s ENTEROS
SUCESIVOS
→K
→ K
→K
↙ ↓ ↓ ↓ ↘
K K K K K
Sea el Cuadrado Mágico (CM) 3x3 que se muestra en la figura, y sea {𝑎 𝑛}, un conjunto de 9
enteros positivos sucesivos que lo integran. Si la constante mágica característica del cuadrado
que denominaremos K, es conocida, entonces, ella determina 8 relaciones matemáticas
inmediatas entre los distintos elementos de {𝑎 𝑛}, a saber:
La suma de tres elementos del cuadrado, situados en una misma línea horizontal, vertical, o
diagonal, es igual a K, lo que nos permite conformar un sistema indeterminado de 8 ecuaciones
con 9 incógnitas, para intentar resolver el problema de la disposición de los elementos de {𝒂 𝒏},
en el tablero del CM.
A estas ecuaciones, podemos agregar una relación adicional, pero que resulta de una combinación
lineal de las anteriores: La suma de de todos los elementos del CM, es igual a 3K, es decir
∑ 𝑎 𝑛
9
𝑛=1 = 3𝐾. Lamentablemente, esta relación adicional no nos permite quitar la
indeterminación del sistema, al no ser una ecuación independiente.
Intentaremos en base a algunas propiedades de las series aritméticas de razón incremental
constante, resolver la indeterminación, y hallar la solución general del problema.
Sea {𝑎 𝑛} = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎8, 𝑎9}, el conjunto de los 9 enteros sucesivos que conforman el CM 3x3
Como la razón incremental de esta sucesión es la unidad, tendremos dos relaciones básicas, que
podremos aplicar al caso:
I) 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1), para un término cualquiera de las 𝑎 𝑛 , con 𝑛 = 1,2, … 9
II) 𝑆 𝑛 = (𝑎1 + 𝑎 𝑛)
𝑛
2
, para la suma de todas las 𝑎 𝑛
Sustituyendo I) en II), y tomando en cuenta que ∑ 𝑎 𝑛
9
𝑛=1 = 3𝐾, resulta:
𝑆 𝑛 = (2𝑎1 + 8)
9
2
= 3K, y 3𝑎1+12=K, de donde: 𝑎1 =
𝐾
3
− 4

3. Conociendo 𝑎1, quedan determinados todos los demás elementos de {𝑎 𝑛} , a saber:
𝑎1 =
𝐾
3
− 4
𝑎2 =
𝐾
3
− 3
𝑎3 =
𝐾
3
− 2
𝑎4 =
𝐾
3
− 1
𝑎5 =
𝐾
3
𝑎6 =
𝐾
3
+ 1
𝑎7 =
𝐾
3
+ 2
𝑎8 =
𝐾
3
+ 3
𝑎9 =
𝐾
3
+ 4
Nótese que otra propiedad inmediata, está dada por:
𝑎1 + 𝑎9 = 𝑎2 + 𝑎8 = 𝑎3 + 𝑎7 = 𝑎4 + 𝑎6 = 𝑎5 + 𝑎5 = 2
𝐾
3
Propiedad que podemos enunciar como: La suma de los elementos al extremo de un eje de
simetría de un CM3x3, es igual al doble del valor central
Lo que no queda definido, es el orden en que las 𝒂 𝒏 , se distribuyen en las casillas del tablero del
CM, pero sabemos que deben constituir tríadas cuya suma es K, y como la suma de tres 𝑎 𝑛
cualesquiera del conjunto, contiene un término igual a 3𝑎1, es decir 𝐾 − 12, entonces un segundo
término de dicha suma estará constituido por tres dígitos (entre 0 y 8), cuya suma sea 12, lo cual
corresponde a las ternas:
0,4,8 1,3,8 2,3,7 3,4,5
0,5,7 1,4,7 2,4,6
1,5,6
A cada terna, le corresponde un grupo de tres 𝑎 𝑛 (una línea del CM), cuyos elementos suman K:
Ternas Grupos de 𝑎𝑖 Ternas Grupos de 𝑎𝑖 Ternas Grupos de 𝑎𝑖 Ternas Grupos de 𝑎𝑖
0,4,8 𝑎1 + 0 1,3,8 𝑎1 + 1 2,3,7 𝑎1 + 2 3,4,5 𝑎1 + 3
𝑎1 + 4 𝑎1 + 3 𝑎1 + 3 𝑎1 + 4
𝑎1 + 8 𝑎1 + 8 𝑎1 + 7 𝑎1 + 5
Ʃ 3𝑎1 + 12=K Ʃ 3𝑎1 + 12=K Ʃ 3𝑎1 + 12=K Ʃ 3𝑎1 + 12=K
0,5,7 𝑎1 + 0 1,4,7 𝑎1 + 1 2,4,6 𝑎1 + 2
𝑎1 + 5 𝑎1 + 4 𝑎1 + 4
𝑎1 + 7 𝑎1 + 7 𝑎1 + 6
Ʃ 3𝑎1 + 12=K Ʃ 3𝑎1 + 12=K Ʃ 3𝑎1 + 12=K
1,5,6 𝑎1 + 1
𝑎1 + 5
𝑎1 + 6
Ʃ 3𝑎1 + 12=K

