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Método de solución para ecuaciones diferenciales homogéneas

  • 1. MAPA COGNITIVO DE ALGORITMO Elaborado por Walter Byron Pineda Isaza. Docente UFPS. Cúcuta Colombia Problema tomado de Ecuaciones Diferenciales Dennis Zill. Método de solución para ecuaciones diferenciales Homogéneas. solución Desarrollo Expresar la ED en la forma homogénea e identificar las funciones 𝑀 y 𝑁. En este caso son de segundo grado Expresar la ecuación (1) en la forma 𝑦2 𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 (1) 𝑀 = 𝑦2 y 𝑁 = (𝑥2 − 𝑥𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦2 (𝑥 2 −𝑥𝑦) (2) 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 y 𝑢 = 𝑦/𝑥 (3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦2/ 𝑥2 (𝑥 2 −𝑥𝑦) 𝑥2 = (𝑦/𝑥)2 1−𝑦/𝑥 (4) 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 𝑑𝑥 = (𝑢)2 1 − 𝑢 𝑥𝑑𝑢 = ( (𝑢)2 1 − 𝑢 − 𝑢) . 𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 = ( 2𝑢2 − 𝑢 1 − 𝑢 ) . 𝑑𝑥 1 − 𝑢 2𝑢2 − 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝒚 𝟐 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 Hacer la sustitución 𝑦 = 𝑢𝑥 para obtener: Dividir en el numerador y el, denominador del miembro derecho de (2) entre 𝑥2 para obtener: Sustituir las ecuaciones (3) en (4) Simplificar y hacer separación de variables.