Problemas para comenzar a enseñar a los alumnos, la ubicación de puntos en el plano y en el espacio.

1. “Sistemas de Referencia para la
ubicación
de puntos en el plano y en el
espacio”

2. »Esta propuesta está dirigida a los
alumnos de 1er Año de la escuela
secundaria.

3. Problema Nº 1:
La familia Ortiz tiene parientes en cada una de las ciudades de esta tabla, en la que
figuran las temperaturas registradas a las 8 de la mañana de un día de junio.
Los chicos de esta familia quieren ordenar las temperaturas desde el pariente que
tuvo más frío, hasta el que tuvo menos frío ese día, a esa misma hora.
¿Cómo se ordenarán las temperaturas?
Docente:
A esta situación:
• ¿Cómo la representan en la recta numérica?
• ¿Cómo podemos darnos cuenta en qué ciudad
hace más frío?
• ¿En cuál ciudad hace menos frío?
Alumnos:
Razonamiento esperado:
• Si la temperatura es bajo cero, hace más frío cuanto más alejada del cero está.
• Si la temperatura no es bajo cero, hace más frío cuanto más cerca del cero está.
• S e puede representar en una recta numérica:
Es decir, que: -8 < -2 < -1 < 0 < 3 < 7
Ciudad Temperatura
Bariloche -1
Buenos Aires 7
Neuquén 0
Santa Rosa 3
Ushuaia -8
Viedma -2

4. ¿Qué repasamos con este problema?:
-Podemos representar en la recta numérica puntos, que están
asociados a los números.
-Un número es menor que otro, si el punto que lo representa al 1º en
la recta numérica está a la izquierda del 2º punto en dicha recta.

5. Problema nº 2
En marzo de este año un equipo de buzos halló un tesoro en las
profundidades del océano Pacífico. El equipo de buzos estaba
formado por tres personas: Juan, Carla y Marcos los cuales se
lanzaron al mar, todos al mismo tiempo, desde un barco.
• Juan llegó a 9 m de profundidad cuando Marcos encontró el tesoro.
• Carla, en ese momento, se encontraba a 2,5m más de profundidad
de lo que estaba Juan.
• Marcos, al hallar el tesoro, llegó al doble de profundidad que Carla.
a) ¿A cuántos metros de profundidad se encuentra cada uno de los
buzos en el momento en que Marcos encontró el tesoro?
b) ¿A cuántos metros de
profundidad estaba el tesoro? c)
Representa la situación mediante un gráfico, ubicando: el barco, los
buzos y el tesoro en el momento en que fue hallado.

6. Actividades
Razonamiento esperado:
a) Si Juan está a 9m de profundidad y Carla está a 2,5m más de
profundidad que Juan, entonces Carla se encuentra a 9m + 2,5m =
11,5m de profundidad. Análogamente Marcos está, en ese
momento, al doble de profundidad que Carla, es decir: 2. 11,5m =
23m de profundidad.
b) Si Marcos encontró el tesoro y en ese instante estaba a 23m de
profundidad entonces el tesoro está a 23m de profundidad.
Puedo tomar una escala de medida, por ejemplo: 0,5 cm (o un
cuadradito de la hoja) equivalen a 1m.
De esta manera, puedo
ubicar los números sobre una recta vertical donde el cero de la
misma represente el nivel del mar. Entonces los números de la
recta que están ubicados del cero hacia arriba representan la altura
por encima del mar y éstos son números positivos. Análogamente
los números de la recta que se encuentran por debajo del cero,
representan las profundidades del mar, éstos son entonces,
números negativos.