4. El único valor que pertenece simultáneamente a 4 líneas (la intersección común a todas ellas), es
𝑎1 + 4, luego este es el valor que debe situarse en el centro del CM
ο
Los 4 valores que pueden pertenecer simultáneamente a 3 líneas (su intersección común), son:
𝑎1 + 1, 𝑎1 + 3, 𝑎1 + 5, 𝑎1 + 7, valores que deberán ser colocados en las esquinas del CM
ο
Los 4 valores que pueden pertenecer simultáneamente a 2 líneas (su intersección común), serían:
𝑎1 + 0, 𝑎1 + 2, 𝑎1 + 6, 𝑎1 + 8 , valores que deberán ser colocados en los centros de los lados del CM
ο
Como cada uno de estos valores se combina (se suma), con 𝑎1 + 4, en el centro del CM, el valor
faltante para completar la línea, se obtiene al restar de K, el valor resultante de esa suma.
El procedimiento para obtener las tríadas correspondientes a cada uno de los ejes o líneas del CM,
se refleja en los cuadros de valores que se presentan a continuación:

5. Para las esquinas Tríadas Ejes del CM
𝑎1 + 1 3𝑎1 + 12 = 𝐾 𝑎1 + 1, 𝑎1 + 4, 𝑎1 + 7 ο
ο
ο
1 ͣDiagonal
+𝑎1 + 4 −(2𝑎1 + 5)
Ʃ= 2𝑎1 + 5 Ʃ= 𝑎1 + 7
𝑎1 + 3 3𝑎1 + 12 = 𝐾 𝑎1 + 3, 𝑎1 + 4, 𝑎1 + 5 ο
ο
ο
2 ͣ Diagonal
+𝑎1 + 4 −(2𝑎1 + 7)
Ʃ= 2𝑎1 + 7 Ʃ= 𝑎1 + 5
𝑎1 + 5 3𝑎1 + 12 = 𝐾 𝑎1 + 5, 𝑎1 + 4, 𝑎1 + 3
+𝑎1 + 4 −(2𝑎1 + 9) Igual a la 2 ͣcon los
Ʃ= 2𝑎1 + 9 Ʃ= 𝑎1 + 3 Extremos invertidos
𝑎1 + 7 3𝑎1 + 12 = 𝐾 𝑎1 + 7, 𝑎1 + 4, 𝑎1 + 1
+𝑎1 + 4 −(2𝑎1 + 11) Igual a la 1 ͣcon los
Ʃ= 2𝑎1 + 11 Ʃ= 𝑎1 + 1 Extremos invertidos
Para los centros de lado Tríadas Ejes del CM
𝑎1 + 0 3𝑎1 + 12 = 𝐾 𝑎1 + 0, 𝑎1 + 4, 𝑎1 + 8 ο
ο
ο
Eje vertical
+𝑎1 + 4 −(2𝑎1 + 4)
Ʃ= 2𝑎1 + 4 Ʃ= 𝑎1 + 8
𝑎1 + 2 3𝑎1 + 12 = 𝐾 𝑎1 + 2, 𝑎1 + 4, 𝑎1 + 6
ο ο ο
Eje horizontal
+𝑎1 + 4 −(2𝑎1 + 6)
Ʃ= 2𝑎1 + 6 Ʃ= 𝑎1 + 6
𝑎1 + 6 3𝑎1 + 12 = 𝐾 𝑎1 + 6, 𝑎1 + 4, 𝑎1 + 2
+𝑎1 + 4 −(2𝑎1 + 10) Igual a la 2 ͣcon los
Ʃ= 2𝑎1 + 10 Ʃ= 𝑎1 + 2 Extremos invertidos
𝑎1 + 8 3𝑎1 + 12 = 𝐾 𝑎1 + 8, 𝑎1 + 4, 𝑎1 + 0
+𝑎1 + 4 −(2𝑎1 + 12) Igual a la 1 ͣcon los
Ʃ= 2𝑎1 + 12 Ʃ= 𝑎1 + 0 Extremos invertidos

