El documento describe la regla de multiplicación para resolver ecuaciones diferenciales con términos duplicados. Se determina la solución particular para la ecuación dada utilizando raíces iguales y una función que incluye un término adicional. Finalmente, se concluye con la solución particular yp=1/2 x^2 e^x.

3. Regla de multiplicación para el
caso II:
Si alguna contiene términos que
duplican los términos en yc, ypi se
debe multiplicar por xn
, donde n es el
entero positivo mínimo que elimina
esa multiplicación.

4. DETERMINAR LA SOLUCION PARTICULAR DE:
y´´-2y´+y=ex
SOLUCION:
Igualamos la ecuación a “0” cero.
y´´- 2y´+ y=0
r´´
- 2r´+ r =0
Hayamos la cuadrática para esta ecuación
-b+-√b2
-4ac
2a

5. 2+-√22
-4(1)(1) =
2(1)
R1=1, R2=1
Sabiendo que las raíces son iguales se utiliza la
formula:
yc=c1ex
+c2xex
Entonces
Yp=Aex
Pero como esta coincide con yc entonces se prueba con
una función de la forma Axex
que coincide con la
segunda solución. Entonces se prueba nuevamente con
la función Yp =Ax2
ex

6. Derivando y sustituyendo en la ecuación
Obtenemos
2y – 2 +1=ex
(derivada)
2Aex
=ex
+1 (sustituimos)
Al superponer obtenemos
2Aex
=ex
2A= 1
A=1/2
Ahora reemplazamos y obtenemos la solución
particular:
yp=1/2 x2
ex

7. Derivando y sustituyendo en la ecuación
Obtenemos
2y – 2 +1=ex
(derivada)
2Aex
=ex
+1 (sustituimos)
Al superponer obtenemos
2Aex
=ex
2A= 1
A=1/2
Ahora reemplazamos y obtenemos la solución
particular:
yp=1/2 x2
ex