control

1. Control Digital 08.doc 1
1. Aproximación de Controladores Continuos
1. Aproximación de Controladores Continuos____________________________ 1
1.1. Introducción ________________________________________________________ 2
1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia_____________________ 2
1.1.1. Aproximación de Tustin ______________________________________________ 2
1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia _____________________________________ 3
1.1.3. Respuestas Equivalentes ______________________________________________ 5
1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado ____________________________ 8
1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia ___________________________10
1.1.4. Método de la Transformada w _________________________________________ 10

2. Control Digital 08.doc 2
1.1. Introducción
Muchas veces ya existe un controlador analógico
Se intenta reproducir su comportamiento
Con un período de muestreo pequeño se puede solucionar.
1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia
Se intenta aproximar ( )G s
Reloj
u(t)
CDAAlgoritmoCAD
u(kt) y(kt) y(t)
text
1.1.1. Aproximación de Tustin
aproximación de derivada como una diferencia en adelanto (método de Euler)
( ) ( ) ( )
( )
1dx t x t T x t q
px x t
dt T T
+ − −
= ≈ = [1.1]
como una diferencia hacia atrás
( ) ( ) ( )
( )
1dx t x t x t T q
px x t
dt T qT
− − −
= ≈ = [1.2]
en transformadas significa reemplazar
1z
s
T
−
= o
1z
s
zT
−
= [1.3]
que corresponden a un desarrollo en serie truncado
Para el método de Euler
1sT
z e sT= ≈ + [1.4]
para la diferencia hacia atrás
1
1
sT
z e
sT
= ≈
−
[1.5]
Otra aproximación: el método trapezoidal o método de Tustin

3. Control Digital 08.doc 3
1
2
1
2
sT
sT
z e
sT
+
= ≈
−
[1.6]
Se reemplaza directamente s por alguna de sus aproximaciones:
Euler
1z
s
T
−
′ = [1.7]
diferencia hacia atrás
1z
s
zT
−
′ = [1.8]
Tustin o bilineal
2 1
1
z
s
T z
−
′ =
+
[1.9]
de este modo se obtiene
( ) ( )H z G s′= [1.10]
La figura muestra el mapeo del semiplano negativo de s
Plano Z
Diferencia en Adelanto Diferencia en Atraso Tustin
1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia
Con estas aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencias.
Si se quiere digitalizar un filtro pasa banda o notch puede haber distorsiones.
Ejemplo: transmisión de una senoide a través de un filtro con BO0

4. Control Digital 08.doc 4
( ) ( )1 2 1
1
1
j T
j T j T
j T
e
H e e G
j T T e
ω
ω ω
ω
ω
 −
= −  
+ 
[1.11]
el factor anterior es debido al bloqueador
el argumento de G es
2 2
2 2
2 1 2 2
tan
1 2
j T j T
j T
j T j Tj T
e e e j T
T e T Te e
ω ω
ω
ω ωω
ω
−
−
− −  
= =  
+  +
[1.12]
la escala de frecuencias no es lineal.
Por ejemplo si el sistema continuo no deja pasar una determinada frecuencia ω′ , la
frecuencia bloqueada en el discreto será
2
tan
2
T
T
ω
ω
 
′ =  
 
[1.13]
o sea
( )
2
12
tan 1
2 12
TT
T
ωω
ω ω−
 ′′ 
′= ≈ −       
[1.14]
No hay distorsión para 0ω = y la distorsión es baja para bajas frecuencias.
Para eliminar esta distorsión, a una determinada frecuencia 1ω se puede introducir
una nueva transformación:
( )
1
1
1
1tan
2
z
s
T z
ω
ω
−
′ =
+
[1.15]
ahora se cumple
( ) ( )1
1
j T
H e G jω
ω= [1.16]
para esa frecuencia son iguales, pero hay distorsión para otras frecuencias.
Ejemplo 1.1. Integrador
( )
1
G s
s
= [1.17]
su versión digital según Tustin

5. Control Digital 08.doc 5
( )
1 1
2 1 2 1
1
T
T z
H z
z z
T z
+
= =
− −
+
[1.18]
la versión modificada para 1ω
( )
( )1
1
tan
2 1
1
M
T
z
H z
z
ω
ω
+
=
−
[1.19]
en función de la frecuencia
( )
( ) ( )
( )
1 1
1 1
tan tan
2 21 1
1 tan
2
j T
j T
M j T
T T
e
H e
Te j
ω
ω
ω
ω ω
ωω ω
+
= =
−
[1.20]
para 1ω ω= continua y discreta, coinciden.
1.1.3. Respuestas Equivalentes
Se puede calcular una función de transferencia discreta para que tengan igual
respuesta al escalón o a una rampa.
Ejemplo 1.2. Comparación de Aproximaciones
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
2 2 2
1 2 400
5 2 100 3 2500
s s s
G s
s s s s s
+ + +
=
+ + + + +
[1.21]
se muestrea con 0,03T s= o sea 105N rad sω =
con un bloqueador de orden cero resulta
( ) ( ) ( )1ˆ 1 sT sT
G s e H e
sT
−
= − [1.22]

