Comprobación del cumplimiento de la ley de potencia para los municipios de gran tamaño en Venezuela. 2010

1. 1Técnicas Estadísticas para las ciencias sociales
Ley de Potencia aplicada a los Municipios de mayor tamaño de Venezuela
2010
Sandra Mariely El Debal Duque
Master en Economía - Universidad de Cantabria
1. Introducción
Las funciones log/log suelen representar de manera correcta las ciudades ordenadas por rango, donde el
logaritmo del tamaño de la ciudad medido en habitantes muestra una correlación con el logaritmo del orden o
rango que esta ocupa. Estas relaciones fueron ya introducidas por Pareto. La literatura, se ha concentrado en la
cola superior de dicha distribución, que son las áreas metropolitanas de gran tamaño.
Estudios anteriores en esta área, revelan que es frecuente que esta relación antes descrita pueda ser
descrita por la ley de potencia, sobre todo restringiendo los datos a las ciudades de mayor tamaño, existen
numerosos ejemplos en la vida cotidiana que pueden seguir este comportamiento incluyendo fenómenos
naturales como los terremotos, lo que ha despertado el interés de economistas y llevo a Krugman (1999:223) a
decir: “No tenemos en nuestro haber ninguna explicación de la asombrosa regularidad que presentan las
distribuciones del tamaño de las ciudades. Debemos reconocer que esto supone un verdadero desafío
intelectual”.
La motivación principal para realizar este trabajo fue verificar que la distribución de los ingresos de la
población en Venezuela seguía la ley de potencia, sobre todo de los individuos con ingresos mayores, esto para
comprobar la desigualdad presente en el País, este era uno de los casos más interesantes a estudiar y uno de los
principales ejemplos presentados por Pareto para verificar que se cumplía esta Ley.
Sin embargo actualmente debido a la situación política y económica por la que pasa Venezuela, muchos
de los datos se encuentran restringidos y están sujetos a aprobación del Instituto Nacional de Estadística que
depende del Gobierno, con ello surgieron dos problemas para desarrollar la idea principal, el primero encontrar
data actualizada, ya que desde el 2011 no se cuenta con un nuevo censo de población, la inflación anual que
supera los tres dígitos, hace que los salarios varíen oficialmente hasta tres veces al año y esto hace más difícil el
registro de estos datos, adicionalmente y el problema principal que se encontró, fue que los últimos datos
disponibles que tenía dicho instituto eran privados, se debía pedir autorización, con previa justificación para
poder acceder a los datos de los ingresos de los individuos, es por ello que debido a la problemática presentada,
para comprobar la ley de potencia en un caso particular en Venezuela, los datos sin restricciones que se
encontraron fue del Tamaño de las entidades federales, estados, municipios y parroquias.
En este estudio tomaremos el tamaño de los municipios de gran poblacion de Venezuela como variable
aleatoria para comprobar que siguen un comportamiento de la ley de Potencia, y se hace referencia en la figura 1
de cómo se encuentra distribuida la población Venezolana según el último Censo de Población y vivienda del
año 2011, del cual se obtuvo la información oficial para el siguiente estudio.
Figura 1 Concentración de la Población en Venezuela Según el Censo de Población y Vivienda del año 2011
Fuente: INE Venezuela

2. 2Técnicas Estadísticas para las ciencias sociales
2. Descripción de la data
Los datos utilizados en el presente trabajo son extraídos del Instituto Nacional de estadística de
Venezuela (www.ine.gob.ve), específicamente del Censo de Población y vivienda 2011, que es en efecto el
último censo poblacional realizado en el país del que se tienen datos oficiales, se tomó la data de proyecciones
de Población según entidad federal, municipios y parroquias del año 2010, debido a que son últimos registros
oficiales con que se cuenta.