6. Entonces la solución general del problema estará dada por cualquiera de estos 3 CM 3x3
equivalentes, construidos en base a los resultados obtenidos en nuestro análisis previo:
En términos de 𝑎1 + 𝑛 En términos de las 𝑎 𝑛 En términos de K
Con 𝑛 ∈ {0,1, … ,8} con 𝑛 ∈ {1,2, … ,9}
La distribución de las 𝑎 𝑛, dentro del tablero de un CM 3x3 de este tipo, sigue un patrón gráfico
como el que se muestra en la figura siguiente, donde solo hemos indicado los subíndices de las 𝑎 𝑛
, en un recorrido desde 1 hasta 9, dicho esquema pone en evidencia las simetrías existentes con
respecto a la 2da diagonal ( 4-5-6), y una simetría central (5) .Existiendo también simetría axial
con respecto a la 1ra diagonal (2-5-8), no señalada aquí, y con respecto a los ejes vertical (1-5-9) y
horizontal (3-5-7), tampoco señaladas.
Y si hay alguna duda sobre lo “mágico” de estos cuadrados, nótese que los subíndices de las 𝑎 𝑛 ,
involucradas en la solución general, que hemos utilizado para ilustrar estas propiedades de
simetría, y las que siguen a continuación sobre las variantes de esta solución, se agrupan también
como un CM 3x3, construido con el conjunto de los primeros 9 números naturales, de constante
mágica K=15.
Más Magia:
Este esquema gráfico o camino 1-2-3-4-5-6-7=8=9, que denominamos camino 3K, es también
aplicable para el caso de 9 enteros pares o impares sucesivos
𝑘
3
− 1
𝑘
3
+ 4
𝑘
3
− 3
𝑘
3
− 2
𝑘
3
𝑘
3
+ 2
𝑘
3
+ 3
𝑘
3
− 4
𝑘
3
+ 1
𝑎1 + 3 𝑎1 + 8 𝑎1 + 1
𝑎1 + 2 𝑎1 + 4 𝑎1 + 6
𝑎1 + 7 𝑎1 + 0 𝑎1 + 5
𝑎4 𝑎9 𝑎2
𝑎3 𝑎5 𝑎7
𝑎8 𝑎1 𝑎6
4 9 2
3 5 7
8 1 6

7. La solución encontrada es una “solución única”, ya que las otras 7 variantes posibles, se derivan de
rotaciones de 180⁰ de los elementos del tablero alrededor de cada uno de los 4 ejes de simetría
de la figura, contenidos en su propio plano, y de 3 rotaciones parciales de 90, 180 y 270 grados de
dichos elementos con respecto al eje de simetría central perpendicular por (5) al plano del CM.
Variantes:
Rotación alrededor del eje vertical 1-5-9
Rotación alrededor del eje horizontal 3-5-7
Rotación alrededor del eje diagonal 2-5-8
4 9 2
3 5 7
8 1 6
2 9 4
7 5 3
6 1 8
4 9 2
3 5 7
8 1 6
8 1 6
3 5 7
4 9 2
4 9 2
3 5 7
8 1 6
6 7 2
1 5 9
8 3 4