6. Control Digital 08.doc 6
Frequency (rad/sec)
Phase(deg);Magnitude(dB)
Bode Diagrams
-150
-100
-50
0
From: U(1)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-300
-200
-100
0
100
To:Y(1)
Sistema continuo, Aproximación de Tustin, BO0
Ejemplo 1.3. Motor con compensador en adelanto
Motor:
( )
( )
1
1
G s
s s
=
+
[1.23]
compensador en adelanto
( )
1
4
2
k
s
G s
s
+
=
+
[1.24]
función de transferencia en lazo cerrado
( ) 2
4
2 4
lcG s
s s
=
+ +
[1.25]
tiene un factor de amortiguamiento 0,5ξ = y una frecuencia natural 0 2rad
s
ω =
El objetivo es encontrar una función de transferencia que aproxime la respuesta en
lazo cerrado según el esquema de la figura

7. Control Digital 08.doc 7
-1
r(t)
ek
H(z)CAD CDA
( )
1
1s s +
uk
u(t) y(t)
La aproximación de Euler resulta
( )
( )
( )
1
1 11
4 4 4
1 1 2 1 22
Ek
z
z Tz TTH z
z z T z T
T
−
+ − −− +
= = =
− − + − −+
[1.26]
Tustin
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22 1
1 2 2 2214 4 4
2 1 12 2 2 2 2 22
11
Tk
Tz z
T z T TTT zH z
z TT z T T
z
TT z
−− −+ + − + +++= = =
− −+ − + ++ −
++
[1.27]
La transformación con un bloqueador de orden cero del regulador resulta
( )
( ) ( )2 2
0 2 2
4 2 1 0,5 1
4
T T
BO k T T
z e z e
H z
z e z e
− −
− −
− + − +
= =
− −
[1.28]
todas las aproximaciones tienen la forma
( ) 0 1
1
k
b z b
H z
z a
+
=
+
[1.29]
La frecuencia de corte del sistema continuo es 1,6c
rad
s
ω = y una buena elección
del período de muestreo es 0,1 0,3T s= L
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
3
4
Discretización de Euler para diferentes períodos de Muestreo y el Control Continuo

8. Control Digital 08.doc 8
1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado
La realimentación del estado puede verse como un controlador proporcional
generalizado.
Proceso
dx
Ax Bu
dt
y Cx

= +

 =
[1.30]
se suponen medibles todos los estados
Controlador
( ) ( ) ( )u t Mr t Lx t= − [1.31]
La versión discreta será
( ) ( ) ( )u kT Mr kT Lx kT= −% % [1.32]
Se trata de obtener las matrices aproximando las continuas
El estado en lazo cerrado evoluciona
( ) lc
dx
A BL x BMr A x BMr
dt
y Cx

= − + = +

 =
[1.33]
si la referencia se mantiene constante durante el período de muestreo se puede
integrar en el período resultando
1k lc k lc kx x r+ = Φ + Γ [1.34]
donde
0
lc
lc
A T
lc
T
A s
lc
e
e dsB
Φ =
Γ = ∫
[1.35]
el controlador discreto deberá dar la misma respuesta, o sea
( )1k k kx L x Mr+ = Φ − Γ + Γ% % [1.36]
donde Φ y Γson las matrices en lazo abierto
En general no es posible elegir L% tal que
lc LΦ = Φ − Γ % [1.37]

9. Control Digital 08.doc 9
Se divide
0 1 2
TL L L= +% [1.38]
Se puede hacer un desarrollo en serie
( ) ( )( ) 222
2lc
TI A BL T A BLA ABL BLΦ ≈ + − + − − + +L [1.39]
y
22
2
TI AT AΦ ≈ + + +L [1.40]
( )( )2 2 2
0 1 0 1 02 2 2 2
T T T TL BT AB L L BL T BL ABLΓ ≈ + + + = + + +% L L [1.41]
( ) ( )
22
0 0 1 2
TL I A BL T A ABL BLΦ − Γ ≈ + − + − − +% L [1.42]
igualando término a término
( )( )2
TL L I A BL= + −% [1.43]
Para calcular M se supone que en régimen estacionario las ecuaciones [1.34] y
[1.36] deben dar el mismo valor
según el continuo el valor final es
( ) 0
lc lcI x Mr− Φ = Γ [1.44]
y en el discreto
( )( ) 0
I L x Mr− Φ − Γ = Γ% % [1.45]
suponiendo
0 1 2
TM M M= +% [1.46]
( )
2
2lc
TM BMT A BL BMΓ ≈ + − +L [1.47]
( )
2
0 1 0 2
TM BM T BM ABMΓ ≈ + + +% L [1.48]
esto da
( )2
TM I LB M= −% [1.49]
Ejemplo 1.4. Doble integrador. Aproximación de Realimentación del Estado

10. Control Digital 08.doc 10
[ ]
0 1 0
0 0 1
1 0
dx
x u
dt
y x
    
= +    
   
 =
[1.50]
sea el controlador continuo
( ) ( ) [ ] ( )1 1u t r t x t= − [1.51]
se utiliza 0,5T =
las matrices discretas resultan
[ ]1 0,5 1L T= −% [1.52]
1 0,5M T= −% [1.53]
0 5 10 15
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia
Bode y Nyquist son métodos frecuenciales adecuados para Sistemas expresados
como entrada-salida.
1.1.4. Método de la Transformada w
Pasos
1- Obtener una ( )H z muestreando el sistema continuo con un BO0.
2- Definir la variable
2 1
1
z
w
T z
−
=
+
.
3- Transformar ( )H z obteniendo ( ) ( ) 1 2
1
2
wT
z
wT
H w H z +
=
−
′ =
4- Dibujar el Bode y utilizar los métodos convencionales.

11. Control Digital 08.doc 11
5- Retransformar el controlador al plano z .