Venezuela cuenta con una división político territorial que sigue el siguiente orden: Estados
(Conformados también por el distrito capital y dependencias federales), Municipios y parroquias, para
desarrollar este estudio se tomó como variable aleatoria, el tamaño de la población en habitantes de los
Municipios, entidad federal y dependencias federales de mayor tamaño en Venezuela para el año 2010. Existen
335 municipios en Venezuela con un total de 28.524.389 habitantes para el año 2010, de los cuales 74
municipios tienen una población mayor a 100.000 habitantes y corresponden al 70,16% del tamaño de la
población total y serán el objeto de estudio del presente trabajo, para comprobar que se se cumple la ley de
potencia en el tamaño de los Municipios en Venezuela para el año 2010.
Los estadísticos principales de nuestra variable de interés, tomando el total de municipios que conforman
Venezuela, se presentan en la Tabla 1:
Tabla 1. Estadísticos principales del total del tamaño de los municipios en Venezuela 2010 (habitantes)
Estadísticos principales Tamaño de los
municipios en Vzla 2010 (habitantes)
Media 85.147,43
Mediana 35.112,00
Mínimo 2.050,00
Máximo 2.070.927,00
Desviación típica 178.440,00
En la tabla anterior tomando en cuenta el total de los municipios de Venezuela se puede observar que la
media de la población de los municipios en Venezuela es de 85.147,43 habitantes, siendo el municipio de menor
población igual a 2.050 habitantes y el de mayor población igual a 2.070.927 habitantes, estadísticos que fueron
obtenidos con un simulación en Gretl.
3. Descripción de la metodología
Se realizó la estimación por medio de Rstudio, tomando los municipios con una población mayor a
100.000 habitantes, por lo cual truncamos la data total para tomar en cuenta solo municipios mayores a 100.000.
Se comprobaron los valores de los estadísticos principales obtenidos con el Programa Gretl con los obtenidos por
Rstudio, que se muestran en la Tabla 2, junto con los comandos utilizados para su obtencion.
Tabla 2. Estadísticos obtenidos en Rstudio Tamaño de los municipios en Venezuela 2010, para municipios
mayores a 100.000 (habitantes)
Estadísticos principales tamaño de los municipios en Vzla 2010 >100.000 (habitantes)
> Data[1] #Municipio con menos habitantes 101.794,00
> Data[n] #Municipio más grande Distrito capital 2.070.927,00
> n #Municipios con población mayor a 100.000 74,00
> sum(Data_sorted) #poblacion de Venezuela Total 28.524.389,00

3. 3Técnicas Estadísticas para las ciencias sociales
Debido a que se quería comprobar que esta data sigue la ley de Potencia, se ordenaron las ciudades por
tamaño y se asignó un rango a cada municipio de mayor a menor población siendo el rango uno para el
municipio de mayor población que en nuestro caso es el distrito capital, luego se le aplica la función Logaritmo
para cada columna (rango y población) se puede observar que siguen un patrón que describe como se distribuye
la población en estas ciudades de mayor población que en este caso es la ley de potencia, también conocida
como ley de Pareto, se obtuvo el grafico 1 de estas dos variables, en el eje X, el tamaño de los municipios en
escala logarítmica y en el eje Y el rango que ocupa cada uno en la misma escala y se verifica la obtención de una
línea parecida a una recta que en su mayoría cumple la Ley de Pareto.
Luego de validarse gráficamente que nuestros datos seguían la ley de potencia se realizó la estimación
de sus datos por la función de distribución empírica, sea X nuestra variable aleatoria que representa el tamaño de
los municipios, decimos que sigue una ley de potencia o distribución clásica de Pareto si su función de
distribución viene dada por:
F(x) = Pr ( X ≤ x ) = 1 - donde x ≥ ≥ 0 ,
Con > 0 parámetro de forma y > 0 parámetro de escala.