8. Rotación alrededor del eje diagonal 4-5-6
90⁰
Rotación 90⁰ alrededor de (5)
180⁰
Rotación 180⁰ alrededor de (5)
270⁰
Rotación 270⁰ alrededor de (5)
4 9 2
3 5 7
8 1 6
4 3 8
9 5 1
2 7 6
4 9 2
3 5 7
8 1 6
8 3 4
1 5 9
6 7 2
4 9 2
3 5 7
8 1 6
6 1 8
7 5 3
2 9 4
4 9 2
3 5 7
8 1 6
2 7 6
9 5 1
4 3 8

9. El caso particular correspondiente al valor mínimo de K=15 y los primeros 9 números naturales,
puede también ser abordado utilizando propiedades combinatorias, al calcular y especificar las
84 combinaciones posibles de tres elementos (sin repetición) del conjunto 𝑈9 =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(
9
3
) =
9!
6!3!
= 84 , luego debemos constatar en cuántas de ellas, sus elementos suman 15
Encontraremos que en total, en solo 8 de las 84 combinaciones posibles, sus elementos suman 15:
8 Combinaciones simples de 9 elementos tomados tres a tres que suman 15
1,5,9 2,4,9 3,4,8 4,5,6
1,6,8 2,5,8 3,5,7
2,6,7
Notamos inmediatamente que en cada grupo de combinación de tres elementos posibles, existe
una que contiene al n⁰ 5, lo que nos da un total de 4 combinaciones con el n⁰ 5, en el valor
central, lo cual nos indica que el número 5, debe corresponder al centro del tablero del CM 3x3
básico, de constante K=15. Ya que dicho centro sería el punto común de intersección de 4
combinaciones de tres elementos, con un 2do elemento necesariamente común, es decir la
intersección común de los 4 ejes de simetría. Las combinaciones que contienen al n⁰ 5 como
elemento central son: [1,5,9],[2,5,8],[3,5,7] y [4,5,6]
5
En cada esquina, debe colocarse un elemento de 𝑈9, que este contenido a la vez en 3 de las 8
combinaciones posibles. Por ejemplo una solución sería el n⁰ 4, común a las combinaciones:
[2,4,9],[4,5,6] y [3,4,8]. Otras soluciones serían los n⁰s. 2, el 6, o el 8. De nuestra escogencia se
deduce inmediatamente la combinación correspondiente a la diagonal 4-5-6 del estudio anterior,
quedando determinada también la esquina inferior derecha donde se ubica el n⁰ 6.
4
5
6

10. En las otras esquinas deben colocarse los números 2, y 8, que aparecen también en tres
combinaciones posibles, pero los números 4 y 6 ya colocados en las equinas, determinan una
condición adicional, p.ej. el n⁰ a colocar en la esquina superior derecha debe pertenecer
simultáneamente a un par de combinaciones que contengan además de dicho n⁰, al 4 o al 6
Esta condición solo la cumple el n⁰ 2 , que pertenece a la vez a las combinaciones [2,5,8], [2,4,9] y
[2,6,7],(estas dos últimas escritas en otro orden). Con ello quedan determinadas la diagonal 2-5-8 ,
la primera fila 4,9,2 y la tercera columna 2,7,6. El resto es inmediato.
Existen algunas otras propiedades analíticas y gráficas de estos cuadrados mágicos que
trataremos de analizar a continuación:
Combinaciones ordenadas (CO)
Definición: Denominamos así a las combinaciones ordinarias de n elementos tomados m a m,
donde cada grupo de m elementos se presenta con sus componentes ordenados de menor a
mayor (o de mayor a menor, según se establezca por conveniencia).
Comencemos detallando en la tabla siguiente, las combinaciones ordenadas, posibles de 9
elementos (primeros 9 números naturales), tomadas de 3 en 3. En la segunda línea dicha tabla se
especifican las primeras 2 cifras ordenadas de cada grupo, y en la línea final se especifica la
cantidad de grupos con dicha característica, y en la columna final se da el total de grupos que
comienzan con la primera cifra.
Combinaciones ordenadas de 9, 3 a 3, que comienzan con 1 Total
1,2 1.3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
1,2,3 1,3,4 1,4,5 1,5,6 1,6,7 1,7,8 1,8,9 ---
1,2,4 1,3,5 1,4,6 1,5,7 1,6,8 1,7,9
1,2,5 1,3,6 1,4,7 1,5,8 1,6,9
1,2,6 1,3,7 1,4,8 1,5,9
1,2,7 1,3,8 1,4,9
1,2,8 1,3,9
1,2,9
7 6 5 4 3 2 1 0 28
Nota: En las primeras 7 columnas están incluidas todas las combinaciones que contienen a los
pares de n⁰s 1 y 9, y también 1 y 8
4 9 2
5 7
8 6
4 9 2
3 5 7
8 1 6

