Este documento describe el proceso de ajustar una recta a un conjunto de datos experimentales mediante el método de mínimos cuadrados. Explica cómo determinar los parámetros m y n de la recta y x = m + n que mejor se ajustan a los datos, así como estimar la incertidumbre de estos parámetros. También cubre cómo calcular el coeficiente de correlación lineal r para determinar qué tan bueno es el ajuste lineal y provee un ejemplo numérico del proceso completo.

1. Técnicas experimentales de Física General 1/7
Ajuste de una recta por mínimos
cuadrados
• Los datos y su interpretación
• Los parámetros que mejor ajustan.
• Estimación de la incertidumbre de los
parámetros.
• Coeficiente de correlación lineal.
• Presentación de los resultados. Ejemplo.

2. Técnicas experimentales de Física General 2/7
Los datos y su interpretación
Razones teóricas: y m nx= +
N pares de medidas ( , );( , ); ;( , )x y x y x yN N1 1 2 2
Antes de tomar las medidas:
El intervalo elegido para la variable independiente,
¿abarca todo el rango de interés?
¿Están los puntos uniformemente distribuidos en este
intervalo?
Ordenación y representación gráfica de los datos
xi yi
1 1.5
2 2.0
3 4.0
5 4.6
6 4.7
8 8.5
9 8.8
10 9.9
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
x(unidades)
y(unidades)
¿Se comportan los pares de medidas visualmente según una línea
recta?
¿Hay algún punto que presente un comportamiento anómalo?

3. Técnicas experimentales de Física General 3/7
Los parámetros que mejor ajustan
¿Cuál es la recta que mejor se ajusta a las N medidas?
2 2
1
( , ) ( )
N
i i
i
n m my nxχ
=
= − −∑
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
X
(
y
(y i -mx i -n)
xy x y
xx x x
xx y x xy
xx x x
m
n
NS S S
NS S S
S S S S
NS S S
−
=
−
−
=
−
¿Qué valores de m y n hacen mínimo
2
χ ?
( ) ( )
( )
2
2
1 1
2
1
0 0 2 2
0 0 2
N N
i i i i i i i
i i
N
i i
i
y mx n x y x mx nx
m
y mx n
n
χ
χ
= =
=
∂
= → = − − − = − − −
∂
∂
= → = − − −
∂
∑ ∑
∑
Definiendo
S x S y S x S x yx i
i
N
y i
i
N
xx i
i
N
xy i
i
N
i= = = =
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑1 1
2
1 1

4. Técnicas experimentales de Física General 4/7
Estimación de la incertidumbre de los
parámetros
¿Cuál es el mejor estimador de las incertidumbres de m y
de n?
Suponemos que:
• Solo los valores yi tienen error: δyi
• Los errores en y son todos iguales: δyi = δy = σy y se
estima a partir de la varianza de los datos:
( )
2
),(
2
1 22
1
2
−
=−−
−
= ∑= N
mn
nmxy
N
N
i
iiy
χ
σ
Aplicando propagación de errores:
2
1
2
∑=








∂
∂
=
N
j
y
j
m
y
m
σσ ;
2
1
2
∑=








∂
∂
=
N
j
y
j
n
y
n
σσ
y operando se obtiene:
2
2
2
2
( , )
2
( , )
2
xx
n
xx x x
m
xx x x
S n m
NS S S N
N n m
NS S S N
χ
σ
χ
σ
=
− −
=
− −

5. Técnicas experimentales de Física General 5/7
Coeficiente de correlación lineal
¿Cómo podemos saber cuán bueno es el comportamiento
lineal de los N pares de datos medidos?
Los errores en las medidas iyσ son conocidos:
• ¿La recta pasa por casi todos las barras de error de los
puntos?
• Test de
2
χ .
Los errores en las medidas iyσ son desconocidos:
• A partir de la dispersión de los datos.
• Coeficiente de correlación lineal: r
• Mide el grado de correlación lineal entre x e y.
• 1r ≤
1r = Correlación total.
0r = No hay correlación.
r
NS S S
NS S S NS S S
S y
xy x y
xx x x yy y y
yy i
i
N
=
−
− −
=
=
∑siendo 2
1

6. Técnicas experimentales de Física General 6/7
Presentación de los resultados
Ejemplo
Tabla de datos y cálculos
i xi yi xi yi xi
2
yi
2
(n+mxi -yi)2
1 1 1.5 1.5 1.0 2.25 0.042
2 2 2.0 4.0 4.0 4.00 0.052
3 3 4.0 12.0 9.0 16.00 0.699
4 5 4.6 23.0 25.0 21.16 0.187
5 6 4.7 28.2 36.0 22.09 1.606
6 8 8.5 68.0 64.0 72.25 0.440
7 9 8.8 79.2 81.0 77.44 0.000
8 10 9.9 99.0 100.0 98.01 0.037
N=8 Sx=44 Sy=44 Sxy=314.9 Sxx=320 Syy=313.2 χ2
=3.066
PARÁMETROS DEL AJUSTE :
2
2
( , )
= =
2
0.935 0.081
0.
( , )
3
2
6 0.512
xy x y
xx x x xx x x
xx y x xy xx
xx x x xx x x
NS S S N n m
m (m)
NS S S NS S S N
S S S S S n m
n (n)=
NS S S NS S S N
χ
ε
χ
ε
−
= =
− − −
−
= = =
− − −
0.978xy x y
xx x x yy y y
NS S S
r
NS S S NS S S
−
= =
− −

7. Técnicas experimentales de Física General 7/7
Ajuste de datos a una recta
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
x(unidades)
y(unidades)
( ) ( )0.94 0.08 0.4 0.5y x± ±= +