7. Alumnos: Representaciones gráficas

8. ¿Qué aprendimos hasta ahora?:
• Para representar con números una posición en particular
requerimos de un sistema de referencia.
• En estas situaciones necesitamos una línea recta (horizontal o
vertical).
• Fue necesario fijar un punto de origen (cero) sobre la recta.
Luego consideramos direcciones (izquierda o
derecha, arriba o abajo) para desplazarnos sobre tal línea recta.
• Requerimos también, de una unidad de medida.
• La recta numérica determina un sistema de referencias de una
dimensión.
• Hay una relación biunívoca entre los elementos a representar y los
valores asignados

9. Problema Nº 3:
Para colocar un estante en una pared cubierta de cerámicos, Laura
tiene que realizar cuatro perforaciones. Como estará ausente, por un
viaje, dejará a su hermano, el siguiente esquema con los datos
necesarios sobre dónde fijar los puntos de perforación del estante.
B C
A D
• La pared tiene cerámicos
cuadrados, dispuestos en 6 filas y
7 columnas, como muestra el
siguiente dibujo.
• En el mismo los puntos A, B, C y
D representan las perforaciones.
¿De qué manera se podría
indicar mediante números
la ubicación de tales
perforaciones?

10. Actividades:
Alumnos:
Cuento 3 cerámicos a la derecha del
borde de la pared y 2 cerámicos
hacia arriba para la perforación A.
Cuento 3 cerámicos a la derecha del
borde de la pared y 4 cerámicos
hacia arriba para la perforación B.
Cuento 5 cerámicos a la derecha del
borde de la pared y 2 cerámicos
hacia arriba para la perforación D.
Cuento 5 cerámicos a la derecha del
borde de la pared y 4 cerámicos
hacia arriba para la perforación C.
“Esta manera de ordenar los
puntos, es decir, contar tantas
unidades hacia la derecha y
hacia arriba, convenimos en
expresarla de la siguiente
manera:
Para la perforación A ---- (3 ; 2),
Para la perforación B ---- ( 3 ; 4),
Para la perforación C---- ( 5 ;4),
Para la perforación D---- (5; 2), y
se denominarán pares
ordenados.
Los representaremos en un
sistema de ejes
coordenados.”

11. Aprendimos que:
• Cuando trabajamos con un Sistema de
referencias, para ubicar puntos en el
plano, necesitamos:
• Un Sistema de coordenadas cartesianas
(par de rectas numéricas
perpendiculares).
• El eje horizontal se denomina eje de
abscisas, y se suele identificar con la
letra “x”
• El eje vertical se denomina eje de
ordenadas, y se suele identificar con la
letra “y”.
• El punto que determinamos está
asociado al par ordenado de números (a;
b), y se denominan coordenadas del
punto.
• La primera coordenada es la abscisa del
punto.
• La segunda coordenada es la ordenada
del punto.

12. Problema Nº 4:
-Ubiquen en un par de ejes cartesianos los puntos: A = (2; 3),
B = (2; 5), C = (6; 3), D = (4; 4)
-Ubiquen un punto M de modo tal que el cuadrilátero ABMC sea un
rectángulo. ¿Es única la solución?
-Ubiquen un punto N de modo tal que el cuadrilátero ADBN sea un
rombo. ¿Es única la respuesta?
Problema Nº 5:
Los puntos A = (1; 1), B = (-3; 5) y C = (0 ; 8) son tres vértices de un
rectángulo. Encuentren el cuarto vértice.