11. Combinaciones ordenadas de 9, 3 a 3, que comienzan con 2 Total
2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
2,3,4 2,4,5 2,5,6 2,6,7 2,7,8 2,8,9 -----
2,3,5 2,4,6 2,5,6 2,6,8 2,7,9
2,3,6 2,4,7 2,5,6 2,6,9
2,3,7 2,4,8 2,5,6
2,3,8 2,4,9
2,3,9
6 5 4 3 2 1 0 21
Combinaciones ordenadas de 9, 3 a 3, que comienzan con 3 Total
3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
3,4,5 3,5,6 3,6,7 3,7,8 3,8,9 -----
3,4,6 3,5,7 3,6,8 3,7,9
3,4,7 3,5,8 3,6,9
3,4,8 3,5,9
3,4,9
5 4 3 2 1 15
Combinaciones ordenadas de 9, 3 a 3, que comienzan con 4 Total
4,5 4,6 4,7 4,8 4,9
4,5,6 4,6,7 4,7,8 4,8,9 ------
4,5,7 4,6,8 4,7,9
4,5,8 4,6,9
4,5,9
4 3 2 1 0 10
Combinaciones ordenadas de 9, 3 a 3, que comienzan con 5 Total
5,6 5,7 5,8 5,9
5,6,7 5,7,8 5,8,9 -----
5,6,8 5,7,9
5,6,9
3 2 1 0 6
Combinaciones ordenadas de 9, 3 a 3, que comienzan con 6 Total
6,7 6,8 6,9
6,7,8 6,8,9 -----
6,7,9
2 1 0 3

12. Combinaciones ordenadas de 9, 3 a 3, que comienzan con 7 Total
7,8 7,9
7,8,9 ----
1 0 1
Total de combinaciones ordenadas: 84
Evidentemente, el n⁰ total de CO, será el mismo que el de las combinaciones sin ordenar:
(
9
3
) =
9!
6! 3!
= 84
Los distintos grupos o combinaciones ordenadas posibles de 9 elementos, tomados 3 a 3, que
comienzan con 1,2,3,4,5,6,o con 7, (en ellas también están incluidas todas las que contienen el 8 y
el 9), conforman una serie aritmética de segundo orden, correspondiente a la serie paralela 𝑆3 del
triángulo de Pascal, y las diferencias sucesivas primera y segunda, se corresponden también con
las series paralelas 𝑆2 y 𝑆1, respectivamente.
Inicio con: Serie (𝑆3) 1ra diferencia (𝑆2) 2da diferencia (𝑆1)
1 28
7
2 21 1
6
3 15 1
5
4 10 1
4
5 6 1
3
6 3 1
2
7 1 1
1
8 0 1
0
9 0 0
Totales 84 28 7
i) En la segunda columna de esta tabla están ordenadas en orden descendente ( o
ascendente, según convenga),las cantidades de CO correspondientes a cada uno de los casos
posibles de inicio ordenado natural creciente, términos que coinciden con los de la serie paralela
𝑆3. Así p.ej. El n⁰ de combinaciones que se inician con 1, serán 28, y el n⁰ de combinaciones que se

