Este documento describe el proceso de ajuste de una recta a datos experimentales mediante mínimos cuadrados. Explica cómo determinar los parámetros m y n de la recta y x = m + n que mejor se ajustan a los datos, así como sus incertidumbres. También describe cómo calcular el coeficiente de correlación lineal r para evaluar qué tan bueno es el ajuste lineal y presentar los resultados del ajuste, incluyendo un ejemplo numérico.
1891 - Primera discusión semicientífica sobre Una Nave Espacial Propulsada po...Champs Elysee Roldan
La primera discusión semicientífica sobre una nave espacial propulsada por cohetes la realizó el alemán Hans Ganswindt, quien abordó los problemas de la propulsión no mediante la fuerza reactiva de los gases expulsados sino mediante la eyección de cartuchos de acero que contenían dinamita. Supuso que la explosión de una carga transferiría energía cinética a la pared de la nave espacial y la impulsaría en la dirección deseada. Supuso que múltiples explosiones proporcionarían suficiente velocidad para alcanzar la órbita y la velocidad de escape.
El 27 de mayo de 1891, pronunció un discurso público en la Filarmónica de Berlín, en el que introdujo su concepto de un vehículo galáctico(Weltenfahrzeug).
Ganswindt también exploró el uso de una estación espacial giratoria para contrarrestar la ingravidez y crear gravedad artificial.
1. Técnicas experimentales de Física General 1/7
Ajuste de una recta por mínimos
cuadrados
• Los datos y su interpretación
• Los parámetros que mejor ajustan.
• Estimación de la incertidumbre de los
parámetros.
• Coeficiente de correlación lineal.
• Presentación de los resultados. Ejemplo.
2. Técnicas experimentales de Física General 2/7
Los datos y su interpretación
Razones teóricas: y m nx= +
N pares de medidas ( , );( , ); ;( , )x y x y x yN N1 1 2 2
Antes de tomar las medidas:
El intervalo elegido para la variable independiente,
¿abarca todo el rango de interés?
¿Están los puntos uniformemente distribuidos en este
intervalo?
Ordenación y representación gráfica de los datos
xi yi
1 1.5
2 2.0
3 4.0
5 4.6
6 4.7
8 8.5
9 8.8
10 9.9
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
x(unidades)
y(unidades)
¿Se comportan los pares de medidas visualmente según una línea
recta?
¿Hay algún punto que presente un comportamiento anómalo?
3. Técnicas experimentales de Física General 3/7
Los parámetros que mejor ajustan
¿Cuál es la recta que mejor se ajusta a las N medidas?
2 2
1
( , ) ( )
N
i i
i
n m my nxχ
=
= − −∑
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
X
(
y
(y i -mx i -n)
xy x y
xx x x
xx y x xy
xx x x
m
n
NS S S
NS S S
S S S S
NS S S
−
=
−
−
=
−
¿Qué valores de m y n hacen mínimo
2
χ ?
( ) ( )
( )
2
2
1 1
2
1
0 0 2 2
0 0 2
N N
i i i i i i i
i i
N
i i
i
y mx n x y x mx nx
m
y mx n
n
χ
χ
= =
=
∂
= → = − − − = − − −
∂
∂
= → = − − −
∂
∑ ∑
∑
Definiendo
S x S y S x S x yx i
i
N
y i
i
N
xx i
i
N
xy i
i
N
i= = = =
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑1 1
2
1 1
4. Técnicas experimentales de Física General 4/7
Estimación de la incertidumbre de los
parámetros
¿Cuál es el mejor estimador de las incertidumbres de m y
de n?
Suponemos que:
• Solo los valores yi tienen error: δyi
• Los errores en y son todos iguales: δyi = δy = σy y se
estima a partir de la varianza de los datos:
( )
2
),(
2
1 22
1
2
−
=−−
−
= ∑= N
mn
nmxy
N
N
i
iiy
χ
σ
Aplicando propagación de errores:
2
1
2
∑=
∂
∂
=
N
j
y
j
m
y
m
σσ ;
2
1
2
∑=
∂
∂
=
N
j
y
j
n
y
n
σσ
y operando se obtiene:
2
2
2
2
( , )
2
( , )
2
xx
n
xx x x
m
xx x x
S n m
NS S S N
N n m
NS S S N
χ
σ
χ
σ
=
− −
=
− −
5. Técnicas experimentales de Física General 5/7
Coeficiente de correlación lineal
¿Cómo podemos saber cuán bueno es el comportamiento
lineal de los N pares de datos medidos?
Los errores en las medidas iyσ son conocidos:
• ¿La recta pasa por casi todos las barras de error de los
puntos?
• Test de
2
χ .
Los errores en las medidas iyσ son desconocidos:
• A partir de la dispersión de los datos.
• Coeficiente de correlación lineal: r
• Mide el grado de correlación lineal entre x e y.
• 1r ≤
1r = Correlación total.
0r = No hay correlación.
r
NS S S
NS S S NS S S
S y
xy x y
xx x x yy y y
yy i
i
N
=
−
− −
=
=
∑siendo 2
1
6. Técnicas experimentales de Física General 6/7
Presentación de los resultados
Ejemplo
Tabla de datos y cálculos
i xi yi xi yi xi
2
yi
2
(n+mxi -yi)2
1 1 1.5 1.5 1.0 2.25 0.042
2 2 2.0 4.0 4.0 4.00 0.052
3 3 4.0 12.0 9.0 16.00 0.699
4 5 4.6 23.0 25.0 21.16 0.187
5 6 4.7 28.2 36.0 22.09 1.606
6 8 8.5 68.0 64.0 72.25 0.440
7 9 8.8 79.2 81.0 77.44 0.000
8 10 9.9 99.0 100.0 98.01 0.037
N=8 Sx=44 Sy=44 Sxy=314.9 Sxx=320 Syy=313.2 χ2
=3.066
PARÁMETROS DEL AJUSTE :
2
2
( , )
= =
2
0.935 0.081
0.
( , )
3
2
6 0.512
xy x y
xx x x xx x x
xx y x xy xx
xx x x xx x x
NS S S N n m
m (m)
NS S S NS S S N
S S S S S n m
n (n)=
NS S S NS S S N
χ
ε
χ
ε
−
= =
− − −
−
= = =
− − −
0.978xy x y
xx x x yy y y
NS S S
r
NS S S NS S S
−
= =
− −
7. Técnicas experimentales de Física General 7/7
Ajuste de datos a una recta
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
x(unidades)
y(unidades)
( ) ( )0.94 0.08 0.4 0.5y x± ±= +