13. Problema Nº 6
Indiquen las coordenadas de
cada uno de los siguientes
puntos:
A =
B =
C =
D =
E =
F =
G =

14. Problema Nº 7:
Determina las
coordenadas del punto
en el cual se encuentra el
“tesoro”:

15. Problema Nº8:
• La batalla naval es un juego de estrategia en el que participan dos
jugadores. Se juega con lápiz y papel.
• La flota:
Cada jugador dispone en su tablero, una flota completa sin que el
contrincante vea su posición.
Los barcos no pueden tocarse entre sí, es decir, que todo barco debe estar
rodeado de agua o tocar un borde del tablero. La flota esta formada por:
• 1 portaaviones (un segmento de 4 unidades de longitud)
• 2 acorazados (dos segmentos de 3 unidades de longitud)
• 3 buques (tres segmentos de 2 unidades de longitud)
• 4 submarinos (cuatro segmentos de 1 unidades de longitud)
• Mecánica del juego:
El turno pasa alternativamente de un jugador a otro.
En un turno el jugador hace el disparo a una posición del
mar enemigo, indicando la coordenada correspondiente. Si no hay barcos
en tales coordenadas, el otro jugador dice: ¡agua!, si el disparo ha dado en
algún barco dice: ¡tocado!; si con dicho disparo el rival logra completar
todas las posiciones del barco, debe decir ¡hundido!
• Gana el jugador que consigue hundir todos los barcos del rival.

16. Pizarrón: Flota propia Sistema de referencia de dos
dimensiones

17. Problema N°9:
Natalia realizó la siguiente maqueta que representa la esquina
de su baño. Datos de la maqueta:
• Una pared está cubierta de
cerámicos cuadrados de color
blanco. La otra pared contiene
cerámicos cuadrados de color
celeste. Ambas paredes forman
un ángulo recto (90°).
• El piso también está cubierto de
cerámicos cuadrados. Todos los
cerámicos, tanto los del piso como
los de las paredes son del mismo
tamaño.
• En la esquina de la pared,
paralelo al piso, esta ubicado un
estante que tiene forma de
triángulo rectángulo.
• La altura de la lámpara de pie
tiene una medida que equivale al
lado de cinco cerámicos.
• La altura del perchero tiene una
medida que equivale al lado de
seis cerámicos.

18. 1) Observa el esquema y realiza las siguientes
anotaciones en el mismo:
a) Marca el punto que esté ubicado justo donde concurren las paredes y el
piso. Determina a ese punto con la letra O.
b) Marca los puntos A, B y C que corresponden a los vértices del estante
que tiene forma de triángulo rectángulo.
c) Marca el punto L ubicado en el extremo superior de la lámpara de pie.
d) Marca el punto P ubicado en el extremo superior del perchero.
e) Desde el punto O marca con un lápiz de color la línea recta donde se
encuentran la pared de cerámicos blancos y el piso. ¿En que dirección
desplazaste el lápiz para trazar es línea?
f) Desde el punto O marca con un lápiz de otro color la línea recta donde
se encuentran la pared de cerámicos celeste y el piso. ¿En que
dirección desplazaste el lápiz para trazar es línea?
g) Desde el punto O marca con un lápiz de otro color la línea recta donde
se encuentran las dos paredes. ¿En que dirección desplazaste el lápiz
para trazar es línea?

20. 2) Mediante la exploración, teniendo en cuenta las tres
direcciones recientemente marcadas, analiza las
siguientes situaciones:
a) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes
desplazar tu lápiz hasta llegar al punto L?
b) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes
desplazar tu lápiz hasta llegar al punto P?
c) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes
desplazar tu lápiz hasta llegar al punto A?
d) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes
desplazar tu lápiz hasta llegar al punto B?
e) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes
desplazar tu lápiz hasta llegar al punto C?

21. 3) Registra los datos que se obtuviste anteriormente en la
siguiente tabla:
DIRECCIONES
Puntos Adelante Derecha Arriba Adelante
L
P
A
B
C
L

23. ¿Que aprendimos hasta ahora ?
• Para representar con números (pares o ternas ordenadas) una posición en
particular requerimos de un sistema de referencia.
• En situaciones como la anterior necesitamos una terna de rectas
ortogonales y concurrentes. (eje x, eje y, eje z).
• Fue necesario fijar un punto de origen (0, 0, 0) que resulta de la
intersección de las tres rectas.
• Requerimos también, de una unidad de medida sobre cada recta (que no
necesariamente deben tener la mima unidad).
• La terna de recta determina un sistema de referencias en tres
dimensiones.
• Hay una relación biunívoca entre los elementos a representar y los valores
asignados