13. inician con 4, serán 10. Siendo 84=(
9
3
) , el total de grupos posibles que se inician con 1,2,3,4,5,6
,o con 7.
Ii) La tercera columna, además de ser la serie de las primeras diferencias, que coincide con la serie
paralela 𝑆2, del triángulo de Pascal. Se corresponde con los valores parciales secuenciales de cada
caso de inicio ordenado, que deben sumarse para obtener el total del caso. Así p.ej. de las 28 CO
que se inician con 1, habrán:
Inicio con cantidad
1,2 7
1,3 6
1,4 5
1,5 4
1,6 3
1,7 2
1,8 1
1,9 0
Total 28
Así mismo, de las 10 CO, que se inician con 4, habrán:
Inicio con cantidad
4,5 4
4,6 3
4,7 2
4,8 1
4,9 0
Total 10
iii) La cuarta columna de la tabla, es la serie de las segundas diferencias, con valor constante igual
a la unidad, correspondiendo a la serie paralela 𝑆1 , lo que determina el orden 2do de la serie de
partida (𝑆3).
Hemos encontrado que estos resultados, pueden extenderse para cualquier caso de n y m, y a
partir de ellos, calcular el n⁰ de combinaciones de n números naturales consecutivos tomados m
a m, que sumen una cantidad dada.

14. Determinación de la constante mágica de un CM nxn, construido con una sucesión de números
naturales:
Sea el conjunto de números 𝑈 𝑁 = {𝑢𝑖} = {1,2,3, … , 𝑁}. Si el orden de la cuadricula es n, el último
término de 𝑈 𝑁, estará dado por: 𝑁 = 𝑛2
, entonces de ∑ 𝑢𝑖
𝑛2
𝑖=1 = 𝑛𝐾, con 𝑢𝑖 ϵ 𝑈 𝑁, y de
1 + 2 + 3 + ⋯ . +𝑛2
=
(1+𝑛2)𝑛2
2
, resulta: 𝑛𝐾 =
(1+𝑛2)𝑛2
2
, de donde: 𝑲 =
(𝟏+𝒏 𝟐)𝒏
𝟐
Es evidente que se pueden construir CM 3x3, que no corresponden a esta sistematización, como
(ej. 1) el CM que se muestra a continuación, y que sigue un esquema gráfico 3K diferente:
1-4-5-7-8-9-11-12-15, y que además, no se conforma con enteros sucesivos (con excepción del eje
horizontal de simetría de la figura).
Se conserva una propiedad ya enunciada anteriormente: La suma de los elementos al extremo
de un eje de simetría de un CM3x3, es igual al doble del valor central.
Y responde al igual que todos los CM3x3, a otras propiedades cuyo estudio no hemos abordado,
como por ejemplo:
9+1=10=2.5 17+7=22=2.11
Que podemos enunciar como: La suma de los valores en la línea que une dos centros de lado
consecutivos, es igual al doble del valor del elemento situado en la esquina opuesta
4 15 5
9 8 7
11 1 12
5
9
1
15
7
11

15. O este otro (ej. 2.), de constante mágica K=69, conformado por tríadas no consecutivas, de
enteros sucesivos: [10,11,12], [22,23,24], y [34,35,36], pero que si responde al gráfico general de
distribución de sus elementos (girado 90⁰de izquierda a derecha).
Un último ejemplo (ej.3): Un CM 3x3 Multiplicativo, donde la constante mágica k, corresponde al
producto de los 3 elementos de una línea (horizontal, vertical o diagonal), como este con K=216 ,
con un trazo , idéntico al camino 3K del ejemplo 1. Pero donde evidentemente no se cumplen las
relaciones ya establecidas para los CM.3x3 Sumativos
También se han construido cuadrados mágicos con series de números primos consecutivos, o con
las cifras decimales de los recíprocos de la serie aritmética de los números naturales, etc.
Es interesante comprobar que adicionalmente a los 2(𝑛 + 1)modos básicos de obtener la
constante K, de un CM nxn, como suma de algunos elementos del tablero o cuadrícula (en este
caso si n=3, estos 8 modos corresponden a los habituales modos de suma por fila (3), suma por
columna (3), y suma por diagonales (2) ), existen otros veinte pares de disposiciones gráficas
triangulares (tríadas), donde la suma de cada par de tríadas da como resultado 2K.
11 34 24
36 23 10
22 12 35
18 1 12
4 6 9
3 36 2