Tomando la muestra de 74 observaciones de la variable aleatoria X, ordenada de mayor a menor, se
procedió a calcular en Rstudio la función de distribución empírica, cuya fórmula para una observación Xi de la
muestra, si sigue la distribución de Pareto quedara expresada de la siguiente manera:
=
Partiendo de que el rango es el numerador de la parte izquierda de la ecuación anterior y el tamaño el
numerador de la parte derecha de la ecuación, operando matemáticamente y aplicando logaritmos, finalmente
nos queda la siguiente ecuación cuya sustitución de valores da como resultado una línea recta, si se cumple la ley
de potencia.
Log (Rango) = C- α Log (Tamaño)
Para calcular los estimadores de alfa y sigma en R se parte de la ecuación de la función de densidad de
la LP, aplicando logaritmos se obtiene la función de logverosimilitud de la LP obtenemos los estimadores finales
de máxima verosimilitud de alfa y sigma, las formulas ingresadas para su cálculo en R son las siguientes:
α =
∑
Luego de la obtención de estos resultados se realizó la validación grafica a la cual ya se hizo referencia,
seguido de la validación analítica con las técnicas Bootstrap y el estadístico de Kolmogorov-smirnov (KS),
calculando el KS empírico para los datos observados, seguido del cálculo del estadístico del KS simulado y por
último calculando el p-valor para realizar el contraste de que los datos siguen el modelo de la ley de potencia.
4. Resultados Obtenidos:
 Estimadores de alfa y sigma y validación gráfica:
Los resultados obtenidos, confirman como ya esperábamos que en los municipios mayores a 100.000
habitantes en Venezuela 2010, se cumple una ley de potencia, inicialmente por la validación grafica que se
muestra en el grafico 1, donde se observa que la relación de la variables Log-Log sigue una línea recta, también

4. 4Técnicas Estadísticas para las ciencias sociales
se obtuvieron los valores de los estimadores por el método de máxima verosimilitud que se muestran a
continuación en la ecuación junto con el valor de la constante:
Log (Rango) = 21,24794- 1,468293 Log (Tamaño)
= 101.794
Grafico 1. Verificación grafica de la ley de potencia para los municipios mayores a 100.000 habitantes
Venezuela 2010. (MLE)
 Validación analítica:
Se realizó un contraste de Hipótesis con el estadístico de Kolmogorov-Smirnov (KS) donde la Hipótesis nula es:
Ho: Los datos siguen el modelo de ley de potencia y Ha: Los datos No siguen el modelo de ley de potencia a un
Nivel de significancia α= 0,05, los resultados de los valores obtenidos se muestran a continuación:
Tabla 3. Resultados obtenidos en R de la validación analítica de que los municipios en Venezuela 2010 con
población mayor a 100.000 hab, siguen una ley de potencia
Con los datos obtenidos, realizando el contraste de hipótesis correspondiente a un nivel de confianza de
0,05 se tiene la evidencia empírica necesaria para no rechazar la Ho: los datos siguen el modelo de ley de
potencia, puesto que el P-valor obtenido en la simulación en Rstudio es de 0,9389, el cual es mayor a 0,05.
5. Conclusiones
Por medio del presente trabajo utilizando la estimación por métodos de máxima verosimilitud y para su
validación analítica el contraste con el estadístico de Kolmogorov-smirnov se puede concluir que efectivamente
la ley de potencia se cumple para los municipios de gran tamaño y el país de estudio, Venezuela no fue la
excepción, se comprobó que los municipios de mayor población en Venezuela, para el año 2010, seguían esta
Ley de Pareto, en total 74 municipios, en la representación gráfica del rango-tamaño en escala Log-Log de los
datos utilizados se observaba que en su mayoría seguían esta línea recta.
Adicionalmente los resultados de la validación analítica nos confirman que la muestra objeto de estudio
sigue este modelo de ley de potencia, ya que arrojo evidencia empírica para no rechazar esta hipótesis nula de
que los datos seguían esta ley de Pareto.
Resultados obtenidos en R de la validación analítica de que los municipios en
Venezuela con población mayor a 100.000 hab, siguen una ley de potencia
KS estadístico empírico 0.04732398
KS estadístico simulado 0.08869661
P-valor 0.9389