16. BÁSICO CAMINO 3K
20 CAMINOS 2K
1+2+4=07 4+5+8=17
6+8+9=23 2+5+6=13
30 30
4+7+8=19 3+4+9=16
2+3+6=11 1+6+7=14
30 30
2+4+8=14 2+7+9=18
2+6+8=16 1+3+8=12
30 30
4 9 2
3 5 7
8 1 6
4 9 2
3 5 7
8 1 6

17. 2+4+6=12 3+5+9=17
4+6+8=18 1+5+7=13
30 30
2+4+5=11 5+7+9=21
5+6+8=19 1+3+5=09
30 30
1+3+9=13 3+7+9=19
1+7+9=17 1+3+7=11
30 30
4+5+9=18 2+5+9=16
1+5+6=12 1+5+8=14
30 30

18. 2+5+7=14 3+4+5=12
3+5+8=16 5+6+7=18
30 30
2+5+9=16 5+6+7=18
2+5+7=14 1+5+6=12
30 30
3+5+8=16 4+5+9=18
1+5+8=14 3+4+5=12
30 30
No existe un método general para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, siendo
necesario distinguir entre los de orden impar, los de orden múltiplo de 4 y el resto de orden par
(4×m + 2).
Aparte de utilizar el trazado mágico, para construir un CM3x3 Sumativo , existe otro método muy
sencillo. Para ello se construye un tablero de 3x3 casillas, y en las casillas centrales de cada lado se
agrega una casilla externa adicional, como se muestra en la figura:

19. Ahora se colocan los números del 1 al 9, siguiendo ordenadamente la dirección descendente de las
tres diagonales de la figura de derecha a izquierda. Obteniendo el siguiente resultado:
Luego, hacemos rotar 180⁰ los números en las casillas externas alrededor de los respectivos ejes
de simetría horizontal y vertical de la figura, con lo cual logramos que las posiciones de las cifras 7
y 3 , y las cifras 1 y 9, intercambien de lugar. Por último desplazamos dichos números en sus
nuevas posiciones hacia el interior del cuadrado para obtener:
CUADRADOS MAGICOS 3x3 MULTIPLICATIVOS, CONSTRUIDOS CON PROGRESIONES
GEOMETRICAS
Sea {𝑎 𝑛} = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛}, el conjunto de términos de una progresión geométrica, de razón r, de
manera que se cumplan:
𝑎 𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1
, término general, y 𝑆 𝑛 = 𝑎1
(𝑟 𝑛−1)
(𝑟−1)
, Suma de n términos sucesivos
Con n=1,2,...,9
Construyamos un CM3x3 con los primeros 9 elementos de {𝑎 𝑛}, dispuestos de manera que sigan
el trazado mágico general de un CM3x3 Sumativo.

20. Si tratamos este último CM3x3, como una matriz cuadrada 3x3, podríamos escribir:
𝒂 𝟏
Este cuadrado, constituye un CM3x3 Multiplicativo, cuya constante mágica es: 𝑲 = 𝒂 𝟏
𝟑
𝒓 𝟏𝟐
Dicha constante, se obtiene al multiplicar los tres elementos situados a lo largo de una línea
horizontal, vertical, o diagonal de dicho cuadrado.
Por otra parte, si construimos el cuadrado correspondiente sólo a las potencias de r ,
encontraremos que corresponde a un CM3x3 sumativo de constante K=12, conservando todas las
propiedades que ya hemos establecido para un CM3x3 de este tipo .
Si en un CMnxn de los primeros números naturales, se comienza con 0, en lugar de 1, su
constante mágica se reduce en n unidades respecto al primero. Así para n=3, resulta K=12, en
4 9 2
3 5 7
8 1 6
𝑎4 𝑎9 𝑎2
𝑎3 𝑎5 𝑎7
𝑎8 𝑎1 𝑎6
𝑎1 𝑟3
𝑎1 𝑟8
𝑎1 𝑟1
𝑎1 𝑟2
𝑎1 𝑟4
𝑎1 𝑟6
𝑎1 𝑟7
𝑎1 𝑟0
𝑎1 𝑟5
𝑟3
𝑟8
𝑟1
𝑟2
𝑟4
𝑟6
𝑟7
𝑟0
𝑟5
3 8 1
2 4 6
7 0 5

21. lugar de K=15 y para n=4, en lugar de K=34, resulta K=30, etc. (Su demostración es inmediata,
aplicando los resultados obtenidos para CM3x3 de enteros sucesivos)
Como el cuadrado anterior, se construyó con los primeros nueve enteros sucesivos, desde el 0,
hasta el 8, por ende su constante mágica, resulta 3 unidades menor que la que resulta del CM3x3
construido con los primeros 9 números naturales (K=15).
El CM3x3, construido con los 9 elementos consecutivos de una progresión geométrica dada {𝑎 𝑛},
también puede expresarse en términos de su constante mágica 𝐾 = 𝑎1
3
𝑟12
como:
En términos matriciales: 𝐾
1
3
En este caso, si construimos el cuadrado correspondiente a las potencias de r, resulta un CM3x3
sumativo de enteros sucesivos, de constante mágica nula, es decir K=0, debido a la simetría
central de la matriz.
En todos los casos el término central del CM, corresponde al término equidistante de los extremos
de cada conjunto {𝑎 𝑛} considerado.
Con respecto al carácter geométrico de la progresión de origen, existen otras propiedades, como
p.ej. : 𝑎1. 𝑎9 = 𝑎2. 𝑎8 = 𝑎3. 𝑎7 = 𝑎4. 𝑎6 = 𝑎5. 𝑎5 = 𝑎1
2
. 𝑟8
= (𝑎1 𝑟4)2
𝐾
1
3 𝑟−1
𝐾
1
3 𝑟4
𝐾
1
3 𝑟−3
𝐾
1
3 𝑟−2
𝐾
1
3 𝑟0
𝐾
1
3 𝑟2
𝐾
1
3 𝑟3
𝐾
1
3 𝑟−4
𝐾
1
3 𝑟1
𝑟−1
𝑟4
𝑟−3
𝑟−2
𝑟0
𝑟2
𝑟3
𝑟−4
𝑟1
-1 4 -3
-2 0 2
3 -4 1

22. Que podemos enunciar como: El producto de los valores situados en los extremos de un eje de
simetría de un CM3x3 multiplicativo, es igual al cuadrado del valor central
Nótese que en todos estos casos anteriores los únicos elementos consecutivos, corresponden a la
diagonal 4, 5,6, del trazado mágico original.
Por ejemplo, para el caso particular de la sucesión de los primeros 9 números naturales, y los
primeros 9 elementos de la progresión geométrica de término inicial 𝑎1 = 2, y razón r=2,
podemos establecer una correspondencia biunívoca, a través de sus respectivos CM de igual
trazado general:
O sea, entre los elementos de los conjuntos: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y {21
, 22
, 22
, 24
, 25
, 26
, 27
, 28
, 29
}
CM3x3 Sumativo de K=15 CM3x3 Multiplicativo de K=32768=𝟐 𝟏𝟓
Magia: Nótese que el exponente de 2 en la K multiplicativa es igual a la K sumativa (15)
Matemáticos de la talla de: Euler, Fermat, Pascal, Leibniz, etc., estudiaron los cuadrados
mágicos pese a reconocer que no tenían uso práctico alguno.
Este pequeño estudio, sólo pretende servir como una sencilla introducción para conducir al
estudiante, y curioso amante de las matemáticas, al interesante y maravilloso mundo de los
Cuadrados Mágicos.
Enrique R. Acosta R. Mayo 2017
𝑎4 𝑎9 𝑎2
𝑎3
𝑎5 𝑎7
𝑎8 𝑎1 𝑎6
4 9 2
3 5 7
8 1 6
16 512 4
8 32 128
256 2 64